En läromedelsanalys i matematik i årskurs 1–3: - en kvalitativ studie med fokus på klockan

(1)

En läromedelsanalys i matematik i årskurs 1–3

- en kvalitativ studie med fokus på klockan

Författare: Daniel Hallgren och Amina Cehajic Handledare: Oduor Olande

Självständigt arbete II

(2)

(3)

Abstrakt

Klockan har visat sig medföra svårigheter för eleverna att förstå eftersom den i grunden bygger på ett sexbas decimaltalsystem (talbas 60) och därmed frångår det 10-bassystem som är allmänt känt och förekommer i grundläggande skolmatematik.

Detta ställer krav på dagens läromedel att tillhandahålla ett material som på olika sätt skapa förutsättningar för lärande inom området klockan. Syftet med studien är att belysa hur olika läromedel presentera klockan utifrån de fem representationsformerna konkret modell, bild, språk, symboler samt verklighet. Vidare syftar studien på att undersöka hur dessa i sin tur samverkar. Genom en innehållsanalys av läromedlet Favorit matematik tre böcker för årskurs ett till tre, har studien visat att läromedlet presenterar ämnesområdet klockan med varierande uppgifter där olika representationsformer används. Studien visar även att representationsformerna kombineras i större utsträckning ju längre i bokserien eleverna kommer. Med hjälp av detta kan läraren få kunskap om läromedlets upplägg och innehåll och där med har möjlighet att komplettera undervisning med klockan där representationsformerna är underrepresenterade.

Nyckelord

Läromedel, variationsteori, representationsformer, klockan

(4)

Innehållsförteckning

1 Inledning 1

2 Syfte 2

2.1 Frågeställningar 2

3 Bakgrund 2

3.1 Tidigare forskning 2

3.2 Representationsformer 3

3.2.1 Konkret modell 3

3.2.2 Bild 3

3.2.3 Språk 3

3.2.4 Symboler 4

3.2.5 Verklighet 4

4 Teoretisk bakgrund 4

4.1 Variationsteorin 4

4.1.1 Lärandeobjekt 4

4.1.2 Kritiska aspekter 5

4.1.3 Variationsmönster 5

5 Metod 6

5.1 Analysmetod 6

5.2 Representationsformernas och kritiska aspekternas förekomst i läromedlet 7

5.3 Urval 7

5.3.1 Favorit matematik 7

6 Resultat och analys 8

6.1 Favorit matematik 1B 8

7 Diskussion 19

Referenser 23

Bilagor

Bilaga 1 Bilaga 2

(5)

1 Inledning

Skolverket (2019) skriver att syftet med undervisningen i ämnet matematik är att eleverna utvecklar kunskaper om matematik och användning av den inom olika ämnesområden i vardagen. Ett av kunskapskraven inom matematik för godtagbara kunskaper i årskurs tre är “eleven kan göra enkla mätningar, jämförelser och uppskattningar av längder, massor, volymer och tider och använder vanliga måttenheter för att uttrycka resultatet” (Skolverket, 2019 s.60).

Kommentarmaterialet till matematik förklarar dessutom att “vi använder oss av matematik dagligen, till exempel när vi läser busstidtabeller, överväger om det går fortare att gå än att åka buss för att komma i tid till ett möte…” (Skolverket, 2017 s.6). Därför är det viktigt att eleverna får möjlighet att utveckla en förståelse för klockan för att kunna använda den i vardagliga situationer.

Hansen, Drews, Dudgeon, Lawton och Surtees (2017) skriver att barn måste förstå två delar av tid, där det ena är den tid som passerar och den andra delen är det specifika klockslaget. Tid som passerar innebär den tiden som går medan man utför en handling, exempelvis äter frukost i 30 minuter. Det specifika klockslaget är däremot när dessa saker ska utföras till exempel att man äter middag 18:00 på vardagar eller går och tränar 14:00 på tisdagar. Hansen m.fl (2017) fortsätter ”putting time into meaningful contexts gives children the opportunity to begin to understand cyclical patterns” (s.132).

Användandet av läromedel som undervisningsmaterial är vanligt i dagens skolverksamhet. Gällande undervisning anses matematik vara det ämnet som anses vara mest beroende av en lärobok (Skolverket, 2003). En undervisning där eleverna får en god förståelse kan komma från ett läromedel läraren använder sig av som är både genomtänkt och pedagogiskt (Skolverket 2003). Enligt Englund (1999) är det viktigt att läraren granskar läromedlet kritiskt för att det ska finnas en tanke med undervisningen, men också för att delar från läroplanen ska finnas med så att det blir en undervisning som är givande för eleverna där deras förståelse ökar. Det finns positiva delar med läromedel och i detta fall hävdar Englund (1999) att matematikböcker kan vara ett stöd för läraren. Englund tar även upp att läromedel utgår från läroplanen och att det därför blir en trygghet för läraren där de får stöttning och hjälp av läromedlet att arbeta mot målen i läroplanen.

Med utgång ifrån den betydande roll som läromedel har i frågan om undervisning finner vi det av särskilt intresse att titta närmare på hur det utformas för att hantera svårigheterna med utlärning av klockan.

(6)

2 Syfte

Syftet med detta självständiga arbete är att synliggöra hur olika läromedel presenterar klockan utifrån de fem representationsformerna: konkret modell, bild, språk, symboler samt verklighet.

2.1 Frågeställningar

1. Hur presenteras klockan i de olika läromedlen i relation till vad tidigare forskning framhåller som viktigt för elevers lärande om klockan?

2. Hur samverkar representationsformerna vid presentationen av klockan?

3 Bakgrund

I bakgrundsavsnittet kommer tidigare forskning (3.1) som behandlar svårigheter med inlärning av klockan presenteras, samt representationsformer (3.2) som används inom matematikundervisningen.

3.1 Tidigare forskning

En studie av Boulton-Lewis, Wilss och Mutch (1997) visar att elever redan i årskurs ett kan utveckla strategier för att avläsa klockan. I synnerhet visar studien att eleverna kan utveckla en god förståelse för halv, hel samt kvart i och kvart över. I studien går det att utläsa att, eleverna har svårt med klockslag som frångick dessa. Det framkommer även i studien att den digitala klockan är lättare att förstå än den analoga.

En studie av Gürefe och Özdil (2019) bekräftar att elever i tidig ålder klarar hel- och halv relativt bra men visar också att de har svårigheter med kvart i och över.

Problematiken kunde härledas till strategier som var svåra att applicera på klockan men även att eleverna blandade ihop minut- och timvisaren. Harris (2008) lyfter problemområden inom klockan som elever finner svåra. Dessa problemområden kan inkludera förståelsen för att visarna roterar, kopplingen mellan timvisaren och minutvisaren samt att lära sig räkna minuter. Harris lyfter även att många av de kritiska aspekterna inom klockan är något som är identifierat men att strategier för att hantera dem inte lärs ut i klassrummen.

