FALCK ENRICO

Q5

DE

FUNCTIONIBUS ALGEBRAICIS DISSERTATIO CRTTICA.

CUJUS FATEM SECUNDAM

VENIA AMPI,. FAC. PHILO». UPSAL.

P II JE S I I) E

Mag. H ENRICO FALCK

Math-emalum & Philosopluae Naturalis Adjuncto

PRO GR AD U PHILOSOPHIGO

P. P.

JOHANNES NORDMARK

Stip. Posseth. Upl. Rosl.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XXVIII MAJI MDCCCXXXVI.

H. P. M. S.

UPSALINE

EXCUDEBANT REGIAE ACADEMIAE TSfPOGRAPHI.

PHOSTEN OCH KYRKOHEß DEN

i ' t t

ÖFVER

BÖRSTlUS^ ÖSTHAMMARS OCH GIlÅSÖ FÖRSAMLINGAR

MEDICiNAE DOCTORN OCH CHIRUR Gl A E MAGISTERN

HÖGÅREVÖRD1GE OC H Vi DTÉR FAR NE

SAMT

VÅLBORNA. FRU DOCTORINNAN

HANNA ARFI

FÖDD AF BJERKKN.

medt vördnad och tacksamhet

A F

JOHAN NOR D MA R K

' 9

$ vi.

Ut vero evidenter prodeat theoriae multipllcationis et

divisionis incommensurabilium sinmi et commensurabiliunt

«um proportionum doctrinå universali identitas, eo major

in ipså proportionis notione construenda adhibeatur sollici«

tudo, qvo certius a veiå principiorum mathematicorum cognitione abductura sit omnis proportionum doctrina,qvse fundamentalem illum proportionis seu rationis conceptum

aut neglexerit aut negligenter explicuerit. lllud faciunt, qvi ^cum EUCLIDE omisså hujus notionis constructione

pro definitionibus falso vendunt theoremata illa exhaustid- nis, qvorum veritas, nisi recta definitio proportionis an- tecesserit, elucere neqvit. Hoc vero committunt, qvi cum recentioribus harum rerum scriptoribus rationem qvanti A

„ A

ad qvantum B per qvotientem —(sive, qvod idem ©m- B

nino significat, A:B) Tecte qvidem definiunt, hunc ^vero

a

qvotientem male explicant per qvotientem ^— valorumjqvi-

b

bug A Sc B gaudenf, abstractorum, nullam incommensura¬

bilium mentionem injicientes. Futilis ^autem est qvasstio,

ufrutn prasferenda sit Euclidea an recentiorum, ex, gr. a LEGENDRE exposita, proportionumad geometriam appli—

catio. Utraque suis laborat defectibusj hzec vero Eucli«

deam, rite perceptam, ut prseviam partem necessariam de.

10

siderat. Qvo vero juste aestimentur ulriusqur et merita et

vitia, primo disqvirendum ^, qvodnam omnis omnium tem¬

porum proportionis theoriae sit verum princlpium. Sic fa-

cile constabit, Euclideam proportionum doctrinam neqve,

ut nonnumqvam fit, esse repudiandam, ^neqve, ut plerum-

qve inos est, lacunis non completis,. memoriter tantummo- do tenendam.

Qvando de proportione agitur ex. gr. anguli A ad angulum B, id sine dubio proponitur qvaerendurn, ut, an.

gulo B ^pro ir.ensurå habito, sola numerorum ope qvanti-

tas ipsius A sive exacte sive utcunque parvo errore de- scribalur. Nullaigitur esse potest nisi gevmetrica, ut inepre audit, proportio., id qvod ipsa qvoque via vocis bene mön¬

strat; quippe cum dijudicetur qvantitas anguli A reSpectu

anguli B propartibus ipsius B, qvibus asqvatur A vel er¬

rore satis exiguo appropinquat. Bepudianda igitur anti-

qua illa baud minus inepia denominaiio proportionis arilh- nieticas, cui profecto praeferenda vulgo nota et accepta vux

differential, excessins vél defectus. Cum igitur proportionis explorand® opera in metiendo prascipue versetur, piinci- pium hujus negotii perficiemli fundamentale ^{non esse} _po¬

test nisi ipsum illud, pro dtfinitione falso habitum Eucü- deum: Minor duarttm ejusdem generis magniiudimim tofws

cum

■ 31

multiplicaripotest, dorne, majorem superat, vel, quod ad idem

redic Magnitudo minor utcunque majorem metitur, quamvis

non Semper exade. Jam vero si quseritur, quantus sit an?

