Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum Skrivtid 09:00 14:00. Teknikvetenskap och matematik

(1)

Teknikvetenskap och matematik

Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 2012-03-14 Skrivtid 09:00 – 14:00 Tentamen i: Fysik 3

Antalet uppgifter: 5

Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: 0705-509839) Examinator: Erik Elfgren

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook

Tillägg till Physics Handbook

Appendix till kompendiet i Problemlösning (1 sida) Räknedosa och ritmateriel

Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok.

Betygsskala: 3: 9–12 p 4: 12,5–15 p 5: 15,5 p – (inkl. bonuspoäng)

Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du an- vänder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lös- ningarna så att de blir lätta att följa.

Resultatet anslås: Studenttorget, 2012-04-14

Övrigt: Tal 1 och 2 är modern fysik, övriga är mekaniktal.

1. (4 p) Ett radioaktivt prov innehåller en blandning av fosforisotoperna P-32 och P-33 men inget annat. En inledande mätning visar, att av den totalt uppmätta aktiviteten från provet, så kommer 10,0 % från P-33. Hur många dygn måste man vänta för att 80,0 % skall göra detta?

2. (4 p) Isotopen väte-3 (tritium) sönderfaller med betasönderfall.

a) (1 p) Skriv upp reaktionen på vanlig form, med alla sönderfallsprodukterna angivna på korrekt sätt, och utan några andra symboler i formeln. Inga motiveringar behövs.

b) (2,5 p) Vad är sönderfallets Q-värde i enheten MeV?

c) (0,5 p) Q-värdet är ju reaktionens “avgivna energi”. Men vad “blir det av” denna energi? Svara med ett av följande alternativ: vätekärnans rekylenergi, sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier, dotterkärnans massförlust, dotterkärnans jonisationsenergi, elektronens viloen- ergi, neutrinons totalenergi, tritiumkärnans bindningsenergi. Ingen motivering behöver ges och svaret får inte innehålla annan text än ovanstående.

1

(2)

3. (3 p) Två skivor är geometriskt identiska, men tillverkade av olika material, och har följaktligen olika massor (se fig- ur). Den undre skivan som har massan m

b

är luftlagrad och sätts i rotation så att den får omloppstiden T

1

kring en ver- tikal axel (z-axeln). Den övre skivan med massan m

a

hänger först stilla rakt ovanför. Den släpps sedan ned på den un- dre, roterande skivan, varvid de två skivorna efter mycket kort tid roterar tillsammans med gemensam vinkelhastighet och med omloppstiden T

2

. Friktionen från luftlagringen är

försumbar. Härled uttrycket för förhållandet T

2

/T

1

. Det ska endast innehålla skivornas massor.

4. (3 p) En homogen cylinder har massan m = 50 kg och radien r = 0,30 m.

En kraft F = 300 N anbringas på en kabel (med försumbar massa) som är lindad runt cylinderns periferi (se figur). Beräkna cylinderns acceler- ation. Den rullar utan att glida.

5. (4 p) En rektangulär ram har massan m och är formad av smala, homoge- na stänger. Ramen är friktionsfritt upphängd i O och kan svänga kring den horisontella axeln AA som går genom O.

a) (2 p) Beräkna tröghetsmomentet för ramen med avseende på axeln AA.

b) (2 p) Från sitt vertikala läge, som visas i figuren, förs ramen upp runt axeln AA så att den ligger horisontellt. Den släpps därefter och får svänga fritt kring AA. Bestäm (i givna storheter) uttrycket för den kraft som upphängningen i O påverkar ramen med omedelbart efter det att den släppts.

2

(3)

Lösningar till tentamen i Fysik 3 (F0006T) 2012-03-14 Kommentar: Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av

pedagogisk natur. I ekvationer betyder . . . att några matematiska steg (som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står

(1.1)

= betyder det att ekvation (1.1) sätts in efter likhetstecknet.

1 Fosforaktivitet 4 p

Variabler:

Initial aktivitet för P-33: A⁰₃₃

Slutlig aktivitet för P-33: A¹₃₃

Initial aktivitet för P-32: A⁰₃₂

Slutlig aktivitet för P-32: A¹₃₂

Givet:

Initial andel aktivitet P-33 i provet: A⁰₃₃/(A⁰₃₃+A⁰₃₂)= 0,1 Slutlig andel aktivitet P-33 i provet: A¹₃₃/(A¹₃₃+A¹₃₂)= 0,8 Sökt:

Antal dygn innan 80 % av aktiviteten kommer från P-33.

Lösning:

Initialt förhållande mellan aktiviteterna:

A⁰₃₃

A⁰₃₃+A⁰₃₂=0,1 ⇒A⁰₃₃+A⁰₃₂

A⁰₃₃ =10 ⇒A⁰₃₂

A⁰₃₃=9. (1.1) Slutligt förhållande mellan aktiviteterna:

A¹₃₃ A¹₃₃+A¹₃₂=4

5 ⇒A¹₃₃+A¹₃₂ A¹₃₃ =5

4 ⇒A¹₃₂ A¹₃₃ =1

4. (1.2) Aktivitetslagen A = Nλ i sönderfallslagen N = N0e^−λtger A = A0e^−λt. Med λ = ln 2/T1/2efter tiden t1ger för P-33

A¹₃₃=A⁰₃₃e⁻^{ln 2}^T33^t¹ (1.3) och för P-32

A¹₃₂=A⁰₃₂e⁻^{ln 2}^T32^t¹, (1.4) där halveringstiderna fås ur PH T-6.3:

Halveringstid P-32: T32=14,28 dygn

Halveringstid P-33: T33=25,3 dygn

Kvoten (1.4)/(1.3) blir A¹₃₂ A¹₃₃=A⁰₃₂

A⁰₃₃ e⁻^T32^{ln 2}^t¹ e⁻^T33^{ln 2}^t¹=A⁰₃₂

A⁰₃₃e^{− ln 2·}

1 T32−_T33¹

t1

⇒

[...] ⇒ t1=− ln_A1 32 A¹₃₃/^A_A⁰³²0

33

ln 2 ·₁

T32−_T¹₃₃^(1.1,1.2)= − ln₁

4/9 ln 2 ₁

14,28−_25,3¹

≈ 169,49 dygn. (1.5)

Svar: Man måste vänta 169 dygn innan 80 % av aktiviteten kommer från P-33.

