Sestavení výpočetního programu pro výpočet základních izobarických změn stavu ve vlhkém vzduchu

Sestavení výpočetního programu pro výpočet základních izobarických změn stavu ve

vlhkém vzduchu

Bakalářská práce

Studijní program: B2301 – Strojní inženýrství Studijní obor: 2301R000 – Strojní inženýrství

Autor práce: Jiří Koudelka

Vedoucí práce: Ing. Magda Vestfálová, Ph.D.

Liberec 2017

Poděkování

V první řadě bych chtěl poděkovat především paní Ing. Magdě Vestfálové, Ph.D.

za cenné rady, předmětné připomínky, a především za trpělivost při vedení mé bakalářské práce. Dále bych chtěl poděkovat své partnerce Bc. Kateřině Hálové za konečnou korekturu této práce.

Rád bych také poděkoval své rodině za podporu během mého studia.

Abstrakt

Bakalářská práce se v úvodní části zabývá základními vlastnostmi vlhkého vzduchu. Dále je v práci přehled izobarických změn, které ve vlhkém vzduchu probíhají. Nezbytnou součástí je také výpočetní program pro výpočet izobarických dějů, který po zadání počátečního stavu vlhkého vzduchu spočítá konečný stav vzduchu po průběhu zadaného izobarického děje. V závěrečné části práce je uveden popis algoritmů, kterými se program při výpočtu řídí, a ověření funkčnosti programu na několika příkladech.

Klíčová slova

Vlhký vzduch, Mollierův h-x diagram, izobarický děj

Abstract

The first part of the bachelor thesis deals with the basic characteristics of moist air.

Next, the thesis shows an overview of isobaric changes which occur in moist air.

A programme for calculation of isobaric processes is also an essential part of the thesis. After the initial state of moist air and particular isobaric process are entered, it calculates the ultimate state of air. At the end of the thesis, there is a description of algorithms which the programme uses and a verification of the programme functionality based on several problems.

Keywords

Moist air, Mollier h-x diagram, isobaric process

7

Obsah

Seznam obrázků ... 9

Seznam tabulek ... 9

Seznam nejdůležitějších označení ... 10

Úvod ... 13

1 Ideální plyn ... 14

2 Složky vlhkého vzduchu ... 14

2.1 Suchý vzduch a jeho vlastnosti ... 14

2.2 Voda a její vlastnosti ... 16

2.2.1 Rovnovážný – fázový diagram ... 16

2.2.2 Tlak syté páry ... 18

3 Vlhký vzduch ... 19

3.1 Hustota vlhkého vzduchu ... 20

3.2 Vyjádření vlhkosti vzduchu... 21

3.2.1 Absolutní vlhkost ... 21

3.2.2 Relativní vlhkost ... 22

3.2.3 Měrná vlhkost ... 22

3.3 Entalpie vlhkého vzduchu ... 24

3.4 Teplota rosného bodu ... 27

4 Mollierův h-x diagram ... 27

5 Izobarické děje ... 29

5.1 Ohřev vlhkého vzduchu ... 29

5.2 Chlazeni vlhkého vzduchu ... 30

5.3 Sušení vzduchu ... 31

5.4 Adiabatické směšování ... 32

5.5 Vlhčení vzduchu ... 33

6 Algoritmy výpočtů parametrů vlhkého vzduchu ... 34

6.1 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, t, φ ... 35

6.2 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, t, x ... 35

6.3 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, t, trb ... 36

8

6.4 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, t, h1 + x ... 36

6.5 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, t, pp ... 38

6.6 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, φ, x ... 38

6.7 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, φ, pp... 38

6.8 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, φ, pp′′ ... 38

6.9 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, φ, trb ... 38

6.10 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, φ, h1 + x ... 38

6.11 Algoritmus pro zadané hodnoty pvv, x, h1 + x ... 39

7 Algoritmy výpočtů izobarických změn ... 40

7.1 Algoritmus pro výpočet ohřevu vlhkého vzduch ... 40

7.2 Algoritmus pro výpočet chlazení vlhkého vzduchu ... 41

7.3 Algoritmus pro výpočet sušení vlhkého vzduchu ... 41

7.4 Algoritmus pro výpočet vlhčení vzduchu ... 42

7.5 Algoritmus pro výpočet adiabatického směšování ... 43

8 Popis programu ... 43

Závěr ... 44

Seznam zdrojů ... 45

9

Seznam obrázků

Obrázek 1: Fázový diagram ... 17

Obrázek 2: Schéma Mollierova h-x diagramu ... 28

Obrázek 3: Ohřev vzduchu ... 30

Obrázek 4: Chlazení vzduchu ... 30

Obrázek 5: Směšování ... 33

Obrázek 6: Vlhčení vzduchu ... 33

Obrázek 7: Mezní entalpie při 𝑡 > 0 ... 37

Obrázek 8: Mezní entalpie při 𝑡 < 0 ... 37

Obrázek 9: Schéma k algoritmu (7.11) ... 39

Seznam tabulek

Tabulka 2: Vybrané vlastnosti vody ... 16

Tabulka 3: Přehled kombinací vstupních parametrů ... 34

10

Seznam nejdůležitějších označení

𝑎 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] absolutní vlhkost

𝑎^′′ [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] absolutní vlhkost nasyceného vlhkého vzduchu

𝑐_𝑝𝑘 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná tepelná kapacita kapalné fáze vody za konst. tlaku 𝑐_𝑝𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná tepelná kapacita plynné fáze vody za konst. tlaku 𝑐_𝑝𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná tepelná kapacita suchého vzduchu za konst. tlaku 𝑐_𝑝𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná tepelná kapacita tuhé fáze vody za konst. tlaku ℎ [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrná entalpie

ℎ₀ [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrná entalpie v počátečním stavu

ℎ_1+𝑥 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] entalpie základního množství vlhkého vzduchu

ℎ_1+𝑥^′′ [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] entalpie základního množství nasyceného vlhkého vzduchu ℎ_𝑘 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrná entalpie kapalné fáze vody

ℎ_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrná entalpie plynné fáze vody ℎ_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrná entalpie suchého vzduchu ℎ_𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrná entalpie tuhé fáze vody ℎ_𝑣𝑙 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrná entalpie přiváděné vlhkosti

𝐻 [ 𝐽] entalpie

𝑙_𝑠 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrné skupenské teplo sublimace 𝑙_𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrné skupenské teplo tání

𝑙_𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] měrné skupenské výparné teplo

𝐿 [ 𝐽] skupenské teplo

11

𝑚_𝑘 [𝑘𝑔] hmotnost kapalné fáze vody

𝑚_𝑝 [𝑘𝑔] hmotnost plynné fáze vody

𝑚_𝑠𝑣 [𝑘𝑔] hmotnost suchého vzduchu

𝑚_𝑡 [𝑘𝑔] hmotnost tuhé fáze vody

𝑚_𝑣𝑣 [𝑘𝑔] hmotnost vlhkého vzduchu

𝑚̇_𝑠𝑣 [𝑘𝑔_𝑠𝑣 ∙ 𝑠⁻¹] hmotnostní tok suchého vzduchu 𝑚̇_𝑣𝑙 [𝑘𝑔_𝑣𝑙∙ 𝑠⁻¹] hmotnostní tok přiváděné vlhkosti 𝑚̇_𝑣𝑣 [𝑘𝑔_𝑣𝑣 ∙ 𝑠⁻¹] hmotnostní tok vlhkého vzduchu 𝑀_𝑠 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹] střední molární hmotnost

𝑝 [𝑝𝑎] tlak

𝑝_𝑘𝑟 [𝑝𝑎] kritický tlak

𝑝_𝑝 [𝑝𝑎] parciální tlak vodní páry 𝑝_𝑝^′′ [𝑝𝑎] parciální tlak syté vodní páry 𝑝_𝑠𝑣 [𝑝𝑎] parciální tlak suchého vzduchu

