Parade test, Oparade test och χ! -test

(1)

Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmacy

Uppsala University

Parade test, Oparade test och χ

^!

-test

Andrew Hooker

(2)

P ^{ARADE TEST}

2

(3)

Exempel

Hypotesprövning: möjliga jämförelser

• Jämförelser mot ett visst värde

• Parvisa observationer

– ”Före och Efter” inom samma individ

• Gruppvisa jämförelser

– 2 oberoende grupper

• Mellan 3 eller fler observationstillfällen eller mellan 3 eller flera olika grupper

– ANOVA (variansanalys)

• Analys av frekvenser och proportioner

- χ²-test

• Mellan 2 eller fler variabler

– Regression ³

(4)

Parvisa observationer

• Det finns två typfall

- ”Före och efter” inom samma individ

- Matchande kontroller där varje individ i stickprovet har en ”tvilling”

• I hypotesprövningen undersöks differensen mellan de två beroende variablerna

- ”Före” - ”Efter”

- ”Stickprovs-individ” - ”tvilling”

4

(5)

Hypotesprövning:

Parvisa observationer

Parametrisk analys

• Parat Z-test: Används då n är stort, (centrala gränsvärdessatsen)

• Parat t-test: Används då n är litet men normalfördelning av data kan antas

Icke-parametrisk analys

• Wilcoxons tecken-rangtest: Används då n är litet och normalfördelning ej kan antas

5

OBS: n=antalet par

(6)

Hypotesprövning: Parade värden

Definiera och beräkna teststorhet

Parametrisk analys

6

Vi använder antingen ‘Z’ eller ‘t’:

𝑡

_!"#

= 𝑋 − 𝜇 𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎

𝜎

𝑋 → #∆ 𝜎 → 𝑠

𝑛 𝜇 → 𝛿

H₀

𝑍 = (∆ − 𝛿 𝑠 +

𝑛

𝑡

_!"#

= (∆ − 𝛿 𝑠 +

𝑛

𝑠 = 1

𝑛 − 1 -

!

"

∆_! − #∆ ^#

Medelvärdet av de parvisa skillnaderna

Genomsnittlig skillnad i hela populationen

𝑍 = (∆

𝑠 +

𝑛

𝑡

_!"#

= (∆

𝑠 +

𝑛

→ 0

Parvisa skillnader

(7)

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Parametrisk analys

Är det någon skillnad mellan

viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5?

• Ett nytt antiviralt preparat ges till 7 patienter med Hepatit A

• Blodprover tas dag 1 och dag 5

• Viruskoncentrationen i proverna analyseras

• Viruskoncentrationerna kan antas vara normalfördelade

7

Parade värden, n litet men normalfördelning Parat 2-sidigt t-test!

(8)

H₀: δ = 0, ingen genomsnittlig skillnad i populationen H₁: δ ≠ 0

0 8

500 1000 1500 2000

Dag 1 Dag 2

Viru skon cent ratio n

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Parametrisk analys

0 500 1000 1500 2000

Dag 1 Dag 5

Viruskoncentration

ID [Virus]_D1 [Virus]_D5

1 908 340

2 113 172

3 443 303

4 140 116

5 1057 724

6 1586 860

7 472 420

(9)

α=0.05

9

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Parametrisk analys

0 500 1000 1500 2000

Dag 1 Dag 5

Viruskoncentration

ID [Virus]_D1 [Virus]_D5

1 908 340

2 113 172

3 443 303

4 140 116

5 1057 724

6 1586 860

7 472 420

(10)

10

𝑠 = 1

𝑛 − 1/

!

"

∆_! − 1∆ ^# 𝑡_"$% = #∆

𝑠0

𝑛

Vi behöver beräkna ∆_!, #∆, och s för att beräkna t- värdet

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Parametrisk analys

(11)

-

!&%

"

∆_! − #∆ ^# = 532285

ID [Virus]_D1 [Virus]_D5 ∆_𝒊

1 908 340 568

2 113 172 -59

3 443 303 140

4 140 116 24

5 1057 724 333

6 1586 860 726

7 472 420 52

#∆= 255

∆_𝒊 − #∆ ^𝟐

313² (-314)² (-115)² (-231)²

78² 471² (-203)²

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Parametrisk analys

(12)

#∆= 255 𝑛 = 7

𝑠 = 1

7 − 1 6 532285 = 298

𝑡_"$% = 255

298⁄ 7 = 2.26

H₀: δ = 0 H₁: δ ≠ 0

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Parametrisk analys

α=0.05

(13)

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI), n=7

𝑡)*!+;"$%&-;./% = ±2.45

13

(14)

𝑡_"$% = 255

298⁄ 7 = 2.26

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI): 𝑡_"$% = ±2.45

H₀kan inte förkastas!

