Magnetitinblandad gjutasfalt: Uppvärmning och avsvalning

(1)

Magnetitinblandad gjutasfalt

Uppvärmning och avsvalning

Ludvig Berg

Johannes Wanselius

Civilingenjör, Väg- och vattenbyggnad

2021

Luleå tekniska universitet

(2)

(3)

Förord

Det här examensarbete utgör en del av civilingenjörsprogrammet i väg- och vattenbyggnad vid Luleå tekniska universitet. Först och främst skulle vi vilja tacka vår handledare Sven Knutsson för de insiktsfulla och givande diskussionerna under de något annorlunda omständigheterna som höstterminen innebar. Att få möjligheten att planera och delta i fältförsöken i Kungälv hade inte varit möjligt utan honom.

Ett stort tack vill vi också rikta till Thomas Forsberg som under den intensiva veckan innan fältförsöken oförtröttligt hjälpte två studenter med tummen mitt i handen att tro att även de skulle kunna bli hantverkare.

Slutligen vill vi också tacka medlemmarna i SMMART-projektet för planeringen, hjälpen och den trevliga tiden i Kungälv. Ni vet själva vilka ni är.

Luleå, den 6 januari 2021

(4)

Sammanfattning

Uppvärmningen av gjutasfalt har traditionellt sett skett med fossila bränslen. Projektet SMMART undersöker möjligheterna att med inblandning av magnetit i asfaltsmassan kunna nyttja mikrovågsteknik för uppvärmning. Detta examensarbete är uppdelat i två delar. Första delen behandlar uppvärmningen av magnetitinblandad asfaltsmassa och andra delen avsvalningsförloppet vid utläggning.

Del 1

Numeriska tredimensionella simuleringar med simuleringsverktyget COMSOL Multiphysics har utförts för att undersöka hur uppvärmningen påverkar temperaturskillnaden mellan den inblandade magnetiten och resterande asfaltsmassa. Detta görs för att höga temperaturskillnader kan orsaka koksning. Simuleringarna utförs som ett värmeöverföringsproblem där tillförseln av mikrovågsenergi simuleras som att magnetitkornen avger en viss effekt.

Resultatet visar på att temperaturskillnaden i hög grad beror på avståndet mellan magnetitkornen. Där framförallt höga vikt-% magnetit och små kornstorlekar på magnetiten påverkar avståndet och ger små temperaturskillnader. Detta resulterar i att den magnetitinblandade asfalten kan betraktas som ett kontinuum för höga vikt-% magnetit och mindre kornstorlekar på magnetiten.

Vidare undersöks om det finns någon optimal vikt-% magnetit vid uppvärmning av asfaltsmassan. Resultatet visar att det ur en värmeöverföringssynpunkt inte finns några begränsningar för hur mycket magnetit som kan blandas in.

Del 2

Ett fältförsök utfördes i Kungälv där både magnetitinblandad gjutasfalt och traditionell gjutasfalt lades ut. Båda asfaltstyperna tillverkades och värmdes upp i ett traditionellt gjutasfaltverk och utläggning skedde på Nordreälvsbron i Kungälv. Temperaturen mättes genom att temperaturgivare göts in i asfalten varefter mätvärden registrerades på olika höjdnivåer. Resultatet visade i stort på att den magnetitinblandade gjutasfalten avsvalnade långsammare än den traditionella, även om osäkerheter förekommer. Till exempel vad gäller nederbörd som påverkade asfaltstyperna olika.

Numeriska endimensionella simuleringar med simuleringsverktyget COMSOL Multiphysics har utförts för att jämföra med uppmätta värden från fältförsöket. Här konstateras att temperaturerna i den simulerade modellen avtar snabbare än vad som uppmätts i fältförsöket. Precis som vid fältförsöket noterades att den magnetitinblandade gjutasfalten svalnade av långsammare än den traditionella gjutasfalten. Osäkerheter vid modelleringen rör framförallt modellparametrarna.

(5)

i

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1 2 Teori ... 3 2.1 Värmeöverföring ... 3 2.1.1 Randvillkor ... 3 2.1.2 Newtons avsvalningslag ... 4 2.2 Asfalt ... 5 2.2.1 Nettoenergi på en asfaltskropp ... 5 2.3 FEM ... 6 3 Del 1: Uppvärmning ... 7 3.1 Metod ... 7 3.1.1 Modellbeskrivning ... 7 3.1.2 Modellalternativ ... 10 3.1.3 Randvillkor ... 11 3.1.4 Material ... 11 3.1.5 Tillförd effekt ... 12 3.1.6 Modellkubens sidlängd ... 13 3.1.7 Modellkubens densitet ... 14 3.1.8 Asfaltens materialparametrar ... 17

3.1.9 Avstånd mellan magnetitkorn... 22

3.1.10 Magnetitkornens placering ... 23

3.1.11 Meshanalys ... 25

3.2. Resultat och analys ... 27

3.2.1 Jämförelse mellan modellalternativ ... 28

3.2.2 Variation av tillförd effekt ... 30

3.2.3 Variation av initialtemperaturen ... 35

3.2.4 Variation av mängden magnetit ... 37

3.2.5 Variation av magnetitkubernas sidlängd ... 49

3.3 Diskussion ... 61 3.4 Slutsatser ... 62 4 Del 2: Avsvalning ... 63 4.1 Metod ... 63 4.1.1 Fältförsök... 63 4.1.2 Simuleringar i COMSOL ... 69

4.2 Resultat och analys ... 73

4.2.1 Fältförsök... 73

(6)

ii

4.3 Diskussion ... 111 4.4 Slutsatser ... 114 5 Referenser ... 115 Bilaga A - Matlabfunktioner

(7)

1

1 Inledning

Vid tillverkning av asfaltsmassor åtgår stora mängder energi. Traditionellt har denna energi tillförts genom förbränning av fossila bränslen som exempelvis olja, gas och diesel. På senare år har dock den förnybara energikällan träpellets använts i allt större utsträckning. Ur ett cirkulärt perspektiv bidrar inte detta till en ökad koldioxidhalt i atmosfären. Med tanke på att trä har många andra användningsområden är det dock intressant att undersöka alternativa uppvärmningsmetoder för asfalten.

Inom SMMART-projektet (Swedish Magnetite Microwave Asphalt Road Technology) undersöks möjligheten att värma upp asfaltsmassor med mikrovågsteknik genom inblandning av magnetit. Tekniken har potential att värma upp asfaltsmassor till mycket låga koldioxidutsläpp beroende på hur elen produceras. I Sverige där elproduktionen sker relativt koldioxidfritt är uppsidan stor. Som en första tillämpning mot kommersialisering av tekniken undersöks gjutasfalt då detta normalt innebär att mindre massor behöver värmas jämfört med traditionell asfaltbetong.

Genom att ersätta en del av ballasten med magnetit möjliggörs uppvärmning med mikrovågsteknik. Detta underlättas tack vare magnetitens ferrimagnetiska egenskaper, vilket innebär god förmåga att absorbera mikrovågsenergi och omvandla denna till termisk energi.

Del 1

Tidigare laborativa försök har visat att tekniken fungerar, däremot återstår flertalet utmaningar när projektet ska skalas upp. En av utmaningarna är att åstadkomma en optimal temperaturökning i asfaltsmassan utan att temperaturskillnaden mellan magnetitkornen och resterande asfaltsmassa blir för stor. Det saknas teoretiska värmeberäkningar som undersöker detta varför den första delen av det här examensarbetet syftar till att genomföra numeriska beräkningar som kan ge stöd åt framtida beslut vad gäller den maximala effekt som kan tillföras asfaltsmassan med hänsyn till

• Mängden magnetit

• Magnetitens kornstorlek

då mängden magnetit, magnetitens kornstorlek och tillförd effekt tros ha påverkan på temperaturskillnaden under uppvärmning.