Tid och klockan är ett ämnesområde som barn har svårigheter med vilket kan bero på att det finns olika sätt att mäta på skriver Barrets och Clements (2003). Tiden mäts i en cirkel i en analog klocka men inte i den digitala vilket kan bli problematiskt. Harris (2008) skriver att tid är abstrakt och synliggörs inte på samma sätt som exempelvis mätning av vikt i matbutiker. Harris förklarar att klockan bygger på ett 60-bassystem vilket kan medföra svårigheter då 10-bassystemet används i andra matematiska innehåll. Redan i tidig ålder är det viktigt att implementera strategier och skapa en förståelse för klockans uppbyggnad eftersom det är en varierad kunskap bland

(7)

eleverna när det kommer till att förstå klockan (Boulton-Lewis, Wilss & Mutch, 1997;

Gürefe & Özdil, 2019; Harris, 2008).

Glasnovic (2018) skriver att användandet av läroböcker inom matematiken är utbrett och att det därför har en stor inverkan på undervisningen. Författaren fortsätter att berätta vikten av att läromedlen ger ut olika sorters uppgifter. För de yngre eleverna är det gynnsamt att använda representationsformen bild eftersom de har tidigare erfarenhet med att rita och måla. Kribbs och Rogowsky (2016) skriver att det måste finnas ett samband mellan bilden och uppgiften för att det ska skapa betydelse och gynna eleverna. För att eleverna ska relatera till det de ska lära sig och försåt lättare, skriver Jaelani, Putri och Hartono (2013) att det är bra att börja med representationsformen verklighet.

3.2 Representationsformer

Inom matematiken finns fem olika representationsformer (avsnitt 3.2.1–3.2.5) som kan användas för att underlätta elevernas förståelse för ämnet (Bergsten, Häggström

& Lindberg, 2001). Läromedel i form av matematikböcker utgör en stor och betydande roll i undervisningen. För att ge eleverna samma förutsättningar krävs det därför även att denna variation återfinns i dessa resurser (Glasnovic, 2018; Johansson, 2009).

3.2.1 Konkret modell

Det laborativa materialet som till exempel pengar, en-, tio- och hundratalsplattor eller knappar ligger i fokus när det kommer till representationsformen konkret modell. Det handlar om fysiska föremål som eleverna själva kan laborera och testa sig fram med (Bergsten, Häggström & Lindberg, 2001). Ett exempel på konkret modell inom området klockan är en klocka där visarna går att justera.

3.2.2 Bild

För de yngre eleverna är det gynnsamt att använda representationsformen bild eftersom de har tidigare erfarenhet med att rita och måla. Elevernas tilltro på deras matematiska förmågor och upplevelse av meningsfullhet ökar genom att arbeta med matematik på ett sätt eleverna känner igen (Ahlberg & Wallby, 2000). Ahlberg och Wallby skriver att det behöver finnas en variation av bilder för att öka elevernas förståelse. Ett exempel med representationsformen bild inom området klockan är bilder på den analoga klockan eller bilder som representerar när någon utför en handling.

3.2.3 Språk

Representationsformen språk är tvåfaldig och handlar om både kommunikation i klassrummet där samtal och diskussion kan leda till djupare förståelse om uppgifter men det handlar även om det skrivna språket. Hur en uppgift beskrivs har stor

(8)

betydelse för elevernas förutsättningar att förstå den. Ett exempel med klockan kan vara problemlösningsuppgifter som bara innehåller text (Ahlberg & Wallby, 2000).

3.2.4 Symboler

Symboler är en abstrakt representationsform där det som redan är känt hos eleverna som till exempel det skrivna språket översätts till siffror. Ett exempel är tecknet ”3”

vilket är symbolen för talet tre. I denna representationsform ingår även tecken så som subtraktions- och additionstecken, algebraiska symboler och bråkstreck (Bergsten, Häggström & Lindberg, 2001). Ett exempel på symbol med klockan är siffrorna som berättar klockslaget för eleverna, exempelvis i uppgifter där eleverna själva ska rita in visarna beroende på vilken siffra som står under den analoga klockan.

3.2.5 Verklighet

Att kunna göra undervisningen elevnära och skapa en verklighetsanknytning har en påverkan och betydelse för eleverna, detta inte minst under matematikundervisningen (Ahlberg & Wallby, 2000). För att kunna relatera till ett problem behöver eleverna kunna koppla till vardagliga situationer. Dessa vardagliga situationer kan vara till exempel att gå till affären och handla. Denna koppling kan skapa bättre förståelse för uppgiften och dess begrepp (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992). Ett exempel med representationsformen verklighet inom området klockan är uppgifter som bygger på när vardagliga och elevnära händelser sker. Exempelvis när eleverna ska dra ett streck från ett uttalande om en vardaglig händelse till ett barn som säger när den händelsen utförs. Ahlfors, Carlqvist, Nilsson och Sandsten (2016) menar även att en koppling mellan verklighet och undervisning kan motivera eleverna.

4 Teoretisk bakgrund

I kapitlet teoretisk bakgrund kommer variationsteorin att förklaras (4.1), vars begrepp ligger till grund för arbetets analys.

4.1 Variationsteorin

Variationsteorin är en teori utvecklad från den fenomenografiska forskningsansatsen som i grunden handlar om hur människor uppfattar fenomen. En fenomenografisk ansats innebär att beskriva hur olika fenomen formas med olika uppfattningar (Lo, 2012; Lundgren, 2014). Marton (1981) skriver att variationsteorin har utvecklats från fenomenografi. Variationsteorin kännetecknas av att lärandeobjektet är huvudfokus för forskaren, oavsett vilken undervisningsmetod som används skriver Marton och Booth (1997).

4.1.1 Lärandeobjekt

Holmqvist (2006) skriver att lärandeobjekt är en sammansättning av begreppen lärande och objekt, där lärande innebär att eleverna lär sig den kvalitativa förståelsen

(9)

och inte bara en memorering av innehållet. Objekt beskrivs som det område eleverna ska lära sig. Enligt Magnusson och Maunula (2011) definierar lärarobjektet som de förmågor eleverna ska lära sig under studierna. Lärandeobjekt skiljer sig från och är inte samma sak som lärandemål eftersom mål och kunskapskrav redan är skriva i förväg och är övergripande. Wernberg (2009) beskriver att lärandeobjektet till skillnad från kunskapsmål är dynamiskt och ändras över tiden, men också att lärandeobjektet är i relation till elevgruppen.

4.1.2 Kritiska aspekter

Lo (2014) redogör för begreppet kritiska aspekter. ”Kritiska aspekter syftar på en dimension av variation …” (Lo, 2014 s.80). Kritiska aspekter synliggör avgörande händelser i lärprocessen som fokuserar på elevers olika sätt att uppfatta och förstå ett begrepp eller lektionsinnehåll (Magnusson & Maunula, 2011).

