DE
FUNCTIONIBUS ALGEBRAICIS
DISSERTATIO CRITICA.
cujus PArTEM quintam venia am pl. fac. piiilos.upsal.
P II JE S i I) E
Mag. Ii ENRICO FALCK
Matliematum & Philosophiae Naturalis Adjuncto
pro gradu philo sopiiico
p. p.
CAROLUS EDMUNDUS WENSTRÖM
A Sacris. Veslm-Dalec.
IN AUDIT. GUSTAV. DIE XIV JUNII MDCCCXXXVI.
ii. a. m. s. »
UPSALIAE,
excudäbant regiae academiae typoöraphi.
VIRQ MAXIME REVERENDO,
S. S. THEOLOGLE CANDIDATO, CONCIONATORl AULICO,
PASTORI ARBOGENSIUM ET PR^POSITO ORDINARIO,
AG. A IN D R E Ü L. BROBERG
hag pagellas
piå gratåque mente consecrare
v. d.
C. E. WENSTRÖM.
HANDELSMANNEN
ÄDEL OCH HÖGAKTAD
II eh B JOHAN PET. PALMAN,
med lacksam hågkomst af äldre förbindelser,
S ' > ''y
cgnadt af
CAM. EDMUND WENSTRÖM.
fisüstt '33
addätur, siniili.térque ex duabus ullimis sequationibus (AG), (AF) quam seu {cquatio (.AH) inter C, Z9, H; ex (^/#) et
(AG) quinfa seu aequatio inter C, Z), I eruitur &c. Sed quo eadem hsec regula eiiam in ipsåsecundasequatione (AF)
inveniendä succedat, necesse erit ut mox ante primam se-
quationem (AK) formetur sequatio (AC) inter C, D, C, ea¬
dem omnino lege, qure in omnibus sursum sequalionibus {AI), {AH), (AG) 8Cc. jam obtinet, Pro residuo igitur
in hac sequatione quaesitå habebitur C, qui ex tribus illis in sEquatione (AK) ingredientibus arcubus E, C, D, proxime superat residuum primum E, Hoc vero residuum antece¬
dens C erit additivum, quoniam In vices omnia sursum re- sidua subtractiva sint afque additiva. Eådem lege, ut an- tea semper, ad dextram signi sequalitatis scribi debet D et ad sinistram C, tum vero, ut aequatio sie proveniens CzzD
+ C a falsa ad verami, servatåforma, abeat, dexter ülearcus D per o erit mültiplicandus, unde aequatio, quas quseritur,
Cns o . D -j- C,
Sic omnes omnino inde a primå ipså metiendo detectå te-
quatione (AE) per eandem eliminandi regulara habebuntur sequationes, quarum igitur erit calculus:
5.
34
czz c.ju «4- C ... i (i^C)
DzzolC^E,..44), ciC= D — E, (^2£)
C=ßE±F...(B), (ß*+ i)C=:ßD + F ... . {AF) EzzyF-\-G{C), (yßa^ya^<x)C^{yß-\"i)D—G.. (^G)
• $yß&\ . C =±s
H- JyceI -4- J
-f- dos } —{— /S1
<4- ßa
•+ 1
SCc. &c.'
SI vero fuisset antecedens C t> consequente D, i.e. q^>i,
ad hoc eådem lege et iegulå perventum esset ssquationum
systeraa:
o . C = D - D ... . (/?£)
Cc=*ZM-£.•.(if), C =* aD-1rE (AE)
D=ßE+F.„{B)t ßC = (/3» + i) D—F... (^/0 E^yF-^-G... (C), (y/34*i)C:==(y/3«^y4"a)9^^ • • (-^^) FasjG-f-H.•«(jD), $yß\.Cz=: äyß .D —H(AH)
+ Ja + [dy
+-
/3j ; + (jfifc
+ /3ßf
+. i
&c. &c:
35
Ohiter obseivändum, per eandem illara regulam öbtineri quo- que posse ipsam primam sequationem (AE) ex duabus quibusdam antecedentibus, si eådem lege forraetur sequatio
secunda antecedens, in illo systemate o.C = D— D . . . (AD)
et in hoc
C= o.D + 6 • : • (AC),
quod vero in praxi nullum habet usum, quippe cum pri¬
ma illa sequatio (AE) per ipsara primam metiendi functio-
nera prodierit.
Si jam brevitatis causå designentur:
ßct + I s= ®
yd + et 7ZZ et" yß "h i ~ ß
Sc*"
+ = *>' **'"
**'"
+ «" = tß" + «!'"ß I«"" + = tt!"" a!"iß'" + ß" = ß
+ tt!'" — «,""" riß"" .+ ß'" = ß'""
Sic.
erit systematum nostrorum:
prius: et posterius:
c = 0. D+ C,.(AC)= (<*ß)
_ D— E ( = «D + AE)C .
//
't ff
I////
a'C —+ ßü (AI!) ßcF a'D— F
a"C= Gß'D....— = + G (AG)(AG).
u"'C= ß"D (AH)+ H...."C= — .... (AH)
a""C = ß'"D—l. ..(AI) ß"'C = + I ...(AI) a'""C=.ß""D + K... (AK) ß""C=a""'D—K ... (AK) a"""C=ß"'"D—L.. (AL) ß'""C=a"""ü+/.... (AL)
a— C=ß"""D +M■.(AM)ß— —D—M..(AM)
a"""C=ß"""D—N..(AN) ß"'""C= a""""D+ N. . (AN)
SCc. &c.
Sed, ut antea observavlmus, ex Eucl. III: 27 coneluditur,
h®c eadetn sequationum systemata simul proditura, si de
ratione r, qu® facit angulum A ZZ rB, eruenda agatvir.