Kommentar: Det skulle också gå att omvandla alla tider till sekunder och sedan tillbaks till dygn, men eftersom indata är i dygn är det lämpligare att räkna i dygn.

2 Tritiumsönderfall 4 p

Givet:

Tritiumsönderfall med betasönderfall.

a) ^{1 p}

Sökt:

Reaktionsformeln.

Lösning:

Laddning och masstal bevaras:

31H →³₂He⁺+₋₁⁰e +⁰₀¯νe. (2.1) Svar: Reaktionsformeln är³₁H →³₂He + e⁻+¯νe.

b) ^{2,5 p}

Sökt:

Reaktionenes Q-värde.

Lösning:

Q-värdet ges av

Q =∆mc²=(mT− mHe⁺− me)c²=(mT− mHe)c². (2.2) Insättning av data:

Massa, tritium (PH T-6.3): mT=3,016049 u Massa, helium-3 (PH T-6.2): mHe= 3,01602930 u med uc²=931,49413 MeV (PH CU-2.4) ger

Q =(3,016049 − 3,01602930)uc²=1,97 · 10⁻⁵uc² (2.3)

≈0,0183504344 MeV. (2.4)

Svar: Reaktionenes Q-värde är 0,018 MeV

Kommentar: Svaret avrundas till två decimaler pga mellanre- sultatet 1,97 · 10⁻⁵uc²(som egentligen bara har två värdessiffror efterom mTbara är givet med en precision av 10⁻⁶uc²), men även svaret 0,01835043 MeV och 0,0184 MeV accepteras vid rättnin- gen.

c) ^{0,5 p}

Sökt:

Vad blir det av energin som frigörs, Q-värdet?

Svar: Sönderfallsprodukternas sammanlagda rörelseenergier.

Kommentar: Av sönderfallsprodukterna (elektronen och He- kärnan) kommer elektronen få mest energi (pga rörelsemängdens och energins bevarande).

3 Skivrotation 3 p

Givet:

Massa skiva A: ma

Massa skiva B: mb

Omloppstid före nedsläpp: T1

Omloppstid efter nedsläpp: T2

Sökt:

Förhållandet T2/T1ut- tryckt i skivmassorna maoch mb.

Lösning:

I frånvaron av externa moment bevaras rörelsemängdsmo- mentet runt z:

L1=L2, (3.1)

där rörelsemängdsmomentet före nedsläppet är

L1=I1ω₁=Ibω₁=(mbr²/2)ω1 (3.2) och rörelsemängdsmomentet efter nedsläppet är

L2=I2ω₂=(Ia+Ib)ω2=(mar²/2 + mbr²/2)ω2, (3.3) där vi använt att tröghetsmomentet för en cirkulär platta med radie r är I = mr²/2 (PH F-1.10).

(3.2) och (3.3) i (3.1):

mbr²

2 ω₁= mbr² 2 +mbr²

2

!

ω₂ ⇒ ω1

ω₂=ma+mb

mb . (3.4) Förhållandet mellan omloppstid T och vinkelhastighet ω är T = 2π/ω, vilket ger

T2

T1=2π/ω2

2π/ω1=ω1

ω₂

(3.4)

= ma+mb

mb =1 +ma

mb. (3.5)

Svar: Förhållandet T2/T1=1 +^m_m_b^a.

Kommentar: Man kan också räkna uppgiften utan att anta en radie r genom att använda tröghetsradien k (och I = mk²) tillsammans med att skivorna är geometriskt lika, vilket betyder att de har samma tröghetsradie.

Senast uppdaterad: June 3, 2014 1(2) Erik Elfgrenc

Lösningar till tentamen i Fysik 3 (F0006T) 2012-03-14

4 Cylinderacceleration 3 p

Givet:

Cylindermassa: M = 50 kg

Cylinderradie: r = 0,30 m

Dragkraft: MG=300 N

Friläggning av cylindern:

F

f N mg

x y r

α

Sökt:

Cylinderns acceleration, a.

Lösning:

Rullning utan glidning:

a = rα. (4.1)

Momentekvationen kring masscentrum:Xy

τcm=Icmα⇒ Fr − f r = (mr²/2)α ⇒

F − f = (mr/2)α, (4.2) med tröghetsmomentet för en cylinder Icm=mr²/2 (PH F-1.10).

Friktionskraften, f , fås ur Newtons 2:a lag i x-led:

XFx=max ⇒ F + f = ma ⇒ f = ma − F, (4.3) i (4.2):

F + (F − ma) = (mr/2)α^(4.1)= ma/2 ⇒

2F = 3ma/2 ⇒ a = 4F/(3m). (4.4)

Numeriskt:

a = 4 · 300/(3 · 50) = 8,00 m/s. (4.5) Svar: Cylinderns acceleration är a = 8,0 m/s²

5 Rektangulär ram-rotation 4 p

Givet:

Rammassa: m

Längd, kortsida: b

Längd, långsida: 2b

a) ^{2 p}

Sökt:

Tröghetsmomentet med avseende på axeln AA.

Lösning:

Ramen består av 4 delar:

3

b b

4

2 1

2b

A A

2b

O Stångens totala längd är 6b, vilket betyder att varje sträcka b har massan m/6.

För del 1 och 3 är tröghetsmo- mentet det för stång som roterar kring ena änden (PH F-1.10):

IAA1=IAA3=m 6 b²

3. (5.1)

För del 4 är tröghetsmomentet kring AA noll eftersom delen ligger längs med axeln:

IAA4=0. (5.2)

För del 2 ges tröghetsmomentet av Steiners sats IO=Icm+md²: IAA2=0 +2m

6 b². (5.3)

Det totala tröghetsmomentet blir med (5.1),(5.2),(5.3):

Itot=IAA1+IAA2+IAA3+IAA4=m 6 b²

3 +2m 6 b²+m

6 b²

3 +0

=mb² 1 18+2

6+ 1 18

!

