(2) Identiering av Wienermodeller Anna Hagenblad (epost: annah@isy.liu.se) Institutionen for Systemteknik Linkopings Universitet 581 83 Linkoping Sammanfattning

Full text

(1)Identiering av Wienermodeller Anna Hagenblad Department of Electrical Engineering Linkoping University, S-581 83 Linkoping, Sweden WWW: http://www.control.isy.liu.se Email: annah@isy.liu.se 15 maj 1998. REGL. AU. ERTEKNIK. OL TOM ATIC CONTR. LINKÖPING. Report no.: LiTH-ISY-R-2030 Submitted to Reglermote '98 Technical reports from the Automatic Control group in Linkoping are available by anonymous ftp at the address ftp.control.isy.liu.se. This report is contained in the compressed postscript le 2030.ps.Z..

(2) Identiering av Wienermodeller Anna Hagenblad (epost: annah@isy.liu.se) Institutionen for Systemteknik Linkopings Universitet 581 83 Linkoping Sammanfattning. En Wienermodell ar en olinjar struktur som bestar av ett linjart dynamiskt system, foljt av en dynamisk olinjaritet. Vi presenterar en metod for identiering av Wienermodeller, genom numerisk sokning efter maximum likelihoodskattningen av parametrarna. For att undvika problem med lokala minima foreslas en initialisering baserad pa en minsta kvadratskattning.. 1 Inledning En Wienermodell bestar av ett linjart system, foljt av en statisk olinjaritet. Se gur 1. Insignalen u och utsignalen y ar matbara, men inte mellansignalen x. Ett exempel pa ett Wienersystem kan vara en DC-motor, foljd av en mattning. u. x G. y f. Figur 1: En Wienermodell. Det linjara systemet G ar parametriserat av parametervektorn ,. och den statiska olinjariteten f av parametervektorn . Flera angreppssatt ar mojliga vid identiering av Wienermodeller. Kalafatis et al. 2] parametriserar G och inversen av f med linjara parametrar, och anvander en minsta kvadratskattning. Wigren 5] anvander en rekursiv ansats. Verhaegen et al 1] visar att subspaceidentiering av det linjara systemet kan kombineras med identiering av olinjariteten, t ex med Chebyshevpolynom. Ett annat mojligt satt ar att bortse fran Wienerstrukturen och identiera det totala systemet, t ex med neuronnat eller nagon annan olinjar modell. Flexibiliteten hos den olinjara modellen far da kompensera att vi inte anvander den strukturinformation vi har. Vi utgar har fran en separat parametrisering av blocken. Det linjara blocket beskrivs av en parametervektor , och det olinjara av en parametervektor . Den linjara modellen kan t ex vara en output-error modell, och den olinjara en polynomutveckling. Fran matningar av y och u vill vi bestamma och .. 2 Maximum likelihoodskattning Maximum likelihoodskattningen (ML) av parametrarna fas genom att minimera ett prediktionsfelskriterium (se 3]). Vi skriver den interna (icke matbara) signalen x som x(t ) eftersom den beror b ade pa tiden t och parametrarna . Om olinjariteten ar parametriserad av kan vi anvanda detta for att prediktera y: y^(t) = f (x(t ) ) (1).