En alltför stor temperaturskillnad mellan magnetitkornen och omgivande asfaltsmassa innebär en ojämn temperaturfördelning. Om temperaturen på magnetitkornens ytor överstiger cirka 220 o_{C finns} en risk att materialet intill magnetitkornen förstörs (koksar), samtidigt som temperaturen i resterande asfaltsmassa inte uppnår önskvärd temperatur. En temperaturskillnad på 80 oC mellan magnetitkornen och den kallaste punkten i massan innebär exempelvis att materialet intill magnetitkornen uppnår koksningstemperatur på 220 o_{C samtidigt som temperaturen i den kallaste punkten endast uppnått 140} o

(8)

2 Del 2

Som en andra del av examensarbetet undersöks den magnetitinblandade gjutasfaltens avsvalningsförlopp vid utläggning på Nordreälvsbron i Kungälv.

Bron är belägen på E6:an direkt söder om Kungälv, se Figur 1.1. På Nordreälvsbron anlägger Trafikverket busskörfält för att underlätta för busstrafiken. Bron förstärks för att klara ökad belastning från BK4. Under tiden genomförs underhållsåtgärder med bland annat ny asfalt, nytt bullerskydd och nya fogar. Samtidigt byts kantbalkar och räcken ut. Vidare ersätts den gamla klaffbron med manöverhus till ett fast brospann.

Figur 1.1: Karta över Nordreälvsbron. Hämtad 2020-11-10 från Google Maps.

Som en del av arbetet läggs ny gjutasfalt med tillhörande tätskikt för att förhindra fukt från att tränga ned i underliggande betong. En del av denna nya gjutasfalt utgörs av den magnetitinblandade gjutasfalten från SMMART-projektet.

Syftet med den här delen av examensarbetet är att undersöka den magnetitinblandade gjutasfaltens avsvalningsförlopp och jämföra denna med traditionell gjutasfalt samt numeriska simuleringar.

(9)

3

2 Teori

2.1 Värmeöverföring

Enligt termodynamikens första huvudsats (energiprincipen) kan energi varken skapas eller förstöras utan bara omvandlas från en form till en annan. Förändringen av energi i ett icke slutet system kan därför uttryckas som

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸ö𝐸𝐸ä𝐸𝐸𝑛𝑛𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 =

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑡𝑡𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝐸𝐸ö𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝐸𝐸𝑎𝑎𝑛𝑛 𝐸𝐸 𝑘𝑘𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝐸𝐸𝐸𝐸 (2.1) Utifrån detta resonemang kan följande uttryck för ett material i 3D härledas

cρ∂T_{∂t + ∇𝑞𝑞⃗ − 𝑄𝑄 = 0} (2.2)

där c är den specifika värmekapaciteten för materialet, ρ är densiteten, T är den absoluta temperaturen, 𝑞𝑞⃗ är värmeöverföringen med avseende på konduktion i materialet och Q är externa värmekällor (COMSOL, 2019).

Värmeledning uppträder olika beroende på vilket medium det inträffar i. För solider sker det genom molekylära rörelser i materialet. I ett kontinuerligt medium i 3D är det konduktiva värmeflödet 𝑞𝑞⃗ proportionerligt mot temperaturgradienten där värme flödar från en varmare region till en kallare enligt Fouriers lag

𝑞𝑞⃗ = −𝜆𝜆∇𝑇𝑇 (2.3)

Där λ är värmeledningstalet vilket är ett mått på ett materials förmåga att leda värme (COMSOL, 2019). När c, 𝜌𝜌 och λ är konstanter får man genom att kombinera Ekvation 2.2 och 2.3 värmeledningsekvationen

∂T

∂t = 𝛼𝛼∇2𝑇𝑇 + 𝑄𝑄

𝑐𝑐𝜌𝜌 (2.4)

där 𝛼𝛼 är den termiska diffusiviteten som definieras enligt följande

𝛼𝛼 =_{𝑐𝑐𝜌𝜌}𝜆𝜆 (2.5)

(COMSOL, 2019)

2.1.1 Randvillkor

Dirichletvillkor

Vid värmeöverföringsproblem förekommer Dirichlets randvillkor i det kartesiska koordinatsystemet enligt

𝑇𝑇𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐸𝐸(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) (2.6)

där 𝑇𝑇_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟} är en given temperatur vid randen för 𝐸𝐸(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) (Ottossen & Petersson, 1992). Neumannsvillkor

Vid värmeöverföringsproblem förekommer Neumanns randvillkor enligt

𝑞𝑞𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = −𝜆𝜆∇𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) (2.7)

där 𝑞𝑞_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟} är värmeflödet vid randen, λ är värmeledningstalet hos materialet och ∇𝑇𝑇 är temperaturgradienten (Ottossen & Petersson, 1992).

(10)

4 Newtons randvillkor (konvektion och värmestrålning)

Vid värmeöverföringsproblem förekommer konvektion där en gas eller vätska transporterar värme till eller från en kropp. Detta enligt

𝑞𝑞𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = −𝜆𝜆∇𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = ℎ𝑐𝑐�𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟− 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡)� (2.8)

där 𝑞𝑞_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟} är värmeflödet, 𝑇𝑇_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟} är temperaturen långt ifrån ytan och T är temperaturen på randen.

hc är en värmekoefficient som beror på egenskaper hos den omkringliggande luften, yttemperaturen,

geometri och för tvingad konvektion flödeshastigheten hos gasen/vätskan (COMSOL, 2019). Elmarsson och Nevander (2006) skriver att för väggar och plattor kan en approximation användas för

hc om lufthastigheten är känd enligt

ℎ𝑐𝑐= �6 + 4𝑢𝑢 𝑛𝑛å 𝑢𝑢 ≤ 5 𝑚𝑚/𝑎𝑎_7,4𝑢𝑢0,78_{𝑛𝑛å 𝑢𝑢 > 5 𝑚𝑚/𝑎𝑎 �}_𝑚𝑚𝑊𝑊2_℃� (2.9)

På liknande sätt förekommer randvillkor för värmeöverföring via termisk strålning enligt

𝑞𝑞𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = −𝜆𝜆∇𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴�𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟4 − 𝑇𝑇4(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡)� (2.10)

där termisk strålning sker genom en transport av fotoner där icke genomskinliga ytor antingen kan absorbera eller reflektera strålning. A är arean på ytan, 𝐴𝐴 är emissiviteten hos materialet, 𝐴𝐴 är Stefan Boltzmans konstant och T är temperaturen på materialet och omgivningen (COMSOL, 2019).

Emissiviteten är ett materials förmåga att avge termisk strålning. Denna påverkas bland annat av ytan på materialet där en råare yta ger en större emissivitet. Även våglängden på strålningen från materialet och materialets temperatur påverkar (COMSOL, 2019).

I fall då tidsförloppet är längre är oftast konvektion och konduktion de dominerade förloppen. Vid väldigt höga temperaturer eller då emissiviteten är hög får strålningen större betydelse (COMSOL, 2019).

2.1.2 Newtons avsvalningslag

Newtons avsvalningslag slår fast att hastigheten som temperaturen T i en kropp avtar med tiden t är proportionell mot skillnaden mellan kroppens nuvarande temperatur och omgivningens temperatur TS.

Där k betecknar proportionalitetskonstanten (Abell & Braselton, 2018). 𝑛𝑛𝑇𝑇

𝑛𝑛𝑡𝑡 = −𝑘𝑘(𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑆𝑆) (2.11)

Om initialtemperaturen på kroppen är T(0)=T0 blir lösningen till differentialekvationen.

𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑇𝑇𝑆𝑆+ (𝑇𝑇0− 𝑇𝑇𝑆𝑆)𝐸𝐸−𝑘𝑘𝑒𝑒 (2.12)

Med k>0 så närmar sig temperaturen på kroppen omgivningens temperatur för långa tidsspann (Abell & Braselton, 2018).

Skillnaden mellan Newtons avsvalningslag och värmeledningsekvationen är att Newtons avsvalningslag är en ordinär differentialekvation som modellerar temperaturen som en funktion av tiden medan värmeledningsekvationen är en partiell differentialekvation som modellerar temperaturen som en funktion av både tiden och rummet. I fallet med en sfärisk kropp visar den analytiska serielösningen till värmeledningsekvationen att Newtons avsvalningslag ger en tillförlitlig approximation om kroppen inte är allt för stor och avger värme betydligt snabbare än den tar upp värme från omgivningen (Gockenbach & Schmidtke, 2009).

