Examensarbete
Matematiska
representationsformer i
problemlösningsuppgifter
En systematisk litteraturstudie
Författare: Sofie Theorin, Rebecca Ward
och Victoria Åstrand
Abstrakt
Denna systematiska litteraturstudie fokuserar på problemlösning i matematik och vilken roll de olika matematiska representationsformerna har i arbetet med problemlösning i årskurs 4-6. Centrala modaliteter, även kallat representationsformer, inom diskursteorin beskrivs, förklaras och används som ett språkbruk i arbetet. Det finns olika modaliteter såsom text, språk, gester och bilder men det finns även matematiska modaliteter som
exempelvis matematiska symboler, diagram och grafer. Resultatet visar att modaliteter och språkliga uttryck har stor betydelse för hur olika
representationer tillskrivs. Resultatet visar även att olika modaliteter hjälper elever att lösa problem inom matematik. Modaliteter kan användas enskilt eller kombineras för att lösa problemlösningsuppgifter.
Nyckelord
Matematik, inlärning, utbildning, problemlösning, modaliteter, math, learning, education, problem solving, modes
Tack
Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Andreas Ebbelind på
Linnéuniversitetet som har stått ut med oss i tio veckor, både med spontana besök, videosamtal och frågor via mail. Vi vill även tacka vår
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
2 Syfte och frågeställningar ... 3
2.1 Syfte ... 3
2.2 Frågeställningar ... 3
3 Diskursanalys ... 4
3.1 Diskursteori och socialsemiotik ... 4
3.2 Multimodal teoribildning ... 5
3.3 Centrala begrepp ... 5
3.3.1 Materiality och sign ... 6
3.3.2 Affordance ... 6
3.3.3 Ensembles ... 7
3.3.4 Transduction ... 7
3.4 Centrala modaliteter i relation till detta arbete ... 7
4 Metod ... 8 4.1 Urvalsprocess ... 8 4.1.1 Databassökning ... 9 4.1.2 Manuell sökning ... 9 4.2 Närläsning av texterna ... 10 4.3 Analysförfarande ... 11 4.4 Forskningsetik ... 12 5 Resultat ... 12 5.1 Representationsform ... 13
5.2 Representationsformens roll inom matematikämnets didaktik ... 13
5.3 Representationskompetens ... 14
5.4 Problemlösning ... 15
5.4.1 Problemlösningsprocessen ... 16
5.5 Problemlösningsförmåga och problemlösningskompetens ... 17
1 Inledning
I dagens skola är en central del av ämnet matematik att arbeta med problemlösningsuppgifter. Björnsson (2014) har granskat en PISA-undersökning i en Skolverkspublikation där fokus låg på problemlösning. Granskningen visade att svenska elever presterade sämre än genomsnittet jämfört med alla andra länders. I skolverkets publikation konstateras att det finns stora brister hos elever inom detta kunskapsområde. Elever löser ett och samma problem på olika sätt, det finns alltså flera strategier för eleverna att använda sig av.
Schoenfeld (1985) beskriver vad en problemlösningsuppgift är och förklarar att det är när en individ inte vet hur ett problem ska lösas. Han beskriver att det är något som behöver utredas samt att det är en tankeprocess. En annan förklaring, enligt Riesbeck (2000) är att problemlösningsuppgifter utförs i små steg och för att lyckas behövs ett visst antal färdigheter. Enligt
Björnsson (2014) krävs det uthållighet, nyfikenhet samt kritiskt tänkande för att lyckas med problemslösningsuppgifter. Det krävs alltså att eleven
utvecklar olika strategier för att kunna lösa problemlösningar, en så kallad problemlösningsförmåga.
En definition av problemlösningsförmåga är att ha kännedom inom matematik (Schoenfeld, 1985). Det är viktigt att ha förmågan att kunna använda sig av olika strategier eller tekniker för att kunna lösa problem. När man vet att eleven har den förmågan kan fokus läggas på vilken
representationsform som passar bäst till respektive problemlösningsuppgift. I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011:
reviderad 2019 (2019) beskrivs att problemlösningsförmågan ska utvecklas hos elever och att de ska förbättra sin förmåga att använda olika strategier för att lösa olika matematiska uppgifter.
förståelse och att se samband mellan matematiska moment och begrepp (Szabo, 2013). Det är därför intressant ur ett lärarperspektiv att studera problemlösningsuppgifter och då specifikt vilken roll som
2 Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med arbetet är att genom en systematisk litteraturstudie undersöka vilken roll och betydelse matematiska representationsformer har i arbetet med problemlösning i årskurs 4-6.
2.2 Frågeställningar
Vad är en representationsform och vilken betydelse har den inom matematikämnets didaktik?
Hur beskrivs problemlösning och problemlösningsprocessen? På vilket sätt tillskrivs matematiska representationsformer en roll för
3 Diskursanalys
I denna studie är fokus på elevers tillvägagångssätt och användande av matematiska representationsformer när de arbetar med
problemlösningsuppgifter. Studien har ett diskursteoretiskt perspektiv och utgår från antagandet att matematik är ett språk. Det diskursteoretiska perspektivet erbjuder en teori om språkets roll i lärandeprocessen. En del inom diskursteorin är det socialsemiotiska perspektivet. Detta perspektiv handlar om kommunikation som en central del i samspel med andra för att kunna uttrycka sig och skapa förståelse i olika sammanhang. Ett viktigt begrepp inom socialsemiotiken är något som kallas för multimodalitet. Multimodalitet handlar om de teckensystem vi använder oss av för att kunna kommunicera. Exempel på olika teckensystem nämns under rubriken
multimodalitet. Sammanfattningsvis handlar teorin om hur människor lär när de kommunicerar med hjälp av teckensystem. I resultatdelen kommer detta perspektiv användas för att förklara representationsformernas roll i arbetet med problemlösningsuppgifter.