gulus A respectu minoris B, et B exacte metitur A ita,

ut ex. gr. A~1:5 B, erit profecto numerus ille integer 5

seu multiplicern denotans, ipsa ratio seu proportio} ^quam

habet A ad B. Si autem fuerit A < B, et A exacte me¬

titur B ita, ut ex, gr. 3 Azzz B, erit saue A~\B\ et

fractio partem denotans, erit ratio ipsius A ad B. Nam

/. B\ ^•

5 B idem sit atque f B ^seu B I i. e. lo.— hnl*

hil impedit quominus eodem jure fractio i1 fa ipsius B seu

-0 É productum quoque salutari po3sit ex ipso B per inultiplicato, eodemque jure et 5 multiplicatores dicantur.

Hinc patet caussa, cur idem jus ad ^quamcumque fractio«

nem ariihmeticam extendatur, unde | B, qvamvis reverå significat quotientem ex divisione ipsius B per numerum

B

integrum 3, i. e. idem ac —soleat tarnen et debeat pro¬

ductum nuncupari ex multiplicatione ipsius B per nume¬

rum fractum Sive igitur fuerit A~$ B siveA^— | B,

erit ratio ipsius A ad B nihil aliud nisi quanlitas illa

abstracta, per quam multiplicari debet B ut fiatZZ A.

12

Jam vero, si, ut saepissime fit, neque B exacte meti-

tür A _neque A ipsum B, hoc est, si ratio ipsius A ad B

nec fuerit fractio, cujus denominatoT ^{sss i} neque vero fta- ctio, cujus numerator « i, necesse erit, quo nihilomir.us

per metiendi negotium prodeat fractio, quse forsan hane proportionen! designet, ut cum alio _quodam angulo compa- xentur et A et 5, hic vero angulus intermedius ifa sit constitutus, ut primo quidem ratio, quam ad eum habet A, deinde vero ratio, quam ipse ad B habet» per unurn, eumque integrum, nurnerum exprimatur. Sic ^duae diveuae,

nec plures, panduntur ad eandem hanc metam ducentes viae, quarumuna per communem ipsorum A et B dividu-

um seu continentem; altera per communem horum angulo»

xum divisorem seu mensuram sternitur. Si priorem in- gresso experiroentum metiendi dederit continentem quen- dam seu multiplicem ipsius A, ex. gr. lg A, qui exaefe quoque contihent B, ita ut ex. gr. 19 A ⁼ 32 /?, tanta

profecto erit ratio ipsius A ad By ut A aequalis sit unde*

t» / a

vigesimae parti triginta duorum B I A =='—— I. Cum ^ve.

V '9 )

xo, ut jam demonstravimus, in fractione B omni jure

liceat fractionem illam abstractam 32.^ multiplieatortm ap.

pellare, licebic ^quoque multiplicatoris nomine designare

j i3

quotlentem "g1, valöre prorsus aequalem fractioni 32.. 5

minime tarnen cum hac fractione eundem vel, ut loquun-

tUT, identicurn, modo sei Iicel concedaiur axioma, ordinem,

quo per numeros integros multiplicetur et dividatur, pos

se inverti. Errant vero, qui se ad mefarh rationis, quam

ad B habet A, eruendae pervenisse perhibent, qoando

ertuntiaverint esse ex. gr. Ig^4—32 B Nondum scilicet

expre3serunt, quid sit reverå, quod rationern quaesitarn

constituat. Neque enim haec ratio est numerus 19, nec

numerus 32, neque vero horum numerorum summa, pro-

dueturn, differentia 8Cc. Nurneri iy et 32 non sunt igi-

tut nisi materia rationis qusesitae construendae; unrie fa-

men, antequam peracia fuerit ipsa constructio, frustra pe¬

tas ipsarn rationetn. Hebc vero constructio, seque ac uni-

tas, cujus multiplicatione et divisione absolvitur, r.on est

sensualis, i. e. specialis seu concreta, sed rnere idealis i. e.

universalis seu abstracta, quotientis scilicet abstracti

qvi quidem quotiens accurate demurn definit rationetnexplo-

randam Similiter ^constat, illi, qui alteram viam ingres-

sus ejusmodi q tienelam comrnunem divisorem M com pere- rit, ut sit ex. gr. //=3® M et Ä=aigf, ex his solis a&qnationibus nondum patere ipsam, de qua agitur, ipsius

