ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 7
TIDSSERIEDIAGRAM OCH UTJÄMNING
1. En omdebatterad utveckling under 90-talet gäller den snabba ökningen i VD- löner. Tabellen nedan visar genomsnittlig kompensation för direktörer på de största amerikanska aktiebolagen. (Med kompensation avses här både löner samt bonusar och förmåner.) Alla siffror är justerade för inflation.
År Kompensation (miljoner dollar)
1993 3,7
1994 4,4
1995 4,8
1996 7,0
1997 9,1
1998 10,7
1999 12,7
2000 17,4
2001 14,3
2002 10,3
2003 9,1
a. Beräkna ett centrerat glidande medelvärde för år 1997. Använd tre år för att skapa detta medelvärde.
b. Beräkna nu ett centrerat glidande medelvärde för 2000, men utnyttja fem år.
2. Hur stor andel av kvinnliga finländska arbetstagare jobbar på tillfälliga kontrakt? Tabellen nedan visar denna procent från det första kvartalet 2012 till det tredje kvartalet 2014. Beräkna ett säsongsutjämnat glidande medelvärde för det tredje kvartalet år 2013.
År Kvartal Tillfälligt kontrakt (%)
2012 1 16,5
2012 2 20,6
2012 3 19,2
2012 4 17,1
2013 1 16,1
2013 2 19,6
2013 3 20,0
2013 4 18,1
2014 1 17,0
2014 2 19,9
2014 3 19,8
3. Tabellen nedan visar antalet konkurser (konk) per månad under åren 1990- 1992. Data gäller Finland.
År Månad Konk År Månad Konk År Månad Konk 1990 jan 311 1991 jan 553 1992 jan 636 1990 feb 237 1991 feb 533 1992 feb 626 1990 mars 244 1991 mars 515 1992 mars 650 1990 april 208 1991 april 476 1992 april 565 1990 maj 336 1991 maj 547 1992 maj 520 1990 juni 287 1991 juni 421 1992 juni 563 1990 juli 239 1991 juli 450 1992 juli 485 1990 aug 353 1991 aug 505 1992 aug 610 1990 sep 273 1991 sep 555 1992 sep 698 1990 okt 433 1991 okt 589 1992 okt 680 1990 nov 439 1991 nov 576 1992 nov 657 1990 dec 274 1991 dec 535 1992 dec 701
a. Beräkna ett säsongsutjämnat glidande medelvärde för november 1991.
b. Anta nu att du har beräknat säsongsutjämnade glidande medelvärden för hela serien. Vilket är det sista datumet (År, Månad) som detta medelvärde kan beräknas?
ATT BESKRIVA TRENDER ÖVER TID
4. Tidsseriediagrammet nedan visar livslängden bland finska män mellan åren 1971 och 2009. Vi kan beskriva den linjära tidstrenden genom regressionen:
𝑙𝑖𝑣𝑠𝑙ä𝑛𝑔𝑑̂ = 66,421 + 0,267 ∙ 𝑡𝑖𝑑, där tid är en variabel som antar värdet 0 år 1971, värdet 1 år 1972, värdet 2 år 1973, osv.
a. Hur mycket har livslängden i snitt ökat per decennium?
b. Tolka interceptet.
c. Använd regressionslinjen för att göra en prognos för livslängden år 2016.
5. Se figuren nedan. Här gäller att y ökat med 20 procent per år om vi bortser från slumpmässiga fluktuationer över tiden.
Vilken regression passar bäst för att beskriva den här utvecklingen:
a. 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ å𝑟 b. ln(𝑦)̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ å𝑟 c. 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏1∙ å𝑟 + 𝑏2∙ å𝑟2 d. 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑙𝑛(å𝑟)
6. Se figuren nedan. Bortsett från slumpmässiga fluktuationer så gäller här att y ökat med 5 enheter mellan år 0 och 1; med 6 enheter mellan år 1 och år 2; med 7 enheter mellan år 2 och år 3, osv.
Vilken regression passar bäst för att beskriva den här utvecklingen:
a. 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ å𝑟 b. ln(𝑦)̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ å𝑟
c. 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏1∙ å𝑟 + 𝑏2∙ å𝑟2 d. 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑙𝑛(å𝑟)
7. Diagrammet nedan visar antalet självmord bland finska kvinnor åren 1970- 2013. Vi har också anpassat en kvadratisk trend till data:
𝑠𝑗ä𝑙𝑣𝑚𝑜𝑟𝑑̂ = 215,3 + 6,630𝑡𝑖𝑑 − 0,1537𝑡𝑖𝑑2
där variabeln tid antar värdet 0 år 1970, värdet 1 år 1971, värdet 2 år 1972, osv.
a. Ge en tolkning av interceptet.
b. Använd regressionen för att göra en prognos för år 2016.