3.1 Diskursteori och socialsemiotik
Det finns många förklaringar kring vad diskursteori innebär. Chouliaraki och Fairclough (1999) beskriver att diskursteorin fokuserar på språkbrukets roll. Det innebär exempelvis att studera hur vi skriver och pratar. Det kan även vara icke-verbal kommunikation och visuella bilder. Diskursteori används för att exempelvis analysera och förstå en text. Enligt Kress och Van
Leeuwen (2001) är en diskurs socialt konstruerad kunskap om verkligheten. Det innebär att diskursen ses som en resurs för att förstå verkligheten. En annan förklaring till diskursteorin ger Winther Jørgensen och Phillips (2002). De beskriver diskursteorin är en tvärvetenskaplig metod som studerar sociala sammanhang. De förklarar att begreppet diskurs har olika betydelse i olika sammanhang. Precis som Chouliaraki och Fairclough beskriver Winther Jørgensen och Phillips att diskursteori främst handlar om språket och att det är strukturerat utifrån hur människor kommunicerar i olika sociala
sammanhang. Inom diskursteorin finns ett socialsemiotiskt perspektiv. Det handlar om de semiotiska resurser som används, han menar att
socialsemiotiken används för att förstå hur människor kommunicerar på olika sätt i sociala miljöer (Van Leeuwen, 2005). Socialsemiotik är en teoretisk utgångspunkt som hjälper till att förstå och förklara hur vi människor kommunicerar med varandra på olika sätt (MODE, 2012).
sociala miljöer och i social interaktion. Kommunikation ska inte handla om strukturer och regler, som är fokus inom semiotiken, utan om sådant som finns i sociala konstruktioner exempelvis normer. Något som är viktigt inom denna teori är olika sätt att kommunicera och fokus ligger på olika
modaliteter, vilket betyder teckensystem och semiotiska resurser. Exempel på teckensystem är ljud, gester, rörelser, bild och matematiska tecken som linjer eller punkter som används i tal eller skrift. Dessa kan även kombineras och får då varierande mening i olika sammanhang. Exempel på detta är när läraren använder gester som får betydelse för elevers inlärning (2010). Kommunikationen som sker mellan olika människor sker med hjälp av olika modaliteter (Selander & Kress, 2010).
3.2 Multimodal teoribildning
Socialsemiotisk multimodal teoribildning är en tvärvetenskaplig strategi där både representation och kommunikation handlar om mycket mer än verbalt språk. Inom det multimodala perspektivet ska representation och
kommunikation alltid bygga på mångfalden av olika modaliteter och ska bidra till mening (MODE, 2012). Begreppet multimodal är ett sammansatt ord förklarar Magnusson (2016). Multi betyder flertal medan modal är taget från det engelska ordet mode och kan översättas till teckenvärld eller
teckensystem. Sammanfattningsvis förklarar Magnusson att multimodalitet redogör för flera teckenvärldars olika sätt att skapa betydelse. I denna studie kommer termen modalitet att användas. MODE (2012) hänvisar till forskning inom multimodalitet och där beskrivs fyra olika inriktningar där den första kan relateras till denna studie:
Systematisk beskrivning av olika modaliteter och dess semiotiska resurser
Interaktion med digitala miljöer och utredning av tolkning
Ny användning av resurser i digitala miljöer samt utveckling av ny digital semiotisk resurs
Analys av digital data samt social forskning och bidrag till forskningsmetoder för insamling.
3.3 Centrala begrepp i relation till denna studie
3.3.1 Materiality och sign
Begreppet materiality beskriver hur en modalitet anses vara resultatet av socialt arbete som format fysiska saker till meningsfulla saker. Alla modaliteter och det arbete som samhället har gjort med materialet,
exempelvis hur ljud blev till tal eller musik, hur rörelse med händer blir till gester, skapar mening och för med sig vissa begränsningar (MODE, 2012). Sign, som även kan översättas till det svenska ordet tecken, är ett viktigt begrepp inom socialsemiotiken. Tecken är ett sätt som människor använder för att tolka och uttrycka mening. Exempel på detta kan vara ljudet till tal, rörelserna i gester och så vidare. Ett tecken blir en modalitet då det får mening i sociala sammanhang. Tecknet blir då kulturellt betingat och denna process kallas för materiality, hur tecknet blir materialiserat (MODE, 2012). Goodman och Graddol (1996) menar att en modalitet är socialt skapad och kulturellt betingad. För att eleven ska kunna tolka bilder visuellt och förstå vad dessa betyder förutsätts det kunskaper om vad som kan betraktas. Detta betyder att tolkning av det som är visuellt är socialt betingat. Eleven lär sig på olika sätt hur flera visualiseringar kan tolkas men också förstås utifrån samhällets språk och kultur. Redan i tidig ålder lär sig barn att tolka och filtrera information, både kring vad som är viktigt men också det som är irrelevant. De skriver även om sociala konstruktioner, även kallat kulturell betingning. Det innebär exempelvis att om en bilist ser bokstaven M på en skylt betyder det mötesplats medan bokstaven M för ett barn hade stått för McDonalds (1996).