𝑝_𝑡𝑟 [𝑝𝑎] tlak trojného bodu

𝑝_𝑣𝑣 [𝑝𝑎] tlak vlhkého vzduchu

𝑄 [ 𝐽] teplo

𝑟 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná plynová konstanta

𝑟_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná plynová konstanta vodní páry

𝑟_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná plynová konstanta suchého vzduchu

12

𝑟_𝑣𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] měrná plynová konstanta vlhkého vzduchu 𝑅 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹∙ 𝐾⁻¹] molární plynová konstanta

𝑡 [°𝐶] teplota

𝑡_𝑟𝑏 [°𝐶] teplota rosného bodu

𝑡_𝑣𝑙 [°𝐶] teplota přiváděné vlhkosti

𝑇 [𝐾] termodynamická teplota

𝑇_𝑘𝑟 [𝐾] kritická termodynamická teplota

𝑇_𝑡𝑟 [𝐾] termodynamická teplota trojného bodu 𝑥 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] měrná vlhkost

𝑥^′ [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] měrná vlhkost kapalné fáze vody

𝑥^′′ [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] měrná vlhkost nasyceného vlhkého vzduchu 𝑥^′′′ [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] měrná vlhkost tuhé fáze vody

𝜌 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] hustota

𝜌_𝑝 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] parciální hustota vodní páry

𝜌_𝑠𝑣 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] parciální hustota suchého vzduchu 𝜌_𝑣𝑣 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] parciální hustota vlhkého vzduchu

𝜌_𝑝^′′ [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] parciální hustota nasyceného vlhkého vzduchu

𝜑 [1] relativní vlhkost

13

Úvod

Vlhký vzduch tvoří plynný obal země, doprovází koloběh vody, zajišťuje tepelnou stabilitu vhodnou pro náš život na Zemi.

Už i pojem vlhký vzduch nám říká, že z pravidla obsahuje určitou vlhkost.

S projevy obsahu vlhkosti ve vzduchu se setkáváme denně, jelikož má za následek například vznik rosy, mlhy nebo námrazy.

Nedílnou součástí problematiky vlhkého vzduchu jsou také jeho úpravy, které se provádí jak z komfortních důvodů, tak z technologických. Tyto úpravy bývají doprovázeny izobarickými ději, jako jsou ohřev vlhkého vzduchu, chlazení vlhkého vzduchu, jeho sušení, vlhčení, anebo směšování.

Teorie vlhkého vzduchu a jeho úpravy jsou stále aktuálními tématy a dodnes se jimi zabývá řada výzkumů a studií. I studenti vysokých škol se setkávají s teorií vlhkého vzduchu, a to nejčastěji v předmětech zabývajících se termodynamikou.

Při studii vlhkého vzduchu se nevyhneme řadě výpočtů. Jejich numerické řešení bývá méně či více časově náročné v závislosti na složitosti příkladů a vlastních zkušenostech. Právě na tyto výpočty je zaměřena má práce.

Výsledek mé bakalářské práce je interaktivní výpočetní program, který po zadání počátečního stavu vlhkého vzduchu spočítá konečný stav vzduchu po průběhu zadaného izobarického děje. Tento výpočetní program je vytvořen tak, aby sloužil jako pomůcka pro studenty. Uživatel si může rychle ověřit výsledek numerického výpočtu nebo si vyzkoušet různé kombinace zadaných vstupních hodnot. Cílem je dát možnost studentům se efektivněji připravit na úlohy z teorie vlhkého vzduchu, usnadnit pochopení této problematiky a získat vlastní zkušenosti na základě řešení úloh s ověřenou správností výsledku.

14

1 Ideální plyn

Ideální plyn je charakterizován jako dokonale stlačitelný plyn bez vnitřního pnutí.

Skládá se z volně pohyblivých částic s nulovým vlastním objemem. Kromě srážek částic, které jsou dokonale pružné, na sebe částice nijak nepůsobí. Ideální plyn zůstává v celém rozsahu teplot a tlaků v plynném stavu, nelze jej zkapalnit, ani dále přeměnit v tuhé skupenství. Skutečné plyny se tomuto stavu blíží při nízkých tlacích¹ [1]. Základní tepelné kapacity ideálního plynu mají konstantní hodnotu. Chování ideálního plynu popisuje stavová rovnice ideálního plynu

𝑝 ∙1

𝜌= 𝑟 ∙ 𝑇, (1.1)

kde 𝑝 [𝑃𝑎] je tlak, 𝜌 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] je hustota, 𝑟 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná plynová konstanta a 𝑇 [𝐾] je termodynamická teplota.

2 Složky vlhkého vzduchu

Vlhký vzduch je směsí suchého vzduchu a určitého množství vlhkosti, která je tvořena obsahem vody, a to převážně ve formě vodní páry.

2.1 Suchý vzduch a jeho vlastnosti

Suchý vzduch je směsí plynů a jeho složení se v blízkosti povrchu země prakticky nemění. Suchý vzduch za běžných atmosférických podmínek, tím budeme rozumět vzduch jen zanedbatelně se lišící od barometrického tlaku 𝑝_𝑎 =̇ 0,1 [𝑀𝑃𝑎] a teploty 𝑡 =̇ 20 [°𝐶], můžeme považovat za směs ideálních plynů, tedy opět za ideální plyn.

Složení suchého vzduchu při nulové nadmořské výšce je uvedeno v tabulce 1.

1Při tlacích 𝑝 < 0,05 ∙ 𝑝𝑘𝑟 [1]

15

Střední molární hmotnost 𝑀_𝑠 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹] budeme určovat z tabulky 1 pro první tři složky². Molární hmotnosti daných plynů jsou pro dusík 28,0134 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹], kyslík 31,9988 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹] a argon 39,948 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹] [2]. Pro uvedené molární hmotnosti a jim příslušné molární zlomky 𝑥_𝑖 [1] odečtené z tabulky 1 bude střední molární hmotnost 𝑀_𝑠 = 28,958 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹].

Měrná plynová konstanta suchého vzduchu 𝑟_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je dána podílem molární plynové konstanty, pro kterou je v [1] uvedeno 𝑅 = 8314,41 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹∙ 𝐾⁻¹] a střední molární hmotnosti 𝑀_𝑠 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑚𝑜𝑙⁻¹]

𝑟_𝑠𝑣 = 𝑅

𝑀_𝑠 = 8314,41

28,958 = 287,119 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹. (2.1) Jelikož je suchý vzduch tvořen převážně dusíkem a kyslíkem, což jsou dvouatomové plyny, budeme při výpočtu měrné tepelné kapacity suchého vzduchu za konstantního tlaku 𝑐_𝑝𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] uvažovat Poissonovu konstantu 𝑘 = 1,4 [1]:

𝑐_𝑝𝑠𝑣 = 𝑘

𝑘 − 1∙ 𝑟_𝑠𝑣 = 1,4

1,4 − 1∙ 287,011 = 1004,919 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹. (2.2) Při dalších výpočtech budou však použity hodnoty, které jsou uvedeny v [1], a těmi jsou měrná plynová konstanta suchého vzduchu 𝑟_𝑠𝑣 = 287 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] a měrná

2 Při tepelně technických výpočtech se obvykle uvažují jen tyto tři složky, někdy také pouze jen první dvě. Kdy zbylé složky suchého vzduchu jsou přičteny do obsahu N2. V našem případě bude tedy molární zlomek dusíku 𝑥𝑁₂= 0,781 [1].