H₀: δ = 0 H₁: δ ≠ 0

-2.45 2.45

2.26 ligger i intervallet!

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Parametrisk analys

α=0.05

(15)

Wilcoxons tecken-rangtest

• Bygger på rangordning av differenserna (∆_!)

• Förutsätter inte en viss fördelning

• Okänsligt för extremvärden

15

Hypotesprövning: Parade värden

Icke-parametrisk analys

(16)

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Samma exempel som tidigare men…

• Viruskoncentrationerna kan INTE antas vara normalfördelade

16

Parade värden, n litet och normalfördelning kan INTE antas 2-sidigt Wilcoxons tecken-rangtest!

(17)

H₀: Ingen skillnad i viruskoncentration H₁: Det finns en skillnad (2-sidigt test) Tillvägagångssätt:

1. Rangordna differenserna (∆_!) utan att ta hänsyn till differensernas tecken

2. Summera rangtalen för de positiva och de negativa differenserna var för sig

3. Bedöm sannolikheten att observera de erhållna (eller mer extrema) differenserna om H₀ är sann

17

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

(18)

ID [Virus]_D1 [Virus]_D5 ∆_𝒊

1 908 340 568

2 113 172 -59

3 443 303 140

4 140 116 24

5 1057 724 333

6 1586 860 726

7 472 420 52

Rangtal

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

1

2 3 4

5 6

7

𝑇₁ = 6 + 4 + 1 + 5 + 7 + 2 = 25 𝑇_$ = 3

(19)

Kontrollräkning:

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

𝑇₁ = 25 𝑇_$ = 3

𝑇₁ + 𝑇_$ = 𝑛 𝑛 + 1

2 = 7 7 + 1

2 = 28

Stämmer!

(20)

Det kritiska värdet vid ett 2-sidigt Wilkoxons tecken- rangtest bestäms utifrån en tabell och om den lägsta

rangsumman underskrider eller är lika med detta värde så förkastas H₀!

T₊: 28 27 … 15 14 13 … 1 0 T_-: 0 1 … 13 14 15 … 27 28

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

𝑇_{3 #}_⁄ 𝑇_{3 #}_⁄ Signifikansnivån α

(21)

H₀: Ingen skillnad i viruskoncentration H₁: Det finns en skillnad (2-sidigt test)

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

α=0.05

𝑇₁ = 25 𝑇_$ = 3

(22)

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (n=7,p=0.05/2)

22

𝑇_4.4#/ = 2

(23)

H₀: Ingen skillnad i viruskoncentration H₁: Det finns en skillnad (2-sidigt test)

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (n=7):

𝑇_6,4.4//# = 2

𝑇_$ > 𝑇_4.4#/ H₀kan inte förkastas!

Exempel

Hypotesprövning: Parade värden

Tabell 6!

Observera att tabell 6 ger de kritiska värdena för ensidiga test.

α=0.05

𝑇₁ = 25 𝑇_$ = 3

(24)

O PARADE TEST

24

(25)

Exempel

Hypotesprövning: möjliga jämförelser

- χ²-test

– Regression ²⁵

(26)

Gruppvisa jämförelser

• När vi inte har parvisa observationer så kan vi istället jämföra medelvärdena från två oberoende stickprov

- Effekten av läkemedel jämfört med placebo

- Effekten av läkemedel x jämfört med läkemedel y

• I hypotesprövningen undersöks differensen i medelvärde mellan de två oberoende stickprov

26

(27)

Hypotesprövning:

Gruppvisa jämförelser / Oparade värden

• Z-test (2 prov): Används då både 𝑛_& och 𝑛_' är stora (centrala gränsvärdessatsen)

• t-test (2 prov): Används då 𝑛_& och/eller 𝑛_' är små men normalfördelning kan antas

Icke-parametrisk analys

• Wilcoxons rangsummetest: Används då 𝑛_& och/eller 𝑛_' är små och normalfördelning ej kan antas

30

OBS: ^𝑛_& ^{och 𝑛}_' ^måste

inte vara lika!