(3) Vi mater modellens kvalitet med ett prediktionsfelskriterium: N N X X 1 1 2 (y(t) ; y^(t)) = (y(t) ; f (x(t ) ))2 V ( ) = N. N. t=1. t=1. (2). ML-skattningen av parametrarna och ar de argument som minimerar V ( ). De kan i allmanhet inte bestammas analytiskt, utan minimeringen maste goras numeriskt. Man borjar da med en initialskattning (0 0 ), och soker efter varden som minskar kriteriet (2). Gauss-Newtons metod anvander en sokriktning som baseras pa gradienten och Hessianen av kriteriet. Genom att anpassa steglangden sa att kriteriet minskar i varje steg kan vi garantera konvergens mot ett lokalt minimum. Kriteriet kan dock ha era sadana, och vi kan inte garantera att vi hittar det globala minimumet. Gradientens utseende ger i vart fall en viss insikt om metodens anvandbarhet. Vi har N 1X V =; 2(y(t) ; f (x(t ) ))f (x(t ) )x (t ) (3) 0. 0. N. V0. 0. x. t=1 N. X 2(y(t) ; f (x(t ) ))f (x(t ) ) = ; N1. (4). 0. t=1. Vi ser att -parametrarna i ekvation (4) bara kommer in genom x(t ). Om vi kanner kan vi allts a berakna x(t ) och minimera kriteriet med x som insignal. Detta gor att vi kan anvanda existerande metoder for att identiera olinjariteter, t ex neuronnat eller nagon form av polynom. Det linjara fallet fas ur ekvation (3) da f ar identitetsfunktionen, f (x) = x. Det ger oss N 1X V =; 2(y(t) ; x(t ))x (t ) (5) 0. 0. N. t=1. eftersom fx(x(t ) ) = 1. Nar vi har ett olinjart f svarar fx (x(t ) ) mot en viktning av data. Det illustreras av foljande exempel. Antag att olinjariteten ar en mattning: 8 ><1 om x > 1 f (x) = x om ; 1 < x 1 (6) >:;1 om x ;1 Da ar det rimligt att vi inte anvander data i det mattade omradet, eftersom vi inte kanner deras "verkliga" varde. I ekvation (3) uppnas det genom att fx ar noll i dessa omraden. Gradienten i ekvation (3) kommer alltsa att lagga mer vikt vid data som forstarkts genom olinjariteten, och mindre pa data som dampats. 0. 0. 0. 3 Simuleringsresultat Vi har in vara simuleringar valt att beskriva det linjara blocket med en output-error (OE) modell.: w(t) + f1 w(t ; 1) + + fnf w(t ; nf ) = b1 u(t ; 1) + + bnb u(t ; nb ) y (t) = w(t) + e(t) och det olinjara blocket med hinging hyperplanes, en styckvis linjar modell (Sjoberg et al. 4]): y. =. M X i=1. (i0 + i1 x)ISi + 00 + 01 x. (7).

(4) Indikatorfunktionen ISi ar 1 om x > ;i0 =i1 , och 0 annars. Da hinging hyperplanes ar styckvis linjara blir den totala modellen ocksa styckvis linjar. Om tillrackligt manga hyperplan anvands (M tillrackligt stort i (7)) kan vi approximera den sanna olinjara modellen godtyckligt val. Vi har anvant normalfordelade slumptal med varians 2 = 4 som indata till foljande Wienermodell: 0:3q 1 G= (8) 1 ; 0:5q 1 8 ><0:1x ; 0:9 if x ;1 f (x) = x (9) >:0:1x + 0:9 ifif x;>1 ;<1x 1 Inget matbrus har adderats. Parametrarna i det linjara blocket har initierats med kommandot oe ur System Identication Toolbox i MatLab. I det olinjara blocket har parametrarna initierats slumpmassigt. Uppdatering har sedan skett av samtliga parametrar och algoritmen har itererats tills ingen forbattring hittats i Gauss-Newton riktningen. I gur 2 syns tva typiska identieringsfall. Beroende pa hur hinge-modellen initialiserats har vi fatt en mycket bra identiering (till vanster), eller en dar minimeringsalgoritmen fastnat i ett lokalt minimum. ;. ;. Medelkvadratfel: 9.9409e−33. Medelkvadratfel: 0.0018168. 1.5. 1.5. 1. 1. 0.5. 0.5. 0. 0. −0.5. −0.5. −1. −1. −1.5. −1.5. −2 100 150 200 250 Streckad linje: skattad utsignal. Heldragen linje: uppmätt utsignal. −2 100 150 200 250 Streckad linje: skattad utsignal. Heldragen linje: uppmätt utsignal. Figur 2: Simulering av tva skattade modeller. Den sanna utsignalen ar ritad med heldragen linje, den skattade med streckad. Till vanster har identieringen lyckats, vi kan inte skilja mellan den verkliga och den skattade utsignalen. Till hoger har minimeringen stannat i ett lokalt minimum.. I gur 3 har vi plottat det skattade vardet av den interna signalen x mot det sanna respektive skattade vardet av y. Trots den misslyckade identieringen av olinjariteten tycks OE-modellen producera en bra skattning av x, och vi kan se formen pa den sanna olinjariteten. Beroende pa initialiseringen kan alltsa metoden producera en bra eller mindre bra modell. For enkla system som det ovan, kan rimliga begynnelsevarden fas ur en plot av den skattade olinjariteten, men for mer komplicerade system kan en generell initialiseringsmetod vara anvandbar.. 4 Initialisering Antag att det linjara blocket G kan beskrivas med en FIR-modell: x(t) = Gu = b1 u(t ; 1) + + bnb u(t ; nb ). (10).