Utifrån tidigare forskning kan vi se följande kritiska aspekter kopplat till klockan:

• Urskilja olika visare

• Klockans uppbyggnad

• Tid som passerar

• Specifika klockslag

4.1.3 Variationsmönster

Det finns fyra variationsmönster vilka är kontrastering, generalisering, separation och fusion (Cheng & Ho 2008). Dessa fyra olika mönster ger elever möjligheter att urskilja de kritiska aspekter som är viktiga för inlärning, i detta fall för ämnet klockan.

Kontrast

Lo (2014) skriver att det är lättare att lägga märke till de kritiska aspekterna hos ett objekt om det går att jämföra det med ett annat objekt. För att förstå vad något är måste man också förstå vad det inte är, skriver Wernberg (2009). Författaren ger ett exempel med geometri och förklarar att om man ska kunna urskilja en trubbig triangel måste man veta vad det inte är det vill säga exempelvis en spetsvinklig triangel. Ett exempel med klockan kan vara timvisaren och minutvisaren. För att man ska veta vilken visare som är timvisaren måste man veta skillnaden mellan minut- och timavarse. Kontrastering sker när skillnaderna synliggörs, det vill säga fenomenet eller objektet i förhållande till vad det inte är. Om lärandeobjektet är att eleven ska förstå vart minutvisaren står när klockslaget är halv behöver man också visa hur klockan ser ut när den inte är halv, vilket blir en kontrast till lärandeobjektet (Cheng

& Ho 2008).

Separation

(10)

Wernberg (2009) skriver att kritiska aspekter inte kan urskiljas om alla de kritiska aspekterna varierar samtidigt. Wernberg (2009) tar upp ett exempel med begreppen area och omkrets där författaren skriver att förståelse för skillnaden mellan dessa begrepp skapas av att låta det ena vara konstant medan det andra varierar, exempelvis att två rektanglar kan ha samma area men olika omkrets. Ett exempel med klockan där det sker en separation kan vara att klockslaget är konstant och visar tre, men att eleverna ser klockslaget tre i olika kontexter.

Generalisering

Lo (2014) skriver att innebörden härleds ur skillnad och inte ur likhet. Med generalisering innebär detta att fenomenet som betraktas ska stå i fokus och de andra kritiska aspekterna ska ändras så att det sker en variation. Ett exempel Lo (2014) tar upp är inom geometri med hjälp av trianglar. Om lärandeobjektet är att känna igen en triangel är det viktigt att inte bara visa flertal trianglar som eleverna ska urskilja, utan det viktigt att separera de andra kritiska aspekterna som inte påverkar objektet triangel, till exempel storlek och färg. Dessa kritiska aspekter står inte i fokus, vilket gör att triangel i detta fall är konstant och förblir oförändrat.

Fusion

Wernberg (2009) skriver att det sker en fusion när det går från delar till helhet. Lo (2014) tar upp att det sker en fusion när det förekommer flera olika slags kritiska aspekter av samma fenomen slås ihop. Ett exempel inom området klockan kan vara att visa klockslaget halv fyra med den analoga klockan, med text som visar klockslaget och med den digitala klockan. Eleverna får då känna igen och koppla samman tre representationsformer för att få en helhet av klockslaget.

5 Metod

5.1 Analysmetod

I föreliggande studie används innehållsanalys för att besvara frågeställningarna.

Innehållsanalysen tillåter kategorisering vilket synliggör efterfrågat innehåll. En nackdel med metoden är dock att kategoriserat innehåll lyfts ur sitt sammanhang vilket bör beaktas i tolkningen av resultatet Denscombe (2018). Som utgångspunkt används de fyra representationsformerna samt de kritiska aspekterna som tidigare forskare kommit fram till vilket utreds i avsnitt 3.1 och presenteras i avsnitt 4.1.2.

Analysen utgår ifrån följande frågor med fokus på klockan:

• Hur framställer läromedlet området klockan i sin inledning?

• Vilka kritiska aspekter utifrån avsnitt 3.1 återfinns i läromedlet?

• Om de kritiska aspekterna förekommer, hur hanteras de i läromedlet?

• Vilka representationsformer finns med/inte med i läromedlet?

(11)

• Kombineras några representationsformer? Om ja, hur?

• Vilka variationsmönster förekommer i läromedlet?

• Kombineras några variationsmönster? I så fall vilka.

5.2 Representationsformernas och kritiska aspekternas förekomst i läromedlet

För att ta reda på i vilka uppgifter representationsformer och kritiska aspekter förekommer används en checklista (tabell 1 och 2).

Tabell 1 Checklista för representationsformer

Uppgift Konkret modell Bild Språk Symboler Verklighet 1

2

…

Tabell 2 Checklista för kritiska aspekter

5.3 Urval

Urvalsmetoden för studien är ett kriterieurval. Detta bygger på att läromedlet som ska analyseras väljs utifrån bestämda kriterier (Denscombe, 2018). De krav som ställdes på läromedlet i denna studie var att utgivningsåret skulle vara efter 2011. Detta för att säkerställa att Lgr 11 ligger till grund för utformningen. Ytterligare ett krav var att läromedlet skulle vara aktuellt i skolverksamheten och avsedd för årskurs 1–3. För att säkerställa tillräckligt med material för en analys valdes tre böcker och i föreliggande studie används Favorit matematik.

5.3.1 Favorit matematik

Det finns fem kapitel och alla kapitel innehåller en struktur. Lektioner, favoritsidor, vad har jag lärt mig och Sallys hinderbana är den struktur som följer med i varje kapitel. Varje lektion använder sig av två uppslag dessa uppslag är strukturen lektioner. Det första uppslaget innehåller basuppgifter och det andra uppslaget har extrauppgifter med ”öva och pröva”. Öva sidan innehåller uppgifter och övningar som ger eleverna möjligheter att repetera. Pröva sidorna innehåller uppgifter som bidrar till utveckling och utmaning. På varje uppslag med basuppgifter finns det med hänvisningar till centrala innehållet, kunskapskraven i Lgr 11 samt en rubrik med

Avsnitt Urskilja olika visare

Klockans uppbyggnad

Tid som passerar

Specifika klockslaget 1

2

…

(12)

lektionens innehåll. Efter avsnittet lektioner följer strukturen vidare till favoritsidor.

Dessa sidor utvecklar elevernas förmågor inom det område de arbetar med. Här finns aktiviteter och spel som gynnar mångsidig matematikinlärning. Den tredje strukturen som kommer i slutet av varje kapitel är vad har jag lärt mig och dessa sidor är en diagnos som ger läraren en möjlighet till att utvärdera elevernas arbete formativt.