=4mb²

9 . (5.4)

Svar: Masströghetsmomentet för ramen kring axeln AA är^4mb₉².

b) ^{2 p}

Sökt:

Kraften som verkar på upphängningen när ramen släpps från horisontellt läge.

Lösning:

Friläggning av ramen i horisontellt läge sedd längs axeln AA:

O O_n

t mg

AA b

α t n

Rotation kring fix axel:

Rörelseekvationen i horisontell led för tyngdpunkten:

XFn=mrcmω²

⇒ On=mrcmω²=0, (5.5) ty ω = 0 rad/s i släppögonblicket.

Rörelseekvationen i transvers led för tyngdpunkten:

XFt=mrcmα

⇒ Ot+mg = mrcmα

⇒ Ot=mrcmα− mg. (5.6)

Momentekvationen runt upphängningspunkten O, P^yτ =Iα:

mgb/2 = Itotα

⇒ α = mgb/(2Itot). (5.7)

(5.7) i (5.6):

Ot=mrcm(mgb/(2Itot)) − mg

=mb 2

mgb 2Itot

!

− mg^(5.4)= m²b²g

4^4mb₉² − mg = −7mg

16, (5.8) med rcm=b/2.

Svar: Kraften är 7mg/16, riktad vertikalt uppåt.

Senast uppdaterad: June 3, 2014 2(2) Erik Elfgrenc

(4)

Teknikvetenskap och matematik

Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 2012-03-23 Skrivtid 09:00 – 14:00 Tentamen i: Fysik 3

Antalet uppgifter: 5

Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: 0705-509839) Examinator: Erik Elfgren

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook

Tillägg till Physics Handbook

Appendix till kompendiet i Problemlösning (1 sida) Räknedosa och ritmateriel

Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok.

Betygsskala: 3: 9–12 p 4: 12,5–15 p 5: 15,5 p – (inkl. bonuspoäng)

Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du an- vänder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lös- ningarna så att de blir lätta att följa.

Resultatet anslås: Studenttorget, 2012-04-14

Övrigt: Tal 1 och 2 är modern fysik, övriga är mekaniktal.

1. (3 p) Antag att den kinetiska energin för en partikel är lika stor (med två värdessiffrors nog- grannhet) som dess viloenergi. Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är den klassiska farten rimlig?

2. (4 p) Om man räknar relativistiskt på sönderfall av en vilande partikel med massa M till två partiklar med massorna m

1

och m

2

så kan man visa att rörelsemängden för partikel 1 är p

1

= c q

(

^m²1−M²−m²₂

)

²

4M²

− m

²2

.

a) (0,5 p) Vad är rörelsemängden för partikel 2, p

2

? Jämför storlek och riktning med partikel 1.

b) (0,5 p) Om det handlar om α-sönderfall från roentgenium-272 (Rg-272), vilken är då dotterkär- nan?

c) (3 p) I sönderfallet av Rg-272, beräkna (relativistiskt, utgående från formeln ovan) farten på α- partikeln (partikel 1) samt dotterkärnan (partikel 2) uttryckt i ljushastigheten c. Jämför farterna och förklara skillnaden.

1

4

(5)

3. (3 p) Den med skåror försedda skivan har massan m

s

= 6,0 kg och tröghetsradien k

O

= 0,175 m med avseende på centrum O.

Skivan för med sig fyra små stålkulor (kan betraktas som par- tiklar) med massan m

k

= 0,15 kg vardera, belägna som visas i figuren, och skivan roterar ursprungligen med vinkelhastigheten ω

₁

= 120 varv/min med försumbar friktion kring en vertikal axel genom O. Kulorna hålls då på plats med en spärranordning (som ej syns i figuren). Om spärren släpps medan skivan roterar, kom- mer kulorna att åka ut och inta de streckade lägena som visas i figuren. Vilken blir då skivans vinkelhastighet, ω

2

?

4. (4 p) En fallhammare används för att slå ned pålar i marken. Den skall vara utformad så att den vid stöten förlorar hela sin kinetiska energi. Vid pålningen släpps hammaren h = 4,0 m ovanför pålen.

Stöttalet mellan hammaren och pålen, som har massan m

p

= 300 kg, är e = 0,30.

a) Vilken massa, m

h

, skall fallhammaren ha?

b) Vilken hastighet får pålen omedelbart efter stöten?

c) Hur stor blir den procentuella förlusten av mekanisk energi?

Ledning: Vid stöten, betrakta hammaren och pålen som ett system, stöttiden som kort och friktionskraften från marken på pålen som liten. Motivera i lösningen när du använder dessa antaganden.

5. (4 p) En smal homogen stång med total längd L och massa M svänger friktionsfritt kring sin mittpunkt (se figur). En horison- tell fjäder med fjäderkonstant k är fäst vid den undre delen av stången. Stången och fjädern är i jämvikt när stången är i vertikalt läge. Om stången vrids en liten vinkel θ, härled svängningsekva- tionen (¨θ = −ω

²

θ) och bestäm ω uttryckt i M och k.

Ledning: Antag att θ är liten så att sin θ ≈ θ och cos θ ≈ 1.

2

(6)

(1.1)

1 Relativistiskt vs klassiskt 3 p

Givet:

Kinetisk energi = viloenergin: K = E0

Sökt:

Hur mycket större blir farten, i procent, om man räknar klassiskt jämfört med om man räknar relativistiskt? Är det klassiska farten rimlig?