8. Nedan ser du fyra tidsserier (A, B, C och D). En av trenderna beskrivs av ekvationen 𝑦̂ = 44 − 11,9𝑡𝑖𝑑 − 1,1𝑡𝑖𝑑2; en annan av ekvationen 𝑦̂ = 14 + 1,1𝑡𝑖𝑑 + 0,1𝑡𝑖𝑑2; en tredje av ekvationen 𝑦̂ = 20 − 12,1𝑡𝑖𝑑 + 0,1𝑡𝑖𝑑2 och en fjärde av ekvationen 𝑦̂ = 16 + 1,5𝑡𝑖𝑑 + 0,0𝑡𝑖𝑑2. Para ihop rätt tidsseriediagram med rätt ekvation.
9. Nedan visas trenden i logaritmerad inkomst per person för Finland mellan åren 1960 till 1979. Inkomsterna är justerade för inflation. Regressionslinjen ges av:
ln(𝑖𝑛𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡)̂ = −63,74 + 0,037 ∙ å𝑟. Hur många procent har inkomsterna i snitt ökat per år under den här perioden?
10. Figuren nedan visar procenten kvinnor som jobbar på tillfälliga kontrakt mellan första kvartalet år 1997 till tredje kvartalet år 2014.
Där variabeln tid antar värdet 0 det första kvartalet år 1997; värdet 1 det andra kvartalet år 1997, värdet 2 det tredje kvartalet år 1997, osv. Vi anpassar nu en rät trendlinje till data samt inkluderar kvartalsdummyn:
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡̂ = 18,89 − 0,0356𝑡𝑖𝑑 + 3,25𝑘𝑣𝑎𝑟𝑡𝑎𝑙2 + 3,34𝑘𝑣𝑎𝑟𝑡𝑎𝑙3 + 0,49𝑘𝑣𝑎𝑟𝑡𝑎𝑙4 Där procent mäter procenten kvinnor anställda på tillfälliga kontrakt; kvartal2 är en dummy för det andra kvartalet; kvartal3 är en dummy för tredje kvartalet och kvartal4 är en dummy för det fjärde kvartalet.
a. I vilket kvartal är andelen kvinnor anställda på tillfälliga kontrakt som högst? I vilket kvartal är denna andel som lägst?
b. Använd den här regressionen för att göra prognoser för varje kvartal år 2015. Notera att variabeln tid har värdena 72-75 under dessa kvartal.
11. Du jobbar på ett företag och chefen ber dig att beskriva trenden i försäljningssiffrorna över de senaste åtta åren. Du anpassar en rät trendlinje till data:
𝑓ö𝑟𝑠ä𝑙𝑗𝑛𝑖𝑛𝑔̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑡𝑖𝑑
Där variabeln tid antar värdet 0 det första kvartalet i data, värdet 1 det andra kvartalet, värdet 2 det tredje kvartalet, ..., värdet 5 det första kvartalet därpå följande år, osv.
a. Du ritar upp data i ett tidsseriediagram och ser en tydlig säsongsvariation.
Beskriv en regressionsekvation som beaktar säsongsvariationen. Utgå då från regressionen ovan, men ta med lämpliga oberoende variabler. Namnge dessa enligt eget tycke, men beskriv också hur de är kodade.
b. Chefen ber dig nu att se om försäljningen ökat efter att han blev chef för tre år sedan. Beskriv en regressionsekvation som mäter detta. Utgå då från svaret i uppgift a, men inkludera ytterligare en lämplig oberoende variabel.
Namnge denna och beskriv också hur den är kodad.
ATT BESKRIVA CYKLISKA MÖNSTER
12. Du har ett tidsseriedata över den ekonomiska tillväxten i Finland under ett antal år. Du kör regressionen:
𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡å𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛
Vilket värde (positivt/negativt/noll) kan du förvänta dig att b antar? Motivera kortfattat.
13. Tidsseriediagrammet nedan illustrerar inflationen i Sverige mellan åren 1831 och 2014. Vi kan beskriva det cykliska mönstret genom en autoregressiv process:
𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛̂ = 0,93 + 0,63 ∙ 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛å𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛
a. Hur stor är den långsiktiga jämviktsnivån för inflationstakten?
b. År 2014 låg inflationen på -0,2 procent. Gör prognoser för inflationen år 2015-2017.
c. I det här fallet så kan vi dessutom använda inflationen två år innan för att göra prognoser:
𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛̂ = 1,16 + 0,77 ∙ 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛å𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛 − 0,23 ∙ 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑡𝑣åå𝑟𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛 Var predikteras nu den långsiktiga jämviktsnivån ligga?
d. Se uppgift c: Använd den här regressionen för att prognostisera inflationen år 2015-2017. År 2013 låg inflationen på 0 procent; år 2014 på -0,2 procent.