(11)

5

2.2 Asfalt

Asfalt är ett kompositmaterial som består av stenmaterial, filler och bindemedlet bitumen (European Pavement Association, u.å.). Beroende på asfaltsrecept, såsom typ av stenmaterial och kornstorleksfördelning varierar de termiska egenskaperna för olika asfaltstyper (Luca & Mrawira, 2005).

Värmeledningstalet och det specifika värmekapaciteten för olika asfaltstyper redovisas av Luca och Mrawira (2005). Värmeledningstalet för olika asfaltstyper varierade mellan 0,744 och 2,889 W/m, oC och den specifika värmekapaciteten mellan 0,921 och 1,600 J/g, oC. Vidare finns ett temperaturberoende hos värmeledningstalet och den specifika värmekapaciteten för asfalt.

Modeller för att väga samman materialparametrar i ett jordmaterial (även detta ett kompositmaterial) och bestämma dess termiska egenskaper presenteras av Knutsson (1985).

Genom att kombinera j stycken delmaterial kan en total densitet för hela materialet bestämmas enligt

Ekvation 2.13. n betecknar volymandelen som respektive delmaterial utgör av den totala volymen.

𝜌𝜌𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = � 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 ∗ 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 𝑗𝑗

𝑖𝑖=1

(2.13) På liknande sätt kan det sammansatta materialets volymetriska värmekapacitet och värmeledningstal bestämmas enligt Ekvation 2.14 och 2.15 där c betecknar delmaterialens specifika värmekapacitet.

𝐶𝐶𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = � 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖∗ 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖∗ 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 (2.14) 𝜆𝜆𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = � 𝜆𝜆𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎,𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 (2.15)

Ekvation 2.15 gäller när kvoten mellan delmaterialens värmeledningstal är mindre än 10.

2.2.1 Nettoenergi på en asfaltskropp

Vid utläggning av varm asfalt tillförs energi via solstrålning och delvis genom joniserande strålning från jorden vid till exempel sönderfall av uran. Utöver detta tillkommer även energiförluster i form av konvektion samt termisk strålning från asfaltsytan. Vidare transporteras även energi ner till underliggande lager genom asfalten via konduktion (Solaimanian & Kennedy, 1993).

Enligt ovan beskrivning kan nettoenergin för utläggning av varm asfalt uttryckas som

𝑁𝑁𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑘𝑘𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸 𝑘𝑘𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝐸𝐸å𝑡𝑡𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑢𝑢𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝐸𝐸å𝑡𝑡𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝑆𝑆𝑡𝑡𝐸𝐸å𝑡𝑡𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸𝐸𝐸å𝐸𝐸 𝑗𝑗𝑘𝑘𝐸𝐸𝑛𝑛𝐸𝐸𝐸𝐸 ± 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑡𝑡𝐸𝐸𝑎𝑎𝐸𝐸𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘𝐸𝐸𝑡𝑡 𝑣𝑣𝐸𝐸𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐸𝐸𝑣𝑣𝐸𝐸𝑘𝑘𝐸𝐸𝑘𝑘𝐸𝐸

(12)

6

2.3 FEM

Finita elementmetoden (FEM) är en approximativ metod för att lösa differentialekvationer numeriskt. Eftersom alla fenomen inom ingenjörsmekanik kan modelleras med differentialekvationer har finita elementmetoden visat sig vara ett mycket kraftfullt verktyg för ingenjörer (Ottosen & Petersson, 1992).

För att lösa differentialekvationerna delas modellen in i mindre delar, så kallade finita element. Elementen gränsar till varandra i så kallade knutpunkter. En approximativ beräkning görs över varje element. Även om de okända variablerna varierar olinjärt över modellen kan variablerna till exempel antas variera linjärt, polynomiskt eller kubiskt över varje element. Detta betyder att ju mindre element desto bättre approximation. Om modellen är stor kan indelning av modellen i mycket små element resultera i tidskrävande beräkningar, även för datorer. Förutom att storleken på elementen kan varieras kan även formen på elementen varieras. Detta är aktuellt när modellering görs i två dimensioner eller tre dimensioner. När variablerna har beräknats för varje element kan hela modellens beteende slutligen bestämmas genom att delelementen sätts samman. (Ottosen & Petersson, 1992)

I det här examensarbetet används finita elementmetoden för att modellera värmeöverföring vid uppvärmning och avsvalning av gjutasfaltmassor. Det vill säga värmeledningsekvationen med tillhörande randvillkor löses.

(13)

7

3 Del 1: Uppvärmning

3.1 Metod

Värmning av asfaltsmassan underlättas om man tillför magnetit som är ett ferrimagnetiskt material. Magnetiten tar effektivt upp energin från mikrovågorna och värms då upp. Värmeenergin avges sedan via ledning till den omgivande asfaltsmassan som värms. Detta förlopp innebär dock att magnetitkornen kan bli för varma i förhållande till omgivande asfaltsmassa.

Det som författarna anser bör vara av intresse för att studera denna uppvärmning är storleken på magnetitkornen och vikt-% magnetit eftersom detta bör påverka avståndet mellan magnetitkornen. Även effekten som magnetitkornen avger bör påverka uppvärmningsförloppet. För att simulera detta uppvärmningsförlopp där magnetitkorn modelleras som värmekällor används finita elementprogrammet COMSOL Multiphysics.

En annan anledning till att simuleringar används är att det inte skulle vara ekonomiskt och tidsmässigt möjligt att genomföra praktiska försök. Anledningen till att just COMSOL Multiphysics är för att programmet finns tillgängligt på Luleå tekniska universitet, innehåller den komplexitet som eftersträvas samt att det finns tillgång till instruktionsmanualer vilket gör det enkelt att sätta sig in i programmet.

3.1.1 Modellbeskrivning

Modellen simuleras tredimensionellt i COMSOL. Modellen är uppbyggd så att en mindre modellkub tas ur en större asfaltsmassa. Denna kub antas vara omgiven av identiska modellkuber. Modellkuben och dess omkringliggande identiska modellkuber antas vara långt ifrån ränderna på den stora asfaltsmassan så att inga värmeförluster tillkommer. En skiss över förfarandet i två dimensioner framgår av Figur 3.1 där modellkuben fetmarkerats. Vidare syns magnetitkornen som de mindre kvadraterna i figuren.

(14)

8

Figur 3.2 illustrerar modellkuben som simuleras i tre dimensioner. I denna modellkub återfinns 8

magnetitkorn modellerade som kuber där avståndet mellan dem är lika stort. Det vill säga inblandningen av magnetitkuber i massan antas vara jämn. Avståndet mellan magnetitkuberna bestäms utifrån sidlängden L på modellkuben. Beräkning av sidlängden och avståndet mellan magnetitkuber utvecklas ytterligare i kapitel 3.1.6: Modellkubens sidlängd och kapitel 3.1.9: Avstånd

mellan magnetitkorn. Alla magnetitkorn modelleras som kubiska med sidlängden l.

Figur 3.2: Simulerad modellkub.

I modellen simuleras enbart värmeöverföringen, det vill säga ingen hänsyn tas till energitillförsel med hjälp av mikrovågsstrålning. Det antas att energitillförseln är konstant och att de värmda magnetitkornen avger värmeenergi till omgivande asfaltsmassa. Med andra ord simuleras enbart ett värmeöverföringsproblem där magnetitkuberna fungerar som energikällor.

Modellantaganden

• Modellkuben antas vara omgiven av identiska kuber och ligga tillräckligt långt ifrån ränderna på den stora asfaltsmassan, se Figur 3.1. Det vill säga symmetri uppnås på modellkubens ränder och inga värmeförluster tillkommer.

• Magnetitkornen simuleras som identiska kuber med lika stort inbördes avstånd. • Asfaltsmassan simuleras som ett homogent och solitt material.

• Magnetitkuberna simuleras som energikällor med en viss effekt som avges till omgivande asfaltsmassa.

