Matematik 4

Matematik 4

Kap. 3 Derivator och Integraler

Innehåll

3.1 Derivator och deriveringsregler 3.2 Grafer

3.3 Differentialekvationer 3.4 Integraler

3.5 Tillämningar och problemlösning

3.1 Derivator och deriveringsregler

Kort om derivator

lim ( ) ( )

( ) 0

f x h f x

f x h h

  



( ) ( )

'( ) 2

f x h f x h

f x h

  



Kort om derivator

lim ( ) ( )

( ) 0

f x h f x

f x h h

  



( ) ( )

'( ) 2

f x h f x h

f x h

  



OBS!

( ) ger ' '( ) y k f x   y   k f x

( ) ( ) ger ' '( ) '( ) y  f x  g x y  f x  g x

konstant

derivera term för

term

Produktregeln

( ) ( )

' ( ) '( ) '( ) ( )

y f x g x

y f x g x f x g x

 

   

2 2 2

2

' cos 2 sin (co

s

2 )

in

s sin

x x x

x

y e y

x e e x x

e x

   x 



  



Hittar du denna i formelbladet?

Kvotregeln

 

( ) ( )

'( ) ( ) ( ) '( )

' ( )

y f x

g x

f x g x f x g x

y g x



  



2 2 2

2

3 1

2 (3 1) 2 3 6 2 6 2

' (3 1) (3 1) (3 1)

y x

x

x x x x

y x x x

 

     

  

  

Hittar du denna i formelbladet?

Derivatan av y = tan x

2 2

tan

' 1 1 tan

cos

y x

y x

x



  

Hittar du denna i formelbladet?

2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

1 tan 1

cos

cos sin cos

Visa

sin 1

1 tan Q E D.

cos cos cos co

att

s

x x

x x x x

x x x x x

 

     

quod erat demonstrandum

Derivatan av y = ln x

ln ' 1

y x

y x





Hittar du denna i formelbladet?

Derivatan av trigonometriska funktioner

Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska

funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?

Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först

ställts in på radianer och sedan på grader (degree).

OBS! 1 RAD  57,2957795130823°

Derivatan av trigonometriska funktioner

Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska

funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?

OBS! /4 RAD = 45°

Derivatan av trigonometriska funktioner

En liten film som visar varför man skall använda radianer

när man använder derivatan till trigonometriska formler.

http://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner

Kedjeregeln (Uppgift 3178)

Kedjeregeln (Uppgift 3178)

Volymen V beror av radien r som i sin tur beror av tiden t

( ) t ( r ( ) ) V  V t

'( ) '( ) '( ) V t  V r r t 

yttre derivatan × inre derivatan

Kedjeregeln (Uppgift 3178)

Volymen V beror av radien r som i sin tur beror av tiden t

( ) t ( r ( ) ) V  V t

dV dV dr

dt  dr dt  yttre derivatan × inre derivatan

Uppgift 3178

Uppgift 3178

dV dV dr

dt  dr dt 

3.2 Grafer och derivator

Grafer och derivator

Grafer och derivator

Grafer och derivator

a)1, 3, 4 b)5

c)1, 6 d)2, 3, 5

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

f(x)=x^3-3x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

3 3

y x   x

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

f(x)=x^(1/2)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

y  x

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

f(x)=ln(x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

ln

y  x

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

f(x)=tan(x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

tan

y  x

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

f(x)=1/x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

1

y  x

Olika typer av grafer

f(x)=(x+1)/(x-2)

-40 -30 -20 -10 10 20 30 40

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

( 1)

( 2) y x

x

 



Hur skall man tänka för att hitta

asymptoterna till denna funktion?

Olika typer av grafer

y  x

f(x)=abs(x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

abs( ) y  x

Har spetsen någon lutning?

Olika typer av grafer

Olika typer av grafer

f(x)=(1/x) +2x-1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

1 2 1

y x

  x 

Olika typer av grafer

f(x)=(1/x) +2x-1 f(x)=2x-1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

2 1 1 x

y   x 

2 1

y  x 

Asymptot

Inom matematiken är en asymptot en rät linje (eller annan enkel kurva) som en funktion närmar sig allt mer när

man närmar sig definitionsmängdens gränser. Huvudsakliga

användningsområdet är att

approximera hur en funktion uppför sig i något område (vanligen då

variabeln är mycket stor, det vill säga går mot oändligheten).

Källa: http://sv.wikipedia.org/wiki/Asymptot

Vad heter denna graf?

3.3 Differentialekvationer

En ekvation med en obekant funktion och en eller flera av denna funktions derivator kallas för en differentialekvation.

Differentialekvationens lösning är en funktion.

Differentialekvationer, exempel 1

Undersök om:

2

2 är en lösning till differentialekvationen '

y x   y x   xy

 

3 3 3

2 3

VL = ' 2 2

HL = 2 2

y x x x x x

xy x x x x

    

   

VL = HL, alltså är funktionen en lösning.