(28)

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

Definiera och beräkna teststorhet

𝑡

_!"#

= 𝑋 − 𝜇 𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎

𝜎

𝑋 → ̅𝑥₉ − ̅𝑥_: 𝜇 → 𝜇₉ − 𝜇_:

𝜎 → 𝑠₉^#

𝑛₉ + 𝑠_:^#

𝑛_: 𝜎 → 𝑠_;<<=^# 1

𝑛₉ + 1 𝑛_:

Skillnaden i stickprovs- medelvärde för grupp a och grupp b

Skillnaden i populations- medelvärde för grupp a och grupp b

(29)

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

Definiera och beräkna teststorhet

𝑡

_!"#

= 𝑋 − 𝜇 𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎

𝜎

𝑋 → ̅𝑥₉ − ̅𝑥_: 𝜇 → 𝜇₉ − 𝜇_:

H₀

𝑍 = ̅𝑥₉ − ̅𝑥_: − 𝜇₉ − 𝜇_: 𝑠₉^#

𝑛₉ + 𝑠_:^# 𝑛_:

𝑡_"_!_1"_"_$# = ̅𝑥₉ − ̅𝑥_: − 𝜇₉ − 𝜇_: 𝑠_;<<=^# 1

𝑛₉ + 1𝑛_: 𝜎 → 𝑠₉^#

𝑛₉ + 𝑠_:^# 𝑛_: 𝑍 = ̅𝑥₉ − ̅𝑥_:

𝑠₉^#

𝑛₉ + 𝑠_:^# 𝑛_:

𝑡_"_!_1"_"_$# = ̅𝑥₉ − ̅𝑥_: 𝑠_;<<=^# 1

𝑛₉ + 1 𝑛_:

→ 0

𝜎 → 𝑠_;<<=^# 1

𝑛₉ + 1 𝑛_:

(30)

Hypotesprövning: Oparade värden

Definiera och beräkna teststorhet

Parametrisk analys

33

• Givet att H0 stämmer: de båda

stickprovsstandardavvikelserna (𝑠₉ och 𝑠_:) är olika noggranna skattningar av

populationsstandardavvikelsen (σ)

• Ju större stickprov desto säkrare skattning

• s_pool är ett vägt medelvärde av 𝑠₉ och 𝑠_: 𝑠_;<<= = 𝑠₉^# 𝑛₉ − 1 + 𝑠_:^# 𝑛_: − 1

𝑛₉ − 1 + 𝑛_: − 1

(31)

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B?

• 16 patienter randomiseras till behandling med läkemedel A eller läkemedel B mot Hepatit A

• 2 patienter med läkemedel B drar tillbaka sin

medverkan i studien av anledningar som inte har med läkemedel B att göra

34

(32)

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

• Blodprover tas dag 1 och dag 5

• Viruskoncentrationen i proverna analyseras och skillnaden i koncentration mellan dag 1 och dag 5 beräknas

• Viruskoncentrationerna kan antas vara normalfördelade

Oparade värden, 𝑛₉ och 𝑛_: små, normal-fördelning kan antas Oparat 2-sidigt t-test!

(33)

Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B?

Grupp A Grupp B

∆!_!= 2066 virus/L ∆!_"= 664 virus/L 𝑠_! = 1180 virus/L 𝑠_" = 297 virus/L

𝑛_! = 8 𝑛_" = 6

H₀: 𝛿_& = 𝛿_', ingen skillnad mellan läkemedlen H₁: 𝛿_& ≠ 𝛿_'

𝛼 = 0.05

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

1∆ används här som notation istället för ̅𝑥 eftersom vi jämför en sänkning av viruskoncentrationer i blodet. Dock används

formlerna på samma sätt som om ̅𝑥 hade använts!

(34)

37

Vi behöver beräkna 𝑠_;<<=^# för att kunna beräkna t- värdet

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

𝑡_"_!_1"_"_$# = #∆₉ − #∆_: 𝑠_;<<=^# 1

𝑛₉ + 1 𝑛_:

(35)

38

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

𝑠_;<<=^# = 𝑠₉^# 𝑛₉ − 1 + 𝑠_:^# 𝑛_: − 1 𝑛₉ − 1 + 𝑛_: − 1

𝑠_;<<=^# = 1180^# 8 − 1 + 297^# 6 − 1

8 − 1 + 6 − 1 = 848987

(36)

39

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

𝑡_"_!_1"_"_$# = #∆₉ − #∆_: 𝑠_;<<=^# 1

𝑛₉ + 1𝑛_:

𝑡_>1-$# = 2066 − 664 848987 1

8 + 1 6

= 2.82

(37)

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI), 𝑛

_"

= 8, 𝑛

_#

= 6

𝑡_)*!+;"_!_1"_"$#&%#;./% = ±2.18

40

(38)

𝑡_%# = 2.82

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI): ±2.18

2.82 > 2.18

H₀kan förkastas!