(15)

9 Genomförda simuleringar

Nedan följer genomgång av de genomförda simuleringarna.

En modell används där antalet magnetitkorn hålls konstant och sidlängden på modellkuben varieras Resonemanget utvecklas i kapitel 3.1.2: Modellalternativ. I resultatet jämförs först denna modell med en modell där sidlängden på modellkuben hålls konstant och antalet magnetitkorn varieras för att verifiera att modellen är korrekt.

När modellen verifierats studeras dels uppvärmningsförloppet i mitten på modellkuben (den punkt som ligger längst ifrån samtliga 8 magnetitkuber), dels på magnetitkornens yta, se Figur 3.3 och 3.4. Anledningen till detta är för att undersöka temperaturskillnaden som uppstår mellan dessa punkter för att se om värmespridningen är jämn i asfaltsmassan. Det antas att temperaturskillnaden beror på den tillförda effekten, mängden magnetit, mängden bitumen och storleken på magnetitkuberna varför dessa parametrar undersöks närmare. Observera att samma temperatur uppnås överallt på magnetitkornens ytor varför det inte spelar någon roll vilken punkt på magnetitkornens ytor som mäts. Detta eftersom modellkuben modelleras som en del av en större asfaltsmassa med symmetriska randvillkor, se Figur 3.1.

Simuleringar görs för olika tillförda effekter per massenhet och olika initialvillkor på temperaturen när massandelarna på delmaterialen hålls konstanta. Detta för att illustrera att tillförd effekt och initialvillkor kan normaliseras bort.

Simuleringar görs sedan för 0 till 20 vikt-% magnetit med 3 vikt-% bitumen, 6 vikt-% bitumen, 9 vikt-% bitumen och 12 vikt-% bitumen. Anledningen till att simuleringarna görs för 0 till 20 vikt-% magnetit är att de initiala testerna visar att optimal magnetitmängd ligger någonstans mellan 8 och 15 vikt-% magnetit.

Vidare undersöks också hur uppvärmningsförloppet påverkas när magnetitkubernas storlek varieras för olika vikt-% magnetit och konstant vikt-% bitumen.

(16)

10

Figur 3.4: Magnetitkornens yta markerad med rött.

3.1.2 Modellalternativ

Två modellalternativ övervägdes och studerades.

Alternativ 1 innebär att längden L på modellkuben varierar med vikt-% bitumen och magnetit. Fördelarna med detta alternativ är att materialparametrarna och vikt-% magnetit kan ansättas exakt när vikt-% bitumen varieras samt att beräkningstiderna reducerads när modellkuben kan hållas så liten som möjligt. För att detta tillvägagångssätt ska vara möjligt är det viktigt att samma effekt per massenhet tillförs modellkuben oavsett massandel på delmaterialen. Detta gör att olika massandelar blir jämförbara med varandra även om sidlängden på modellkuben varieras

Alternativ 2 innebär att sidlängden på modellkuben hålls konstant medan antalet magnetitkuber på en rad varierar. Detta alternativ kräver att sidlängden är tillräckligt stor för att simulera en någorlunda exakt vikt-% magnetit och bitumen eftersom magnetitkuberna har en bestämd sidlängd och avståndet mellan magnetitkuberna är lika stort överallt i modellkuben. Detta medför betydligt längre simuleringstider då modellkuben behöver göras större. Vidare uppstår svårigheter med att iterera fram hur materialparametrarna varierar med olika asfaltsrecept.

I slutändan valdes alternativ 1 eftersom denna visade sig ge samma resultat med ovan beskrivna fördelar.

(17)

11

3.1.3 Randvillkor

Då en modellkub tas ur den stora asfaltsmassan med magnetit och denna antas vara omgiven av identiska modellkuber uppnås symmetri. Det vill säga ingen värmeöverföring sker på ränderna. Detta uppnås genom symmetriska ränder i COMSOL där värmeöverföringen är noll, 𝑞𝑞⃗ = 0.

3.1.4 Material

Magnetiten och asfalten behandlas som solida. Asfaltsmassan är dock en blandning av bitumen och filler där bitumen är en trögflytande vätska. Antagandet görs för att underlätta modelleringen.

Materialparametrarna för asfaltsmassan fås genom att kombinera bitumen och filler med avseende på asfaltsrecept. Se kapitel 3.1.8: Asfaltens materialparametrar för vidare beskrivning. Figur 3.5 visar magnetitkornen i modellen och Figur 3.6 asfaltsmassan.

(18)

12

Figur 3.6: Asfaltsmassa.

3.1.5 Tillförd effekt

För att simulera uppvärmningen av asfaltsmassan med magnetit antas lika mycket energi från mikrovågsstrålningen absorberas av samtliga magnetitkuber. Då längden L på den stora kuben varierar tillförs en lika stor effekt Pm [W/kg] till modellkuben per massenhet. Vidare fördelas denna

effekt jämnt på det totala antalet magnetitkuber atot enligt Ekvation 3.1. ρ betecknar hela

modellkubens densitet, se kapitel 3.1.7: Modellkubens densitet.

𝑃𝑃𝑟𝑟[𝑊𝑊] =

𝑃𝑃𝑘𝑘�𝑊𝑊_{𝑘𝑘𝐸𝐸� ∗ 𝜌𝜌 �}_𝑚𝑚𝑘𝑘𝐸𝐸3� ∗ 𝐿𝐿3[𝑚𝑚3]

𝑎𝑎𝑒𝑒𝑘𝑘𝑒𝑒 (3.1)

Magnetitkuberna simuleras som en värmekälla (heat source) där dessa avger en effekt per kubikmeter,

Pv enligt

𝑃𝑃𝑣𝑣�_𝑚𝑚𝑊𝑊₃� =_𝑡𝑡𝑃𝑃₃𝑟𝑟_[𝑚𝑚[𝑊𝑊]₃_] (3.2)

(19)

13

3.1.6 Modellkubens sidlängd

För att bestämma sidlängden L, på den stora kuben utgås från de givna massandelarna. Med en given massandel magnetit och bitumen kan massandelen stenmaterial bestämmas

𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟= 1 − 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑘𝑘𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒− 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑢𝑢𝑖𝑖𝑒𝑒𝑢𝑢𝑘𝑘𝑒𝑒𝑟𝑟 (3.3)

Med massandelarna för varje delmaterial är det nödvändigt att beräkna volymandelen som respektive delmaterial utgör.

𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑖𝑖 =_𝑉𝑉𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑖𝑖

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑒𝑒𝑘𝑘𝑒𝑒 (3.4)

där volymen på delmaterialen beräknas utifrån massandelen som materialet utgör och densiteten på materialet

𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑖𝑖 =𝑚𝑚_𝜌𝜌𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑖𝑖

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑖𝑖 (3.5)

och den totala volymen beräknas som summan av delvolymerna.

𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑒𝑒𝑘𝑘𝑒𝑒 = � 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑖𝑖 3

𝑖𝑖=1

(3.6) Eftersom totala antalet magnetitkorn, atot samt sidlängden, l på de kubiska magnetitkornen är

förutbestämda kan volymen magnetit beräknas.

𝑉𝑉𝑘𝑘𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒 = 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑘𝑘𝑒𝑒∗ 𝑡𝑡3 (3.7)

För att uppnå förutbestämd volymandel magnetit i blandningen kan den totala volymen på modellkuben bestämmas med hjälp av volymen magnetit.

𝑉𝑉𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢=_𝐸𝐸 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑘𝑘𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒 (3.8)

Slutligen fås sidlängden på modellkuben.

𝐿𝐿 = �𝑉𝑉3 𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢 (3.9)

För att på ett enkelt sätt kunna beräkna modellkubens sidlängd för olika vikt-% magnetit och olika sidlängder på magnetitkornen skrivs en funktion i Matlab. Denna redovisas i Bilaga A -

Matlabfunktioner. Den beräknade sidlängden för olika vikt-% magnetit och vikt-% bitumen framgår

(20)

14

3.1.7 Modellkubens densitet

Modellkubens densitet är av intresse för att kunna tillföra samma effekt per massenhet för alla modellkuber oavsett storlek när massandelar magnetit och bitumen varieras. Det vill säga en sammanvägning av densiteten för bitumen, magnetit och stenmaterial. Vid bestämning av modellkubens densitet tas ingen hänsyn till densitetens eventuella beroende av temperaturen vid uppvärmning.