Socialt skapade och kulturellt betingade modaliteter är något som måste respekteras i skolans värld. Som lärare är det viktigt att ha i åtanke att det i en klass kan finnas många elever med olika bakgrund och olika erfarenhet. Eleverna kan ha haft olika lärare men också olika förutsättningar att lära sig i den miljö de befunnits sig i. Läraren bör tänka på elevers olika erfarenheter, kunskaper och förutsättningar i undervisningen för att alla ska ges
förutsättningar för att lära och få en likvärdig utbildning. En del representationer är tydliga för vissa elever men inte för andra. I matematikundervisningen kan det exempelvis handla om olika
uppställningar. Det finns olika matematiska uppställningar och beroende på vilken skola, lärare och elevgrupp finns det vissa uppställningar som används mer än andra. Detta blir då en socialt skapad men även kulturellt betingad modalitet, även kallad materiality.
3.3.2 Affordance
annat. Logiken i detta är att sätta saker först eller sist i tidsmässigt arrangemang (MODE, 2012).
3.3.3 Ensembles
Detta begrepp handlar om representationer och kommunikationer som består av flera modaliteter som är sammanförda. Ett sätt att skapa mening på kan ske genom att kommunikatören sätter samman en grupp med liknande intresse. När meningsskaparen bestämmer sig för en modal, exempelvis ett tecken i form av en siffra, och sedan kombinerar med en annan modal, exempelvis en bild som illustrerar mängden som siffran visar konstrueras multimodala ensembler som ger möjligt för andra att se hur olika modaliteter hör ihop och bildar ett sammanhang. Ett exempel på detta är när elever arbetar i grupper med problemlösningsuppgifter och använder olika modaliteter i processen, exempelvis genom gesture eller image, se nedan (MODE, 2012).
3.3.4 Transduction
Begreppet transduction används i den socialsemiotiska teorin och innebär att en bearbetning eller översättning görs av en modalitet till en annan modalitet. Exempel på detta kan vara en översättning från tal till handling eller från skriva till rita. Det blir mer komplicerat när modaliteter översätts i flera olika led (MODE, 2012).
3.4 Centrala modaliteter i relation till denna studie
Björklund och Palmér (2019) skriver att det finns olika modaliteter såsom text, språk, gester och bilder men det finns även matematiska modaliteter som exempelvis matematiska symboler, diagram och grafer. När flera modaliteter används blir situationen multimodal, eftersom flera modaliteter samverkar. Detta betyder dock inte att undervisningssituationen blir bättre, modaliteterna måste vara väl valda så att de kan komplettera eller förstärka varandra. Nedan förklaras modaliteter som är i relation till denna studie. Embodiment
Kroppen är en viktig del av de språkliga uttrycken. Kroppen använder sig av sensoriska uppfattningar och upplevelser för att uttrycka sig. Kroppsspråket handlar om hur kroppen samspelar med sinnena för att förstärka och förbättra utvecklingen av människan. Kulturella förvärv bidrar också till människans utveckling. Förhållandet mellan fysisk upplevelse, multimodala resurser och socialt utrymme är ramen för multimodalitet. Exempel på kroppsupplevelser som är multimodala resurser är blickar, kroppshållning, ansiktsuttryck och rörelse. Dessa är beroende av varandra och skapar mening i social
Gesture
Detta begrepp beskriver användningen av händer och andra delar av vår kropp för ett kommunikativt syfte. Det finns olika slags gester såsom deiktiska, motoriska, symboliska, metaforiska samt ikoniska gester. Deiktiska gester är pekande gester som visar riktning eller pekar ut något. Motoriska gester, exempelvis beats, är vanligtvis förknippat med rytm. En symbolisk gest kan vara “tummen upp” som betyder “bra”. Metaforiska gester är ofta visuella föreställningar. Att hålla upp en handflata förknippas ofta med att det finns ett problem av något slag. Den ikoniska gesten kan exemplifieras med en snabb handrörelse upp och ner mot en tom handflata. Det kan symbolisera att skiva gurka. För att förtydliga sina gester eller för att göra de meningsfulla kan man behöva kontextualisera dem. Gester
tillsammans med andra kommunikativa modaliteter, exempelvis blickar, prat eller kroppshållning gör det tydligare att förstå situationer (MODE, 2012). Image
Detta begrepp innebär att något återskapas i bildform. Det kan vara teckningar, fotografier samt bilder men även drömmar, minnen och
spegelbilder. Multimodalitet i detta sammanhang innebär att allt ses som en helhet det vill säga hur bilden har gjorts, vilka idéer och attityder som
framhävs, vem som har gjort den, vad den ska användas till och så vidare. Ett multimodalt tillvägagångssätt tar även hänsyn till vad som förhåller sig i närheten av bilden, det kan vara en text, ett ljud eller en handling. Vad som förhåller sig i närheten av bilden kan både gynna samt missgynna
användaren. Detta kan antingen störa eller vara till hjälp när bilden ska förstås (MODE, 2012).