Sallys hinderbana är den sista delen vilket är sidor där eleverna får repetera det område kapitlet handlade om.

Etiska överväganden

Det är viktigt att visa respekt för alla inblandande människor och det finns vissa etiska principer som ska följas i ett forskningsprojekt. Följande etiska principer ska följas, informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet vilket Vetenskapsrådet (2002) har utformat. För att få tillgång och ett godkännande att använda och publicera uppgifter samt bilder på det valda läromedlet, kontaktades förlaget och de ansvariga utgivarna. Alla personer som berörs av arbetet måste informeras av forskaren, vilket är innebörden av informationskravet.

Samtyckeskravet innebär att de tillfrågade personerna ska få lämna sitt samtycke till att deras material används eller inte. Förlaget vi kontaktade hade inget emot att bilder och uppgifter publicerades. Publicering av personuppgifter får man inte publicera, vilket är innebörden av konfidentialitetskravet. Eftersom vi endast analyserat läromedel har ingen privatperson påverkats av analysen. Enligt nyttjandekravet får inte uppgifter som framtagits i studien föras vidare. Vi säkerställde även att den insamlade informationen endast skulle användas till studien.

6 Resultat och analys

6.1 Favorit matematik 1B

Med hjälp av checklistan (tabell 1) har de olika representationsformernas förekomst i uppgifterna undersökts, bilaga 1, tabell 3. Checklistan visar att läromedlet har 22 uppgifter kopplat till klockan. Av dessa innehåller tio uppgifter en kombination av bild och språk, tio uppgifter en kombination av bild, språk och symboler samt tre uppgifter en kombination av bild, språk, symboler och verklighet. Inga uppgifter innehöll representationsformen konkret modell. Samtliga uppgifter innehöll bild och språk medan tolv uppgifter innehöll symboler och enbart tre innehöll verklighet.

Med hjälp av checklistan (tabell 2) har de kritiska aspekternas förekomst i läromedlets avsnitt undersökts, bilaga 2, tabell 6. Checklistan visar att läromedlet har fem avsnitt kopplat till klockan där av ett avsnitt behandlar samtliga fyra kritiska aspekter, två avsnitt behandlar tre kritiska aspekter och två avsnitt behandlar en kritisk aspekt.

(13)

Ämnesområdet klockan introduceras i det första kapitlet tillsammans med en repetition av talen noll till tjugo. Det första uppslaget vilket är lektioner innehåller

”hel timme” och är kopplad till det centrala innehållet i geometri ”mätning av tid med vanliga nutida måttenheter, hel timme”. Området börjar inledningsvis med en bild (figur 1) som innehåller både text och bild. Det är en bild på en analog klocka som enbart har siffran nio inskriven. Minutvisaren är blå och har en pil där det står att det är en minutvisare och timvisaren är röd och har också en pil ifrån sig där det står timvisare. Under denna analoga klocka finns det en text som beskriver för eleverna att när minutvisaren pekar rakt upp och timvisaren pekar rakt på klockslaget visar klockan en hel timme. Till bilden tillhör en uppgift där eleverna ska skriva in de resterande siffrorna i klockan.

Figur 1: Ristola, Tapaninaho och Tirronen. (2012) 1B s.22

Efter denna bild får eleverna arbeta självständigt med klockan där de ska skriva hur mycket klockan är. Det är bilder på den analoga klockan som visar ett helt klockslag och under bilden är det en tom ruta där eleverna ska skriva in hur mycket klockan visar. Varje klocka är en hel timme men klockslaget är inte densamma. Dessa uppgifter utgår ifrån representationsformen bild. Efter dessa uppgifter ska eleverna själva rita in timvisare och minutvisare i en analog klocka, även här är det hela timmar men olika klockslag. Lärandeobjektet till dessa uppgifter är att utveckla förståelse för klockans hela timmar.

(14)

Figur 2:Ristola, Tapaninaho och Tirronen. (2012) 1B s.32

Dessa uppgifter (figur 2) använder sig av representationsformerna bild och verklighet.

Bilderna visar barn som utför vardagliga handlingar. Den analog klocka i bilderna är utan visare och eleverna ska rita in visarna.

Figur 3: Ristola, Tapaninaho och Tirronen. (2012) 1B s.31

Uppgifter som (figur 3) använder sig av representationsformen bild. De kritiska aspekterna till dessa uppgifter (figur 2) samt (figur 1) är visarnas olika betydelse samt olika klockslag i detta fall hel och halv timme.

Analys Favorit matematik 1B

Lärandeobjektet till dessa uppgifter under (figur 1) är att eleverna ska utveckla förståelse för klockan. För att eleverna ska kunna göra detta behöver de urskilja flera kritiska aspekter vilket är visarnas olika betydelse. Dessa uppgifter knyter an till variationsmönstret separation då hel timme är konstant i varje uppgift men klockslaget varierar. I Favorit matematik 1B finns det en blandning av representationsformer. Under den första strukturen i boken vilket är lektioner är det främst bild som används medan eleverna senare i öva och pröva sidor får ta del av både bild och verklighet. Bilderna i Favorit matematik är till viss del verklighetsanknutna på det sätt att de är illustrerade som barn som vaknar, går till skolan och äter frukost vilket även knyter an till representationsformen bild (figur 2).

I boken kan vi se kontrastering när läromedlet (figur 1) introducerar timvisaren och minutvisaren. Där de visar med bild hur en minutvisare ser ut samt hur en timvisare ser ut. De olika visarna urskiljs dessutom med färg då minutvisaren är blå och

(15)

timvisaren är röd. Den kritiska aspekten är att eleverna måste ha en förförståelse för placeringen av visarna för att läsa av korrekt klockslag. Kan inte eleverna förstå att delarna, alltså visarnas placering, blir det svårt för dem att kunna arbeta med uppgifterna och förstå visarnas betydelse i den analoga klockan.

6.2 Favorit matematik 2B

Med hjälp av checklistan (tabell 1) har representationsformernas förekomst i uppgifterna undersökts, bilaga 1, tabell 4. Checklistan visar att läromedlet har 48 uppgifter kopplat till klockan. Av dessa innehåller femton uppgifter en kombination av bild och språk, tretton en kombination av bild, språk och symboler, tio uppgifter en kombination av bild, språk, symboler och verklighet samt en uppgift med kombinationen av samtliga representationsformerna. Av dessa 48 uppgifter innehöll samtliga språk, 47 innehöll bild, 29 innehöll symboler, fjorton innehöll verklighet och enbart 1 innehöll konkret modell.

Med hjälp av checklistan (tabell 2) har de kritiska aspekternas förekomst i läromedlets avsnitt undersökts, bilaga 2, tabell 7. Checklistan visar att läromedlet har åtta avsnitt kopplat till klockan där av två avsnitt behandlar samtliga fyra kritiska aspekter och resterande sex avsnitt behandlar tre kritiska aspekter.