Differentialekvationer, exempel 2

Undersök om:

3^{x x}

är en lösning till differentialekvationen '' 2 ' 3 1

y e   e

y  y  y 

3 3

' 3

' ' 9

3

x

x x

x x

x

y e

e e e

y e

y e^



  

 

 

Differentialekvationer, exempel 2

Undersök om:

3^{x x}

är en lösning till differentialekvationen '' 2 ' 3 1

y e   e

y  y  y 

   

3

3 3

3

3 3

3

3

3 3 3 3 3

'' 9

VL '' 2 3 9 2 3

9 9 6 3 2 3 0

HL ' 3

' 3

1

6 2 3

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x x x x x x

y e e

y e e

e

y e e

y e e

e

y e e

y e e

e e e e e e e e e e







  





 





 

       

       

 



   











VL ≠ HL, alltså är funktionen inte en lösning.

Resonemang och begrepp

Vad är det för skillnad mellan att derivera en summa av två funktioner och att derivera en produkt av två funktioner?

Förklara hur man skriver exponentialfunktionen 7 med som bas.

Varför väljer m

y  x e

an gärna som bas i exponentialfunktioner?

Derivatan till ln är ' 1. Vad är derivatan till lg ?

Vad är det för skillnad mellan en differentialekvation och en "vanlig ekvation"?

e

y x y y x

  x 

Resonemang och begrepp

Derivatan till y ln är 'x y 1. Vad är derivatan till y lg ? x

  x 

3

ln

1 1

' =

ln

lg ' 1

ln10

log ' 1

ln 3

y x

y x e x

y x

y x

y x

y x



 



 



 

http://www.rapidtables.com/math/algebra/logarithm/Logarithm_Derivative.htm

Resonemang och begrepp

3

' 1

log

ln 3 y

y x

x

 



f(x)=logb(x,3) f(x)=1/(x*ln(3))

1 2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

Ett exempel

3.4 Integraler

 ^b

a

dx x

f ( )

Integraler

Integraler

 ^b

a

dx x

f ( )

Övre integrationsgräns

Undre integrationsgräns Integraltecken

Integrand

Integrationsvariabel

Integraler

6 3

)

( x  x

 f

C x x

x

F   6 

3 ) 3

(

3

C x

x x

F ( ) 

 6  x x

x

F ( ) 

 6

f(x)=3X^2+6 Skuggning 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

Integraler

6 3

)

( x  x

 f

x x

x

F ( ) 

 6



^

4 , 0

2

6 ) 3

( x dx  

3

6x

x 



 ¹

^{ 6  1}   ^{ 0 , 4}

^{ 6  0 , 4} 



   ^{7  2 , 464} 



536 ,

 4

f(x)=3X^2+6 Skuggning 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

Integraler

6 3

)

( x  x

 f

x x

x

F ( ) 

 6



^

4 , 0

2

6 ) 3

( x dx  

3

6x

x 



 ¹

^{ 6  1}   ^{ 0 , 4}

^{ 6  0 , 4} 



   ^{7  2 , 464} 



536 ,

 4

f(x)=3X^2+6 Skuggning 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

Integraler

f(x)=sin(x) +3 Skuggning 1

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

x

y ⁵

 

1

sin x  3 dx  ...



fnInt(f(x), x, startvärde, stoppvärde) fnInt( sinx +3, x, 1, 5)

Integraler

f(x)=sin(x) +3 Skuggning 1

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

x

y

   

   

5 5

1 1

sin 3 cos 3

cos 5 3 5 cos1 3 1 (14,71633781) - (2,459697694)

12, 25664012 12,3

x  dx   x  x 

    



 

  



(-cos(5)+3×5)-(-cos(1)+3×1) = 12,2566401204 (-cos(5)+3×5) = 14,7163378145

(-cos(1)+3×1) = 2,45969769413

På räknaren rjCalc:

Integraler

f(x)=x^2 Skuggning 1 f(x)=1/x Skuggning 2

1 2

1

x y

y 1

 x

y x 

Integraler

f(x)=x^2 Skuggning 1 f(x)=1/x Skuggning 2

1 2

1

x y

y 1

 x

y x 2 Beräkna det streckade områdets area exakt och med 3 decimaler.

  ^{ }

 

1 2 3 1

2 2

1

0 1 0

1 ln

3

1 1

ln 2 ln 2 a.e.

3 3

x dx dx x x

x

   

           

      

   

   

 

1 ln 2 1,02648051389... 1,026

3   

Funderare

f(x)=0.5x+1

-1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2 3 4

x y

''( ) y  f x

 

 

Grafen till '' är ritad i figuren.