14. Vilket eller vilka av följande påståenden är korrekta?
a. Om en tidsserie följer en random walk så finns det ingen korrelation mellan ett värde och därpå följande värde (dvs. ingen autokorrelation i serien).
b. Om en tidsserie följer en random walk så är dagens värde vår bästa prognos för morgondagen.
c. Om en tidsserie följer en random walk så är medelvärdet för serien vår bästa prognos för morgondagen.
15. Tidsseriediagrammet nedan visar tillväxten i Finland under åren 1961-2010. En autoregressiv process som beskriver tidsserien ges av:
𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡 = 1,57 + 0,39 ∙ 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡å𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛
a. Gör en prognos för år 2012. Sista året i data (2010) var tillväxten 3,25 procent.
b. Tidsseriediagrammet ovan tyder på att tillväxttakten sjunkit något över tid.
Vi inkluderar nu en linjär tidstrend i regressionen med resultatet:
𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡 = 2,43 + 0,35 ∙ 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡å𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛 − 0,03 ∙ 𝑡𝑖𝑑
där tid är en variabel som antar värdet 0 år 1961; värdet 1 år 1962, osv. Gör nu en ny prognos för år 2012 utifrån den här regressionen.
ATT FÖRKLARA UTVECKLINGEN
16. Du vill beskriva hur utvecklingen i antal nybyggda hus i huvudstadsregionen varierar som en funktion av räntan och realinkomsterna. Du har tillgång till tidsseriedata för dessa variabler på årsnivå. Beskriv en regressionsekvation som mäter detta, samt beaktar potentiella trender.
17. Nedan ser du två tidsseriediagram. Det första visar spädbarnsdödligheten i Afghanistan mellan åren 2000 och 2009. Det andra visar hur mycket jordbruket bidragit till Finland ekonomi (% av BNP) under samma år.
c. Anta att vi kör regressionen:
𝑠𝑝ä𝑑𝑏𝑎𝑟𝑛𝑠𝑑ö𝑑𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑗𝑜𝑟𝑑𝑏𝑟𝑢𝑘𝑒𝑡𝑠𝑏𝑖𝑑𝑟𝑎𝑔 Vilket tecken (positivt/negativt/noll) får koefficienten b?
d. Se fråga e: Hur förväntas koefficienten förändras om vi också inkluderar en tidstrend i regressionen?
70 80 90 100
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Spädbarnsdödligheten i Afghanistan (döda/1000 födslar)
2 2.5 3 3.5 4
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Jordbrukets bidrag till den finska ekonomin (%)
18. Centralbanker använder styrräntan för att påverka konjunkturerna. Anta att den predikterade ekonomiska tillväxten kan beskrivas som en funktion av räntan enligt:
𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡̂ = 5 − 0,3 ∙ 𝑟ä𝑛𝑡𝑎𝑛 − 0,2 ∙ 𝑟ä𝑛𝑡𝑎𝑛å𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛
a. Anta nu att centralbanken sänker styrräntan från 4 till 3 procent. Hur stor blir effekten på tillväxten det året?
b. Se fråga a: Nästa år ligger räntan kvar på 3 procent. Hur stor tillväxt predikteras man få detta år i jämförelse med den tillväxt man hade fått om räntan aldrig hade sänkts?
19. Ett typiskt år föds det ungefär 60 000 barn i Finland. Regressionen nedan visar hur antalet nyfödda per vuxen (variabeln nyfödda) varierat över tiden som en funktion av föräldrapenningen det året, föräldrapenningen året innan samt två år innan. Föräldrapenningen mäter här hur stor procent av din lön som du får behålla då du går på föräldraledighet.
𝑛𝑦𝑓ö𝑑𝑑𝑎̂ = −0,054 + 0,0006 ∙ 𝑓ö𝑟ä𝑙𝑑𝑟𝑎𝑝𝑒𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 +0,0002 ∙ 𝑓ö𝑟ä𝑙𝑑𝑟𝑎𝑝𝑒𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛å𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛 +0,0001 ∙ 𝑓ö𝑟ä𝑙𝑑𝑟𝑎𝑝𝑒𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑣åå𝑟𝑖𝑛𝑛𝑎𝑛
a. Under några år låg föräldrapenningen på 80 procent. Hur många barn predikteras det födas per vuxen under denna policy?
b. Man höjer nu föräldrapenningen med en procentenhet. Hur stor är effekten på antalet nyfödda per vuxen samma år?
c. Se fråga b: Hur stor är den långsiktiga effekten av policy-förändringen?