Lösning:

Viloenergin ges av

E0=mc² ⇒ K = E0=mc². (1.1)

Den klassiska farten ges av den klassiska kinetiska energin:

K = mv²_k/2^(1.1)= mc² ⇒ vk=c√

2. (1.2)

Den relativistiska farten ges av den relativistiska kinetiska energin:

K = mc²



 1

p1 − v²r/c²− 1



 ⇒ K

mc²+1 = 1 p1 − v²r/c²

⇒ K mc²+1−2

=1 − v²r/c²⇒ vr=c

s 1 −

1 + K mc²

_{−2 (1.1)}

= c√

1 − 2⁻². (1.3)

Den procentuella skillnaden mellan (1.2) och (1.3) blir vk

vr− 1 = c√ 2 c√

1 − 2⁻²− 1 =

r 2

1 − 2⁻²− 1 ≈ 63,3 %. (1.4) Svar: Den klassiska farten är 63 % större än den relativistiska.

Ur ekvation (1.2) inses att den klassiska farten är orimlig eftersom den är större än ljushastigheten.

2 _4-moment ^{4 p}

Givet:

Sönderfallande kärnas massa: M

Dotterkärna massa: m1

Sönderfallspartikels massa: m2

Rörelsemängd, dotterkärna: p1=

r(^m²1−M²−m²₂)²

4M² − m²₂

a) ^{0,5 p}

Sökt:

Vad är rörelsemängden för partikel 2, p2? Jämför med partikel 1.

Lösning:

Rörelsemängden bevaras i partikelkollisioner (inga externa krafter):

pföre=pefter ⇒ 0 = p1+p2 ⇒

p2=−p1=− vt

m²₁− M²− m²₂2

4M² − m²₂. (2.1)

Svar: Rörelsemängden för partikel 2 är lika stor som för partikel 1, men med omvänd riktning, p2=−p1.

b) ^{0,5 p}

Sökt:

Om det handlar om α-sönderfall från roentgenium-272 (Rg-272), vilken är då dotterkärnan?

Lösning:

Roentgenium-272 har Z = 111 protoner och α (kärna av helium- 4) har Z = 2 protoner och masstalet A = 4 (PH T-6.3). Reaktio- nen är därför

272111Rg →⁴₂He +^A_ZX. (2.2)

Masstalet och laddningen bevaras vilket betyder att

A = 272 − 4 = 268 (2.3)

Z = 111 − 2 = 109, (2.4)

vilket motsvarar meitnerium-268, Mt-268 (PH T-6.3).

Svar: Dotterkärnan är meitnerium-268.

c) ^{3 p}

Sökt:

I sönderfallet av Rg-272, beräkna (relativistiskt, utgående från formeln ovan) farten på α-partikeln (partikel 1) samt dotterkär- nan (partikel 2) uttryckt i ljushastigheten c. Jämför farterna och förklara skillnaden.

Lösning:

Farten fås ur den relativistiska rörelsemängden:

p =γmv = mv

p1 − v²/c²= m

√v⁻²− c⁻²⇒ p m

−2

=v⁻²− c⁻²

⇒v = 1

q_p

m

−2

+c⁻²

⇒ v

c= 1

q_p

mc

−2

+1

. (2.5)

Rörelsemängden för partikel 1 (α-partikeln) blir

p1=c vu

ut m²α− M²_Rg− m²_Mt2

4M²_Rg − m²_Mt

≈1,53862543977917 · 10⁻¹⁹kgm/s, (2.6) med mα=mHe− 2mesamt data från PH T-6.2 och PH T-6.3:

Massa för Rg-272: mRg=272,1535 u Massa för Mt-286: mMt=268,1388 u + 2me

Massa för He-4: mHe=4,002603234 u Massa för elektron (PH CU-1.1): me =5,48579911 · 10⁻⁴u Massa för u (PH CU-1.1): u = 1,6605387 · 10⁻²⁷kg För α-partikeln blir då farten med (2.5) och (2.6):

vα

c = 1

q_p₁

mαc

−2

+1

≈ 0,0770101666217724 (2.7)

och för Mt-kärnan:

vMt

c = 1

q_−p₁

mMtc

−2

+1

≈ 0,00115266062110963 (2.8)

Svar: vα ≈ 0,07701017c, vMt ≈ 0,001152661c. Orsaken till att α-partikeln har högre fart är att den har lägre massa, och då måste den ha högre fart för att rörelsemängden ska kunna bevaras.

3 Kulor i skåror 3 p

Givet:

Skivmassa: ms=6,0 kg

Tröghetsradie, skiva: kO=0,175 m

Kulmassa: mk=0,15 kg

Antal kulor: nk=4

Initial vinkelhastighet: ω1=120 varv/min Initialt avstånd från kulorna till O: r1=0,100 m Slutavstånd från kulorna till O: r2=0,200 m Sökt:

Skivans vinkelhastiget efter att kulorna åkt ut från avstånd r1till avstånd r2från rotationsaxeln O.

Lösning:

Låt läge 1 vara initialt läge och läge 2 vara när kulorna är på avstånd r2från O.

Frånvaron av externa moment (P τext= 0) gör att rörelsemängdsmomentet bevaras enligt impulsmomentlagen:

Z Xτ_extdt = L1− L2=0 ⇒ L1=L2. (3.1)

Senast uppdaterad: 4 september 2013 1(2) Erik Elfgrenc

Rörelsemängdsmomentet ges av L = IOωvilket med (3.1) ger

I1ω₁=I2ω₂. (3.2)

Låt r vara kulornas avstånd till rotationsaxeln O. Då blir tröghetsmomentet

I = nkIk+Is, (3.3)

där skivans tröghetsmomentet kring O är

Is=msk²_O (Definition av tröghetsradie TPH). (3.4) och en kulas tröghetsmomentet kring O (ICM=0) är

Ik=mkr² (Steiners sats för punktformig masssa). (3.5) Ekvation (3.5) och (3.4) i (3.3) i (3.2) ger

nkmkr₁²+msk²_O ω₁=

nkmkr²₂+msk²_O ω₂ ⇒ ω₂=ω1nkmkr²₁+msk²_O

nkmkr²₂+msk²_O=120 ·4 · 0,15 · 0,1²+6 · 0,175² 4 · 0,15 · 0,2²+6 · 0,175²

≈109,6 varv/min. (3.6)

Svar: Skivans vinkelhastighet efter att kulorna rullat ut blir ω2= 110 varv/min.