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Parametrisk analys

(39)

Wilcoxons rangsummetest

• Bygger på rangordning av mätdata

• Förutsätter inte en viss fördelning

• Okänsligt för extremvärden

42

Hypotesprövning: Oparade värden

Wilcoxons rangsummetest kallas ibland även för Mann-Whitneys U-test!

(40)

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Samma exempel som tidigare men…

• Viruskoncentrationerna kan INTE antas vara normalfördelade

43

Oparade värden, 𝑛_! och 𝑛_" små, normalfördelning kan INTE antas 2-sidigt Wilcoxons rangsummetest!

(41)

H₀: Ingen skillnad mellan grupperna (läkemedlen) H₁: Det finns en skillnad (2-sidigt test)

Tillvägagångssätt:

1. Rangordna alla observerade värden, från det lägsta till det högsta

2. Summera rangtalen för de båda stickproven var för sig 3. Rangsumman för det mindre stickprovet jämförs med

motsvarande tabellvärden och om rangsumman är tillräckligt låg eller tillräckligt hög så förkastas H₀

44

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

(42)

ID ∆_𝒊 ^A/B

1 3574 A

2 508 A

3 589 B

4 822 A

5 214 B

6 1071 B

7 3127 A

Rangtal

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

6

13 2 4

1 14

9

ID ∆_𝒊 ^A/B

8 555 B

9 1983 A

10 902 B

11 654 B

12 2645 A

13 934 A

14 2931 A

Rangtal

5

12 10 7

11 3

8

Rangsumman för den minsta gruppen (B):

𝑇_? = 4 + 1 + 9 + 3 + 7 + 5 = 29

(43)

De kritiska värdena vid ett 2-sidigt Wilkoxons rangsummetest bestäms utifrån en tabell och om rangsumman för den minsta gruppen faller utanför

intervallet som bildas av de kritiska värdena (eller exakt på intervallgränserna) så förkastas H₀!

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

(44)

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI), 𝑛

_"

= 8, 𝑛

_#

= 6

47

…

𝑇_)*!+;"_!&>,"_"&-;4.4/ = (29, 61)

(45)

Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B?

H₀: Ingen skillnad mellan grupperna (läkemedlen) H₁: Det finns en skillnad (2-sidigt test)

Kritiska värden för 5% signifikansnivå (𝑛_# = 8, 𝑛_$ = 6): 𝑇_)*!+;"_!&>,"_"&-;4.4/ = (29, 61)

𝑇_? = 29

H₀ förkastas!

Exempel

Hypotesprövning: Oparade värden

Tabell 5!

(46)

Sammanfattning

Parametrisk vs. icke-parametrisk analys

+ Kvantifierar skillnader och spridningar

- Ej robust vid små n (och ej normalfördelning)

Icke-parametrisk analys + Inga antaganden om

fördelningen (gäller lika bra för alla fördelningar)

+ Ordinaldata (ordningstal) - Kan missa små skillnader

(lägre teststyrka)

49

(47)

Sammanfattning

Parametrisk vs. icke-parametrisk analys

Parametrisk analys Små n:

Om normalfördelning kan antas

Stora n:

OK (om fördelningen ej är alltför skev - i så fall testa att transformera)

Icke-parametrisk analys Om fördelningen är okänd (exempelvis p.g.a. litet n) Om fördelningen är skev

Om många extrema värden (så kallade ”outliers”) finns

Aldrig om n<4

50

(48)

Sammanfattning

Hypotesprövning:

Parade och oparade test

Parvisa observationer Parametrisk analys

– Parat t-test – Parat Z-test Icke-parametrisk analys

– Wilcoxons tecken- rangtest

Oberoende grupper Parametrisk analys

– Oparat t-test – Oparat Z-test Icke-parametrisk analys

– Wilcoxons rangsummetest

51

(49)

V ARIANSANALYS

52

(50)

Exempel

Hypotesprövning: möjliga jämförelser

- χ²-test

– Regression ⁵³

(51)

Hur gör vi om vi vill undersöka om det finns en

skillnad i effekt mellan behandling A, behandling B och placebo?

Gruppvisa jämförelser

54

𝜇_;= 𝜇₉ 𝜇_: Variabelvärde

Eller mellan dos A, dos B och dos C?

(52)

Gruppvisa jämförelser

Variansanalys (ANOVA)

Två Z-test eller två t-test?