Tabulka 1: Složení suchého vzduchu [2]

Plyn chemická značka hmotnostní zlomek i [1] molární zlomek xi [1]

Dusík N2 0,75 0,780

Kyslík O2 0,23 0,210

Argon Ar 0,01 0,009

oxid uhličitý CO2

0,01 0,001

Neon Ne

Helium He

Krypton Kr

Xenon Xe

Vodík H2

ozón O3

suchý vzduch - 1,00 1,000

16

tepelná kapacita suchého vzduchu za konstantního tlaku 𝑐_𝑝𝑠𝑣 = 1005 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹].

Můžeme vidět, že se od námi spočítaných hodnot příliš neliší.

2.2 Voda a její vlastnosti

Vybrané vlastnosti vody z [3] jsou uvedeny v tabulce 2. Měrná skupenská tepla 𝑙_𝑣, 𝑙_𝑡 a 𝑙_𝑠 jsou určeny pro teplotu a tlak trojného bodu.

Tabulka 2: Vybrané vlastnosti vody [3]

Tlak trojného bodu 𝑝_𝑡𝑟 = 611,657 [𝑃𝑎]

Teplota trojného bodu 𝑇_𝑡𝑟 = 273,16 [𝐾]

Kritický tlak 𝑝_𝑘𝑟= 22,064 [𝑀𝑃𝑎]

Kritická teplota 𝑇_𝑘𝑟 = 647,096 [𝐾]

Měrné skupenské výparné teplo 𝑙_𝑣 = 2500,9 [𝑘𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] Měrné skupenské teplo tání 𝑙_𝑡= 333,4 [𝑘𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] Měrné skupenské teplo sublimace 𝑙_𝑠 = 2834,3 [𝑘𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹]

Měrná plynová konstanta 𝑟_𝑝 = 461,51805 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹]

Měrné tepelné kapacity jsou závislé na teplotě a tlaku. My však budeme pracovat pouze v určitém rozsahu teplot a tlaků, pro které budeme uvažovat střední tepelné kapacity. Použijeme hodnoty z [1] a těmi jsou střední měrná tepelná kapacita plynné fáze vody za konstantního tlaku 𝑐_𝑝𝑝= 1884 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹], střední měrná tepelná kapacita kapalné fáze vody za konstantního tlaku 𝑐_𝑝𝑘= 4186,8 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] a střední měrné tepelné kapacita tuhé fáze vody 𝑐_𝑝𝑡 = 2093 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] za konstantního tlaku. Taktéž pro měrnou plynovou konstantu vodní páry bude při dalších výpočtech používána hodnota uvedená v [1] a tou je 𝑟_𝑝 = 462 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹].

Chování vodní páry při nízkých³ tlacích lze přibližně popsat stavovou rovnicí ideálního plynu.

2.2.1 Rovnovážný – fázový diagram

Voda se může vyskytovat ve třech fázích, a to v pevné 𝑡, kapalné 𝑘 a plynné 𝑝;

tyto fáze lze přehledně popsat pomocí fázového diagramu, který je zobrazen na obrázku 2.

3 Co je myšleno nízkými tlaky, bylo vysvětleno v kapitole 1.

17

Jednotlivé fáze jsou od sebe odděleny mezními křivkami 𝑡, 𝑠, a 𝑣. Tyto křivky vychází z trojného bodu 𝑡𝑟. Ten je určen teplotou 𝑇_𝑡𝑟 a tlakem 𝑝_𝑡𝑟. V trojném bodě mohou koexistovat všechny tři fáze dané látky. Křivka 𝑣 je křivka varu nebo kondenzace, na které určitému tlaku připadá určitá teplota, při které probíhá var kapaliny, nebo naopak kondenzace páry. Křivka varu končí v bodě, který nazýváme kritický bod 𝑘𝑟. Kritický bod je dán kritickým tlakem 𝑝_𝑘𝑟 a kritickou teplotou 𝑇_𝑘𝑟 dané látky. Látku v plynném skupenství o teplotě nižší než 𝑇_𝑘𝑟 a tlaku menším než 𝑝_𝑘𝑟 nazýváme přehřátá pára. Až při teplotách větších než 𝑇_𝑘𝑟 mluvíme o plynu.

Nad kritickým bodem, tedy při teplotě větší než 𝑇_𝑘𝑟 a tlaku větším než 𝑝_𝑘𝑟, mizí hranice mezi kapalnou a plynnou fází látky. Křivka 𝑡 vyjadřuje závislost teploty tání nebo tuhnutí na tlaku a křivka 𝑠 vyjadřuje závislost teploty sublimace nebo desublimace na tlaku.

Změna skupenství probíhá na mezních křivkách za konstantní teploty. Ke změně je třeba do soustavy dodat nebo odebrat určité množství tepla, nazýváme jej skupenské teplo 𝐿 [ 𝐽]. Při změně skupenství na křivce 𝑣 je pro vypaření jednoho kilogramu látky nutné přivést měrné skupenské výparné teplo 𝑙_𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹]. Pro změnu skupenství na křivce 𝑠 měrné skupenské teplo sublimace 𝑙_𝑠 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] a na křivce 𝑡 měrné skupenské teplo tání 𝑙_𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹]. Všechny tyto změny probíhají za konstantní teploty a tlaku.

Na obrázku 2 je uveden příklad, kdy zahříváme kapalinu za konstantního tlaku.

Postupným dodáváním tepla dosáhneme křivky varu 𝑣, a to při teplotě 𝑇_𝑣. Stav, kdy právě dosáhneme křivky varu, nazýváme stavem syté kapaliny. Stav na konci varu nazýváme stavem syté páry. Dalším dodáváním tepla budeme páru přehřívat.

Přehřátá pára má nižší tlak a hustotu než sytá pára téže teploty. Přehřátá pára se blíží Obrázek 1: Fázový diagram

18

svými vlastnostmi vlastnostem ideálního plynu, a to tím více, čím více se její stav liší od stavu syté páry.

Jak již bylo zmíněno, na křivce varu odpovídá každé teplotě určitý tlak. Tento tlak nazýváme tlakem syté páry 𝑝_𝑝^′′ [𝑃𝑎].

2.2.2 Tlak syté páry

Pro výpočet tlaku syté páry na intervalu teplot −30 °𝐶 až 0 °𝐶, včetně nuly, lze podle [4] použít vztah

ln 𝑝_𝑝^′′ =𝐶₁

𝑇 + 𝐶₂+ 𝐶₃∙ 𝑇 + 𝐶₄∙ 𝑇²+ 𝐶₅∙ 𝑇³+ 𝐶₆∙ 𝑇⁴+ 𝐶₇ ∙ ln 𝑇, (2.3) kde 𝑝_𝑝^′′ [𝑘𝑃𝑎] je tlak syté páry, 𝑇 [𝐾] je termodynamická teplota a 𝐶₁ až 𝐶₇ jsou konstanty o hodnotách

𝐶₁ = −5,6745359 ∙ 10³, 𝐶₅ = 2,0747825 ∙ 10⁻⁹, 𝐶₂ = 6,3925247, 𝐶₆ = −9,484024 ∙ 10⁻¹³, 𝐶₃ = −9,677843 ∙ 10⁻³, 𝐶₇ = 4,1635019

𝐶₄ = 6,2215701 ∙ 10⁻⁷,

a na intervalu teplot 0 °𝐶 až 80 °𝐶 lze pro výpočet tlaku syté páry podle [4] použít vztah

ln 𝑝_𝑝^′′= 𝐶₈

𝑇 + 𝐶₉+ 𝐶₁₀∙ 𝑇 + 𝐶₁₁∙ 𝑇²+ 𝐶₁₂∙ 𝑇³ + 𝐶₁₃∙ ln 𝑇, (2.4) kde 𝑝_𝑝^′′ [𝑘𝑃𝑎] je tlak syté páry, 𝑇 [𝐾] je termodynamická teplota a 𝐶₈ až 𝐶₁₃ jsou konstanty o hodnotách

𝐶₈ = −5,8002206 ∙ 10³, 𝐶₁₁ = 4,1764768 ∙ 10⁻⁵, 𝐶₉ = 1,3914993, 𝐶₁₂ = −1,4452093 ∙ 10⁻⁸, 𝐶₁₀= −4,8640239 ∙ 10⁻², 𝐶₁₃ = 6,5459673.