Favorit matematik 2B introducerar ämnesområdet klockan i det första kapitlet. Den första lektionens innehåll är ”klockan, hela och halva timmar” och är kopplad till det centrala innehållet i geometri ”mätning av tid”. Området börjar inledningsvis med en bild (figur 4) som innehåller både text och bild. Det är en bild med två analoga klockor där den ena visar klockslaget nio och den andra visar halv tio. Minutvisaren är blå och har en pil från där det står att det är en minutvisare och timvisaren är röd och har också en pil ifrån sig där det står timvisare. Under dessa analoga klockor finns det en text som beskriver för eleverna hur mycket klockan visar, vart visarna är placerade vid hel och halv timme samt hur många minuter det är på en timme och en halvtimme.

Figur 4: Ristola, Tapaninaho och Vaaraniemi. (2012) 2B s.6

Efter denna bild får eleverna sedan arbeta självständigt med klockan där de ska skriva hur mycket klockan är samt rita in visarna (figur 4).

(16)

I Favorit matematik 2B märker man att det sker en ökning från 1B-boken med blandade och utmanande uppgifter. Eleverna ska följa rätt väg med klockorna och ta det hållet där klockan visar en ökning med 30 minuter, de ska måla klockor i vissa färger som har ett specifikt klockslag samt dra streck mellan tillhörande text och analog klocka. Uppgifterna använder sig dessutom av fler representationsformer, till exempel med både språk och bild vilket bland annat kan ses i (figur 5).

Uppgiften i (figur 5) använder sig av representationsformen bild och språk. Eleverna ska dra streck mellan bilden på den analoga klockan och den rätta texten som säger hur mycket klockslaget visar.

Favoritsidorna i 2B med kapitlet klockan innehåller ett spel (figur 6) som använder sig av laborativt material, detta material medföljer i elevboken. Den här uppgiften innehåller representationsformen språk då eleverna arbetar och samtalar tillsammans.

Bild är också en av representationsformerna då eleverna använder sig av bilden för att ta sig igenom uppgiften. Förutom dessa två används även representationsformen konkret modell för att lösa uppgiften.

(17)

Uppgifterna efter (figur 5) löser eleverna med bilden vilket kopplas till representationsformen bild. Lärandeobjektet till dessa uppgifter är att eleverna ska lära sig att läsa av den analoga klockan när den visar klockslaget hel- och halvtimme, det vill säga kunna de kännetecken för att veta när klockan är hel- och halvtimme.

Den kritiska aspekten är placeringen av visarna vilket läromedlet förklara i (figur 4) där visarnas olika betydelse presenteras samt olika klockslag i detta fall hel- och halvtimme.

Lärandeobjekt för denna typ av uppgift är att kunna läsa av klockan vid hel- och halvtimme. För att kunna lösa denna uppgift (figur 5) måste eleverna känna till de kritiska aspekterna som i denna uppgift blir att veta placeringen av visarna, samt hur man säger klockslaget. Om minutvisaren står på tolv betyder inte det tolv minuter utan det betyder att klockan visar en hel timme. Om klockslaget visar halv fyra är det inte sex minuter över tre bara för att minutvisaren står på sexan. För att de ska kunna dra ett streck mellan klocka och text måste de veta vilka som hör ihop men också vilka som inte hör ihop. De måste förstå delarna ur lärandeobjektet för att förstå helheten, vilket innebär att denna uppgift innehåller variationsmönstret separation och kontrast. Representationsformen språk är en text som anger ett klockslag.

Representationsformen bild är bilder på den analoga klockan som visar dessa klockslag. Eleverna måste kunna separera delarna i lärandeobjektet och ta reda på de kritiska aspekterna för att läsa av klockan. Det är dessutom kontrast i denna uppgift då eleverna måste veta vad något är för att veta vad som är rätt. Uppgiften (figur 5)

(18)

bygger på att para ihop de som hör tillsammans vilket innebär att de måste veta att texten som säger halv fem inte är den analoga klockan som visar klockslaget tre.

6.3 Favorit matematik 3B

Med hjälp av checklistan (tabell 1) har representationsformernas förekomst i uppgifterna undersökts, bilaga 1, tabell 5. Checklistan visar att läromedlet har 59 uppgifter kopplat till klockan. Av dessa innehåller tre uppgifter enbart språk, fem en kombination av bild och språk, nio en kombination av språk och symboler, nitton en kombination av bild, språk och symboler, sex uppgifter en kombination av bild, språk, symboler och verklighet. Av dessa 59 uppgifter innehöll 34 bild, 59 innehöll språk, 42 innehöll symboler, fjorton innehöll verklighet och ingen innehöll konkret modell.

Med hjälp av checklistan (tabell 2) har de kritiska aspekternas förekomst i läromedlets avsnitt undersökts, bilaga 2, tabell 8. Checklistan visar att läromedlet har nio avsnitt kopplat till klockan där av två avsnitt behandlar samtliga fyra kritiska aspekter, fyra avsnitt behandlar tre kritiska aspekter och ett avsnitt behandlar två kritiska aspekter.

Favorit matematik 3B introducerar den digitala klockan i det andra kapitlet och kapitlet innan handlar om räknesättet bråk. Den första lektionen innehåller ”klockan, digital tid” och är kopplad till det centrala innehållet i geometri ”mätning av tid, klockan, analog och digital tid”. Området börjar inledningsvis med en bild (figur 7) som innehåller både text och bild. Det är en bild på fyra analoga klockor som visar när klockan är hel, kvart över, halv och kvart i. Här är minutvisaren och timvisaren svarta och den första analoga klockan har en pil som pekar på vilken som är vilken.

Under dessa analoga klockor finns det en text som säger hur mycket varje klocka visar. Denna bild innehåller dessutom en förklaring på minuter och timmar. Området 5, 30 och 60 minuter är markerat bredvid förklaringen på hur många minuter en halvtimme och en heltimme är. Representationsformerna som eleverna får ta del av i denna bild är bild, språk och symbol. De analoga klockorna är bild, texten som förklarar timmar och minuter är språk och bråktecknet ½ är symbolen. Det sker dessutom en fusion då det ingår symboler, bilder och språk som får eleverna att koppla ihop dessa tre representationsformer för att förstå kontexten.

(19)

Figur 7: Asikainen, Nyrhinen, Rokka och Vehamas. (2018) 3B s.46

Efter bilden får eleverna sedan arbeta självständigt med klockan där de ska rita in visarna baserat på vad som står under den analoga klockan (figur 8). Texten under klockorna beskriver både hur man säger klockslaget men också hur det skrivs digitalt.