Ange funktionsuttrycket till funktionen . y f x

f x f



Funderare

f(x)=0.5x+1

-1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2 3 4

x y

''( ) y  f x

 

 

Grafen till '' är ritad i figuren.

Ange funktionsuttrycket till funktionen . y f x

f x f



 

'' 1

f x  2 x 

Funderare

f(x)=0.5x+1

-1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2 3 4

x y

''( ) y  f x

 

 

Grafen till '' är ritad i figuren.

Ange funktionsuttrycket till funktionen . y f x

f x f



 

 

'' 1 1

2

1 1

' 2 2 4

f x x

f x x x C x x C

 

       

Funderare

f(x)=0.5x+1

-1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2 3 4

x y

''( ) y  f x

 

 

Grafen till '' är ritad i figuren.

Ange funktionsuttrycket till funktionen . y f x

f x f



 

 

 

2

2

3 2 3 2

'' 1 1

2

1 1

' 2 2 4

1

4 3 2 12 2

f x x

f x x x C x x C

x x x x

f x Cx D Cx D

 

       

        

Funderare

f(x)=0.5x+1

-1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2 3 4

x y

''( ) y  f x

 

 

Grafen till '' är ritad i figuren.

Ange funktionsuttrycket till funktionen . y f x

f x f



 

 

 

2

3 2

'' 1 1

2

' 4

12 2

f x x

f x x x C

x x

f x Cx D

 

  

   

Uppgift 3427

f(x)=sin(x^2) f(x)=3-2x Skuggning 1

0.5 1 1.5

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

x

y

Bestäm det färgade

områdets area.

3 2 y   x

sin

y  x

f(x)=sin(x^2) f(x)=3-2x Skuggning 1

0.5 1 1.5

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

x y

3 2 y   x

sin 2

y  x

Uppgift 3427

1,0526...

f(x)=sin(x^2) f(x)=3-2x Skuggning 1

0.5 1 1.5

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

x y

3 2 y   x

sin 2

y  x

1.053

skärningspunkt

x 

   

1,053 1,053

2

0 0

3 2  x dx  sin x dx

 

Uppgift 3427

f(x)=sin(x^2) f(x)=3-2x Skuggning 1

0.5 1 1.5

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

x

y

Bestäm det färgade

områdets area.

3 2 y   x

sin

y  x

Svar: C:a 1,69 a.e.

Uppgift 3427

Lös integral med hjälp av graf

 

2

2 1

Beräkna denna integral med hjälp av grafen till lämplig primitiv funktion.

3 x  4 x  1 dx



Lös integral med hjälp av graf

 

 

 

 

2

2

1

2

3 2

3 2

Beräkna denna integral med hjälp av grafen till lämplig primitiv funktion.

3 4 1

3 4 1

2 Jag ritar graf till

2

x x dx

f x x x

F x x x x C

F x x x x

 

  

   

  



f(x)=x^3+2x^2-x

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5-1 -0.5 0.51 1.52 2.53 3.54 4.55 5.56 6.57 7.58 8.59 9.510 10.511 11.512 12.513 13.514 14.5

x y

Konstanten

?

12

Lös integral med hjälp av räknare

 

2

2 1

Beräkna denna integral med hjälp av räknaren.

3 x  4 x  1 dx



Lös integral med hjälp av algebra

 

2

2 1

Beräkna denna integral med hjälp av algebra.

3 x  4 x  1 dx



Lös integral med hjälp av algebra

 

2 2 3 2 2

1 1

3 2 3 2

Beräkna denna integral med hjälp av algebra.

3 4 1 2

(2 2 2 2) (1 2 1 1) (8 8 2) (1 2 1)

(14) (2) 12

x  x  dx    x  x  x   

        

      

  



3.5 Tillämpningar och

problemlösning

Exempel från det nationella provet

Exempel från det nationella provet

 

 

 

2 2

2 2 2

2

4

0

4 2

0

4 4 2

0 0

Area av större skivan:

Area av mindre skivan:

4 16 16

Den större volymen:

Den mindre volymen:

16

Differensen mellan volymerna:

16

r x x

x x x

r

x dx

x dx

x dx x dx

  

   





 

   

        

 

 

 

 

  

 





 

Exempel från det nationella provet

Svar: Rotationskroppens volym är c:a 21 v.e.

Täthetsfunktion för

normalfördelning

Täthetsfunktion – TI-82

Täthetsfunktion – TI-84 Plus

Täthetsfunktion för

normalfördelning

Täthetsfunktion för

normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

Hur lägger Du in täthetsfunktionen i

din räknare?

3.6 Rotationsvolymer, uppgift 3605

3.6 Rotationsvolymer, uppgift 3606

Täthetsfunktion för

normalfördelning

Täthetsfunktion för

normalfördelning

Täthetsfunktion för

normalfördelning

Täthetsfunktion för

normalfördelning

Rubrik

Rubrik

Rubrik

Rubrik