4 Metod
I den här delen presenteras val av metod och hur data analyseras. Första delen kommer att belysa de val som gjorts. Därefter beskrivs sökprocessen och de avgränsningar som gjorts. Eriksson Barajas, Forsberg och
Wengströms (2013) checklista för systematiska litteraturstudier har använts för att förklara metoden i studien. Metoden kommer att belysa urvalet av forskningslitteratur, analysförfarandet och hur resultatet presenteras. 4.1 Urvalsprocess
4.1.1 Databassökning
Sökningen gjordes genom att använda relevanta sökord. För denna studie var dessa sökord problemlösning, matematik, representation och mellanstadiet. För att få bra träffar översattes också sökorden till engelska och
kombinerades även genom att skriva AND mellan orden. Exempelvis matematik AND problemlösning eller math AND problem solving. I och med att problem solving består av två ord användes citationstecken för att tala om att dessa två hör samman, exempelvis “problem solving”. En annan aspekt som tagits i beaktande för att få fram relevant forskning var att skriva * i slutet av sökordet. De betyder att alla typer av ändelser var med i
sökprocessen. Att söka på problemlösning* innebär att alla ändelser som problemlösningen, problemlösningar, problemlösningarna etcetera kom med i sökningen. Även sökningar som handlade om problemlösningsstrategi, problemlösningsförmåga, problemlösningsmetod samt
problemlösningsuppgift med respektive ändelser har sökts på samma sätt. Avgränsning
Sökprocessen resulterade i ett antal träffar som sedan har avgränsats utifrån vissa kriterier. Kriterierna var att forskningen ska vara inom pedagogik och matematik samt handla om problemlösning. Forskningen ska vara en vetenskaplig publikation, som exempelvis en avhandling, och vara kvalitetsbedömd. Därför har en avgränsning varit avhandling i sökbasen
Libris. Ett annat kriterium som användes för kvalitetsbedömning är
peer-review i sökbasen ERIC. Det innebär att de vetenskapliga publikationerna är vetenskapligt granskade av experter. Tio stycken sökningar gjordes och efter avgränsningarna blev sökträffarna 22, 29, 33, 148, 260 och 532 stycken. Sökorden var problemlösning, matematik, representation och mellanstadiet. De fem första artiklarna i varje sökning granskades genom att rubriken och abstraktet lästes för att kunna avgöra om den ansågs vara lämplig för vår studie. Slutligen valdes tio stycken vetenskapliga publikationer ut till studien. Publikationerna som sorterades bort ansågs inte vara lämpliga eftersom de inte var kopplade till studiens syfte och frågeställningar. De tio
publikationerna som valdes till studien är gjorda under 2000-talet och anses tillhöra ny och aktuell forskning. Forskningen som valdes ut kommer inte bara från Sverige utan även från andra länder eftersom det inte har forskats så länge inom detta ämne. Det finns alltså ett fåtal relevanta svenska
publikationer som kan användas för just denna studie och därför inkluderades publikationer från andra länder.
4.1.2 Manuell sökning
Artiklar kring problemlösning inom matematik har även hittats på olika hemsidor. En av dessa var NCM (Nationellt Centrum för
gjordes även här för att få fram relevanta publikationer. De lämpliga publikationerna från Skolverket som hittades och användes i studien var av Björnsson, Magnusson samt Roos och Trygg. Ovanstående sökningar handlar om problemlösning inom matematik som sker i klassrummet. Denna studie innefattar också diskursteorin. För att hitta relevant forskning kring diskursteori har en annan metod använts. Genom OneSearch har sökning gjorts på kända professorer inom ämnet, därefter har böcker från biblioteket som skrivits av dessa professorer använts. Dessa kända professorer är Chouliaraki, Fairclough, Kress och Van Leeuwen som forskat inom just diskursteori, socialsemiotiska teorin samt multimodalitet. En ordlista över begrepp inom teorierna är gjorda utifrån dessa professorers forskning och har sammanställts av MODE. Ordlistan har därför använts i denna studie i samband med att forskningen lästs och i samband med detta kom vi i kontakt med MODE’s hemsida. Även publikationen av Winther Jørgensen och Phillips har hittats genom referenslistor i vetenskapliga publikationer. Forskningen av professorerna Niss och Højgaard Jensen, Goodman och Graddol samt matematikerna Pólya och Schoenfeld har också kommit att användas genom att betrakta andras referenslistor. Denna forskning handlar om semiotik, problemlösning, representationsformer och
problemlösningsförmågan inom matematik. Pólyas forskning som ansågs vara relevant för denna studie har Shirali sammanställt. Forskning om Pólya har även Riesbeck och Mwei behandlat och dessa publikationer behandlar också Schoenfelds forskning. Andra publikationer som använts i denna studie kring Schoenfelds arbete har även Schoenfeld själv sammanställt. Publikationer sammanställda av Vetenskapsrådet samt Ziman har använts för att förklara de forskningsetiska principerna som behövts ha i åtanke i
samband med denna litteraturstudie. 4.2 Närläsning av texterna
Den forskning som valdes ut till studien och hur den lästs kommer att presenteras i detta stycke. Till en början lästes enbart artiklar om
diskursteorin. Under läsningens gång kategoriserades innehållet i tre delar där en del representerade diskursteorin, en annan socialsemiotiska teorin och den tredje representerade multimodalitet. En tabell gjordes över de tre olika delarna där sidnummer samt källa ur respektive artikel och bok antecknades. Därefter lästes varje källa noggrant var för sig för att inte förväxlas med varandra. Allt som tycktes vara relevant under läsningens gång antecknades. På liknande sätt som ovanstående har även en tabell gjorts över
problemlösning/problemlösningsuppgift,
problemlösningsförmåga/problemlösningskompetens samt
Valet av relevant innehåll från böcker och vetenskapliga publikationer som användes i studien berodde på att vissa innehållsdelar handlade om just problemlösning inom matematik. De handlade också om diskursteorin, vilken använts i studien. Innehållsdelar som ansågs vara relevanta hittades genom att läsa innehållsförteckningen eller genom att titta i sökregistret efter relevanta ord i böckerna där det stod specifikt vilken sida det väsentliga innehållet fanns. I publikationerna har sökningar gjorts med hjälp av relevanta ord där det specifika ordet styrdes till en viss innehållsdel. Denna sökning sker genom att använda ett slags ordbehandlingsprogram för att hitta ett specifikt innehåll. Detta gjordes genom att använda tangentknapparna CTRL + F. Sökorden har varit diskursteori/diskursanalys, socialsemiotik, multimodalitet/modalitet, problemlösning, problemlösningsuppgift, problemlösningsförmåga, problemlösningsprocess, representationer, representationsform, representationskompetens med flera. Vilka
innehållsdelar som ansågs vara relevanta för studien avgjordes efter att ha läst de specifika delarna. På så sätt har ett visst innehåll använts i samband med just denna studie.