Kommentar: Mekaniska energisatsen kan inte användas eftersom det övriga arbete som inträffar när kulorna stannar är okänt.

4 Fallhammare 4 p

Problemet består av tre steg, (0) före nedsläpp, (1) före stöt och (2) efter stöt:

x y

h m

m

_p

v

_p1

v v

_p2

v

_p0

v

_h0 _h

h1 h2

0 1 2

Givet:

Pålmassa: mp=300 kg

Släpphöjd: h = 4,0 m

Stöttal: e = 0,30

Hammarfart, initial: vh0=0 m/s

Pålfart, initial: vp0=0 m/s

Hammarfart, före stöt: vh1=?

Pålfart, före stöt: vp1=0 m/s

Hammarfart, efter stöt: vh2=0 m/s

Pålfart, efter stöt: vp2=?

a) ^{2 p}

Sökt:

Fallhammarens massa, mh. Lösning:

Hammarfarten före stöt ges av mekaniska energisatsen mellan 0→1:

K0+Ug0+Ue0+Wövr=K1+Ug1+Ue1d ⇒ 0 + mhgh + 0 + 0 = mhv²_h1/2 + 0 + 0 ⇒ vh1=p

2gh,(4.1) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar.

Stöttalet ger hastighetsändringen över stöten:

e =vp2− vh2

vh1− vp1 =vp2

vh1 ⇒ vp2=evh1(4.1)

= ep

2gh. (4.2) Massan på hammarhuvudet kan nu beräknas ur impulslagen för systemet hammare+påle:

Z XFydt =∆py=p2y− p1y=mpvp2− mhvh1(4.1,4.2)

=

=mpep 2gh − mhp

2gh =p

2gh · (mpe − mh).

(4.3)

Stöttiden är kort och friktionskraften är liten ⇒R PFydt ≈ 0.

(4.3) ger då

mpe − mh=0 ⇒ mh=mpe = 300 · 0,30 = 90 kg. (4.4)

b) ^{1 p}

Sökt:

Pålhastigheten omedelbart efter stöten.

Lösning:

(4.3) ger vp2=ep

2gh = 0,30p

2 · 9,82 · 4,0 ≈ 2,659 m/s. (4.5)

c) ^{1 p}

Sökt:

Procentuella förlusten av mekanisk energi.

Lösning:

Före stöten är energin:

E1=mhv²_h1/2 (4.6)

och efter är den

E2=mpv²_p2/2. (4.7)

Den procentuella energiförlusten blir (E1− E2)/E1: n = 1 −E2

E1 (4.6,4.7)

= 1 −mpv²_p2/2 mhv²_h1/2

(4.1,4.2,4.4)

=

=1 −mpe²gh

(mpe)gh=1 − e = 0,70. (4.8) Svar: a) Fallhammaren har massan mh=90 kg.

b) Pålen får hastigheten 2,7 m/s nedåt.

c) Den procentuella energiförlusten blir 70 %.

5 Fjäderoscillation 4 p

Givet:

Stångmassa: M

Fjäderkonstant: k

Sökt:

Härled svängningsekvationen och bestäm ω uttryck i M och k.

Lösning:

Friläggning av stången:

n t

θ F cm Mg

A_t

L/2 A_n

Momentekvationen Pτ^x_cm=Icmαger

−F(L/2) cos θ = Icmα =Icm¨θ, (5.1) där tröghetsmomentet kring masscentrum för en homogen stav är (PH F-1.10)

Icm=ML²/12. (5.2)

Fjäderkraften F = kx ges av

F = k(L/2) sin θ. (5.3)

(5.3) i (5.1) med cos θ ≈ 1 och sin θ ≈ θ:

− (k(L/2) sin θ)(L/2) cos θ = Icm¨θ ⇒

−kL²

4 θ =Icm¨θ^(5.2)= ML² 12 ¨θ

⇒ ¨θ = −3k

Mθ =−ω²θ⇒ ω = r3k

M. (5.4)

Svar: Svängningsekvationen är ¨θ = −^3kMθoch ω =q

3kM. .

(7)

Teknikvetenskap och matematik

Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 2012-06-01 Skrivtid 15:00 – 20:00 Tentamen i: Fysik 3

Antalet uppgifter: 5

Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: 0705-509839) Examinator: Erik Elfgren

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook

Tillägg till Physics Handbook

Appendix till kompendiet i Problemlösning (1 sida) Räknedosa och ritmateriel

Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok.

Betygsskala: 3: 9–12 p 4: 12,5–15 p 5: 15,5 p – (inkl. bonuspoäng)

Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du an- vänder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lös- ningarna så att de blir lätta att följa.

Resultatet anslås: Studenttorget, 2012-07-01

Övrigt: Tal 1 och 2 är modern fysik, övriga är mekaniktal.

1. (3 p)

a) (0,5 p) Vilka är de två vanligaste sönderfallen för Cs-137? Vilken energi har de? Ingen beräkn- ing krävs.

b) (1 p) Skriv ned reaktionsformlerna för de två vanligaste (ca 94 % av totala antalet sönderfall) sönderfallen för Cs-137 samt även reaktionsformeln för det mindre vanliga (ca 6 % av totala antalet sönderfall) sönderfallet.

c) (1,5 p) Beräkna den frigjorda energin (Q-värdet) för sönderfallet av Cs-137 till den stabila slut- produkten.

2. (4 p)

a) (3 p) Vid β-sönderfall kan elektronens energi inte bestämmas exakt eftersom det blir tre sön- derfallsprodukter, i motsats till när det bara blir två sönderfallsprodukter (som t.ex. vid α- sönderfall). Visa att energin och rörelsemängden blir entydigt definierade vid sönderfall till två sönderfallsprodukter (med massa m och M) då den frigjorda energin är Q. Ledning: Räkna icke- relativistiskt på energins och rörelsemängdens bevarande i en dimension med en stillastående moderpartikel. Bestäm därefter uttrycken för kinetisk energi och rörelsemängd för de två sön- derfallsprodukterna, K

m

, K

M

, p

m

och p

M

uttryckt i m, M och Q.

b) (1 p) Beräkna den maximala kinetiska energin för elektronen vid β-sönderfall av Cs-137 om den totala frigjorda energin i sönderfallet är Q = 0,514 MeV. Beräkna även vad dotterkärnans kinetiska energi då blir.