Utifrån densiteten för delmaterialen kan den totala densiteten för modellkuben beräknas i enlighet med Knutsson (1985). Den totala densiteten beror på delmaterialens (magnetit, bitumen och stenmaterial) densitet viktade med hänsyn till respektive volymandel som beskrivs ovan, se Ekvation 3.4.

𝜌𝜌𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = � 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 ∗ 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 3

𝑖𝑖=1

(3.10) För att på ett enkelt sätt kunna beräkna modellkubens densitet för olika vikt-% magnetit och olika sidlängder på magnetitkornen skrivs en funktion i Matlab. Denna redovisas i Bilaga A -

Matlabfunktioner.

Materialparametrar för delmaterialen anges i Tabell 3.1.

Tabell 3.1: Materialparametrar för delmaterialen.

Material Värmeledningstal [W/m, o_C] Specifik värme [J/g, o_C] Densitet [t/ m3_] Bitumen 0,16 1,75 1,02 Magnetit 5,0 0,71 4,9 Stenmaterial 3,5 0,70 2,7

Sidlängd och densitet på modellkuben för olika vikt-% magnetit och bitumen framgår av Tabell 3.2 t.om. 3.5. Parametrarna beräknas för magnetitkorn modellerade som kuber med en sidlängd på 1 mm.

Tabell 3.2: Modellkubens egenskaper (magnetit, bitumen och stenmaterial) för 3 vikt-% bitumen.

Vikt-% magnetit [%] Sidlängd [mm] Densitet [t/m3_] 0 ∞ 2,57 2 9,11 2,60 4 7,21 2,62 6 6,28 2,64 8 5,69 2,66 10 5,26 2,69 12 4,94 2,71 14 4,68 2,74 16 4,46 2,76 18 4,27 2,79 20 4,11 2,81

(21)

15

(22)

16

Figur 3.7 visar grafiskt vikt-% magnetits påverkan på modellkubens densitet. Detta har gjorts för 3, 6,

9 och 12 vikt-% bitumen. Av figuren framgår att en större vikt-% magnetit i receptet innebär att modellkubens densitet ökar eftersom magnetiten har en högre densitet än stenmaterialet. En ökad vikt-% bitumen i asfalten innebär en minskad densitet eftersom bitumens densitet är lägre än för stenmaterialet och en ökning av vikt-% bitumen innebär en minskning av vikt-% stenmaterial.

Figur 2.7: Modellkubens densitet (magnetit, bitumen och stenmaterial) som funktion av vikt-% magnetit. l=1 mm.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Vikt-% magnetit 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Densitet [t/m 3 ] 3 vikt-% bitumen 6 vikt-% bitumen 9 vikt-% bitumen 12 vikt-% bitumen

(23)

17

3.1.8 Asfaltens materialparametrar

Vid bestämning av materialparametrarna för asfaltsmaterialet (bitumen och stenmaterial) kan antingen kombinerade materialparametrar bestämmas eller materialparametrar utifrån litteraturen väljas. Vidare är det av intresse att undersöka hur olika asfaltsrecept (varierad mängd magnetit och bitumen) påverkar uppvärmningen. Delmaterialens materialparametrar kombineras enligt föreslagen metod av Knutsson (1985) eftersom värden i litteraturen varierar mycket mellan olika asfaltstyper. Observera att magnetiten inte ingår i asfaltsmaterialet. Vid bestämning av asfaltens materialparametrar tas ingen hänsyn till materialparametrarnas eventuella beroende av temperaturen vid uppvärmning.

För att beräkna en kombinerad densitet, ett kombinerat värmeledningstal och en kombinerad volymetrisk värmekapacitet för asfaltsmassan (bitumen och stenmaterial) beräknas först volymen asfalt med hjälp av den tidigare bestämda volymen på kuben och volymen magnetit i kuben, se

Ekvation 3.7 och 3.8.

𝑉𝑉𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢− 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒 (3.11)

Volymen bitumen och stenmaterial i kuben fås som

𝑉𝑉𝑢𝑢𝑖𝑖𝑒𝑒𝑢𝑢𝑘𝑘𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝐸𝐸𝑢𝑢𝑖𝑖𝑒𝑒𝑢𝑢𝑘𝑘𝑒𝑒𝑟𝑟,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢∗ 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢 (3.12)

𝑉𝑉𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟,𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢∗ 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢 (3.13)

Volymandelarna som bitumen och stenmaterial utgör av asfaltsmassan blir då 𝐸𝐸𝑢𝑢𝑖𝑖𝑒𝑒𝑢𝑢𝑘𝑘𝑒𝑒𝑟𝑟,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 =𝑉𝑉_𝑉𝑉𝑢𝑢𝑖𝑖𝑒𝑒𝑢𝑢𝑘𝑘𝑒𝑒𝑟𝑟

𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 (3.14)

𝐸𝐸𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 =_𝑉𝑉𝑉𝑉𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟

Värmekapacitet

Utifrån densiteten, den specifika värmen och volymandelen för de två olika materialen kan den volymetriska värmekapaciteten för asfalten beräknas i enlighet med Knutsson (1985).

𝐶𝐶𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = � 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖∗ 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖∗ 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 2

𝑖𝑖=1

(3.16) Motsvarande specifika värme för asfalten som anges i COMSOL är

𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = 𝐶𝐶_𝜌𝜌𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒

Densitet

Den totala densiteten beror på delmaterialens densitet viktade med hänsyn till volymandelarna

𝜌𝜌𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = � 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 ∗ 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖 2

𝑖𝑖=1

(3.18) Värmeledningstal

Värmeledningstalet för asfalten beräknas utifrån delmaterialens värmeledningstal och volymandel. Även detta enligt Knutsson (1985).

(24)

18

𝜆𝜆𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒 = � 𝜆𝜆𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,𝑟𝑟𝑎𝑎𝑓𝑓𝑟𝑟𝑙𝑙𝑒𝑒,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎,𝑖𝑖 2

𝑖𝑖=1

(3.19) Uttrycket gäller om villkoret λsten / λbitumen < 10 uppfylls vilket inte är fallet eftersom λsten / λbitumen ≈ 22. Detta används dock som en approximation eftersom validering inte kunnat genomföras i laboratorium. För att på ett enkelt sätt kunna beräkna materialparametrarna för asfalten när massandelar och asfaltsrecept varieras implementeras funktioner i Matlab, se Bilaga A - Matlabfunktioner. Simuleringarna görs för fyra olika vikt-% bitumen och vikt-% magnetit mellan 0 och 20 %. Detta redovisas i Tabell 3.6 t.om. 3.9. Parametrarna beräknas för magnetitkorn modellerade som kuber med en sidlängd på 1 mm och totalt 8 magnetitkorn i modellkuben. Materialparametrar för bitumen och stenmaterial enligt Tabell 3.1.

Tabell 3.6: Materialegenskaper för asfalten (bitumen och stenmaterial) med 3 vikt-% bitumen.

Vikt-% magnetit [%] Värmeledningstal [W/m, o_C] Specifik värme [J/g, o_C] Densitet [t/ m3_] 0 - - - 2 2,76 0,73 2,57 4 2,75 0,73 2,57 6 2,73 0,73 2,57 8 2,72 0,73 2,56 10 2,70 0,74 2,56 12 2,69 0,74 2,56 14 2,67 0,74 2,55 16 2,66 0,74 2,55 18 2,64 0,74 2,55 20 2,62 0,74 2,54

(25)

19

Figur 3.8 t.om. Figur 3.10 visar grafiskt vikt-% magnetits påverkan på värmeledningstalet, densiteten

och värmekapaciteten. Detta har gjorts för 3, 6, 9 och 12 vikt-% bitumen. Observera att om vikt-% magnetit ökar så ersätter den en del av stenmaterialet. Således påverkas asfaltens materialparametrar när vikt-% magnetit ökar även om magnetiten inte ingår som en del av asfaltsmaterialet. Vidare påverkas asfaltens materialegenskaper genom att en ökad vikt-% bitumen innebär att mindre stenmaterial tillförs asfalten.

