Vibration
För små avvikelser från jämviktsläget:
Betrakta som om atomerna var sammanbundna med en fjäder längs ξ-axel.
Avvikelser från jämviktsläge av m
1resp m
2: ξ
1och ξ
2Med ξ = ξ
1– ξ
2och fjäderkonstanten K blir potentiella energin U = ½ Kξ
2Kinetisk energi i masscentrumsystemet, dvs p
2= -p
1Låt p = p
1μ p m
p m E
Kvib2 2
1 2
1
22 1
2
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
=
Föreläsning 19
Vibration (forts 1)
Identifiera mot Schrödingerekv:
) ( )
2 ( 1 ) (
2
2 2 vib2
2
K ξ ψ ξ E ψ ξ
ξ d
ξ ψ
μ d + =
− h
Med klassiska vibrationsfrekvensen ω enligt K = μω
2får vi kvantifierade lösningar:
ω ν
E ⎟ h
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
= 2
vib 1 ν = 0, 1, 2 …
Övergång mellan två närliggande nivåer: ∆ E
vib= h ω
Exempel: CO
Frekvensskillnad: 6,42·10
13∆ E
vib= hf = 4,136·10
-15eV·s • 6,42·10
13s
-1= 0,26 eV K = 1860 N/m
(att jämföra med labbfjäder som sträcks 0,5 m med 1.0 kg vikt hängande: K = 19,6N/m)
)
2( x Ce
αxψ =
−(Kvantoscillatorn (se separat blad på hemsidan):
Lösning av typen:
Med C polynom i а fås energiegenvärdena)
Vibration (forts 2)
Korrekt hantering av vibrations och rotationstillstånd: Schrödinger i 3 dimensioner Många partiklar, komplicerat ⇒ approximativa metoder
Dela upp i radiell och vinkelberoende del som tidigare. Radiella delen motsvarar vibrationerna.
En bättre approximation än harmoniska oscillatorn är Morse-potentialen
{
( )}
20
1
0)
( r U e β r R
U = −
− −där parametrarna U
0, β , och R
0bestäms experimentellt.
Kring jämviktsavståndet r = R
0uppträder potentialen som harmonisk oscillator, medan vid större r avviker den (anharmonisk).
Se tal 11:14 på räkneövningen.
Energinivåer: Övergångar
ν
ν
ν
ν
ν= 1 ν= 2
Övergångar kan ske mellan olika energinivåer, huvudsakligen genom att elektromagnetiskt kvanta upptas eller utsänds.
Vi skall här betrakta ”optiska” rotations- vibrations-övergångar och regler för dem.
( ) ν ω
E I h l l ⎟ h
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ + + +
= 2
1 1 2
CM2 rot_vib
Fotonens frekvens f måste alltid vara anpassad till skillnaden mellan
energinivåerna: |∆ E | = hf
Experimentellt gäller dessutom ∆ ℓ = ±1
dvs
fotonen har spinn 1För de lägre vibrationstillstånden gäller dessutom experimentellt att ∆ν = ±1
(∆ν= 0, ger för låg energiskillnad för att räknas som “optisk”,
|∆ν| > 1 osannolik ⇒ i stort sett förbjuden)
(Även elektroniska övergångar är möjliga, med motsvarande högre energiskillnad.
Här finns då dock inget krav på ∆ ν )
Energiövergångar (forts 1)
Vid normal temperatur är bara ν = 0 populerad, medan däremot kan molekylen finnas i många olika rotationstillstånd.
Princip för absorptionsspektrum
Absorptionsspektrum för HCl
Notera ”hålet” motsvarande ∆ ℓ =0
Dubbleringen av varje linje orsakas av
att Cl har två isotoper
35Cl och
37Cl.
”Mot slutet”
Molekylspektrum har betydelse för den globala uppvärmningen.
CO
2absorberar i IR men är transparent för solljus ⇒ solen strålar in mot jorden, men jordens lägre temperatur gör att den strålar i IR som absorberas av CO
2.
En del effekter för spridning av strålnings finns beskrivna i boken.
Exempel: Fluorescens. Strålning med viss våglängd absorberas. En lite mängd av energin avges i kollision med andra molekyler. Därefter återgång till grundtillståndet genom att utsända foton med längre våglängd.
Möjlig framtida tillämpning av molekylfysik:
Genom att skapa precisa exciterade tillstånd mha synkroniserade kort (femtosekunder) laserpulser kunna styra kemiska reaktioner.
Fosforescens: Första övergången efter excitation sker till ett metastabilt tillstånd (från vilket övergång till grundtillståndet är ”förbjuden”).
Återgången med utsändande av strålning är då
kraftigt fördröjd med upp till minuter eller timmar
Fasta tillståndets fysik.
(Fasta ämnen: kristaller, metaller, halvledare, supraledare)
Atomer kan även bindas samman till fasta ämnen, huvudsakligen i kristallform där de är ordnade på ett regelbundet sätt.
Några sätt att ordna atomer i kristallstruktur: NaCl (fcc)
Bindningarna kan vara av olika typ.
Jon-kristaller: binds med jon-bindning. Olika atomer (inte bara ett atomslag).
Relativt hårt ämne med hög smältpunkt. Isolator. Transparant. Kan lösas i polära vätskor såsom H
20.
Kovalent bindning : varje atom delar kovalent bindning med grannar i kristallen. Alla valenselektroner är upptagna i bindningar. Relativt hårda ämnen med hög smältpunkt. Isolator. Transparant.
(Exempel: diamant, Si, Ge).
Metaller: har överblivna valenselektroner efter att atomerna har bundits samman i kristall mha kovalenta bindningar. Halvhårda, kan formas. Elektriskt ledande. Fria elektroner kan växelverka med ljus. Ej transparant.
Molekylbindningar: Dipoler och inducerade dipoler gör att kristaller kan bildas. Svagare bindning. Låg smältpunkt.
(Exempel: H
2, N
2, O
2, Ar, Ne)
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+
Vid snabb nerkylning kan amorfa material bildas (t.ex. glas) där regelbundenheten endast gäller små avstånd.
Amorf struktur
Energiband
Betrakta förenklat en 1-dimensionell ”stor” potentialbrunn. Vi får ett antal lösningar till Schrödingerekvationen. Om den ”stora” brunnen egentligen bestod av flera atomer som vardera är en egen
”potentialbrunn” måste vi ta hänsyn till atomernas potentialstruktur i kombination med kristallens.
Detta ger energiband.
Energinivåstrukturen för 3s-nivån i natrium vid 2, 6 och många (N) atomer. r
0är gitterkonstanten.
Exempel: i endimensionell kristall ser vi tydligt bandstrukturen, och energigap mellan banden.
N tillstånd
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