1

7

(8)

3. a v

θ r (3 p) En raket avfyras vertikalt uppåt, och dess läge mäts med radar, se figur. Då

vinkeln θ = 45

^◦

, är r = 9,0 km, ¨r = 15 m/s

²

och ˙θ = 0,015 rad/s. Beräkna raketens fart och acceleration uppåt i detta ögonblick.

4.

l

ω O

r

(4 p) Ett sfäriskt skal med massan m

k

= 1,50 kg och radien r = 20,0 cm är

fastsvetsat i änden på en smal, homogen stång med längden l = 0,500 m och massan m

s

= 2,00 kg. Den så konstruerade pendeln är upphängd i en friktionsfri led O. Den släpps från vila i det läge där stången är horisontell.

a) (2 p) Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O.

b) (2 p) Beräkna pendelns vinkelhastighet i nedersta läget, dvs. då stången är vertikal.

5. (4 p) Förståelsefrågor (om inte annat anges fordras ingen beräkning eller motivering):

a) (0,5 p) Momentekvationen P τ

^y_O

= I

O

α gäller inte runt en godtycklig axel O. Axlarna A, B, C och D i figuren nedan följer med lådan när den vrids kring C pga kraften F. Vilka axlar är okej att använda i momentekvationen?

B

cm

C

A D

F

b) (0,5 p) Vad är nollmomentcentrum (även kallat stötcentrum) och varför är detta en lämplig punkt för en kraft att angripa i när något roterar kring ett lager?

c) (1 p) Två masslösa stavar, båda med längd L, har vardera två punktformiga massor m i sig (se figur). I stav A ligger båda massorna i mitten på staven, i stav B ligger massorna i var sin ände.

Beräkna vilken av stavarna som kommer att vara trögast att rotera kring stavänden, dvs vilken av dem som har störst (mass)tröghetsmoment.

L A

B

m m

m m

d) (1 p) En kula med massa 10 g och med hastighetskomposanterna v

x

= 1,0 m/s och v

y

= −1,0 m/s slår in snett på en dörr (se figur) på avståndet r = 1,0 m från gångjärnet, A. Beräkna storleken på kulans rörelsemängd och storleken på dess rörelsemängdsmoment kring axeln A precis innan den slår i.

x y

A

v

r

e) (1 p) En enkel pendel (partikelpendel) utgörs av en punktformig massa som är upphängd i en lina med försumbar massa och längd L. Pendeln försätts i svängning genom att punktmassan förs lite åt sidan och släpps. Pendeln har då en viss svängningstid.

Om man sedan vill fördubbla svängningstiden, beräkna hur linans längd då ska förändras. Om man istället vill fördubbla vinkelfrekvensen, beräkna hur linans längd då ska förändras.

2

(9)

(1.1)

1 Cs-137-sönderfall 3 p

Givet:

Sönderfall av Cs-137.

a) ^{0,5 p}

Sökt:

De vanligaste sönderfallen samt deras energi.

Svar: Sönderfallen är γ-sönderfall med energin 661,65 keV och β⁻-sönderfall med energin 0,514 MeV (PH T-6.3).

b) ^{1 p}

Sökt:

Reaktionsformeln för de vanligaste sönderfallen samt för det mindre vanliga sönderfallet.

Lösning:

Laddning och masstal bevaras.

Svar: Reaktionsformlerna är

13755Cs−−−→^{94 %} ¹³⁷₅₆Ba^∗+e⁻+¯νe,

13755Ba^{∗ 94 %}−−−→¹³⁷₅₆Ba + γ,

13755Cs−−→^{6 %} ¹³⁷₅₆Ba + e⁻+¯νe.

c) ^{1,5 p}

Sökt:

Sönderfallets Q-värde.

Lösning:

Q-värdet ges av

Q =∆mc²=(mCs− mBa⁺− me)c²=(mCs− mBa)c². (1.1) Insättning av data:

Massa, Cs-137 (PH T-6.3): mCs=136,907084 u Massa, Ba-137 (PH T-6.2): mBa=136,90581 u med uc²=931,49413 MeV (PH CU-2.4) ger

Q =(136,907084 − 136,90581)uc²=127,4 · 10⁻⁵uc² (1.2)

≈1,1867234 MeV. (1.3)

Svar: Reaktionens Q-värde är 1,19 MeV.

Kommentar: Svaret avrundas till tre decimaler pga mellanresul- tatet 127,4 · 10⁻⁵uc²(som egentligen bara har tre värdessiffror efterom mBabara är givet med en precision av 10⁻⁵uc²), men även 1,1867234 MeV och 1,187 MeV accepteras vid rättningen.

2 Sönderfallsprodukter 4 p

a) ^{3 p}

Givet:

Sönderfall med två sönderfallsprodukter med massa m och M och frigjord energi Q med en stillastående moderpartikel.

Sökt:

Kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfallsproduk- terna, Km, KM, pmoch pMuttryckt i m, M och Q.

Lösning:

Rörelsemängdens bevarande (ty inga externa krafter):

pföre=pefter ⇒ 0 = pm+pM ⇒ pm=−pM. (2.1) Sönderfallsprodukternas kinetiska energi:

Km=mv²_m

2 =m(pm/m)² 2 =p²_m

2m, (2.2)

KM=Mv²_M

2 =M(pM/M)² 2 = p²_M

2M, (2.3)

med p = mv ⇒ v = p/m.

Den frigjorda energin Q blir till kinetisk energi hos de två sön- derfallsprodukterna:

Q = Km+KM(2.2,2.3)

= p²_m 2m+p²_M

2M

(2.1)

= p²_m 2m+ p²_m

2M=p²_m 2

1 m+1

M

!