19

3 Vlhký vzduch

K jednoznačnému určení stavu vlhkého vzduchu musí být dána teplota, tlak vlhkého vzduchu a jeho složení.

Jak již bylo uvedeno v kapitole 2, vlhký vzduch je směsí suchého vzduchu a určitého množství vlhkosti, přičemž je vlhkost nejčastěji přítomna jako přehřátá vodní pára. Obě tyto složky mají stejnou teplotu.

Podíl hmotnosti vodní páry obsažené v atmosférickém vzduchu je vzhledem k celkové hmotnosti směsi nepatrný, a tedy i celkový tlak směsi se příliš neliší od parciálního tlaku suchého vzduchu. K výpočtu celkového tlaku vlhkého vzduchu použijeme Daltonův zákon, který nám říká, že celkový tlak směsi plynů 𝑝 [𝑃𝑎] je dán součtem parciálních tlaků jednotlivých složek 𝑝_𝑖 [𝑃𝑎]

𝑝 = ∑ 𝑝_𝑖. (3.1)

Pojem parciální neboli dílčí tlak je popsán jako tlak, který by měl čistý plyn po odčerpání zbylých složek a při stejné teplotě jako má směs [1].

Celkový tlak vzduchu 𝑝_𝑣𝑣 [𝑃𝑎] je tedy podle Daltonova zákona dán součtem parciálních tlaků jeho složek. U vlhkého vzduchu se počítá se dvěma složkami, a to se suchým vzduchem a vodní parou

𝑝_𝑣𝑣 = 𝑝_𝑠𝑣 + 𝑝_𝑝, (3.2)

kde 𝑝_𝑠𝑣 [𝑃𝑎] je parciální tlak suchého vzduchu a 𝑝_𝑝 [𝑃𝑎] je parciální tlak vodní páry.

Přechod mezi jednotlivými stavy⁴ vlhkého vzduchu při konkrétní hodnotě celkového tlaku a teplotě je zapříčiněn mírou nasycení vlhkého vzduchu. Tyto stavy si popíšeme na příkladu, kdy bychom do vzduchu přiváděli vlhkost ve formě vodní páry.

Přiváděním vodní páry do suchého vzduchu při daném celkovém tlaku a teplotě se vodní pára ve vzduchu rozptýlí a vzduch bude nejprve vodní parou nenasycený.

V této oblasti je vlhký vzduch tvořen suchým vzduchem a přehřátou vodní parou.

Dalším přiváděním vodní páry dojde k nárůstu vlhkosti, a tím i k podílu parciálního tlaku páry vzhledem k celkovému tlaku směsi. Mezním případem je stav vlhkého vzduchu, kdy pro danou teplotu dosáhne parciální tlak páry 𝑝_𝑝 tlaku syté páry 𝑝_𝑝^′′. V tomto

4 (tzn. oblastí suchého vzduchu, nenasyceného vzduchu, mezní oblasti nasycení a oblasti přesyceného vlhkého vzduchu)

20

případě je vlhký vzduch vodní parou nasycený. Nasycený vlhký vzduch je tvořen suchým vzduchem a sytou vodní parou. Hodnotou tlaku syté páry 𝑝_𝑝^′′ je určeno množství vlhkosti, které je vzduch při dané teplotě schopen pojmout ve formě páry.

Směs tedy může obsahovat jen omezené množství páry. Dalším přiváděním vodní páry nad uvedené mezní množství dojde k přesycení vzduchu a přebytečná vlhkost se vysráží. Při teplotě nad 0 °𝐶 se přebytečná vlhkost vysráží ve formě kapalné fáze jako kapičky vody, a tím dosáhneme stavu mlhového vzduchu. Při teplotě pod 0 °𝐶 se přebytečná vlhkost vysráží ve formě tuhé fáze jako krystalky ledu, kdy se bude jednat o vzduch se sněhem. Kromě syté vodní páry a suchého vzduchu obsahuje tedy vlhký vzduch v přesycené oblasti ještě kapalnou nebo tuhou fázi vlhkosti. Popřípadě při teplotě 0 °𝐶 může přesycený vlhký vzduch obsahovat všechny tři fáze naráz.

Nenasycený a nasycený vzduch je tedy homogenní směsí, kdežto v případě přesyceného vlhkého vzduchu se jedná o směs heterogenní.

3.1

Hustota vlhkého vzduchu

Obě základní složky vlhkého vzduchu, jak suchý vzduch, tak vlhkost, mají stejnou teplotu, ale každá má svůj příslušný parciální tlak. Každá jednotka objemu vlhkého vzduchu obsahuje hmotnostní množství suchého vzduchu dané jeho parciální hustotou 𝜌_𝑠𝑣 [kg ∙ m⁻³] odpovídající hustotě při dané teplotě a příslušném parciálním tlaku. Podobně každá jednotka objemu vlhkého vzduchu obsahuje množství vodní páry dané její parciální hustotou 𝜌_𝑝 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] při dané teplotě a příslušném parciálním tlaku. Hustota vlhkého vzduchu 𝜌_𝑣𝑣 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] je dána součtem parciálních hustot obou složek [1].

𝜌_𝑣𝑣 = 𝜌_𝑠𝑣+ 𝜌_𝑝. (3.3)

Předpoklady, za kterých se suchý vzduch a vodní pára chovají přibližně jako ideální plyny, byly zmíněny v kapitole 1. Můžeme tedy parciální hustoty suchého vzduchu 𝜌_𝑠𝑣 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] a vodní páry 𝜌_𝑝 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] počítat ze stavové rovnice pro ideální plyn (1.1), a to dosazením parametrů pro příslušné složky vlhkého vzduchu

𝑝_𝑠𝑣 ∙ 1

𝜌_𝑠𝑣 = 𝑟_𝑠𝑣 ∙ 𝑇, (3.4)

21 𝑝_𝑝∙ 1

𝜌_𝑝 = 𝑟_𝑝∙ 𝑇, (3.5)

kde 𝑝_𝑠𝑣 [𝑃𝑎] je parciální tlak suchého vzduchu, 𝑟_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná plynová konstanta suchého vzduchu, 𝑝_𝑝 [𝑃𝑎] je parciální tlak vodní páry, 𝑟_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná plynová konstanta vodní páry a 𝑇 [𝐾] je termodynamická teplota.

Hustotu vlhkého vzduchu 𝜌_𝑣𝑣 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] lze také vypočítat ze stavové rovnice ideálního plynu napsané pro vlhký vzduch jako celek

𝑝_𝑣𝑣∙ 1

𝜌_𝑣𝑣 = 𝑟_𝑣𝑣∙ 𝑇, (3.6)

kde 𝑝_𝑣𝑣 [𝑃𝑎] je tlak vlhkého vzduchu, 𝑟_𝑣𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná plynová konstanta vlhkého vzduchu a 𝑇 [𝐾] je termodynamická teplota.

Měrnou plynovou konstantu vlhkého vzduchu 𝑟_𝑣𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] počítáme jako pro směs ideálních plynů

𝑟_𝑣𝑣 = 1

1 + 𝑥∙ 𝑟_𝑠𝑣 + 𝑥

𝑥 + 1𝑟_𝑝, (3.7)

kde 𝑥 [𝑘𝑔_𝑝∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] je měrná vlhkost⁵, 𝑟_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná plynová konstanta suchého vzduchu a 𝑟_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná plynová konstanta vodní páry [1].

