BLANDADE UPPGIFTER OCH
TILLÄMPNINGAR AV EKVATIONSSYSTEM
Uppgift 1. Bestäm det polynom av grad 3 som går genom punkterna A(–1, 4) , B( 0, 0), C(1, 0) och D ( 2, 10)
Lösning:
Polynom av grad 3 har ekvationen d
cx bx ax x
f( )= 3 + 2 + +
För att bestämma a, b c och d substituerar vi punkternas koordinater i polynomets ekvation och får följande ekvationssystem
= + + +
= + + +
=
= +
− +
−
10 2
4 8
0 0
4
d c b a
d c b a d
d c b a
Med hjälp av Gaussmetoden får vi
=1
a , b=2, c=−3 och d =0. Därför f(x)=x3 +2x2 −3x
Svar: f(x)= x3 +2x2 −3x
Uppgift 2. Bestäm polynomet f(x)av grad 2 som satisfierar 3
) 0 ( =−
f , f′(1)=3 och f ′′(2)=2. Lösning:
Polynom av grad 2 har ekvationen c
bx ax x
f( )= 2 + + Vi beräknar första
b ax x
f′( )=2 + och andra derivatan
a x
f ′′( )=2 .
Från f(0)=−3, f′(1)=3 och f ′′(2)=2får vi följande ekvationssystem
=
= +
−
=
2 2
3 2
3
a b a c
Från systemet har vi
=1
a , b=1 och c=−3. Därför f(x)=x2 +x−3 Svar: f(x)= x2 +x−3
Uppgift 3. "Output" från två företag A och B ( t ex i miljoner kronor) kan beskrivas med nedanstående diagram.
Total output från A betecknar vi med a och output från B med b.
Kunder
A B
0.4b
0.5a
200 100
Output från A, enligt diagrammet, delas i två delar en del, 200 (m kr) går direkt till kunder medan en del som är ekvivalent med 0.4b går till B. Med andra ord har vi
b a=200+0.4
På liknande sätt tolkar vi output från B.
Bestäm a och b.
Lösning:
Vi beskriver ovanstående modell med följande ekvationer.
+
= +
=
a b
b a
5 . 0 100
4 . 0 200
Vi löser system genom att substituera a=200+0.4b i andra ekvationen:
250 200
8 , 0
) 4 . 0 200 ( 5 . 0 100
=
⇒
=
⇒
+ +
=
b b
b b
och a =200+0.4⋅250=300 Svar: a=300, b=250
Uppgift 4 . "Output" från tre företag A , B och C, som betecknas med a, b och c, kan beskrivas med nedanstående flödes diagram. Output från a består av två delar: 370 går direkt till kunder och en del som är ekvivalent med 0.1b går till B.
Kunder
A B
0.1b
0.3a
370 260
0.2c
80 C
Bestäm a, b och c.
Lösning:
Vi beskriver ovanstående modell med följande ekvationer.
+
= +
= +
=
a c
c b
b a
3 . 0 80
2 . 0 260
1 . 0 370
Svar: a=400, b=300 c=200
I nedanstående exempel med elektriska nät använder vi Ohms lag U=R∙I
och två Kirchhoffs lagar.
Kirchhoffs strömlag
Summan av samtliga elektriska strömmar som flyter till en viss förgreningspunkt (nod ) är lika med summan av samtliga strömmar som flyter från samma punkt.
======================================================
Exempel:
i1
i2
i3
i4 i5
i1+ i 2= i 3+ i 4+ i 5
================================================
Kirchhoffs spänningslag
Summan av alla potentialändringar i en sluten krets är 0.
==================================================
För att tillämpa Kirchhoffs spänningslag utför vi en potentialvandring i en sluten slinga.
Då gäller följande:
RESISTOR: ( med resistansen R)
När vi går i riktningen med strömmen över en resistor sjunker potentialen med R∙ I.
När vi går i riktningen mot strömmen över en resistor stiger potentialen med R∙ I.
SPÄNNINGSKÄLLA: ( med spänningen U)
Om vi går från minus till plus stiger potentialen med U.
Om vi går från plus till minus sjunker potentialen med U.
Uppgift 5. Bestäm strömmarna i1, i 2 och i 3 i nedanstående nät då R1 = 2 ohm, R2 = 3 ohm , R3 = 6 ohm , R4 = 1 ohm,
U= 44 volt.
R1
R3 R2
U
R4
A B
D C
E
F
i1 i2 i3
i1
Tips. Använd Kirchhoffs lagar på ovanstående nät och bestäm ett system med tre ekvationer med avseende på i1, i 2 och i 3
Lösning:
1. Först, enligt Kirchhoffs strömlag tillämpad i punkten B har vi i1 = i 2 + i 3 (ekv 1)
2. Om vi utför potentialvandring i en sluten slinga ABCDA från punkten A till A får vi – R1i1 – R3 i 3 + U=0 (ekv 2)
3. Om vi utför potentialvandring i en sluten slinga BEFCB från punkten B till B får vi – R2i2 – R4 i2 + R3 i 3 =0 (ekv 3)
Lägg märke till:
* Den här gången passerar vi R3 i riktningen mot strömmen och har därför plus-tecken för potentialändringen.
** Ingen spänningskälla finns i slingan BEFCB.
Därmed har vi fått följande ekvationssystem i1 = i 2 + i 3 (ekv 1) – 2i1 – 6 i 3 + 44=0 (ekv 2)
– 3i2 – i 2 +6 i 3 =0 (ekv 3)
Svar: i1 = 10 ampere, i 2 = 6 ampere, i 3 = 4 ampere.
Uppgift 6. Bestäm strömmarna i1, i 2 och i 3 i nedanstående nät då R1 = 1 ohm, R2 = 2 ohm , R3 = 3 ohm , V1= 12 volt och V2= 19 volt.
R1
V1
R2
R3
V2 i1
i2
i3
A B
Lösning:
Från nätet får vi följande ekvationer:
=
−
−
=
−
− +
=
0 0
2 2 3 3 2
2 2 1 1 1
3 1 2
i R i R V
i R i R V
i i i
eller
= +
= +
= +
−
⇔
=
−
−
=
−
− +
=
19 3 2
12 2
0
0 2 3 19
0 2 12
3 2 2 1
3 2 1
2 3
2 1
3 1 2
i i i i
i i i
i i
i i
i i i
Lösningen till systemet är i =2 1 i =5 2 i =3 (ampere). 3 Svar: i =2 1 i =5 2 i =3 (ampere). 3