Erit scilicet, s» puncta. arcuum cum cenfris circulorum jun-
gamus, systematum nostrorum
prius: et posterius:
A=0.+ . .B(A'C)A. — .
uJ = B — E' . . . (/MO A=aB+£'... (A'E')
a'A —ßB+ F . . . — (A'F'). . . (A'F')
a"A=ß'B—G' . . . (A'Gl ß'A=a"B+G' . . , (A'G')
8Cc. &c.
Fractiones autem hinc derivand®, qu® ad ipsas proporti©-
nes q et v simul magis magisque appropinquant, ab hia ip-
== 57
sis rationibus alteme et sirnul excessu et simul defectu abenant, ita ut, si arcus spectas,
>i C< D et ubi C > D
iD + {C c z= !D| i.n
i i
— D ~—
cc cc
E =
y D + {Et
ß rv 1
"t D + -7
cc cc
F — ^ß D — 4ß F
VD-L
cc cc
G
cc" 1 ,
-wD+wG
SCc, 8Cc.
Significat auiem i nihil aliud nisi quantitatern, ad quam magis magisque accedit immense crescens quotiens, quo ma¬
gis ad nihilum deprimatur di visor decrescens dividendi
constantis, i. e. significat quantitatern infinite magnam vel ejusmodi quantitatern, quas minui quidem, sed non augeri
potest, contra quod j seu o quantitatern designat infinite;
parvam, i. e. ejusmodi quantitatern, quse augeri quidem,
non minui potest. Similiter, si angulos ad cenUa arcubus insistentes spectas, erit
ubi C < D et ubi C > D
A=\B+ AealB\A — lB
38
= 1 B — i- B" = - B + 1E'
CC 06 1
= a B + at, =~S-^r(öp
&c. SCc."
His ita prasmissis, si quis forsan crediderit, in casu C < Z)
esse r > q, patet, fore aliquando ex residuis subtractivis
E, G, I, L . . . ejusmodi quoddam (sit ex. gr. L), ut ha-
beatur L < (r—»q) D. Sed in systemate praeeedente sequa- tionum (AC)} (dE) . . . erit
j"'"C D—L> unde uE""C vel »'"'"qD < &""D ß'Y/" ß'""
et qD < D, nec non q < --T/> contra quod, cum
es a
(r~\ q) D velJ-' rD—qD> L, eritlKrD > qD + — —/v iV,
'////
^ g,
i. e. rD > •—77777;turtr nec non f Ab altera vero
a cc
parte, si ad angulos adtendis, erit in systemate requfrtionum (/fC), K#) . . .
a""A —pj"" B—U, unde vel «"""rB <
ß'"" ß'""
et rB < -7777T, B, nec non r < , quod vero cum pro¬
tes oc .
fecto sit absurdum, minirne poterit esse r > q. Si autem
39
statusretur esse v < q, patet similiter, ut jam demonstra-
vimus, fore aliquando etiam ex residuis «dditivis Hy K,
M, . . . ejusmodi quoddam (sit ex,gr. K) ut K < (q—r)D.
Tum vero ab unå parte erit
cc'f""C = /3""D + K, unde a'""C vel cc""qD > ß""D
rs V"
et qD > —7777 D, nec non q > -77777, contra quod cum
{q—r)D vel qD—rD > K, erit qD> rD + %■
n""
ß""
et ql) &j J'e' > rD seu ^ < I7^7" D
C£> OC .. 06 —
. A
el v < —7777T-"• Ab altera vero parte erit etiam
cc
cc"'"A = + Ä', unde vel «'"V# >
/3"" „ /3""
et ri? > -77777 Z?, nec non r > —77777-, quod cum seque Sit
^ 06 cc
absurdum, neque profecto poterit esse r < q9 unde reverå
r = q, sive fuerit utraque sive alterutra sive neutra com*
mensurabilis. Semper igitur erit A: B — C: D.
Eadem argumentandi viå evincitur haec ipsa veritas, quando fuerit C> D. Hasc autem ipsa demonstrandi me- thodus, quae absque omni multiplicium infiguris geometricis
usu nihil aliud geometrice construit, nisi quod ex ipso
Euclidis metiendi principio seque bene rigideque ac multi- plicia illa Euclidea con9truere 1icel, mutatis rnodo nomin i*
bus simili ratiocinaiione irnmediate extendi et potest «t de¬
bet ad duas alias veritates geometria? aequo jure fundamen¬
tales demonsfrandas vel potius problemate enucleandas, esse scilicet A: B ~ C: D I:mo, si fuerint A 8c B aeque alta triangula aut parallelogramma basibus C SC D insistentia,
et II:do, si fuerint A et B latera trianguli, atque C el D
latera homologa trianguli, in quo duorum angulorum suo quisque in altero triangulo aequatur. Harum autem trium
propositionum (Eucl. VI: t, 4* 33) eodem jure fundamen- talium, quaelibet ex ipso proportionis adaequate definiend^
principio vel potius rite eruendae problemate irnmediate o-
rnnino et Vine ambagibus Euclideis est demonstranda. Si
vero in hoc ipso problemate solvendo brevissimå, quae
praxi convenit, via pervenire placeat ad rationem q, quae facit arcum C — qD, ubi radii aequales, erit profecto alter,
tiis viteibtts metiendi et per novum semper quotientem com-
putandi instituenda operaitio. Si scilicet ex. gr. C < Dt primo notetur, quae prima metiendo cognita fuerit aequatio
ID = ocC -{- Et deinde haec aequatioin formam ccC — D-—E redigatur, quo antecedens C dextram teneat partem; tum yero pcribatur prima hinc prodiens et ad q appropinquans