3.2 Vyjádření vlhkosti vzduchu

Vlhkost ve vzduchu udáváme několika způsoby. Zde popíšeme absolutní vlhkost, relativní vlhkost a měrnou vlhkost.

3.2.1 Absolutní vlhkost

Absolutní vlhkost vzduchu 𝑎 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] je dána hmotnostním množstvím páry obsaženým v jednotkovém objemu vzduchu

𝑎 =𝑚_𝑝

𝑉 , (3.8)

5 Měrná vlhkost je popsána v kapitole 3.2.3.

22

absolutní vlhkost je v podstatě hustota páry 𝜌_𝑝 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] při tlaku 𝑝_𝑝 [𝑃𝑎] a dané teplotě 𝑡 [°𝐶]

𝑎 = 𝜌_𝑝. (3.9)

Maximální absolutní vlhkost vzduchu 𝑎^′′[𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] bude tedy rovna hustotě syté páry 𝜌_𝑝^′′ [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] při dané teplotě

𝑎^′′ = 𝜌_𝑝^′′ . (3.10)

3.2.2 Relativní vlhkost

Relativní vlhkost 𝜑 [1] vyjadřuje poměr dané absolutní vlhkosti 𝑎 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] vzhledem k absolutní vlhkosti nasyceného vlhkého vzduchu 𝑎^′′[𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] při téže teplotě

𝜑 = 𝑎

𝑎^′′. (3.11)

Dosadíme-li (3.5), (3.9) a (3.10) do (3.11), můžeme relativní vlhkost vyjádřit vztahem

𝜑 = 𝑎

𝑎^′′ ≈𝑟_𝑝∙ 𝑇 𝑝_𝑝^′′ ∙ 𝑝_𝑝

𝑟_𝑝∙ 𝑇 = 𝑝_𝑝

𝑝_𝑝^′′ , (3.12)

kde 𝑎 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] je absolutní vlhkost, 𝑎^′′ [𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³] je absolutní vlhkost nasyceného vlhkého vzduchu, 𝑝_𝑝 [𝑃𝑎] je parciální tlak páry, 𝑝_𝑝^′′ [𝑃𝑎] je parciální tlak syté páry, 𝑇 [𝐾]

je termodynamická teplota a 𝑟_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná plynová konstanta páry.

3.2.3 Měrná vlhkost

Měrná vlhkost 𝑥 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] udává hmotnost vlhkosti připadající na 1 𝑘𝑔 suchého vzduchu 𝑚_𝑠𝑣

𝑥 =𝑚_𝑝+ 𝑚_𝑘+ 𝑚_𝑡

𝑚_𝑠𝑣 , (3.13)

kde 𝑚_𝑝 [𝑘𝑔] je hmotnost plynné fáze vody, 𝑚_𝑘 [𝑘𝑔] je hmotnost kapalné fáze vody, 𝑚_𝑡 [𝑘𝑔] je hmotnost tuhé fáze vody a 𝑚_𝑠𝑣 [𝑘𝑔] je hmotnost suchého vzduchu.

23

Pro nenasycený a nasycený vzduch platí 𝑚_𝑘 = 𝑚_𝑝 = 0 a jeho měrná vlhkost 𝑥 bude tedy dána vztahem

𝑥 = 𝑚_𝑝

𝑚_𝑠𝑣 . (3.14)

Ve vlhkém vzduchu jsou teplota a objem složek identické. Za tohoto předpokladu můžeme rovnici (3.14) přepsat jako podíl hustoty páry a suchého vzduchu

𝑥 = 𝑚_𝑝 𝑚_𝑠𝑣 = 𝜌_𝑝

𝜌_𝑠𝑣 . (3.15)

Dosazením stavových rovnic (3.4), (3.5) do (3.15) dostaneme

𝑥 = 𝑝_𝑝

𝑟_𝑝∙ 𝑇∙𝑟_𝑠𝑣∙ 𝑇

𝑝_𝑠𝑣 =̇287 462∙ 𝑝_𝑝

𝑝_𝑠𝑣 , (3.16)

dále pomocí rovnic (3.2) a (3.12) dostaneme pro výpočet měrné vlhkosti vztah

𝑥 = 0,622 ∙ 𝜑 ∙ 𝑝_𝑝^′′

𝑝_𝑣𝑣 − 𝜑 ∙ 𝑝_𝑝^′′ , (3.17) kde 𝑝_𝑝 [𝑃𝑎] je parciální tlak páry, 𝑝_𝑝^′′ [𝑃𝑎] je parciální tlak syté páry, 𝑝_𝑣𝑣 [𝑃𝑎] je tlak vlhkého vzduchu a 𝜑 [1] je relativní vlhkost.

Měrnou vlhkost nasyceného vlhkého vzduchu 𝑥^′′ vypočteme z rovnice (3.17), dosadíme-li za relativní vlhkost 𝜑 = 1

𝑥^′′ = 0,622 ∙ 𝑝_𝑝^′′

𝑝_𝑣𝑣− 𝑝_𝑝^′′. (3.18)

V oblasti přesyceného vzduchu, při teplotách nad 0 °𝐶 bude měrná vlhkost

𝑥 = 𝑥^′′+ 𝑥^′, (3.19)

kde 𝑥^′ je množství kapalné fáze vody v kilogramech vztažené na jeden kilogram suchého vzduchu. Při teplotách pod 0 °𝐶 bude měrná vlhkost přesyceného vzduchu

𝑥 = 𝑥^′′+ 𝑥^′′′, (3.20)

24

kde 𝑥^′′′ je množství tuhé fáze vody v kilogramech vztažené na jeden kilogram suchého vzduchu. Přesycený vlhký vzduch při teplotě 0 °𝐶 může obsahovat všechny tři fáze vlhkosti

𝑥 = 𝑥^′+ 𝑥^′′+ 𝑥^′′′. (3.21)

3.3 Entalpie vlhkého vzduchu

Hodnotu entalpie vypočteme součtem hodnot entalpií jednotlivých složek vlhkého vzduchu. Jelikož se množství vlhkosti ve vzduchu může měnit, zatímco množství suchého vzduchu zůstává neměnné, neužíváme při výpočtech měrnou entalpii vlhkého vzduchu, ale jako základní množství uvažujeme množství vlhkého vzduchu o 1 + 𝑥 kilogramů. Celková entalpie určitého množství vlhkého vzduchu je dána součtem entalpie suchého vzduchu a vlhkosti

𝐻 = 𝑚_𝑠𝑣∙ ℎ_𝑠𝑣+ 𝑚_𝑝∙ ℎ_𝑝, (3.22) kde ℎ_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je měrná entalpie suchého vzduchu, ℎ_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je měrná entalpie páry, 𝑚_𝑠𝑣 [𝑘𝑔] je hmotnost suchého vzduchu a 𝑚_𝑝 [𝑘𝑔] je hmotnost páry.

Vztah (3.22) dále upravíme do tvaru

𝐻 = 𝑚_𝑠𝑣∙ (ℎ_𝑠𝑣+ 𝑚_𝑝

𝑚_𝑠𝑣∙ ℎ_𝑝) (3.23)

a po dosazení (3.14) do (3.23) dostaneme pro celkovou entalpii vztah

𝐻 = 𝑚_𝑠𝑣∙ (ℎ_𝑠𝑣+ 𝑥 ∙ ℎ_𝑝), (3.24) kde výraz v závorce je již zmíněná entalpie základního množství vlhkého vzduchu o hmotnosti 1 + 𝑥 kilogramů. Značíme ji ℎ_1+𝑥 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] a je tedy dána vztahem

ℎ_1+𝑥 = ℎ_𝑠𝑣 + 𝑥 ∙ ℎ_𝑝. (3.25)

Při výpočtu měrné entalpie suchého vzduchu budeme vycházet ze vztahu pro model ideálního plynu mezi dohodnutým výchozím stavem, značeným indexem 0 a obecným vztahem

ℎ − ℎ₀ = 𝑐_𝑝∙ (𝑇 − 𝑇₀). (3.26) Jelikož nelze stanovit absolutní hodnotu entalpie, musí být zvolen počáteční stav s nulovou entalpií. Počátečním stavem pro vyhodnocení entalpie suchého vzduchu je

25

zvolen stav při teplotě 0 °𝐶. Měrná entalpie suchého vzduchu bude podle (3.26) dána vztahem

ℎ_𝑠𝑣 = 𝑐_𝑝𝑠𝑣∙ 𝑡, (3.27)

kde 𝑐_𝑝𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná tepelná kapacita suchého vzduchu za konstantního tlaku a 𝑡 [°𝐶] je teplota.