=p²m

2

m + M Mm

⇒ pm=± r2QMm

m + M. (2.4)

Ekvation (2.1) ger pMoch (2.2) och (2.3) ger Kmoch KM. Svar: Kinetisk energi och rörelsemängd för de två sönderfall-

sprodukterna uttryckt i m, M och Q:

pm= ±q

2QMmm+M, (2.5)

pM=−pm= ∓q

2QMmm+M, (2.6)

Km= _m+M^QM, (2.7)

KM= _m+M^Qm. (2.8)

b) ^{1 p}

Givet:

Frigjord energi i β-sönderfall av Cs-137: Q =0,514 MeV Sökt:

Maximala kinetiska energin för elektronen, Ke, samt vad dot- terkärnans kinetiska energi då blir, Kd.

Lösning:

Masstalet och laddningens bevarande ger att Cs-137 sönderfaller med β-strålning till Ba-137:

13755Cs →¹³⁷₅₆Ba^∗+e⁻+¯νe. (2.9) Då elektronen får maximal energi får neutrinon ingen energi och sönderfallet blir effektivt ett tvåpartikelsönderfall, vilket gör att vi kan använda resultatet i a) med M = MBa⁺=MBa− me:

Ke=Km(2.7)

= QM

m + M= QMBa⁺

me+MBa⁺

=0,514 · (136,90581 − 5,48579911 · 10⁻⁴) u

136,90581 u ≈ 0,514 MeV,

(2.10) Kd=KM(2.8)

= Qm

m + M= Qme

me+MBa⁺

=0,514 · 10⁶· 5,48579911 · 10⁻⁴u

136,90581 u ≈ 2,060 eV, (2.11) medMassa, elektron (PH CU-1.1): m = me =5,48579911 · 10⁻⁴u

Massa, Ba-137 (PH T-6.2): M = MBa=136,90581 u Svar: Maximal kinetisk energi för elektronen: 0,514 MeV. Dot-

terkärnans kinetiska energi blir då: 2,06 eV.

3 Raketavfyrning 3 p

Givet:

θ =45^◦= π/4 r =9,0 km

˙θ = 0,015 rad/s ¨r =15 m/s² Sökt:

Raketens fart och acceleration uppåt.

v v

θ r θ v

θ

r Lösning:

Polära koordinater. Raketens hastighetskom- posant i θ-riktningen:

vθ=r˙θ = 9000 · 0,015 ≈ 135 m/s. (3.1) Komposantuppdelning (se figur) ger

v = vθ/cos θ = 135/ cos 45^◦≈ 191 m/s. (3.2) Accelerationskomposanten i r-riktningen:

ar=¨r − r˙θ²≈ 12,98 m/s². (3.3) Komposantuppdelning av accelerationen ger

a = ar/sin θ = 12,98/ sin 45^◦≈ 18,35 m/s². (3.4) Svar: Raketens fart är 0,19 km/s och dess acceleration 18 m/s².

4 Klotpendelrotation 4 p

Givet:

Klotmassa mk =1,50 kg Klotradie r =0,200 m Stångmassa ms =2,00 kg Stånglängd l =0,500 m

a) ^{2 p}

Sökt:

Beräkna pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O.Lösning:

Pendelns masströghetsmomentet kring O ges av

IO,tot=IO,s+IO,k, (4.1)

där stångens trögetsmoment är (PH F-1.10, nr 1)

IO,s=msl²/3 ≈ 0,1667 kg m², (4.2) och klotet är ett sfäriskt skal med tröghetsmoment kring masscentrum (PH F-1.10, nr 12)

Icm,k=(2/3)mkr²=0,04 kg m², (4.3) och klotets tröghetsmoment kring O fås med Steiners sats:

IO,k=Icm,k+mk(l + r)²=0,775 kg m². (4.4) Ekvation (4.3) i (4.4) med (4.2) i (4.1):

IO,tot=msl²/3 + (2/3)mkr²+mk(l + r)²=

=2 · 0,5²/3 + (2/3)1,5 · 0,2²+1,5 · (0,5 + 0,2)²

≈ 0,9417 kg m². (4.5)

b) ^{2 p}

1

U = 0g

l/2

2 l

ω O r

l+r

Sökt:

Pendelns vinkelhastighet, ω, i nedersta läget (läge 2).

Lösning:

Mekaniska energisatsen för 1 → 2:

K1+Ug1+Ue1+Wövr= K2+Ug2+Ue2, (4.6) där

K2=1

2IO,totω², K1=Ue1=Ue2=Ug1=Wövr=0, (4.7) Ug2=−msg(l/2) − mkg(l + r), (4.8) eftersom vi varken har fjäderenergi eller några övriga krafter som verkar.

(4.7) och (4.8) i (4.6) ger:

1

2IO,totω²=msgl/2 + mkg(l + r)

⇒ ω =

s2(msgl/2 + mkg(l + r)) IO,tot

=

r2(2 · 9,81 · 0,5/2 + 1,5 · 9,81(0,5 + 0,2)) 0,9417

≈ 5,683 rad/s. (4.9)

Svar: a) Pendelns (mass)tröghetsmoment med avseende på leden O blir 0,942 kg m².

b) Pendelns vinkelhastighet i nedersta läget blir 5,68 rad/s.

Kommentar: Notera att det är masscentrum som har potentiell gravitationell energi, därav ekvation (4.8).

5 Mekanikförståelse 4 p

a) ^{0,5 p}

B cm C

A D F

Sökt:

Vilka axlar är okej att använda i momentekvationen?

Svar: Axel B och C är okej att använda i momentekvationen.

Kommentar: Axel B är masscentrum och axel C är en fix rota- tionsaxel.

b) ^{0,5 p}

Sökt:

Vad är nollmomentcentrum (stötcentrum) och varför är detta en lämplig punkt för en kraft att angripa i när något roterar kring ett lager?

Svar: Nollmomentcentrum är den punkt där en angripande kraft inte ger upphov till en tangentiell kraft i leden. En kraft som angriper i den punkten ger mindre slitage på leden.

c) ^{1 p}

L A

B

m m

m m

Givet:

Två masslösa stavar, båda med längd L, har vardera

två punktformiga massor m i sig. I stav A ligger båda massorna i mitten på staven, i stav B ligger massorna i var sin ände.