4.3 Analysförfarande
I samband med att studiens syfte och frågeställningar formuleras och bearbetas, läses forskning. Ett antal viktiga begrepp identifieras då som har betydelse för studiens genomförande. Begreppen förklaras för att tydliggöra sambandet mellan diskursteoretiska begrepp och elevers lärprocesser vid problemlösningsuppgifter inom matematik.
Begreppet materiality används för att förklara modaliteters betydelse i olika sammanhang. Olika modaliteter har identifierats med hjälp av forskning och dessa har sedan exemplifieras i förhållande till problemlösning då det var en avgränsning i studien. Analysen visar att inom matematik och
problemlösningsuppgifter kan olika modaliteter användas, exempelvis bilder, symboler och diagram, för olika specifika syften. Tecken, som begreppet sign används för, är en modalitet när det används i sammanhang där det hjälper till att tolka och skapa mening. När en rörelse blir till en gest kallas för det materiality. Rörelsen i sin tur kallas för sign.
Begreppet ensembles används för att förklara att olika modaliteter används tillsammans för ett visst syfte. Att både rita en bild och skriva symboler i arbetet med problemlösningsuppgifter är en sorts ensemble av två
modaliteter, det vill säga rita och skriva. Arbete med
genom att en modalitet översätts till en annan, exempelvis symboler till bilder. Begreppet transduction används för denna typ av översättning. Ett annat begrepp, embodiment används också och identifieras med kroppsuttryck. Exempelvis kan elevers olika längd användas som ett
hjälpmedel i arbetet med problemlösningsuppgifter för att förklara längst och kortast. Ett annat exempel är att visa något med kroppsdelen handen,
exempelvis att ta upp två fingrar i betydelse av antalet två. För detta sätt att uttrycka något används begreppet gesture. Ett annat begrepp som slutligen har identifierats är image som innebär att exempelvis en text återskapas i form av en bild. För att tydliggöra image kan begreppet i samband med problemlösningsuppgifter exemplifieras med att en bild används i syfte att underlätta förståelsen. En uppgift kan illustreras med exempelvis ett visst antal apelsiner och äpplen som visa numerärer. Bilden har skapats i syfte att underlätta arbetet med uppgiften.
4.4 Forskningsetik
I Vetenskapsrådet (2017) står det att det finns specificerade normer som avser ett visst forskningsområde. Relationen mellan forskning och etik benämns forskningsetik, vilket innebär att det finns etiska krav på forskaren och på forskningens inriktning och genomförande. Litteraturstudien utgår från att använda forskning som grundar sig på att följa etiska principer. Det finns fyra forskningsetiska principer enligt Vetenskapsrådet (2002). Dessa är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och
nyttjandekravet. I vetenskapliga undersökningar måste då forskare ta ansvar för följder av resultatet av sin forskning och eventuella risker för berörda uppgiftslämnare. Principerna finns till för att vägleda forskaren.
I och med att litteraturstudien inte innehåller några observationer, intervjuer eller verktyg med andra människor kan vi inte följa någon checklista för forskningsetiken. All forskning i denna studie har däremot gått igenom en kvalitetskontroll, vilket innebär att forskningen till en viss grad har
accepterats av samhället. Ziman (2000) förklarar att all forskning följer de lagar och regler som gäller vid forskning. Detta sker genom att andra forskare granskar forskningen. En bedömning görs och utifrån den anses forskningen vara vetenskaplig eller ej.
5 Resultat
I detta avsnitt presenteras studiens resultat samt analys. De tre första
relation till varandra. De kommande underrubrikerna representerar studiens frågeställningar och under dessa framförs studiens resultat. För att besvara de tre frågeställningar används de teoretiska begrepp som kännetecknas i
diskursteorin för att stödja innehållet och som diskuterades under rubriken teori.
5.1 Representationsform
En representation av ett matematiskt fenomen är något som används för att vid en handling, kommunikation eller en tanke ersätta det som syftas på. Ett exempel är att istället för att skriva talet tre med bokstäver skrivs istället siffran 3 som en symbol för talet tre. En representation kan bestå av en eller flera modaliteter. Definitionen av begreppet representation kan variera men det handlar alltid om att representationer ersätter med något annat. Björklund och Palmér (2018) förtydligar detta och förklarar att det finns andra sätt att kommunicera på matematiken än genom verbal kommunikation.
Kommunikation kan vara ett objekt, en bild eller en symbol som ersätter det matematiska begreppet. Ett sätt att kommunicera är att använda rörelser, som exempelvis att använda armarna för att visa att någonting är långt eller kort, använda fingrarna för att visa ett nummer. Detta är olika objekt för att representera längd och antal. Andra sätt att kommunicera på är genom skrift, en teckning eller symboler. Symbolen kan vara att vi använder siffror när vi arbetar med olika matematiska tal, likt exemplet ovan.