Presentationen av den digitala klockan sker enligt strukturen av boken under den andra lektionen. Med den här bilden (figur 9) förklaras den digitala tiden. Det är mycket som händer i bilden eftersom det både är en analog klocka, digital klocka samt text som säger klockslaget, vilket i detta fall är tio över nio. Texten säger detta genom att peka ut att klockan är tio minuter över nio och under visas den digitala tiden 9.10.

09.10 är med på en bild bredvid där det står timmar under nian och minuter under tian. Här presenteras dessutom en tallinje med siffrorna noll till tolv, samt texten och bilden på natt, morgon och dag.

(20)

Efter denna bild ska eleverna själva arbeta med uppgifterna om den digitala klockan (figur 10). Dessa uppgifter presenteras med hjälp av representationsformerna bild samt verklighet. De analoga klockorna i bilden har ingen visare och eleverna ska rita in visarna med hjälp av den digitala klockan som visar vilket klockslag de ska presentera på den analoga klockan.

Kapitlet om klockan i boken Favorit matematik 3B ökar innehållet av varierande uppgifter. Nu får eleverna ta del av uppgifter som innehåller representationsformerna bild, språk, verklighet och symbol. Tidigare har språk i uppgifter varit kopplade till bild medan i denna bok finns det uppgifter med bara text (figur 11).

(21)

Den här uppgiften har inte en bild på en klocka utan texten står för sig själv. Förutom det är den kopplad till verklighet då det handlar om personer som utför och är med om vardagliga händelser som eleverna kan relatera till. Det sker dessutom en ökning av uppgifter med variationsmönster.

I uppgifter som (figur 12) där eleverna ska dra streck mellan en analog klocka, digital klocka samt texten som säger klockslaget. Representationsformerna till dessa uppgifter är bild samt språk.

(22)

Uppgifterna i (figur 13) använder sig av representationsformerna bild samt språk.

De kritiska aspekterna till denna uppgift är räkna minuter alltså tid som passerar inom ämnesområdet klockan. Räknesättet bråk är en del i denna uppgift eftersom eleverna ska svara hur stor andel av minuterna visar den analoga klockan med ett bråktecken.

Lärandeobjektet till dessa uppgifter (figur 8) är att eleverna ska lära sig att se likheter mellan hur den analoga klockan ser ut och hur den digitala ser ut vid samma klockslag.

En kritisk aspekt är att minuter och timmar inte ska blandas ihop. Det står på ena uppgiften att klockan är kvart i sju och under står det 6.45. Här är det då viktigt att eleverna har kunskap om vart de ska placera visarna. Om det står 6.45 ska inte minutvisaren eller timvisaren stå på sexan.

Lärandeobjektet (figur 10) är att kunna tolka den digitala klockan och rita in visarna på den analoga klockan. För att eleverna ska kunna förstå och utveckla kunskapen om lärandeobjektet måste eleverna förstå de kritiska aspekterna. En kritisk aspekt är att förstå placeringen av siffrorna på den digitala klockan. De måste veta betydelsen på den första siffran som på den tredje bilden är en åtta. De måste veta vad siffran fem efter åttan står för. Om de inte förstår att 8.05 är fem minuter över åtta så kanske de tolkar att de ska placera minutvisaren på femman i den analoga klockan och då blir det fem i halv och inte fem över. De kan också tolka och placera minutvisaren på åttan så klockan visar tjugo i. Svårigheterna med denna uppgift är med andra ord tolka den digitala klockan för att förstå vart visarna ska vara på den analoga klockan.

Uppgiften (figur 12) använder sig av generalisering. Här visar uppgiften att det finns varierande former av klockan i detta fall att den är analog, skriven med text samt digital. För att eleverna ska kunna känna igen exempelvis fem över nio måste de få ta del av det ur olika perspektiv.

(23)

Läromedlet innehåller dessutom uppgifter som eleverna ska besvara med hjälp av att använda bråk. Cheng och Ho (2008) skriver att konkretisering bygger på när läraren utgår och bygger upp kunskaper från det eleverna redan vet och förstår. I detta fall handlade hela kapitel ett om bråk (figur 13) och nu används det i uppgifter i kapitlet om klockan. Här får eleverna applicera deras tidigare kunskaper till det de ska lära sig denna lektion med denna uppgiften (figur 13).

7 Diskussion

Resultatet visar att samverkan mellan representationsformerna ökar för varje läromedel och ålder. I början när klockan introduceras användes oftast bara två representationsformer vilket är bild och verklighet. I detta fall är det bilder på den analoga klockan samt bilder på personer som utför vardagliga handlingar som är elevnära. Ahlberg och Wallby (2000) tar upp vikten av att använda bild och att det är gynnsamt att använda det för yngre elever. 1B-boken är den första boken som introducerar klockan för eleverna vilket den gör med representationsformen bild.

Enligt Ahlberg och Wallby (2000) (2002) är den representationsformen gynnsam för yngre elever på grund av att de flesta eleverna har tidigare erfarenheter av att rita och måla. Detta kan leda till att eleverna upplever ämnet meningsfullt eftersom deras tilltro till deras matematiska förmågor ökar då de får arbeta med matematik som berör deras erfarenhetsvärld (Ahlberg & Wallby, 2000). Kribbs och Rogowsky (2016) skriver att det ska finnas ett samband mellan bilden och uppgiften för att det ska vara gynnsamt för eleverna. I resultatet ser vi att uppgifterna bygger utifrån bilderna.

Exempelvis att eleverna ska kolla på bilden för att läsa av klockslaget.

Förutom representationsformen bild i 1B-boken användes representationsformen verklighet. Resultatet visar uppgifter med bilder där barn utför vardagliga och elevnära handlingar som äta frukost, göra läxorna och gå till skolan. För att eleverna ska bli motiverade skriver Ahlfors, Carlqvist, Nilsson och Sandsten (2016) att det är betydande att eleverna får koppla uppgifterna till verklighet. För att eleverna ska relatera till det de ska lära sig och förstå lättare skriver Jaelani, Putri och Hartono (2013) att det är bra att börja med verklighet.

Resultatet visar att representationsformerna blir fler inom en och samma uppgift i årskurs tre. Vi ser att det i 3B-boken finns uppgifter som innehåller tre olika representationsformer. (Figur 7) i resultatet innehåller representationsformerna symbol, bild och språk. Det sker en fusion när det förekommer flera olika slags kritiska aspekter av samma fenomen som slås ihop skriver Lo (2014). I detta fall får eleverna ta del av objektet analoga klockan med de tre olika representationsformerna.

För att uppnå förmågan att eleverna fördjupar sin förståelse för innehållet i detta fall klockan måste eleverna se att matematiken kan uttryckas på flera olika sätt men också att använda sig av flera olika strategier för att lösa problem.