(26)

20

I Figur 3.8 syns att en större vikt-% magnetit i receptet innebär att asfaltens densitet minskar eftersom vikt-% stenmaterial minskar i asfalten. Detta då magnetit har en högre densitet än stenmaterialet. En ökad vikt-% bitumen i asfalten innebär också en minskad densitet eftersom bitumens densitet är lägre än för stenmaterialet och en ökning av vikt-% bitumen innebär en minskning av vikt-% stenmaterial.

Figur 3.8: Asfaltens densitet (bitumen och stenmaterial) som funktion av vikt-% magnetit. l=1 mm.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Vikt-% magnetit 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6 Densitet [t/m 3 ] 3 vikt-% bitumen 6 vikt-% bitumen 9 vikt-% bitumen 12 vikt-% bitumen

(27)

21

Som syns i Figur 3.9 så minskar värmeledningstalet med ökad vikt-% magnetit och ökad vikt-% bitumen. Detta då andelen sten som har ett högre värmeledningstal än bitumen minskar i båda fallen.

Figur 3.9: Asfaltens värmeledningstal (bitumen och stenmaterial) som funktion av vikt-% magnetit. l=1 mm.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Vikt-% magnetit 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 Värmeledningstal [W/m, ° C] 3 vikt-% bitumen 6 vikt-% bitumen 9 vikt-% bitumen 12 vikt-% bitumen

(28)

22

Figur 3.10 visar att den specifika värmekapaciteten ökar när vikt-% magnetit och vikt-% bitumen

ökar. Detta då andelen sten som har en lägre specifik värmekapacitet än bitumen minskar i båda fallen.

Figur 3.10: Asfaltens specifika värme (bitumen och stenmaterial) som funktion av vikt-% magnetit. l=1 mm.

3.1.9 Avstånd mellan magnetitkorn

Avståndet mellan magnetitkornen kan bestämmas med hjälp av antalet magnetitkuber i x-led, y-led och z-led. Eftersom magnetitkuberna antas vara jämnt fördelade fås antalet magnetitkuber i varje riktning som

𝑎𝑎 = �𝑎𝑎3 𝑒𝑒𝑘𝑘𝑒𝑒 (3.20)

där atot är det totala antalet magnetitkuber i modellkuben, det vill säga 8 stycken i det här fallet.

Centrumavståndet mellan magnetitkuberna blir då

𝑛𝑛 =𝐿𝐿_𝑎𝑎 (3.21) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Vikt-% magnetit 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 Specifik värme c [J/g, ° C] 3 vikt-% bitumen 6 vikt-% bitumen 9 vikt-% bitumen 12 vikt-% bitumen

(29)

23

3.1.10 Magnetitkornens placering

Om a är ett heltal fås koordinaten på centrum av magnetitkornet närmast hörnet på modellkuben i negativ x-led, y-led och z-led som

�−𝑛𝑛 ∗ (𝑎𝑎 − 1)₂ , −𝑛𝑛 ∗ (𝑎𝑎 − 1)₂ , −𝑛𝑛 ∗ (𝑎𝑎 − 1)₂ � (3.22) när origo för det kartesiska koordinatsystemet placeras i mitten av kuben. Resterande magnetitkorn placeras utifrån hörnkoordinaten med centrumavståndet d som beskrivs ovan. Figur 3.11 illustrerar koordinaten för centrum på första magnetitkornet samt centrumavståndet när a=2. Uttrycken är dock giltiga oavsett storleken på a. Illustration i xy-planet där modellkuben fetmarkerats. Streckade linjer visar modellkubens placering som en del av en större asfaltsmassa.

(30)

24

Utifrån teorin om hur sidlängden L på modellkuben bestäms är det möjligt att grafiskt se hur vikt-% magnetit och bitumen påverkar avståndet mellan magnetitkornen. Detta redovisas i Figur 3.12. De kubiska magnetitkornen har en sidlängd på l=1 mm. I figuren syns att vikt-% magnetit har stor inverkan på avståndet mellan magnetitkornen, till skillnad från vikt-% bitumen. Detta beror på att magnetiten har betydligt högre densitet än bitumen och således utgör en liten del av den totala volymen på modellkuben. För att uppnå en hög vikt-% magnetit krävs då en stor volym på modellkuben.

Figur 3.12: Avstånd mellan magnetitkorn som funktion av vikt-% magnetit, l=1 mm.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Vikt-% magnetit 1 2 3 4 5 6 7 8

Avstånd mellan magnetitkorn d [mm]

3 vikt-% bitumen 6 vikt-% bitumen 9 vikt-% bitumen 12 vikt-% bitumen

(31)

25

Hur sidlängden på magnetitkornen inverkar på avståndet mellan magnetitkornen redovisas i Figur 3.13. Grafen ritas för 7,5 vikt-% bitumen för olika sidlängder på magnetitkuberna. Varje kurva representerar ett värde på magnetitkubernas sida. Figuren visar att sidlängden på magnetitkuberna i hög grad inverkar på avståndet mellan magnetitkornen, liksom vikt-% magnetit. Som syns går avståndet asymptotiskt mot oändligheten för låga vikt-% magnetit.

Enligt Figur 3.12 och 3.13 bör alltså en hög vikt-% magnetit och små magnetitkorn vara gynnsamt för att undvika koksning.

Figur 3.13: Avstånd mellan magnetitkorn som funktion av vikt-% magnetit, 7,5 vikt-% bitumen.

3.1.11 Meshanalys

En mesh är ett engelskt ord som beskriver hur en modell delats upp i olika element, eller ett ”nät”. I COMSOL kan en mesh skapas utifrån antingen en egen definierad mesh eller genereras automatiskt. Då storleken och komplexiteten på meshen i hög grad påverkar simuleringstiden är det ofta fördelaktigt att kunna anpassa meshen utifrån den specifika simuleringen. En automatiskt genererad mesh i COMSOL skapar generellt sett en mesh som är väl definierad för hela geometrin och som ibland kan bli onödigt beräkningstung om enbart intresse finns av att studera en viss region i geometrin. Det finns även möjlighet att anpassa storleken på meshelementen för den automatiskt genererade meshen (Fairclough, 2016).

I detta fall har en automatiskt genererad mesh använts. Detta gjordes då enkelheten i att skapa en mesh premieras över simuleringstiden. En meshanalys har utförts för att undersöka hur storleken på meshelementen påverkar resultatet. Meshanalysen görs för en 1 vikt-% magnetit och 7,5 vikt-% bitumen med materialparametrar enligt kapitel 3.1.8: Asfaltens materialparametrar. Tabell 3.10 visar den procentuella temperaturskillnaden mellan den finaste meshen och övriga meshar. Dels i asfaltens mittpunkt, dels på magnetitkornens yta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Vikt-% magnetit 0 5 10 15 20 25 30

Avstånd mellan magnetitkorn d [mm]

l = 0.5 mm l = 1 mm l = 1.5 mm l = 2 mm l = 3 mm l = 4 mm l = 5 mm

(32)

26 Tabell 3.10: Meshanalys. Storlek på meshelement med grövst storlek överst i Tabell. Tid [s] Temperatur i asfaltens mittpunkt [o_C] vid tiden 3000 s Temperatur på magnetitkubens yta. [o_{C] vid} tiden 3000 s Skillnad i asfaltens mittpunkt [%] Skillnad på magnetitkornens yta [%] Normal 317 247,1362 285,6647 0,0014 0,138 Fine 422 247,134 285,8972 0,0005 0,056 Finer 466 247,1332 286,068 0,0002 0,003 Extra fine 1623 247,1327 286,0586 - -

Som syns i Tabell 3.10 är temperaturskillnaden för olika storlekar på meshelementen väldigt liten och anses av författarna som obetydlig för denna modell. Simuleringstiden ökar något mellan meshelement Normal till Finer medan det mellan Finer och Extra fine ökar betydligt mer. Utifrån detta resonemang används meshstorleken Normal.