I vår tolkning tenderar begreppet transduction vara en central del i relation till matematiska representationer. Det innebär exempelvis att under
problemlösningsaktiviteten kan uppgiften översättas från text till symboler eller en bild för att underlätta processen. Översättningen i detta fall är en form av transduction som innebär att översätta något från en modalitet till en annan.
5.2 Representationsformens roll inom matematikämnets didaktik Lärandet av matematik bygger på förståelse. För att uppnå förståelse kan olika representationsformer användas för att lösa olika
problemlösningsuppgifter. Språkliga uttryck kan kopplas till
representationsformer och representationer kan kallas för modaliteter. Utifrån detta får vi stöd för att förklara rollen som representationerna tillskrivs. Språkliga uttryck som står i relation till representationsformer, hjälper oss även att systematiskt beskriva hur de modala resurserna används.
eleven bearbeta uppgiften och det kallas för en process där lösningen blir till en produkt. En annan aspekt för att lösa problem är att använda en kognitiv process som innebär att använda sig av olika representationsformer för samma uppgift. Den kognitiva processen innebär att eleven kodar, läser och bearbetar uppgiften. Ett annat sätt som eleven kan lösa ett problem på är att lösa det visuellt, det vill säga eleven löser uppgiften genom att exempelvis titta på ett diagram. En annan viktig aspekt gällande problemlösning är att skapa koppling mellan olika processer och matematiska begrepp. Det kan eleven få genom att dess lärare instruerar, förklarar och beskriver de matematiska begreppen samt kopplar det till olika uppgifter (2010). En mindre effektiv metod i problemlösningsprocessen är att läraren ger eleverna representationsformen till uppgiften och inte låter eleverna konstruera den själva. Det är viktigt att läraren inte delar ut resultatet av uppgiften innan eleverna själva har löst uppgiften (Liljekvist, 2014). Läraren måste instruera eleverna att tillämpa rätt representationsform till rätt
problemlösningsuppgift.
5.3 Representationskompetens
Niss och Højgaard (2002) skriver om representationskompetens och att denna kompetens består av att kunna avkoda, tolka och skilja på olika representationer i matematiska objekt. Denna kompetens innebär också att förstå sambanden mellan olika former av representation i olika fall och att ha kunskap om representationens styrkor och svagheter. Kärnan i denna
kompetens är att kunna välja rätt form av representation beroende på syfte och situation. De förklarar även innebörden av lärarens representativa former och att det ska finnas en variation mellan olika representationsformer som ska användas. Anledningen till detta är att undervisningen ska behandlas på olika sätt utifrån elevers olika förutsättningar. För att utveckla elevers kunskap krävs det att läraren har förmåga att använda olika former.
Undervisningen ska dock vara sammanhängande vilket sker genom att det skapas kopplingar mellan de olika former som används.
Begreppet ensembles går att koppla till Niss och Højgaards definition av representationskompetens. Ensembles står för att sammanföra flera modaliteter inom representationer och kommunikationer. Detta kan göras genom att läraren delar in klassen i olika grupper och delar ut en
problemlösningsuppgift. Tanken är att eleverna tillsammans ska lösa
5.4 Problemlösning
Problemlösning är en viktig del utifrån läroplanen men även för elevens framtid. I läroplanen finns det krav på att eleven ska utsättas för matematiska problem som främjar framgångsrik problemlösning. I denna studie undersöks bland annat olika problemlösningsprocesser som inte är rutinmässiga (Mwei, 2016). Ytterligare forskare, Gonsalves och Krawec (2014), pekar på att elever har svårt för läsförståelse som används vid just problemlösning. Därför har läroplanen utvecklats och lagt mer fokus på problemlösning. Begreppet problemlösning är både vardagligt och vetenskapligt förklarar Riesbeck (2000). Ur ett synsätt utförs problemlösningsuppgifter i små steg. För att lyckas behövs ett visst antal delfärdigheter, exempelvis logisk
färdighet. Genom detaljbeskrivning och hur en uppgift kan lösas steg för steg lär sig elever en procedur som sedan kan tillämpas i andra liknande fall. Ur ett annat synsätt används frågorna: “varför gör du så här?”, “vad gör du?” samt “hur hjälper det dig?” vid problemlösning. Ett tredje synsätt innebär att elever löser uppgifter baserat på kunnande, uppfattningar, mål samt
undersökande arbetssätt. Även Pólya har olika steg för att lösa problem inom matematik. Shirali (2014) skriver om George Pólya och hans tankar om matematik och problemlösning. Han beskriver fyra steg som används för att närma sig ett problem inom matematiken. Det första steget är att förstå problemet, fråga dig själv: vad är det som ska bevisas och vad är det okända? Det andra och tredje steget är att göra upp en plan och sedan fullfölja den. Det fjärde steget är att se tillbaka och kontrollera resultatet. Är det rimligt och varför? Går det att lösa på något annat sätt? I det andra steget som nämns föreslår Pólya även att göra en ordnad lista. Listan handlar om att eliminera möjligheterna, leta efter symmetri och mönster. Pólya hävdar även att elever inte ska ha rutinmässiga procedurer för då dämpas deras intresse och det hämmar deras intellektuella utveckling. Istället ska deras nyfikenhet väckas och de ska få hjälp genom att få stimulerande frågor.