Sökt:

Vilken är trögast att rotera kring stavänden?

Lösning:

Stav A:s masströghetsmomentet kring änden ges av definitionen av tröghetsmoment med två punktmassor på avstånd L/2:

IA=2 · m(L/2)²=mL²/2. (5.1)

Stav B:s masströghetsmomentet kring änden ges av definitionen av tröghetsmoment med en punktmassa på avstånd L:

IB=m(L)²=mL². (5.2)

Svar: Stång B är trögast att rotera kring stavänden ty IB>IA.

d) ^{1 p}

x y A v

r

Givet:

Kulmassa: m = 10 g Kulhastighet: vx=1,0 m/s Kulhastighet: vy=−1,0 m/s Sökt:

Storleken på kulans rörelsemängd och rörelsemängdsmoment kring axeln A.

Lösning:

Definition av rörelsemängd p = mv:

px=mvx,py=mvy ⇒ p =q

p²x+p²y=mq v²x+v²y

=0,01p

1²+(−1)²≈ 0,014 kg m/s. (5.3) Definition av rörelsemängdsmoment L = p⊥· r:

L = py· r = mvy· r = 0,01(−1) · 1 = −0,010 kgm²/s. (5.4) Svar: Storleken på kulans rörelsemängd blir 0,014 kg m/s och storleken på rörelsemängdsmomentet blir 0,010 kg m²/s.

e) ^{1 p}

Givet:

Partikelpendel med längd L.

Sökt:

Hur ska pendellängden ändras om svängningstiden ska fördub- blas? Hur ska pendellängden ändras om vinkelfrekvensen ska fördubblas?

Lösning:

Periodtiden för partikelpendel (PH F-1.11):

T = 2πp

L/g, (5.5)

dvs om L fyrdubblas så dubblas periodtiden (eftersom√ 4 = 2).

Vinkelhastigheten för partikelpendel:

ω =2π/T^(5.5)= p

g/L, (5.6)

dvs om L delas på fyra så dubblas vinkelfrekvensen.

Svar: Pendellängden måste fyrdubblas om svängningstiden ska fördubblas. Pendellängden måste delas på 4 om vinkelfrekvensen ska fördubblas.

(10)

Teknikvetenskap och matematik

Ämneskod-linje F0006T Tentamensdatum 2012-08-28 Skrivtid 09:00 – 14:00 Tentamen i: Fysik 3

Antalet uppgifter: 5

Jourhavande lärare: Erik Elfgren (Tfn: 0705-509839) Examinator: Erik Elfgren

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook

Tillägg till Physics Handbook

Appendix till kompendiet i Problemlösning (1 sida) Räknedosa och ritmateriel

Obs! Inga som helst anteckningar, lösa eller inklistrade blad eller lappar med text får finnas i formelsamlingarna. Färgade lappar och understrykningar är dock ok.

Betygsskala: 3: 9–12 p 4: 12,5–15 p 5: 15,5 p – (inkl. bonuspoäng)

Anvisningar: Definiera beteckningar och ange mätetalens enheter samt vilka lagar du an- vänder. Motivera formler, antaganden och approximationer. Presentera lös- ningarna så att de blir lätta att följa.

Resultatet anslås: Studenttorget, 2012-10-01

Övrigt: Tal 1 och 2 är modern fysik, övriga är mekaniktal.

1. (3 p) Vilken maximal hastighet får en elektron från beta-sönderfall av C-14? Svaret ska uttryckas i enheten c (ljushastigheten), och den kinetiska energin ska räknas fram, inte tas direkt från formel- samlingen. Dotterkärnans rekyl kan försummas i beräkningen av elektronens hastighet.

2. (4 p) I naturligt kol förekommer 10

⁻¹⁰

% kol-14.

a) (3,5 p) Hur stor ekvivalent dos (i Sv/år) får en person som väger m = 65 kg från kol-14 från sin egen kropp om 18 % av kroppsmassan består av naturligt kol?

b) (0,5 p) Om du får i dig en strålningsdos på 1 Sv, finns det anledning att oroa sig? Ingen beräkn- ing fordras.

Ledning: Beräkna först den absorberade strålningsenergin och använd sedan den relativa biolo- giska effektiviteten, RBE

γ

= 1,0, RBE

β

= 1,0, RBE

p

= 5, RBE

n

≈ 5 − 20 och RBE

^α

= 20. Antag att elektronen får hälften av energin vid β-sönderfall.

1

10

(11)

3. (3 p)

A F

R z

En jojo har massan m och tröghetsradien k med avse- ende på z-axeln. Lintrummans radie är R. Jojon släpps fri och rullar utan att glida nedför den masslösa linan.

Linänden A hålls stilla. Bestäm jojons vinkelacceler- ation samt kraften F som måste anbringas i linänden A. Ange ditt svar i de angivna variablerna samt tyng- daccelerationen g.

4.

ls

mk

ms

vk

(4 p) En tunn stång med längd l

s

= 2,000 m och massa

A

m

s

= 15,0 kg är upphängd i en friktionsfri led i punk- ten A enligt figuren. Stången befinner sig ursprungli- gen i vila (och i jämvikt). En gevärskula med massan m

k

= 40,0 g och farten v

k

= 0,600 km/s träffar mitt på stången, se figuren. Kulan fastnar i stången som svänger ut från jämviktsläget.

a) (2 p) Bestäm stångens vinkelhastighet precis efter stöten mellan kulan och stången.

b) (2 p) Beräkna hur långt (vilken vinkel) stången maximalt svänger ut från jämviktsläget.

5.

k

µ

s m

M

(4 p) En låda med massa M vilar på en friktionsfri yta. Lådan

är kopplad till en fjäder med fjäderkonstant k som sitter fast i en vägg. Ovanpå lådan ligger en annan låda med massa m. Den statiska friktionskoefficienten mellan de två lådorna är µ

s