Pro vodu a vodní páru je dohodnutým výchozím stavem stav kapalné vody v trojném bodě a v něm je hodnota entalpie rovna nule⁶. Pro zjednodušení budeme trojný bod uvažovat při teplotě 0 °𝐶.

Při výpočtu měrné entalpie páry změníme skupenství hned při počáteční teplotě vypařením kapaliny. Měrná entalpie páry bude tedy dána součtem výparného tepla při 0 °𝐶 𝑙_𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝐾⁻¹] a tepla potřebného k ohřevu páry na teplotu 𝑡 [°𝐶]. Jelikož považujeme vodní páru za ideální plyn, závislost entalpie na tlaku nám zcela odpadá a měrná entalpie vodní páry ℎ_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] bude dána vztahem

ℎ_𝑝 = 𝑙_𝑣+ 𝑐_𝑝𝑝∙ 𝑡, (3.28)

kde 𝑙_𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝐾⁻¹] je měrné výparné teplo vody při teplotě 0 °𝐶, 𝑐_𝑝𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná tepelná kapacita páry za konstantního tlaku a 𝑡 [°𝐶] je teplota.

Po dosazení (3.27) a (3.28) do (3.25) dostaneme pro entalpii základního množství vlhkého vzduchu vztah

ℎ_1+𝑥 = 𝑐_𝑝𝑠𝑣 ∙ 𝑡 + 𝑥 ∙ (𝑙_𝑣+ 𝑐_𝑝𝑝∙ 𝑡). (3.29) Pro nasycený vzduch přejde podle (3.18) v rovnici (3.29) 𝑥 na hodnotu 𝑥^′′

ℎ_1+𝑥^′′ = 𝑐_𝑝𝑠𝑣 ∙ 𝑡 + 𝑥^′′∙ (𝑙_𝑣+ 𝑐_𝑝𝑝∙ 𝑡). (3.30) Měrnou entalpie kapalné fáze vody ℎ_𝑘 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] počítáme ze vztahu

ℎ_𝑘 = 𝑐_𝑝𝑘∙ 𝑡, (3.31)

kde 𝑐_𝑝𝑘 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná tepelná kapacita vody za konstantního tlaku a 𝑡 [°𝐶]

je teplota.

Jak již bylo uvedeno v kapitole 3, je-li vlhký vzduch přesycený vlhkostí, obsahuje vedle suchého vzduchu a syté páry ještě přebytek vlhkosti a tou může být vodní mlha nebo sníh, případně při teplotě 0 °𝐶 obě tyto fáze. Vztah pro entalpii základního

6 Hodnota entalpie kapalné vody v trojném bodě je dána tlakovou energií vody, pro běžnou praxi je ale její hodnota zanedbatelná [1].

26

množství přesyceného vlhkého vzduchu při teplotě 𝑡 > 0 °𝐶 bude obsahovat složky suchého vzduchu, páry a kapalné fáze vlhkosti, a to při jejich příslušném množství

ℎ_1+𝑥 = ℎ_𝑠𝑣 + 𝑥^′′∙ ℎ_𝑝+ 𝑥^′∙ ℎ_𝑘, (3.32) kde ℎ_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je měrná entalpie suchého vzduchu, 𝑥^′′[𝑘𝑔_𝑝∙ 𝑘𝑠_𝑠𝑣⁻¹] je měrná vlhkost nasyceného vzduchu, ℎ_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je měrná entalpie vodní páry, 𝑥^′[𝑘𝑔_𝑘∙ 𝑘𝑠_𝑠𝑣⁻¹] je přebytek kapalné fáze vlhkosti v kilogramech vztažené na jeden kilogram suchého vzduchu a ℎ_𝑘[ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je entalpie kapalné fáze vody.

Dosazením (3.27), (3.28) a (3.31) do (3.32) obdržíme pro entalpii mlhového vzduchu

ℎ_1+𝑥 = 𝑐_𝑝𝑠𝑣 ∙ 𝑡 + 𝑥^′′∙ (𝑙_𝑣+ 𝑐_𝑝𝑝∙ 𝑡) + 𝑥^′∙ 𝑐_𝑝𝑘∙ 𝑡. (3.33) Vztah pro entalpii základního množství přesyceného vlhkého vzduchu při teplotě 𝑡 < 0 °𝐶 bude obsahovat složky suchého vzduchu, páry a tuhé fáze vlhkosti, a to při jejich příslušném množství

ℎ_1+𝑥 = ℎ_𝑠𝑣 + 𝑥^′′∙ ℎ_𝑝+ 𝑥^′′′∙ ℎ_𝑡, (3.34) kde ℎ_𝑠𝑣 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je měrná entalpie suchého vzduchu, 𝑥^′′[𝑘𝑔_𝑝∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] je měrná vlhkost nasyceného vlhkého vzduchu, ℎ_𝑝 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je měrná entalpie vodní páry, ℎ_𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je měrná entalpie tuhé fáze vody a 𝑥^′′′ [𝑘𝑔_𝑡∙ 𝑘𝑠_𝑠𝑣⁻¹] je množství tuhé fáze vlhkosti v kilogramech vztažené na jeden kilogram suchého vzduchu.

Měrná entalpie tuhé fáze vody ℎ_𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹] je dána vztahem

ℎ_𝑡 = −(|𝑙_𝑡| − 𝑐_𝑝𝑡∙ 𝑡), (3.35) kde 𝑙_𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝐾⁻¹] je skupenské teplo tuhnutí v trojném bodě, 𝑐_𝑝𝑡 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔⁻¹∙ 𝐾⁻¹] je měrná tepelná kapacita tuhé fáze vody za konstantního tlaku a 𝑡 [°𝐶] je teplota.

Dosazením (3.27), (3.28) a (3.35) do (3.34) obdržíme pro entalpii vlhkého vzduchu se sněhem vztah

ℎ_1+𝑥 = 𝑐_𝑝𝑠𝑣∙ 𝑡 + 𝑥^′′∙ (𝑙_𝑣 + 𝑐_𝑝𝑝∙ 𝑡) − 𝑥^′′′∙ (|𝑙_𝑡| − 𝑐_𝑝𝑡∙ 𝑡). (3.36) Je-li vlhký vzduch přesycen vlhkostí a teplota přesyceného vzduchu 𝑡 = 0 °𝐶, vzduch obsahuje vedle syté páry ještě přebytek vlhkosti jako tuhnoucí mlhu nebo tající sníh.