En definition av hur problem ska lösas inom matematik utgår från vem som ska lösa problemet. Det är alltså relationen mellan problemet och
problemlösaren som är i fokus där innebörden är att uppgiften är svår att lösa för den specifika individen. Att det är svårt beror på att individen har hamnat i en återvändsgränd där svårigheten är att komma vidare med uppgiften, inte själva beräkningen av uppgiften. En individ som har tillgång till en
beräknings- eller lösningsstrategi för uppgiften, ser uppgiften som en övning istället för ett problem. Innebörden av vad som är ett problem är alltså att individen ska känna sig tveksam till hur uppgiften ska lösas, det är något som ska utredas, en tankeprocess och en övning för sinnet (Schoenfeld, 1985). En aspekt är att problemlösning behövs för att uppnå andra mål, exempelvis för att skapa ett intresse för matematiken och viljan att lära sig just matematik. En annan aspekt är svårigheten med problemlösningsuppgifter och
alla inte förstår. Slutligen, en tredje aspekt är att problemlösning ses som kärnan inom matematiken. Det beskrivs även varför problemlösning är en del av matematikundervisning. Problemlösning anses vara ett medel för att kunna utveckla andra kompetenser och förhållningssätt. Matematikens problemlösning ses också som en kärnaktivitet för att lyckas i andra ämnen. Hur problemlösning kan hjälpa till för att förstå begrepp och metoder kan också ses som grundläggande i alla matematiska processer. Till sist handlar det om att förbereda sig, att leva och agera som sociala medborgare (Dahl, 2012).
Till denna studie definieras problemlösning som att det utgår från olika faser och görs i olika steg. Vi använder Riesbecks och Shiralis, som båda beskriver Pólyas arbete men med två olika definitioner som liknar varandra. En annan likhet mellan Riesbeck och Shiralis och som även finns hos Mwei och Shoenfeld är att liknande beräkningar kan tillämpas på liknande uppgifter. Skillnaden mellan forskarnas definitioner är att Schoenfeld även beskriver att relationen mellan problemet och individen spelar roll, denna definition används också i studien.
5.4.1 Problemlösningsprocessen
I en undersökning gav Gunnarsson (2009) sina elever olika
representationsformer för att lösa en problemlösningsuppgift. Hon beskriver då användandet av bilder som ett sätt att hjälpa elever att lösa problem. De elever som inte direkt ser vilken metod eller vilket räknesätt som ska
användas, behöver få använda bilder som stöd för att lösa problemet. Det gör problemet mer överskådligt och eleverna ser lättare sambanden mellan de fakta som finns i uppgiften och som behövs för att komma fram till ett resultat (2009). Begreppet image ska alltså användas i syftet att hjälpa eleverna att lösa ett problem, inte stjälpa.
Begreppet affordance går att koppla till problemlösningsprocessen. Det är viktigt att eleven förstår den stegvisa logiken i problemlösningen. Eleven bör förstå vad som ska lösas först i en problemlösningsuppgift men också kunna visa tillvägagångssättet på ett relevant och tidsmässigt sätt. Det kan
exemplifieras med att eleven först räknar ut uppgiften och sedan presentera resultatet, och inte tvärtom.
vilket kan vara att prata. En ensemble av modaliteter förtydligar
sammanhanget och underlättar därmed förståelsen för de övriga eleverna men även för läraren.
Inom matematik finns det två olika slags uppgifter att lösa, standarduppgifter och icke-standarduppgifter och det finns en skillnad mellan dessa. Om en elev genast känner igen en uppgift är det en standarduppgift, det kan även kallas att det är en rutinuppgift. Termen icke-standarduppgift står för sådana problem som inte finns i matematikboken. En standarduppgift, en
rutinuppgift, ger övning i en särskild matematisk teknik. Problemlösning är en viktigt matematisk process i utbildningssystem över hela världen. Problemlösning är en grundläggande färdighet som dagens elever behöver. Elever ska kunna tillämpa matematisk kunskap i olika situationer. Därför krävs det att elever sätts i sammanhang som tränar
problemlösningsfärdigheter som kan användas i både bekanta och okända situationer (Mwei, 2017).
5.5 Problemlösningsförmåga och problemlösningskompetens Özsoy, Kuruyer och Cakiroglu (2015) förklarar problemlösningsförmågan utifrån fyra indelningar. De hävdar att de olika delarna tillsammans bildar en förmåga att kunna lösa problem i matematik. Problemlösningsförmågan är beroende av förståelse inom olika områden. En av dessa delar innebär att eleverna ska kunna läsa en text. En annan del innebär att de ska besitta en läsförståelse för att kunna förstå vad texten förmedlar. Den tredje delen handlar om att elever ska besitta en matematisk kunskap och att kunna använda sig av strategier. Den sista delen av dessa fyra är att elever ska kunna göra matematiska beräkningar. För att nå fram till ett korrekt svar i en uppgift ska elever kunna tillämpa rätt uträkning till den text som de har läst. Schoenfelds (1985) uppdelning är följande: tillgång, heuristik, kontroll och förmågan att tro på sig själv. Med tillgång menas att ha en viss matematisk kunskap som kan komma till användning. Det innebär att ha en kännedom om en informell kunskap inom matematik. Kännedom om både algoritmiska procedurer och icke-algoritmiska procedurer spelar också stor roll samt förståelse kring de specifika reglerna hur dessa procedurer används.