A ad B rationem. Solam rnateriam rationis construendae

H 1

subministrant hae sequationes, minime autem ipsarn ratio«

nein, quse nnnnisi peractå constructione prodit = 33• 1*9 (vulgo !?). Hujus ^vero constructionis prstfermissio, cui-

vis proportionum doctrinae eo magis vitio verterida, quo sie vel simplex ille casus proportionis cum unirate ab- straciå commensurabilis manet inexplicafus. Parum enim refert locutio: A sese habet ad B ut numerus integer ad

numerumintegrum,^ex. gr. A: B ^z=z 32 : 19, quamdiu seque obscura manet ipsa ratio, quam habet 32 ad ig, quse non- nisi constructione _{per unara} vel alteram viam peractå pro¬

dit aut =!§■ i. e. 35./9 aut =

Oblivio _{autem, qua} EUCLIDES _utramque hane ra- tionis constructionem praetermisit, inde videtur non modo

excusanda, sed forsan defendenda, quod nullam omnino concessit magnitudinis cujusdam in partes sequales divisio-

nem. Inter prineipia scilicet rigoris omnium _temporum geometrici adnumerandum, nullam nec ad demonstrationem

absolvendam nec in hypothesi quidem et definitione occtir- rere debere, nisi quse antea fueritplene" constructa. Haec regula ^ne minimum quidem infirmatur exemplo ipsius EUCLIDIS, qui eam in demonstrationibus plerumque ob«

servatam de cetero Semper fere neglexit. Sic in constru-

ctionibus geometricis, quse Propositionibus ^{l et} _{33. Libri}

■ i5

VI fundamentalibus demonstrandis inserviunt, omnem in sequales partes divisionem tam anxie evitavit, ut ne vo- cabula qvidem partis vel fraclionisadmiserit; attamen mox ab initio doctrinse sure supponit, datis ^ex. gr. duabus li-

neis Cet D unå cum dato angulo B} ^esse etiam ejusmo-

di angulum quendam, A, ut semper a A > = < /3 B,

prout fuerit cc C > = < ß D; minime autem explicat, quomodo construatur vel saltem cogitetur hic angulus A.

Si vero fuerit 19 Czzz 32 D et 19 A ³² B, unde facile coliigitur, fore in genere cc A > = < /3 B, prout fuerit

a C > = < ß D, ipse tarnen hic angulus A prodire ve!

t . . ... 32 R

saltem concipi nequit nisi pars illa construatur. Cum

<9

vcjto in ipsis demonstrationibus libri XT.'rni ^et XII:ml ita argurnentatur: Nisi fuerit A: B C: D, erit profecto

alia quaedam quarta proportionalis E, major aut minor

quam D, adeo ut Al B zzzXjt sufficienter _patef, ab

■EUCIjiDLi _{partis et} fractionis noiionem, quamvis eam

geometrice construere aut noluerit aut nun potuerit, tarnen ut cogitabilern esse ^concessam. Cum ^vero oinnis rigor geometricus ad quamlibet matheseos partem aequo jure, qnoad fiéri possif, exiendendus, hujus loci videtur dig- quirere, quomodo ^et quousque ope principii Euclidsani

i6

de magnitudine quåvis ^semper metiendå, minime auicrn

pattiendå, fractio tarnen absque omni partitione cogitetur

atque sie non modo multiplicia sed partes quoque et fra- ctiones, tum vero exiende proportiones cujuscunque gene*

ris construantur, sive hae fuerint numeri fracti sive _quan*

titates illae incommensurabiles vel surdae, quae absurde

prorsus numeri surdi vulgo appellantur.

§• vir.

Quoniara omnis divisio multiplicationi ita slt opposi-

ta, ut, invento per Euclideum multiplicandi seu metiendi prtncipium produeto quodam anguli dati B, ex, gr. A SS

5 B, simul etiam detur ipsa notio partis, cum reverå sit B =a \ Ay ubi et B et A sunt anguli noti. Ipsa igitur roultiplicatio sufftcit ad notionem et exempla partis et fractionis subministranda. Si _autem qusestio fuerit, quo-

modo per «olam multiplicationem pars data anguli dati B, ex. gr. | B, ^«altem cogitetur, in subsidium vocetur oportet idem ille sive in crescendo sive in decrescendo

«ontinuus motus, cujus usum jam antea in notione _quan«

titatis surdse i5 et produeti

IX

experti sumus. Intime autem hic motus continuus cum

definitione magnitudinis cohseret. Est scilicet magnitudo