Helst inte…

Kom ihåg att det alltid finns en risk att förkasta nollhypotesen trots att den är sann!

Vi måste använda oss av en så kallad variansanalys (ANOVA)!

Ni behöver inte kunna räkna med ANOVA i den här kursen men ni ska veta att om ni har fler grupper än 2 så kan ni inte använda vanliga Z-test eller t-test!

(53)

χ ^! ^-TEST

A ^{NALYS AV} F ^REKVENSER

56

(54)

Exempel

Hypotesprövning: möjliga jämförelser

- χ²-test

– Regression ⁵⁷

(55)

Analys av proportioner och frekvenser

Skillnader i proportioner:

• Andelen patienter som får en viss biverkan vid behandling med olika läkemedel

• Andelen patienter som avbryter behandlingen i olika dosgrupper

Skillnader i frekvenser:

• Hur många patienter som får en viss biverkan vid behandling med olika läkemedel

• Hur många patienter som avbryter behandlingen i olika dosgrupper

58

(56)

Analys av proportioner och frekvenser

I den här kursen ska ni bara lära er hypotesprövning för analys av frekvenser.

Proportioner kan göras om till frekvenser genom att multiplicera proportionen med totala antalet individer:

144 individer deltog i en studie och 25% fick en biverkan av läkemedlet.

0.25 6 144 = 36

36 individer fick en biverkan av läkemedlet!

59

(57)

Analys av frekvenser: χ

^!

-test

Oftast så är det kvalitativa variabler som analyseras med hjälp av χ^#-test men även

kvantitativa variabler kan analyseras om de delas in i klasser.

60

(58)

χ

^!

-test

• Indelning i grupper eller klasser

(fler grupper/klasser än 2 är möjliga)

• Varje individ i stickprovet förs till någon av grupperna/klasserna

Hypotesprövningen undersöker om fördelningen (frekvensen) av individer på de olika grupperna/

klasserna avviker från det som vore förväntat om H₀ är sann.

61

(59)

χ

^!

-test

χ^# = -

!&%

) 𝑂_! − 𝐸_! ^# 𝐸_!

𝑂: De observerade frekvenserna 𝐸: De förväntade frekvenserna 𝑘: Antalet klasser

62

(60)

χ

^!

-test

Fördelningen på grupper/klasser kan vara av två slag:

Analys av en indelning

• Antalet individer som behandlas med läkemedel A, B eller C

Analys av två samtida indelningar

• Antalet individer som behandlas med

läkemedel A, B eller C, samt antalet individer som anser att det läkemedel de tar hjälper

63

(61)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

En indelning

Vid en tvärsnittsstudie av patienter med migrän vid akademiska sjukhuset i Uppsala tillfrågades sammanlagt 75 individer om vilket läkemedel de använder mot sin migrän.

17 individer svarar att de tar läkemedel A, 32 individer svarar att de tar läkemedel B och resterande 26 individer svarar att de tar läkemedel C.

Finns det någon skillnad när det gäller förskrivningen av de olika läkemedlen?

64

(62)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

En indelning

H₀: Ingen skillnad, läkemedlen förskrivs lika mycket H₁: Det finns en skillnad

𝛼 = 0.05

65

Läkemedel O E

A 17

B 32

C 26

Totalt: 75 75

75 3⁄ 75 3⁄ 75 3⁄

=25

(63)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

En indelning

Finns det någon skillnad när det gäller förskrivningen av de olika läkemedlen?

χ^! = /

!(%

) 𝑂_! − 𝐸_! ^#

𝐸_! =

Antal frihetsgrader: 𝑘 − 1 =

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå:

Tolka resultat:

66

(64)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

En indelning

χ^# = 17 − 25 ^#

25 + 32 − 25 ^#

25 + 26 − 25 ^#

25 = 4.56

67

(65)

χ

^!

-fördelningen: kritiskt värde

χ^# = -

!&%

) 𝑂_! − 𝐸_! ^# 𝐸_!

När de observerade frekvenserna är långt ifrån de förväntade (både lägre och högre) så ger det höga värden på χ^#.

Låga värden på χ^# fås enbart då de observerade frekvenserna är nära de förväntade.

68

Jämför med beräkning av stickprovsvariansen 𝑠^# = 1

𝑛 − 1/

!(%

"

𝑥_! − ̅𝑥 ^#

(66)

χ

^!

-fördelningen: kritiskt värde

df=1 df=2 df=3 df=4 df=5

Nedre gränsen är noll oberoende av antal frihetsgrader!