(5) 1.5. 1.5 1. 1. Medelkvadratfel: 0.0018168. Medelkvadratfel: 9.9409e−33 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1. −1.5 −1.5. −1.5. −1. −0.5. 0. 0.5. 1. 1.5. −2 −1.5. −1. −0.5. 0. 0.5. 1. 1.5. Figur 3: Den skattade olinjariteten. Till vanster: lyckad identiering. Till hoger: konvergens till ett lokalt minimum.. och att inversen av det olinjara blocket kan beskrivas med linjara B-splinefunktioner: x(t). X = f 1 (y) = fi Bi (y(t)) Mb. ;. (11). i=1. dar Mb ar antalet brytpunkter. Genom att satta ekvation (10) och (11) lika kan vi losa ut B1 (y(t)) (vi kan anta att f1 = 1): B1 (y (t)). = b1 u(t ; 1) + + bnb u(t ; nb ) ; f2 B2 (y(t)) ; ; fMB BMb (y(t)) = (t)T #. dar. ;. = u(t ; 1) ; # = b1 : : :. (t)T. :::. u(t. ; nb ) ;B2 (y(t)). bnb. f2. :::. fMb. . :::. ;BMb. . Vi far da parametrarna # som minsta kvadratlosningen till ekvationssystemet B1 (Y ) = T #. (12). dar B1 (Y ) och bestar av utsignaler och regressorer for olika tidpunkter. Ett minsta kvadratproblem har en entydig losning och kan losas snabbt och eektivt. A ven om vi vill anvanda en annan parametrisering kan detta darfor vara ett bra satt att initialisera modellen, da lampliga begynnelsevarden for t ex OE och hinging hyperplanes kan beraknas ur denna modell. I gur 4 visas en simulering dar skattningen initialiserats enligt denna metod. Vi ser att den har konvergerat till det globala minimumet.. 5 Slutsatser Vi har harlett maximum likelihoodskattningen av parametrarna i en Wienermodell nar det linjara och det olinjara blocket har oberoende parametriseringar. Skattningen beraknas genom en numerisk minimering av ett prediktionsfelskriterium. I avsnitt 3 visades exempel fran simuleringar, dar resultatet berodde pa initialiseringen av den numeriska sokningen. Fran en slumpmassig initialisering kan vi inte garantera konvergens mot det globala minimumet. Trots detta blev den linjara modellen tillrackligt bra for att olinjariteten ska kunna skattas ur simulerade x-varden och uppmatta y-varden..

(6) Medelkvadratfel: 1.0385e−32. 1.5. 1.5 1. 1 Medelkvadratfel: 1.0385e−32. 0.5. 0.5 0. 0 −0.5. −0.5 −1. −1. −1.5 −2 100 150 200 250 Streckad linje: skattad utsignal. Heldragen linje: uppmätt utsignal. −1.5 −6. −4. −2. 0. 2. 4. 6. Figur 4: Den skattade modellen med initiering enligt avsnitt 4. Till vanster en simulering av utsignalen, till hoger den skattade olinjariteten.. En mojlig losning pa initialiseringsproblemet foreslogs i avsnitt 4. Genom en linjar parametrisering av modellen kan en minsta kvadratskattning anvandas. Den ger ett entydigt begynnelsevarde som gar snabbt att berakna, och fungerar ocksa bra i det exempel som visas. Noteras bor ocksa att en skattad Wienermodell inte ar entydig, t ex kan en statisk forstarkning fordelas godtyckligt mellan det linjara och det olinjara blocket. I simuleringarna har detta losts genom att en av parametrarna xerats. En annan losning kan vara att xera den statiska forstarkningen for det linjara blocket.. Referenser. 1] J. Bruls, C. T. Chou, B. R. J Haverkamp, and M. Verhaegen. Linear and nonlinear system identication using separable least-squares. Submitted to European Journal of Control, December 1997.. 2] A. D. Kalafatis, L. Wang, and W. R. Cluett. Identication of wiener-type nonlinear systems in a noisy environment. Int J Control, 66(6):923{941, 1997.. 3] Lennart Ljung. System Identication, Theory for the User. Prentice Hall, 1987.. 4] Jonas Sjoberg, Qinghua Zhang, Lennart Ljung, Albert Beneviste, Bernard Delyon, et al. Nonlinear black-box modeling in system identication: a unied overview. Automatica, 31(12):1691{1724, 1995.. 5] Torbjorn Wigren. Recursive prediction error identication using the nonlinear wiener model. Automatica, 29(4):1011{1025, 1993..

(7)

No results found