(24)

Resultatet visar att den digitala klockan först kommer i årskurs tre, vilket är intressant eftersom tidigare studier av Boulton-Lewis, Wilss och Mutch (1997) visar att elever finner förståelsen för den digitala klockan lättare än den analoga klockan. De kritiska aspekter Harris (2008) tar upp är förståelsen för att kunna urskilja visarna på den analoga klockan. I den digitala klockan finns det inga visare eleverna ska ha kännedom om och därav kanske det skulle vara lämpligt att läromedlen skulle introducera ämnesområdet klockan med den digitala och inte den analoga. En annan problematik Harris lyfter är kopplingen mellan timvisaren och minutvisaren vilket berör den kritiska aspekten klockans uppbyggnad. Resultatet visar att Favorit matematik arbetar med att urskilja timvisare och minutvisare, detta med hjälp av att använda olika färger på visarna samt att en pil går får från dem där det står vilken som är vilken. Kopplingen mellan visarna får först en introduktion i årskurs två med en bild (figur 4) där de analoga klockorna visar att både timvisaren och minutvisaren förflyttas även om det bara gått som i detta fall 30 minuter. Resultatet visar dessutom att läromedlet inte tar upp eller presentera sekundvisaren. En problematik i det är att eleverna inte får förståelse för helheten inom den analoga klockan.

Drews och Hansen (2017) skriver att en kritisk aspekt som barn måste förstå är tid som passerar. Resultatet visar att det är 2B-boken (figur 4) som introducerar minuter med hjälp av streck på den analoga klockan vid varje minut samt en text som beskriver hur många minuter en halv och en hel timme är. Resultatet visar dessutom att läromedlet har uppgifter som går ut på att eleverna ska räkan ut hur lång tid något tar.

Exempelvis (figur 11) där eleverna ska räkna ut hur lång tid det tar för personerna i uppgifterna att utföra händelsen i texten. Resultatet visar att händelserna i texten använder sig av representationsformen verklighet. Drews och Hansen skriver ”putting time into meaningful contexts gives children the opportunity to begin to understand cyclical patterns” (s.132).

Förutom att antalet olika representationsformer ökar inom uppgifterna i de högre åldrarna ser vi genom hela resultatet att läromedlet erbjuder varierande uppgifter.

Glasnovic (2018) skriver att det är viktigt att läromedlen ger ut olika sorters uppgifter.

Strukturen i boken är lektioner, favoritsidor, vad har jag lärt mig och Sallys hinderbana som bidrar både till att uppgifterna varierar men också uppgifter där eleverna får öva och pröva. När man arbetar med exempelvis lärandeobjektet klockan är det viktigt att man har de kritiska aspekterna i åtanke. Ett exempel på en kritisk aspekt är klockans uppbyggnad. Separation används för att kunna förstå och urskilja de kritiska aspekterna i lärandeobjektet. När eleven då kan urskilja lärandeobjektet och förstå relationen mellan de olika delarna och helheten är det en separation (Lo, 2014).

Slutsats

Studien visar på att alla representationsformer förekommer i olika utsträckningar genom alla 3 böcker samt att nästan samtliga uppgifter har en kombination av minst

(25)

två. Studien visar dock på att representationsformen verklighet samt konkret modell är underrepresenterade. Med hjälp av representationsformerna skapas en variation av uppgifter som är anpassade för eleverna. I läromedlet kan representationsformerna vara till hjälp för att se vilka delar som inom ämnesområdet belyser samt vad som saknas i läromedlet. Utifrån tidigare forskning visar det på att alla representationer är betydelsefulla samt att läromedel är en stor del av undervisningen.

Studien visar även att läromedlen behandlar de fyra kritiska aspekterna som, har enligt forskning, visat sig betydelsefulla för inlärning av klockan. Dock kan vi se att uppgifter som behandlar tid som passerar är underrepresenterade.

Metoddiskussion

Den första tanken med valet av vilket material vi skulle analysera var att det skulle vara ett läromedel som utgick från läroplanen samt ett läromedel som används i verksamheten. Analysen förhåller sig till det som finns i läromedlet och hur ämnesområdet presenteras med hjälp av representationsformerna. Ämnet i skolan som anses vara mest beroende av en lärobok är matematik skriver Skolverket (2003).

Därför känns denna analys relevant för verksamheten.

Innehållsanalysen har fungerat som en bra metod i detta fall eftersom den både med sin enkelhet och tydighet gör det lätt att identifiera representationsformerna samt kritiska aspekter. Checklistan ger en god översikt och går att applicera på andra läromedel i framtida forskning. Nackdelen enlig Denscombe (2018) är att kategoriseringen gör att innehållet lyft ur sitt sammanhang. I denna studie är vi medvetna om problemet men anser inte att det har stor betydelse eftersom läromedlet ej har större textmassor kopplat till uppgifterna och samhanget blir ej påverkat.

Om fler än ett läromedel hade granskat hade resultatet visat en mer skillnad mellan flera mattematikböcker. Det hade också presenterats en jämförelse där exempelvis en matematikbok bara skulle använda representationsformen språk. Det hade blivit en studie som visar hur de olika läromedlen presenterar ämnesområdet klockan där det sedan skulle dras jämförelser med skillnader och likheter mellan dem. Resultatet hade tydligt visat hur uppgifterna i de olika läromedlen är upplagda för att de kritiska aspekterna inom klockan. Det hade visat hur exempelvis den kritiska aspekten urskilja visarna presenteras i de olika mattematikböckerna.

Betydelsen av resultatet för verksamheten

Utifrån resultatet ser vi att Favorit matematik är ett läromedel med varierande uppgifter som arbetar med de kritiska aspekterna som finns inom ämnesområdet klockan. Resultatet visar även att läromedlets upplägg är planerat med en struktur som bidrar till anpassning för eleverna. För verksamheten är detta resultat betydande då man får se hur läromedlet presenterar och arbetar med klockan och hanterar de kritiska aspekterna med hjälp av representationsformer samt variationsmönster. Att

(26)

ha denna kunskap gör det möjligt för lärarna att anpassa undervisningen genom att komplettera de representationsformer som studien visar vara underrepresenterade.

Detta för att skapa bättre förutsättningar för en varierande undervisning.

Förslag till vidare forskning

När tidigare forskning söktes om klockan visade det sig att det inte är ett område som det skrivs lika mycket om än exempelvis räknesättet bråk. Vi har nämnt tidigare i texten att klockan är ett ämnesområde elever har svårigheter med men också att eleverna lättare förstår den digitala klockan. En idé till fortsatt forskning skulle då kunna vara att undersöka vidare på hur man som lärare presenterar och arbetar med klockan för att öka elevernas förståelse.

(27)

Referenser

Ahlberg, A., & Wallby, K. (2000). Matematik från början. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Univ.