Långa svansar åt höger. Ju fler frihetsgrader desto längre svansar!

(67)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

En indelning

Antal frihetsgrader: 𝑘 − 1 = 3 − 1 = 2 Kritiskt värde för 5% signifikansnivå: 5.99

70

(68)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

En indelning

χ^# = 17 − 25 ^#

25 + 32 − 25 ^#

25 + 26 − 25 ^#

25 = 4.56

Antal frihetsgrader: 𝑘 − 1 = 3 − 1 = 2 Kritiskt värde för 5% signifikansnivå: 5.99

4.56 < 5.99

H₀kan inte förkastas!

71

(69)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

Två samtida indelningar

De 75 individerna som deltog i studien av

förskrivningen av olika migränläkemedel tillfrågades även huruvida de upplever sig bli hjälpta av sitt

läkemedel.

Av de som behandlas med läkemedel A svarar 15 att de blir hjälpta, av de som behandlas med

läkemedel B svarar 25 att de blir hjälpta och av de som behandlas med läkemedel C svarar 26

individer att de blir hjälpta av sitt läkemedel.

läkemedlen med avseende på effekt?

72

(70)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

Är det någon skillnad mellan läkemedlen med avseende på effekt?

H₀: Ingen skillnad, läkemedlen är lika effektiva H₁: Det finns en skillnad

Hjälpta Inte hjälpta Totalt:

Läkemedel A 15 2 17

Läkemedel B 25 7 32

Läkemedel C 26 0 26

Totalt: 66 9 75

De förväntade frekvenserna beräknas som:

𝐸 = 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎 H 𝑘𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎

𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒆𝒓𝒂𝒅𝒆

𝛼 = 0.05

(71)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

𝐸 = 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎 H 𝑘𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎

Läkemedel A 17

Läkemedel B 32

Läkemedel C 26

Totalt: 66 9 75

74

17 D 66 75⁄ 32 D 66 75⁄ 26 D 66 75⁄

17 D 9 75⁄ 32 D 9 75⁄ 26 D 9 75⁄ 𝑭ö𝒓𝒗ä𝒏𝒕𝒂𝒅𝒆

Den förväntade frekvensen är inte alltid ett heltal.

Ange värdet med 1-2 decimaler.

(72)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒆𝒓𝒂𝒅𝒆 𝑭ö𝒓𝒗ä𝒏𝒕𝒂𝒅𝒆

Läkemedel A 15 (14.96) 2 (2.04) 17 Läkemedel B 25 (28.16) 7 (3.84) 32 Läkemedel C 26 (22.88) 0 (3.12) 26

Totalt: 66 9 75

χ^# = 15 − 14.96 ^# 75

14.96 + 2 − 2.04 ^#

2.04 + ⋯ + 0 − 3.12 ^#

3.12 = 6.50

(73)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

En indelning

Antal frihetsgrader:

df = 𝑛_# − 1 𝑛_$ − 1

df = 3 − 1 2 − 1 = 2

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå: 5.99

76

(74)

Exempel

Hypotesprövning: χ

^"

-test

χ^# = 15 − 14.96 ^#

14.96 + 2 − 2.04 ^#

2.04 + ⋯ + 0 − 3.12 ^#

3.12 = 6.50

Antal frihetsgrader: df = 𝑛_# − 1 𝑛_$ − 1 df = 3 − 1 2 − 1 = 2

Kritiskt värde för 5% signifikansnivå: 5.99 6.50 > 5.99

H₀ förkastas!

77

(75)

χ

^!

-fördelningen

χ^#-fördelningen grundar sig ursprungligen på

kontinuerliga variabler. När vi använder χ^#-test för att analysera frekvenser så är funktionsuttrycket enbart approximativt

χ^#-fördelat! (Jämför t-test vs. Z-test)

𝝌^𝟐-test ska bara användas då…

… stickprovsstorleken är ≥ 30

… ingen av de förväntade frekvenserna är < 1

Om inte dessa uppfylls ska Fishers exakta test användas istället!

78

(76)

Sammanfattning

Analys av frekvenser och proportioner

Proportioner måste göras om till frekvenser för att kunna analyseras med hjälp av c²-test

c²-test kan användas för att analysera kvalitativa variabler eller klassindelade kvantitativa variabler Fördelningen av individer på klasser kan vara av två slag:

• En indelning

• Två samtida indelningar

c²-test ger ett approximativt svar vid små n och ett exakt svar vid stora

79

Parade test, Oparade test och χ! -test