(33)

27

3.2. Resultat och analys

I Figur 3.14 visas ett exempel på hur värmen sprids i modellen. Som framgår av figuren utgår värmespridningen från magnetitkornen då dessa modelleras som värmekällor. Vidare syns det att värmen sprids symmetriskt genom hela modellkuben, det vill säga samma förlopp fås i en eventuell omgivande asfaltsmassa, vilket också är tanken med modellen. Det framgår även att magnetitkuberna i princip har samma absoluta temperatur som omgivande asfaltsmassa. Med andra ord utjämnas temperaturen i materialet nästan omedelbart, vilket innebär att hela modellkuben (magnetit och asfaltsmassa) kan ses som ett kontinuum för rådande asfaltsrecept, materialparametrar och modellantaganden.

Simuleringarna är gjorda för en sidlängd på magnetitkuberna på 1 mm, med 10 vikt-% magnetit och 7,5 vikt-% bitumen. Initialtemperaturen på magnetitkuberna och asfaltsmaterialet är satt till 20 oC och en tillförd effekt på 60 kW/ton. Figuren visar värmespridningen vid tiden 3000 s. Materialparametrarna för asfalten beräknas enligt kapitel 3.1.8: Asfaltens materialparametrar.

Figur 3.14: Värmespridning i modellkuben.

(34)

28

3.2.1 Jämförelse mellan modellalternativ

För att jämföra modellalternativ 1 där modellkubens sidlängd varieras med modellalternativ 2 där modellkubens sidlängd hålls konstantde simuleras uppvärmningen i mitten på respektive modellkub (så långt ifrån samtliga magnetitkuber som möjligt). Se kapitel 3.1.2: Modellalternativ för en beskrivning av modellalternativen.

Simuleringarna görs för 1,6891 vikt-% magnetit och 3 vikt-% bitumen. Materialparametrarna för asfalten beräknas enligt kapitel 3.1.8: Asfaltens materialparametrar. För varierande L används 8 kubiska magnetitkuber med sidlängden 1 mm i enlighet med modellalternativ 1. L beräknas enligt

kapitel 3.1.6: Modellkubens sidlängd till 9,64 mm. För alternativ 2 där L hålls konstant används 64

magnetitkuber och L=20 mm.

Figur 3.15 visar hur temperaturen i modellkubens mitt ökar med tiden för de två modellalternativen.

Initialtemperaturen är satt till 20 oC som är en vanlig inomhustemperatur. Eftersom graferna för modellalternativen mer eller mindre ligger på varandra är det svårt att se någon skillnad. Av denna anledning visas temperaturskillnaden mellan modellalternativen i Figur 3.16.

Figur 3.15: Jämförelse mellan konstant L och varierande L.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 T [ ° C] L konstant L varierar

(35)

29

Som syns i Figur 3.16 så ökar temperaturskillnaden något med tiden, från 0 till 0,3 oC. Vi bedömer skillnaden som väldigt liten och acceptabel då vi tror att detta beror på att meshen ändras med storleken på modellkuben som inte helt överlappar emellan modellalternativen. Utifrån detta resultat bedömer vi båda modellerna som fullt acceptabla att använda. Utifrån resultatet använder vi fortsättningsvis modellalternativ 1 där L varierar då detta underlättar simuleringarna i enlighet med beskrivningen i kapitel 3.1.2: Modellalternativ.

Figur 3.16: Temperaturskillnad mellan konstant L och varierande L.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 T [ ° C]

(36)

30

3.2.2 Variation av tillförd effekt

För att undersöka hur den tillförda effekten till magnetitkuberna påverkar temperaturen i mitten på modellkuben (så långt ifrån samtliga magnetitkuber som möjligt) respektive på magnetitkubernas ytor görs simuleringar för de tillförda effekterna 20 kW/ton, 40 kW/ton och 60 kW/ton. Materialparametrar för asfalten beräknas enligt kapitel 3.1.8: Asfaltens materialparametrar. Simuleringarna görs för 10 vikt-% magnetit och 7,5 vikt-% bitumen. Initialtemperaturen är satt till 20 o_{C som är en vanlig inomhustemperatur.}

I Figur 3.17 framgår hur temperaturen i asfaltens mittpunkt ökar med tiden för de tre olika tillförda effekterna. Temperaturökningen är linjär vilket förmodligen beror på de ideala förhållandena, det vill säga inga värmeförluster erhålls på modellkubens ränder.

Figur 3.17: Temperatur i asfaltens mittpunkt.

I Figur 3.18 visas resultatet när temperaturgraferna i Figur 3.17 normaliseras. Normaliseringen görs enligt ekvationen nedan.

𝑌𝑌 =𝑇𝑇 − 𝑇𝑇(0) [°𝐶𝐶]

𝑃𝑃 �𝑘𝑘𝑊𝑊_{𝑡𝑡 �} (3.23)

Y motsvarar värdet på y-axeln, T den simulerade temperaturen, T(0) den initiala temperaturen och P den tillförda effekten i kW/ton.

Som framgår av Figur 3.18 hamnar nu alla tre grafer från Figur 3.17 på samma linje efter normaliseringen. Det är alltså inte nödvändigt att i fortsättningen simulera för flera olika effekter eftersom de olika effekterna resulterar i samma graf. Utifrån Figur 3.18 är det alltså möjligt att lösa ut önskad parameter, tid, effekt eller temperatur ur Ekvation 3.23 oavsett tillförd effekt.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 50 100 150 200 250 300 T [ ° C] P=20 kW/t P=40 kW/t P=60 kW/t

(37)

31

Figur 3.18: Normaliserad temperatur i asfaltens mittpunkt.

På samma sätt som för asfaltens mittpunkt visar Figur 3.19 hur temperaturen på magnetitkubernas ytor ökar med tiden för de tre olika tillförda effekterna.

Figur 3.19: Temperatur på magnetitkornens yta.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (T-T(0))/P [ ° C*t/kW] P=20 kW/t P=40 kW/t P=60 kW/t 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 50 100 150 200 250 300 T [ ° C] P=20 kW/t P=40 kW/t P=60 kW/t

(38)

32

Figur 3.20 visar resultatet när temperaturerna i Figur 3.19 normaliseras enligt Ekvation 3.23.

Figur 3.20: Normaliserad temperatur på magnetitkornens yta.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (T-T(0))/P [ ° C*t/kW] P=20 kW/t P=40 kW/t P=60 kW/t

(39)

33

Figur 3.21 visar temperaturskillnaden mellan asfalten mittpunkt och magnetitkornens ytor som en

funktion av tiden för de tre olika tillförda effekterna. Som syns sker först ett kort transient förlopp innan temperaturskillnaden mellan punkterna når ett konstant stabilt jämviktsläge. Temperaturskillnaden mellan punkterna är i absoluta tal ganska liten.

Figur 3.21: Temperaturskillnad mellan asfaltens mittpunkt och magnetitkornens yta.

Eftersom temperaturskillnaden mellan asfaltens mittpunkt och magnetitkornens yta är konstant eller oberoende av tiden så ritas temperaturskillnaden upp som en funktion av den tillförda effekten, vilket visas i Figur 3.22. Ur figuren framgår att temperaturskillnaden ökar linjärt med den tillförda effekten, det vill säga en ökad tillförd effekt till magnetitkuberna ger en större temperaturskillnad mellan punkterna. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 T [ ° C] P=20 kW/t P=40 kW/t P=60 kW/t

(40)

34

Figur 3.22: Normaliserad temperaturskillnad mellan asfaltens mittpunkt och magnetitkornens yta.