Entalpie základního množství pro přesycený vlhký vzduch při teplotě 𝑡 = 0 °𝐶 je dána vztahem

27

ℎ_1+𝑥 = ℎ_𝑠𝑣+ 𝑥^′′∙ ℎ_𝑝+ 𝑥^′∙ ℎ_𝑘+ 𝑥^′′′∙ ℎ_𝑡. (3.37) Po dosazení (3.27), (3.28), (3.31) a (3.35) do (3.37) dostáváme po úpravě výsledný tvar pro entalpii přesyceného vlhkého vzduchu při teplotě 𝑡 = 0 °𝐶

ℎ_1+𝑥 = 𝑥^′′∙ 𝑙_𝑣− 𝑥^′′′∙ |𝑙_𝑡|. (3.38)

3.4 Teplota rosného bodu

Teplota rosného bodu 𝑡_𝑟𝑏 [°𝐶] je teplota, při které vzduch při izobarickém ochlazování bude právě nasycen, tedy 𝑝_𝑝 = 𝑝_𝑝^′′. Ve vzduchu ochlazeném na teplotu rosného bodu nastává kondenzace vodní páry, při teplotách rosného bodu nad 0 °𝐶 se sráží mlha a při teplotách pod 0 °𝐶 se tvoří jinovatka. Z rovnovážného diagramu lze jasně vyčíst, že teplota rosného bodu je závislá na parciálním tlaku páry 𝑝_𝑝 [𝑃𝑎].

Pro výpočet teploty rosného bodu 𝑡_𝑟𝑏 [°𝐶] pro interval teplot od 0 °𝐶 do 80 °𝐶 lze podle [4] použít vzorec

𝑡_𝑟𝑏 = 𝐶₁₄+ 𝐶₁₅∙ 𝛼 + 𝐶₁₆∙ 𝛼²+ 𝐶₁₇∙ 𝛼³+ 𝐶₁₈∙ 𝑝_𝑝,^0.1984 (3.39) kde 𝛼 je ln 𝑝_𝑝, 𝑝_𝑝 [𝑘𝑃𝑎] je parciální tlak páry a 𝐶₁₄ až 𝐶₁₈ jsou konstanty o hodnotách

𝐶₁₄= 6,54, 𝐶₁₇ = 0,09486,

𝐶₁₅= 14,526, 𝐶₁₈ = 0,4569

𝐶₁₆= 0,7389, a pro teploty pod 0 °𝐶

𝑡_𝑟𝑏 = 6,09 + 12,608 ∙ 𝛼 + 0,4959 ∙ 𝛼², (3.40) kde 𝛼 je ln 𝑝_𝑝 a 𝑝_𝑝 [𝑘𝑃𝑎] je parciální tlak páry.

4 Mollierův h-x diagram

Tento diagram je používán jako grafický nástroj, který nám umožní získat přehled o stavech vlhkého vzduchu a usnadní nám numerické vyčíslení výpočtu. Mollierův h-x diagram je vždy konstruován pro určitý tlak vlhkého vzduchu. Osy diagramu tvoří entalpie a měrná vlhkost. V diagramu jsou také zakresleny přímky izoterem a soustava

28

čar o stejné relativní vlhkosti. Entalpie je vynesena na svislé ose, která nám také udává stav suchého vzduchu. Druhá hlavní osa je vzhledem k ose entalpie natočená o úhel 135° a je na ní vynesena měrná vlhkost.

Izotermy jsou v Mollierově h-x přímkami. Pro oblast nenasyceného vlhkého vzduchu, tedy mezi čarami 𝜑 = 0 až 𝜑 = 1, se bude směrnice izoterem řídit podle rovnice (3.29). Izoterma 𝑡 = 0 °𝐶 vychází z počátku diagramu a při vhodném měřítku na osách je vodorovná. Při teplotách 𝑡 > 0 °𝐶 nabývá sklon izoterem se vzrůstající teplotou kladných úhlů, a naopak při teplotách 𝑡 < 0 °𝐶 s klesající teplotou záporných úhlů. Izoterma v nenasyceném vlhkém vzduchu končí na mezi sytosti, tedy při 𝜑 = 1.

Právě tato křivka sytosti rozděluje diagram na oblast nenasyceného vlhkého vzduchu a na oblast přesyceného vlhkého vzduchu.

V přesyceném vlhkém vzduchu budou izotermy opět přímkami, avšak jejich směrnice bude v závislosti na teplotě dána rovnicemi (3.33), (3.36) a (3.38).

Průběh izotermy v přesyceném vlhkém vzduchu při teplotě 𝑡 = 0 °𝐶 je podle rovnice (3.38) ovlivněn podílem

kapalné a tuhé fáze vlhkosti. Bude- li přesycený vlhký vzduch při nulové teplotě obsahovat přebytek vlhkosti jen ve formě vodní mlhy, bude v této oblasti izoterma vodorovná s osou měrné vlhkosti. Pokud bude přebytkem vlhkosti pouze jinovatka, bude směrnice druhé větve nulové izotermy ovlivněna právě přítomností jinovatky 𝑥′′′. Obecný stav přesyceného vlhkého vzduchu o nulové teplotě leží v klínu, který tvoří právě zmíněné dvě větve nulové izotermy.

V Mollierově h-x diagramu vlhkého vzduchu bývají často zpracovány i další údaje, jako například parciální tlak páry, hustota vzduchu nebo měrný objem.

Obrázek 2: Schéma Mollierova h-x diagramu

29

5 Izobarické děje

Izobarické děje ve vlhkém vzduchu lze přehledně řešit použitím Mollierova h-x diagramu. V této kapitole je popsán ohřev a chlazení vlhkého vzduchu, jeho sušení, vlhčení a kontinuální směšování dvou proudů vzduchu o různé teplotě a vlhkosti.

5.1 Ohřev vlhkého vzduchu

Izobarický ohřev vlhkého vzduchu je děj, při kterém nedochází ke změně množství vlhkosti ve vzduchu; ohřev probíhá za konstantní měrné vlhkosti ∆𝑥 = 0 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹].

S rostoucí teplotou je vlhký vzduch schopen pojmout více vlhkosti, a tím dojde k poklesu relativní vlhkosti 𝜑 [1]. Teplo, které musíme dodat pro ohřev vlhkého vzduchu o hmotnosti 𝑚_𝑣𝑣 [𝑘𝑔_𝑣𝑣] z teploty 𝑡₁ [°𝐶] na teplotu 𝑡₂ [°𝐶] je

𝑄_𝑑𝑜𝑑= 𝑚_𝑠𝑣∙ 𝑐_{𝑝 𝑠𝑣}∙ (𝑡₂− 𝑡₁) + 𝑚_𝑝∙ 𝑐_{𝑝 𝑝}∙ (𝑡₂− 𝑡₁). (5.1) Dosazením (3.14) do (5.1) dostaneme vztah

𝑄_𝑑𝑜𝑑 = 𝑚_𝑠𝑣 ∙ [𝑐_{𝑝 𝑠𝑣} ∙ (𝑡₂− 𝑡₁) + 𝑥 ∙ 𝑐_{𝑝 𝑝}∙ (𝑡₂− 𝑡₁)] (5.2) a ten dále upravíme na

𝑄_𝑑𝑜𝑑= 𝑚_𝑠𝑣∙ [𝑐_{𝑝 𝑠𝑣} ∙ 𝑡₂+ 𝑥 ∙ (𝑙_𝑣+ 𝑐_{𝑝 𝑝}∙ 𝑡₂) − 𝑐_{𝑝 𝑠𝑣}∙ 𝑡₁ − 𝑥 ∙ (𝑙_𝑣 + 𝑐_{𝑝 𝑝}∙ 𝑡₁)]. (5.3) Poslední úpravou jsme si připravili rovnici, kde výraz v hranaté závorce představuje rozdíl entalpií základního množství vlhkého vzduchu. Dosazením (3.29) do (5.3) získáme pro množství dodaného tepla výsledný vztah

𝑄_𝑑𝑜𝑑 = 𝑚_𝑠𝑣 ∙ [(ℎ_1+𝑥)₂− (ℎ_1+𝑥)₁]. (5.4)

30

Obrázek 3:Ohřev vzduchu Obrázek 4: Chlazení vzduchu

5.2 Chlazeni vlhkého vzduchu

Při chlazení vlhkého vzduchu dochází poklesem teploty k nárůstu relativní vlhkosti 𝜑 [1]. Pokud bude konečná teplota 𝑡₂ [°𝐶] menší, nebo rovna teplotě rosného bodu počátečního stavu 𝑡_𝑟𝑏 [°𝐶], nebude docházet k vyloučení vlhkosti, měrná vlhkost 𝑥 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] zůstane konstantní. Při výpočtu tepla, které je třeba pro ochlazení odvést 𝑄_𝑜𝑑𝑣 [ 𝐽] postupujeme obdobně, jako u výpočtu dodaného tepla při ohřevu vzduchu.

