Matematisk modellering

(1)

Matematisk modellering

Genomgång 1

Pelle

Matematikcentrum Lunds universitet

5 november 2019

Pelle Matematisk modellering 5 november 2019 1 / 39

(2)

Inledning Modellering Modelleringsexempel Rapportskrivning Latex Matlab Sammanfattning Avslutning Mål

Dagens program

I Vad handlar kursen om, mål, kurskrav, syfte

I Dela ut kursprogram

I Matematisk modellering I Beräkning och simulering

I Matlab I Rapportskrivning

I Struktur I Latex

(3)

Projekt

I 3 projekt i stigande omfattning

I Dela ut första projektet

I Projektarbetet sker i fasta grupper om 4-5 personer I Varje grupp har en handledare

(4)

Mål

Projektredovisning

I Varje projekt avslutas med skriftlig rapport.

I De två sista projekten ska också redovisas muntligt.

I En annan grupps muntliga och skriftliga presentation ska också granska och kommenteras.

I Sistatorsdagen 19 december 2019 kl 10-15gemensam redovisning i E:C.

(5)

Gruppindelning

I Fasta grupper 4-5 pers bestäms av Pelle.

I Meddelas imorgon kl 10.15 i MH 230.

I Då får gruppen också träffa sin handledare ca 11.15.

I Meddela mötesplats på vita tavlan! I Deltagarlista!

(6)

Kursmoment

I Matematisk modellering

I Simulering och beräkning (matlab)

I Rapportskrivning lite om struktur och hur (latex) I Muntlig presentation

I Granskning av rapport

I Granskning av muntligt presentation

I Dela ut kurshäfte!

(7)

Matematisk modellering

I Ni kommer i era arbetsliv många gånger få uppgifter som är vagt eller kanske felaktigt formulerade.

(8)

Matematisk modellering

Modelleringsprocessen

I Från verkligt problem till modellproblem I Observationer

I Val av viktiga storheter och samband I Analys av modellproblem

I Eventuell simulering/numerisk beräkning I Tolkning av analysresultat, kritik av modellen.

I Eventuell modifiering av modellen

(9)

Exempel

Matematisk Modellering

Problem:

Betet i en hage har visat sig räcka 3 dagar till 6 kor och 7 dagar till 3 kor. Hur länge räcker betet till en ko?

(10)

Exempel

Hagens bärighet

I röd - utan tillväxt I blå - med linjär tillväxt

(11)

Exempel

Varning

I En modell fångar bara några aspekter I Sparsmakad

I Om naturen skiljer sig från kartan, lita på naturen!

I Tänk på vilket område modellen är giltig

(12)

Exempel

Förenkla

I Våga förenkla

I Tänk på vilken inverkan olika variabler har I Kvantifiera grovt olika variablers inverkan

I Försumma de faktorer som har betydligt mindre inverkan än andra

(13)

Planetbanor

Om man antar att jorden roterar så ligger stjärnorna stilla medan solen, månen och planeterna merkurius, mars, venus, jupiter och saturnus flyttar sej.

På medeltiden ansåg man att jorden låg i mitten och de andra kretsade i banor kring jorden.

(14)

Planetbanor

Problematiska planetrörelser

Svårt att förklara till exempel mars vandringar.

Aldebaran

Bildserie av Mars på himlen 2007-2008, kring en opposition. (Ur Sterne und Weltraum nr. 12, 2009.) ”Oxens öga”, Aldebaran, har markerats.

För Brahes del blev tiden i Prag inte vad han väntat. Han påverkades ohjälpligt av de hovintriger som var följden av kejsarens svaghet – vid sin död 1612 var han berövad all makt – och fick exempelvis av en trilskande skattmästare inte sällan bara ut hälften av de pengar som utlovats. Tiden i Prag blev dessutom kort; Tycho Brahe avled i oktober 1601.

Livet på slottet Benatek, Brahes residens där även familjen Kepler bodde, blev inte heller lätt, med ständiga konflikter mellan de båda hetlevrade astronomerna.

Den förmögne, högadlige Brahe behandlade sin fattige assistent nedlåtande, inte minst genom att bara lämna från sig data bit för bit, som ”köttben åt en hund”. När det stormiga samarbetet tog slut med Brahes död passade Kepler därför på att lägga beslag på alla mätdata, till arvingarnas raseri. Det orsakade efter hand en hel del bekymmer och dessutom misstanken att Kepler förgiftat sin uppdragsgivare.

Den senaste undersökningen efter en öppning av Brahes grav visar emellertid inga spår av någon förgiftning. Mer talande är i stället att Kepler som ett drag av förso- ning erbjöd Brahes svärson Tengnagel att stå som medhjälpare i arbetet.

Kepler trodde nu optimistiskt att arbetet med Mars skulle ta åtta dagar. Så blev det inte, det tog åtta år, men sedan kunde han också presentera ett av tidernas mest

(15)

Planetbanor

Nicolaus Copernicus (1473-1543)

Föreslog 1543 att solen låg i mitten och att jorden och planeterna hade cirkulära banor kring solen (fästa på kristallklot).