0 10 20 30 40 50 60 P [kW/t] 0 0.05 0.1 0.15 T [ ° C] P=20 kW/t P=40 kW/t P=60 kW/t

(41)

35

3.2.3 Variation av initialtemperaturen

För att undersöka hur initialtemperaturen på modellkuben påverkar temperaturen i mitten på modellkuben (så långt ifrån samtliga magnetitkuber som möjligt) görs simuleringar för initialtemperaturerna 20 oC, 40 oC och 60 oC. Materialparametrar för asfalten beräknas enligt kapitel

3.1.8: Asfaltens materialparametrar. Simuleringarna görs för 10 vikt-% magnetit och 7,5 vikt-%

bitumen. Den tillförda effekten är satt till 60 kW/ton.

I Figur 3.23 framgår hur temperaturen i asfaltens mittpunkt ökar med tiden för de tre olika initialtemperaturerna Temperaturökningen är linjär vilket förmodligen beror på de ideala förhållandena, det vill säga inga värmeförluster erhålls på modellkubens ränder.

Figur 3.23: Temperatur i asfaltens mittpunkt.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 50 100 150 200 250 T [ ° C] T(0)=20 ° C T(0)=40 ° C T(0)=60 ° C

(42)

36

I Figur 3.24 visas resultatet när temperaturerna i Figur 3.23 normaliseras. Normaliseringen görs på samma sätt som i Ekvation 3.23. Som framgår av Figur 3.24 hamnar nu alla tre grafer från Figur 3.23 på samma linje efter normaliseringen. Det är alltså inte nödvändigt att i fortsättningen simulera för flera olika initialtemperaturer eftersom de olika effekterna resulterar i samma graf. Utifrån Figur 3.24 är det alltså möjligt att lösa ut önskad parameter, tid, effekt eller temperatur ur Ekvation 3.23 oavsett initialvillkor.

Figur 3.24: Normaliserad temperatur i asfaltens mittpunkt.

Vid variation av initialvillkoret för modellkuben redovisas ingen graf för magnetitkubernas ytor. Anledningen till detta är att graferna i modellkubens mittpunkt och magnetitkubernas ytor i princip är identiska med endast en liten temperaturskillnad. Syftet är istället att visa att det utifrån normaliseringen enligt Ekvation 3.23 i fortsättningen inte nödvändigt göra simuleringar för flera olika initialvillkor. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (T-T(0))/P [ ° C*t/kW] T(0)=20 ° C T(0)=40 ° C T(0)=60 ° C

(43)

37

3.2.4 Variation av mängden magnetit

För att undersöka hur vikt-% magnetit i modellkuben inverkar på uppvärmningsförloppet i mitten på modellkuben (så långt ifrån samtliga magnetitkuber som möjligt) respektive magnetitkornens ytor görs simuleringar för 3 vikt-% bitumen, 6 vikt-% bitumen, 9 vikt-% bitumen och 12 vikt-% bitumen. Detta eftersom vikt-% magnetit har en inverkan på asfaltens materialparametrar och avståndet mellan magnetitkuberna.

Även temperaturskillnaden mellan modellkubens mitt och magnetitkornens ytor studeras. Temperaturskillnaden är av intresse eftersom en hög temperatur på magnetitkubernas ytor ökar risken för koksning samtidigt som modellkubens mitt möjligtvis inte uppnår önskvärd temperatur. En temperaturskillnad på 80 oC mellan magnetitkubernas ytor och modellkubens mitt innebär exempelvis att materialet intill magnetitkornen uppnår koksningstemperatur på 220 o_{C samtidigt som} temperaturen i modellkubens mitt endast uppnått 140 oC.

Simuleringar för 3 vikt-% bitumen

Först görs simuleringar för 3 vikt-% bitumen. Materialparametrar för asfalten beräknas enligt kapitel

3.1.8: Asfaltens materialparametrar.

I Figur 3.25 framgår hur temperaturen i modellkubens mittpunkt ökar linjärt med tiden för de olika vikt-% magnetit. Normaliseringen är gjord enligt Ekvation 3.23, vilket innebär att det inte är nödvändigt att variera den tillförda effekten till magnetitkuberna och initialvillkoren. Som syns i figuren ligger alla grafer för olika vikt-% magnetit i princip på samma linje, vilket är rimligt eftersom samma mängd energi tillförs modellkuben oavsett vikt-% magnetit. Däremot så uppträder en liten skillnad vilken troligtvis beror på asfaltens ändrade materialparametrar när vikt-% magnetit ändras samt att avståndet mellan magnetitkuberna beror på vikt-% magnetit.

Figur 3.25: Normaliserad temperatur i asfaltens mittpunkt. 3 vikt-% bitumen.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (T-T(0))/P [ ° C*t/kW] 2 vikt-% magnetit 6 vikt-% magnetit 10 vikt-% magnetit 14 vikt-% magnetit 18 vikt-% magnetit

(44)

38

På samma sätt som för asfaltens mittpunkt i Figur 3.25 visas i Figur 3.26 hur temperaturen ökar med tiden på magnetitkubernas ytor. Däremot så bör inte avståndet mellan magnetitkuberna påverka uppvärmningen på samma sätt då temperaturen mäts på magnetitkubernas ytor.

Figur 3.26: Normaliserad temperatur på magnetitkornens yta. 3 vikt-% bitumen.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (T-T(0))/P [ ° C*t/kW] 2 vikt-% magnetit 6 vikt-% magnetit 10 vikt-% magnetit 14 vikt-% magnetit 18 vikt-% magnetit

(45)

39

Figur 3.27 visar hur temperaturskillnaden mellan punkterna varierar med den tillförda effekten till

magnetitkuberna och vikt-% magnetit. Temperaturskillnaden blir i absoluttal inte stor för någon av vikt-% magnetit. Däremot påverkar vikt-% magnetit temperaturskillnaden rent procentuellt i hög grad, jämför exempelvis grafen med 2 vikt-% magnetit med grafen för 6 vikt-% magnetit. Detta stämmer överens med hur avståndet mellan magnetitkornen går mot oändligheten för låga vikt-% magnetit, se

Figur 3.13.

Figur 3.27: Temperaturskillnad mellan asfaltens mittpunkt och magnetitkornens yta. 3 vikt-% bitumen.

0 10 20 30 40 50 60 P [kW/t] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 T [ ° C] 2 vikt-% magnetit 6 vikt-% magnetit 10 vikt-% magnetit 14 vikt-% magnetit 18 vikt-% magnetit

(46)

40 Simuleringar för 6 vikt-% bitumen

Simuleringar för 6 vikt-% bitumen görs precis som för 3 vikt-% bitumen utifrån de materialparametrar som beräknats enligt kapitel 3.1.8: Asfaltens materialparametrar.

I Figur 3.28 framgår hur temperaturen i asfaltens mittpunkt ökar linjärt med tiden för de olika vikt-% magnetit. Normaliseringen är gjord enligt Ekvation 3.23. Som syns i figuren ligger alla grafer för olika vikt-% magnetit i princip på samma linje, vilket är rimligt eftersom samma mängd energi tillförs modellkuben oavsett vikt-% magnetit. Däremot så uppträder en liten skillnad vilken troligtvis beror på asfaltens ändrade materialparametrar när vikt-% magnetit ändras samt att avståndet mellan magnetitkuberna beror på vikt-% magnetit.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t [s] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 (T-T(0))/P [ ° C*t/kW] 2 vikt-% magnetit 6 vikt-% magnetit 10 vikt-% magnetit 14 vikt-% magnetit 18 vikt-% magnetit

(47)

41

(48)

42

Figur 3.13.

0 10 20 30 40 50 60 P [kW/t] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 T [ ° C] 2 vikt-% magnetit 6 vikt-% magnetit 10 vikt-% magnetit 14 vikt-% magnetit 18 vikt-% magnetit

(49)

Simuleringar för 9 vikt-% bitumen görs utifrån de materialparametrar som beräknats enligt kapitel

(50)

44

(51)

45

Figur 3.13.

0 10 20 30 40 50 60 P [kW/t] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 T [ ° C] 2 vikt-% magnetit 6 vikt-% magnetit 10 vikt-% magnetit 14 vikt-% magnetit 18 vikt-% magnetit

(52)

Simuleringar för 12 vikt-% bitumen görs utifrån de materialparametrar som beräknats enligt kapitel