Odvedené teplo při chlazení nad teplotou rosného bodu tedy bude

𝑄_𝑜𝑑𝑣= 𝑚_𝑠𝑣∙ [(ℎ_1+𝑥)₂− (ℎ_1+𝑥)₁]. (5.5) V tomto případě se jednalo o tak zvané suché chlazení. Na obrázku 4 je znázorněn případ, kdy je konečná teplota 𝑡₂ < 𝑡_𝑟𝑏. Zde již bude po poklesu teploty vzduch v přesycené oblasti stav 2 a dojde k vysrážení nadbytečné vlhkosti. Při kontinuálně probíhajícím ději dochází ke snížení celkového množství vlhkého vzduchu o množství zkondenzované vlhkosti 𝑚_𝑘 [𝑘𝑔] [1].

𝑚_𝑘 = 𝑚_𝑠𝑣 ∙ (𝑥₁− 𝑥₃), (5.6)

31

kde 𝑚_𝑠𝑣 [𝑘𝑔_𝑠𝑣] je hmotnost suchého vzduchu, 𝑥₁ [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] je měrná vlhkost vzduchu ve stavu 1 na obrázku 4 a 𝑥₃ [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] je měrná vlhkost vzduchu ve stavu 3 na obrázku 4.

Po vysrážení vlhkosti se vzduch stává nasyceným - 3. Dojde k poklesu měrné vlhkosti 𝑥 [𝑘𝑔 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] a tím k poklesu entalpie ℎ_1+𝑥 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹].

Pro ochlazení vzduchu pod teplotu rosného bodu potřebujeme odvést teplo 𝑄_𝑜𝑑𝑣 [ 𝐽] závislé na stavech 1 a 2; použijeme tedy opět rovnici (5.5).

5.3 Sušení vzduchu

Prakticky se jedná o chlazení s odvodem kondenzátu a následný ohřev na původní teplotu. Odloučením zkondenzované vlhkosti a následným ohřevem na původní teplotu získáme vzduch o menší relativní a měrné vlhkosti. Množství tepla 𝑄_𝑜𝑑𝑣 [ 𝐽], které je pro ochlazení na teplotu 𝑡₂ [°𝐶] potřeba odvést, se spočte z (5.5). Množství odvedené vlhkosti z (5.6). A množství tepla 𝑄_𝑑𝑜𝑑 [ 𝐽], které je třeba k následnému ohřevu na původní teplotu 𝑡₄ = 𝑡₁ dodat, se spočítá jako u ohřevu vzduchu, pouze s úpravou označení stavů na hodnoty 3 a 4

𝑄_𝑑𝑜𝑑 = 𝑚_𝑠𝑣 ∙ [(ℎ_1+𝑥)₄− (ℎ_1+𝑥)₃]. (5.7) Jelikož odvedený kondenzát již neohříváme, velikost dodaného tepla 𝑄_𝑑𝑜𝑑 [ 𝐽]

bude menší než teplo odvedené 𝑄_𝑜𝑑𝑣 [ 𝐽].

Obrázek 5: Sušení vzduchu

32

5.4 Adiabatické směšování

Při kontinuálním adiabatickém směšování dochází k míšení proudů vlhkého vzduchu o různých teplotách a vlhkostech za konstantního tlaku. Pro nejjednodušší případ, kdy máme dva proudy vzduchu, označme je 𝐴 a 𝐵 a výsledný proud 𝐶, je znázorněno grafické řešení na obrázku 5.

Výsledný hmotnostní tok vzduchu je dle rovnice kontinuity dán součtem jednotlivých proudů vzduchu před smíšením. V uvedeném nejjednodušším případě bude výsledný hmotnostní tok vzduchu (𝑚̇_𝑣𝑣)_𝐶 [𝑘𝑔_𝑣𝑣∙ 𝑠⁻¹] počítán jako

(𝑚̇_𝑣𝑣)_𝐶 = (𝑚̇_𝑣𝑣)_𝐴+ (𝑚̇_𝑣𝑣)_𝐵. (5.8) A entalpie vytékající směsi vzduchu (𝐻̇_𝑣𝑣)_𝐶 [ 𝐽 ∙ 𝑠⁻¹] bude dle prvního zákona termodynamiky dána součtem entalpií jednotlivých proudů vzduchu

(𝐻̇_𝑣𝑣)_𝐶 = (𝐻̇_𝑣𝑣)_𝐴+ (𝐻̇_𝑣𝑣)_𝐵. (5.9) Dosazením rovnice (3.15) do (5.8) lze vyjádřit vztah pro výslednou měrnou vlhkost 𝑥_𝐶 [𝑘𝑔_𝑝∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] jako

𝑥_𝐶 = (𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐴∙ 𝑥_𝐴+ (𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐵∙ 𝑥_𝐵

(𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐴+ (𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐵 (5.10)

a dosazením rovnic (3.24) a (3.25) do (5.9) lze vyjádřit vztah pro výslednou entalpii základního množství (ℎ_1+𝑥)_𝐶 [ 𝐽 ∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] jako

(ℎ_1+𝑥)_𝐶 =(ℎ_1+𝑥)_𝐴∙ (𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐴+ (ℎ_1+𝑥)_𝐵∙ (𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐵

(𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐴+ (𝑚̇_𝑠𝑣)_𝐵 . (5.11)

33

Obrázek 6: Směšování Obrázek 7: Vlhčení vzduchu

5.5 Vlhčení vzduchu

Při vlhčení vzduchu dochází ke směšování vzduchu a vlhkosti, značme ji 𝑣𝑙. Jako vlhkost přivádíme vodu nebo vodní páru. Po vlhčení bude výsledný hmotnostní tok (𝑚̇_𝑣𝑣)₂ [𝑘𝑔 ∙ 𝑠⁻¹] dle rovnice kontinuity dán součtem hmotnostního toku vzduchu před vlhčením (𝑚̇_𝑣𝑣)₁ [𝑘𝑔 ∙ 𝑠⁻¹] a hmotnostního toku přivedené vlhkosti 𝑚̇_𝑣𝑙 [𝑘𝑔 ∙ 𝑠⁻¹] (𝑚̇_𝑣𝑣)₂ = (𝑚̇_𝑣𝑣)₁ + 𝑚̇_𝑣𝑙. (5.12) Jelikož přivádíme pouze vlhkost, hmotnost suchého vzduchu se nemění a můžeme pomocí rovnic (3.3) a (3.15) přepsat (5.12) do tvaru

𝑚̇_𝑠𝑣∙ (1 + 𝑥₂) = 𝑚̇_𝑠𝑣 ∙ (1 + 𝑥₁) + 𝑚̇_𝑣𝑙. (5.13) Z poslední rovnice můžeme vyjádřit změnu měrné vlhkosti ∆𝑥 [𝑘𝑔_𝑝∙ 𝑘𝑔_𝑠𝑣⁻¹] způsobenou vlhčením vzduchu

∆𝑥 = 𝑥₂− 𝑥₁ = 𝑚̇_𝑣𝑙

𝑚̇_𝑠𝑣. (5.14)

Pro vlhčení vzduchu použijeme obdobně jako u směšování vztah