(16)

Planetbanor

Johannes Kepler (1571-1630)

Tyckte det skulle vara tjusigt om planeternas banor låg på klot inskrivna i platoniska kroppar.

De fem rymdfigurerna ovan var kända som de perfekta eller platonska kropparna.

Alla begränsas av ett antal plana, liksidiga ytor, trianglar, kvadrater och femhör- ningar, men det märkliga är att man kan bevisa att de fem kropparna är de enda som kan byggas upp på det sättet. Av liksidiga femhörningar behövs t.ex. tolv för att de ska kunna bilda en sluten yta, färre räcker inte och med fler går det inte heller. (Troligen kommer vårt ord ”dussin” av ”dode”.)

Kepler var övertygad om en harmoni i universum, där matematik och geometri bildade grunden – helt i Platons anda - och vad var då naturligare än att de sex då kända planeternas banor byggdes upp av de här figurerna.

Mars sfär

Jupiters sfär Saturnus sfär Keplers världsmodell.

I modellen hade var och en av planeterna en sfär, sex sfärer således, med platonska kroppar inskrivna i denna ordning:

Saturnus sfär Jordens sfär

Kub Ikosaeder

Jupiters sfär Venus sfär Tetraeder Oktaeder

Mars sfär Merkurius sfär

Dodekaeder

Beskrev modellen 1596 i boken Det kosmografiska mysteriet.

(17)

Planetbanor

Tycho Brahe (1546-1601)

Satt på Ven och mätte planeters positioner med större

noggrannhet än tidigare. Försökte få mätdata att stämma med jorden i mitten men det gick inget vidare.

(18)

Planetbanor

Kepler igen

När Brahe dog fick Kepler överta Brahes mätdata som han försökte få och stämma med sin världsbild. Gick inget bra det heller.

Bättre gick det när han modifierade sin modell. Nya modellen sammanfattas i tre lagar som publicerades 1609 och 1619.

(Ur Sterne und Weltraum nr. 12, 2009.)

Det är värt att påminna sig om att inga av dagens räknehjälpmedel fanns att tillgå på Keplers tid, utan att allt räknearbete måste ske för hand och att det därför bör ha varit nödvändigt att både kontrollera och dubbelkontrollera resultaten.

(19)

Inledning Modellering Modelleringsexempel Rapportskrivning Latex Matlab Sammanfattning Avslutning Planetbanor

Keplers lagar

1. Planetbanorna är ellipser med solen i ena brännpunkten.

2. Ythastigheten är konstant.

storslagna verk, Astronomia Nova, 1609. Samma år, för övrigt, då Galilei började sina observationer med kikare, vilket gör att ”det astronomiska året” 2009, som officiellt berodde på detta, lika mycket borde ha ägnats åt Keplers insats.

Astronomia Nova.

Astronomia Nova innehåller det vi nu kallar Keplers första och andra lag. Den första säger att planeterna rör sig i ellipsbanor med solen i den ena brännpunkten och den andra är den om ythastighetens konstans. Enligt den andra lagen sveper linjen mellan planeten och solen (radius vektor) över lika areor på lika tider. Om tiden t2-t1 i figuren nedan är lika med t4-t3 så är de båda areorna A1 och A2 lika.

Radius vektor

(Bilden tagen ur Sterne und Weltraum.)

Först fram emot 1605 kom Kepler på idén med ellipsbanor och hade innan dess bland annat tänkt sig ovala, alltså äggformade banor. Utdraget nedan ur Keplers omfattande räkningar nedan visat omräkning av Mars positioner i förhållande till jorden – dem som Brahe hade mätt upp – till lägena i förhållande till solen.

3. Samband mellan omloppstid T och medelavstånd R till solen.

T 88 225 365 687 4392 10753 R 58 108 150 228 778 1430

T²

R³ =0,04

(20)

Planetbanor

Isaac Newton (1642-1727)

Publicerade 1689 tre böcker Principia med Newtons rörelselagar och gravitiationslagen vilka han visade medförde Keplers lagar.

A X I O M A T A

SIVE

L E G E S M O T U S

Lex. I.

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retar- dantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohærendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius.

Lex. II.

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum genera- bit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa suerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum utriusq; determinationem componitur.

Lex. III.

Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duo- rum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi.

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur.

Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahetur etiam & equus æqualiter in lapidem: nam funis utrinq; distentus eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapidem, ac lapidem versus equum, tantumq; impediet progressum unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunq; mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio

16

(21)

Planetbanor

Philosophiæ naturalis principia mathematica

Exempel på sats och bevis.

(22)

Planetbanor

Modern version

Andra lagen i modern version

F = d(mv) dt eller om massan inte är tidsberoende

F = ma = mdv

dt =md²x dt².

(23)

Planetbanor

Gravitationslagen

Hooke, Newton, andra (1660)

F = GmM r² eller

F = GmM

|x|² · (− x

|x|) = −GmM x

|x|³ där x = x₁(t), x₂(t), x₃(t).