Ahlfors, U., Carlqvist, O., Nilsson, F., & Sandsten, M. (2007). Motivationsskapande undervisning och lärande. Utvecklingskonferens LU 2007.

Barrett, J. E., & Clements, D. H. (2003). Quantifying Path Length: Fourth-Grade Children's Developing Abstractions for Linear Measurement. Cognition And Instruction, 21(4), 475-520.

Boulton-Lewis, G., Wilss, L., & Mutch, S. (1997). Analysis of primary school children’s abilities and strategies for reading and recording time from analogue and digital clocks. Mathematics Education Research Journal, 9(2), 136-151

Cheng, M., & Ho, C. (2008). A Study on Applying the Variation Theory to Chinese Communicative Writing. Asian Social Science, 4(10), 14–29

Denscombe, M. (2018). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur.

Hansen, A., Drews, D., Dudgeon, J., Lawton, F. & Surtees, L. (red.) (2017).

Children's errors in mathematics. (Fourth edition). Los Angeles: Learning Matters Englund, B. (1999). Lärobokskunskap, styrning och elevinflytande. Pedagogisk Forskning i Sverige, 4(4), 327–348.

Gürefe, N. & Özdil, S. (2019). How do third grade students read the clock?

Malaysian online journal of educational sciences, 7(1), 1-13

Harris, S. (2008). It’s about Time: Difficulties in Developing Time Concepts.

Australian Primary Mathematics Classroom, 13(1), 28–31

Holmqvist, M. (2006). Att teoretisera lärande. I: Holmqvist Olander, M. (red.) (2006). Lärande i skolan: learning study som skolutvecklingsmodell (s. 9–27).

Lund: Studentlitteratur.

Jaelani, A., Putri, R. I. I., & Hartono, Y. (2013). Students’ Strategies of Measuring Time Using Traditional Gasing Game in Third Grade of Primary School. Indonesian Mathematical Society Journal on Mathematics Education, 4(1), 29-40

Johansson, M. (2009). Om läroböcker och matematikundervisning. I: Brandell, G., Grevholm, B., Wallby, K. & Wallin, H.(red.). Matematikdidaktiska frågor – resultat från en forskarskola (s. 56–72). Göteborg: NCM

Kribbs, E., & Rogowsky, B.A. (2016). A Review of the Effects of Visual-Spatial Representations and Heuristics on Word Problem Solving in Middle School

(28)

Mathematics. International Journal Of Research In Education And Science, 2(1), 65-74

Lo, M. L. (2014). Variationsteori: för bättre undervisning och lärande. Lund:

Studentlitteratur.

Lundgren, U. P. (2014). Läroplansteori och didaktik. I: Lundgren, U.P., Säljö, R. &

Liberg, C. (red.) (2014). Lärande, skola, bildning: grundbok för lärare (s. 265–

350). Stockholm: Natur & kultur.

Marton, F., & Tsui, A. (2004). Classroom discourse and the space of learning.

Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum.

Marton, F. & Booth, S. (1997). Learning and awareness. Mahwah, NJ: Erlbaum.

Marton, F. (1981). Phenomenography: Describing conceptions of the world around us. Instructional Science, 10(2), 177–200.

Magnusson, J., & Maunula, T. (2011). Variationsteorin ur ett

undervisningsperspektiv. I: Maunula, T., Magnusson, J. & Echevarría, C. (red.) Learning study: undervisning gör skillnad (s. 36–50). Lund: Studentlitteratur.

Skolverket. (2003). Nationella kvalitetsgranskningar 2001–2002. Lusten att lära med fokus på matematik. (Rapport 221). Stockholm: Skolverket

Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk- samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.

Wernberg, A. (2009). Lärandets objekt: vad elever förväntas lära sig, vad görs möjligt för dem att lära och vad de faktiskt lär sig under lektionerna.

(Doktorsavhandling, Umeå universitet, Högskolan Kristianstad, Umeå, Kristianstad, 2:2009).

(29)

Bilaga 1

Favorit matematik 1 B

Tabell 3 Representationsformer i Favorit matematik 1 B kopplat till klockan

Favorit matematik 2 B

4 Representationsformer i Favorit matematik 2 B kopplat till klockan

Uppgift Konkret modell Bild Språk Symboler Verklighet

1 X X X

2 X X X

3 X X X X

4 X X

5 X X

6 X X X

1 X X X

2 X X

3 X X X

4 X X

5 X X X X

6 X X

7 X X X

8 X X

9 X X X X

10 X X

11 X X X

12 X X X X

13 X X

14 X X X

15 X X X

16 X X

17 X X X

18 X X X

19 X X X

20 X X

21 X X

22 X X

(30)

7 X X X

8 X X X

9 X X X

10 X X X X

11 X X

12 X X

13 X X X

14 X X X

15 X X

16 X X X

17 X X X X

18 X X

19 X X

20 X X X X

21 X X

22 X X X

23 X X X

24 X

25 X X

26 X X X

27 X X

28 X X

29 X X X

30 X X X X

31 X X X X

32 X X X X X

33 X X X X

34 X X

35 X X X X

36 X X X X

37 X X X X

38 X X X X

39 X X X

40 X X

41 X X

42 X X X

43 X X X

44 X X X

45 X X X

46 X X

47 X X

(31)

48 X X X

Favorit matematik 3 B

5 Representationsformer i Favorit matematik 3 B kopplat till klockan

1 X X X

2 X X X

3 X X X

4 X X X

5 X

6 X X

7 X X X

8 X X X X

9 X X X

10 X X X

11 X X

12 X X X

13 X

14 X X X

15 X X X X

16 X X X

17 X X

18 X X X

19 X

20 X X

21 X X X

22 X X X

23 X X

24 X X X

25 X X X X

26 X

27 X X

28 X X X

29 X X X X

30 X X X

31 X X

32 X X X

33 X X

34 X X X

(32)

35 X X X

36 X X X

37 X X X

38 X X

39 X X X

40 X X X X

41 X X

42 X

43 X X

44 X X

45 X X

46 X X

47 X X X X

48 X X X

49 X X

50 X X

51 X X X

52 X X X

53 X X

54 X X X

55 X

56 X X

57 X

58 X X X

59 X

(33)

Bilaga 2

Favorit matematik 1 B

Tabell 6 Kritiska aspekter i Favorit matematik 1 B kopplat till klockan

Favorit matematik 2 B

Favorit matematik 3 B

Avsnitt Urskilja olika visare

Klockans uppbyggnad

Tid som passerar

Specifika klockslag

1 X X X

2 X X X

3 X

4 X X X X

5 X

1 X X X

2 X X X

3 X X X

4 X X X

5 X X X

6 X X X

7 X X X X

8 X X X X

1 X X X

2 X X X

3 X X X

4 X X X

5 X X

6 X X X

7 X X X X

(34)

8 X X X X

9 X X X X