(24)

Planetbanor

Diffekvation

Rörelselagen tillsammans med gravitationslagen ger detta att en planets acceleration ges av

d²x

dt² = −GM x

|x|³ eller kortare

x⁰⁰= −GM x

|x|³.

Differentialekvation som bestämmer planetens rörelse.

(25)

Planetbanor

Från linjär algebra

Bilda

L = x × x⁰ vektor som beror på tiden. Derivera

L⁰=x⁰× x⁰+x × x⁰⁰=0 −GM

|x|³ x × x = 0.

L (rörelsemängdmomentet) beror inte alls på tiden!

(26)

Planetbanor

Konsekvenser

Eftersom

L = x × x⁰

hela tiden har samma riktning rör sej planeten x hela tiden i ett plan vinkelrätt mot L.

Areatolkning av L ger Kepler andra lag.

De andra lagarna följer av en lite nogrannare analys av diffekvationen.

(27)

Disposition

Rapporten - disposition

I Inledande del (Titel, sammanfattning) I Huvuddel

I Inledning Ge bakgrund till problemet, litteraturöversikt I Problemformulering/Modellering Från verkligt problem till

modellproblem

I Analys Analys av modellproblem

I Resultat Tolkning av analysresultat. Användning av modellen och analysen.

I Slutsatser Kritik av egna modellen. Förslag på förbättring.

I Referererande del litteratur, ev bilagor

(28)

Disposition

Rapporten

I Sammanfattning - 10 gånger fler som läser sammanfattning än rapporten

I Fristående från rapporten I Alla delar i rapporten med I Enbart text

I Titel - 10 gånger fler som läser titel än sammanfattning

(29)

Fördelar

Latex

I Finns gratis till de flesta datorer och operativsystem

I Låter författaren koncentrera på innehåll och inte på design I Hanterar matematiska formler bra

I Man skriver i en ren textfil som sedan kompileras till annat format, t ex pdf. Text och slutfil lätt flyttbara

I Lätt att göra innehållsförteckningar, sakregister mm I Utbyggbart - lätt lägga till moduler som gör att man kan

skriva presentationer, musik . . .

(30)

Nackdelar

Latex

I Ser inte direkt vad man skriver I Felrapporteringen svårtolkad I Bökigt att få in bilder

I Svårt att avvika från givna ramar I Lite gammalmodigt

(31)

Exempel

Latex - ett exempel

\documentclass[ a4paper ] { a r t i c l e }

\usepackage[ T 1 ] { fontenc }

\usepackage[ u t f 8 ] { inputenc }

\usepackage{ mathptmx }

\usepackage[ swedish ] { babel }

\t i t l e{ Modellering av betet i hagen }

\author{ P e l l e P e t t e r s s o n }

\date{ 3 november 2015}

\begin{ document }

\ maketitle

\s e c t i o n{ Introduktion }

I Blekinges sk ärgård bor kossan Maj−Ros . . .

\s e c t i o n{ Betesmodellering }

\s e c t i o n{ R e s u l t a t }

\s e c t i o n{ S l u t s a t s e r }

\end{ document }

(32)

Exempel

Latex - ett exempel

I Lägg i filbete.tex

I Körpdflatex bete

I Poff

(33)

Exempel

Latex - ett exempel

Modellering av betet i hagen

Pelle Pettersson 31 oktober 2017

Introduktion

I Blekinges skärgård bor kossan Maj-Ros . . .

Betesmodellering Resultat Slutsatser

1

(34)

Exempel

Latex - komma igång

I En mall lämplig till projektrapporter ligger på kursens hemsida I Utförligare än exemplet innehåller exempel hur man

I lägger in bilder I skriver tabeller I Plocka hem och prova

(35)

Fördelar

Matlab

I Inte gratis men Lunds universitet har licens som ger alla rätt att ladda hem matlab (www.ddg.lth.se) (men Octave som är ungefär matlabkompatibel finns gratis tillgänglig)

I Är bra på numerisk hantering av matematiska problem I Är en interaktiv miljö för beräkningar och visualisering I Är ett programmeringsspråk

(36)

Modellering

Sammanfattning - modellering

I Förenkla (så att ni kommer igång)

I Förtydliga (antagande, variabler, samband) I Analysera

I Återkoppla till verkligheten I Sammanställ i rapport

(37)

Latex

Sammanfattning - Latex

I Hämta en mall och skriv

(38)

Att tänka på

Till nästa gång

I Läs igenom och fundera på första projektet I Första övningspassetimorgon kl 10.15 i MH 230.

I Gruppindelning

I Överläggning inom grupp om hur projekt 1 ska genomföras I Möte med handledare ca 11.15

I Genomförande av projektet

I Nästa föreläsningtisdag 12/11 kl 8.15 i MH 309 A I Lite mer om modellering

I Projektuppgift 2 delas ut

I Projekt 1 lämnas inonsdag 13 november