Andra matematiska förmågor i samband med problemlösningsaktiviteten i matematikundervisningen beskriver Dahl (2012). Problemlösningens första förmåga innebär att förstå problemet och att kunna se de olika delarna i uppgiften. Därefter är det förmågan att veta hur de olika delarna ska
bearbetas för att nå ett önskat resultat. Det innebär att kunna tänka i symboler och använda symboler vid bearbetningen av problemlösningsuppgiften. Generalisera och kunna tillämpa olika strategier är också viktiga delar i denna förmåga. Det innebär också att kunna korta ner uppgiften och göra den mer klar och tydlig, exempelvis genom att göra en punktlista. I och med att problemlösning är en mental process är det viktigt att kunna vara flexibel och öppen i lösningsprocessen. En elegant redovisning av lösningsprocessen anses också vara en del av förmågan för att kunna bearbeta de olika delarna i problemlösandet. I denna del ingår till slut även att elever ska kunna skifta perspektiv på uppgiften under lösningsförfarandets gång, att se den på olika sätt. Den tredje stora förmågan i samband med problemlösningsaktiviteten är att minnas matematiska strategier för att kunna tillämpa dessa i andra
problemlösningsuppgifter.
Ett annat ord för förmåga är kompetens. Niss och Højgaard (2002) använder sig av problemlösningskompetens och definierar begreppet med kunnigheten att formulera och lösa matematiska problem. Denna kompetens består av att kunna formulera, upptäcka och lösa problem. Det är viktigt att även kunna förtydliga och begränsa olika typer av matematiska problem.
Ett matematiskt problem är en slags matematisk fråga där det krävs en uträkning för svaret. De matematiska frågorna, som kan besvaras med viss hjälp i form av rutinuppgifter, kan också kallas för problem. Uttrycket matematiskt problem är relaterat till personen som blir tillfrågad; vad som är en rutinuppgift för en person kan vara ett problem för någon annan och vice versa. Niss och Højgaard (2002) anser även att det är väldigt bra att kunna formulera matematiska problem utan att kunna lösa dem. På liknande sätt är det möjligt att vara skicklig på att lösa matematiska problem utan att vara bra på att hitta på och att formulera egna problem (2002). Lösningen på olika matematiska problem handlar om att kunna tillämpa en procedur.
Lärandemålet för eleverna är att utveckla problemlösningskompetensen, resonemangskompetensen och att utveckla nya matematiska kunskaper. Det handlar om att kunna använda en individuell matematisk kunskap, vilket kan vara faktakunskap eller procedurkunskap, och tillsammans kunna välja en strategi för att göra framsteg. Det är även viktigt att eleven har strategier för att kunna verifiera att lösningen går åt rätt riktning (Olsson, 2017).
5.6 Representationsformer och problemlösning i relation till varandra Medvetenheten kring representationers roll inom matematiken har ökat i rapporter och styrdokument och återspeglas nu i undervisningen förklarar Stylianou (2010). Exempelvis har National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM) medverkat till att representationsförmågan är en av de fem stora förmågorna inom matematik för att utveckla undervisningen kring matematik så att det passar samhället. Representationsförmågan är bland annat till för att kunna lösa problem. Det kan exempelvis finnas svårigheter i det individuella arbetet med problemlösningsuppgifter i ett klassrum med många elever, där alla ska få möjlighet till hjälp. Även lärarens roll när det gäller att hjälpa till och underlätta i problemlösningsaktiviteter är komplext, men genom att använda och kombinera olika representationsformer, även kallat modaliteter, blir undervisningen i matematik mer effektiv och meningsfull.
I denna studie visar resultatet att relationen mellan representations- och problemlösningskompetens hör ihop. Mogen Niss (2002) är en forskare från Danmark som är känd för sitt KOM-projekt. På nedanstående bild framställs de åtta matematiska kompetenser som han förespråkar. Av dessa åtta
matematiska kompetenser fokuseras det enbart på två i denna studie då dessa är mest relevanta för vårt resultat. De två kompetenser som används är representations- och problemlösningskompetens. Bilden nedan förtydligar hur dessa två kompetenser sammanflätas.
6 Diskussion
I studiens diskussion kommer tre olika delar att tas upp. Dessa består av en resultatdiskussion, en metoddiskussion som handlar om processen samt en del om vidare forskning.
6.1 Resultatdiskussion
I denna studie har syftet varit att undersöka vilken roll matematiska
representationsformer har för arbetet med problemlösning i årskurs 4-6. De olika begrepp som används i sammanhanget är inte helt självklara och därför har vi valt undersöka ämnet genom att göra en systematisk litteraturstudie. Innan forskningsarbetet inleddes fanns det funderingar kring varför svenska elever presterar dåligt i matematisk problemlösning. Det fanns dessutom funderingar kring vilka olika lösningar och strategier som nyttjades av elever och om det fanns en koppling mellan dessa matematiska processer. Utifrån dessa funderingar gjordes tre frågeställningar. I dessa frågeställningar tar vi reda på representationsformernas roll i matematikämnets didaktik och om hur problemlösning och problemlösningsprocessen beskrivs. Den sista frågeställningen vilken roll representationsformerna tillskrivs för att hjälpa elever i problemlösningsprocessen.
Med hjälp av svaren från frågeställningarna samt från kunskap ur
diskursteorin har vi nått ett resultat. Det visar att modaliteter och språkliga uttryck har en stor betydelse i hur rollen för representationer tillskrivs. Det finns en mängd olika modaliteter som kan hjälpa eleven att lösa problem inom matematik. Det går att använda modaliteterna enskilt men även genom att kombinera dem för att lösa problem. Studiens resultat är intressant för lärare då möjligheten att stödja elevernas lärande ökar när läraren är medveten om vad modaliteter är, vilken betydelse dessa har och hur en kombination av dem kan underlätta lärandet. Genom att läraren medvetet använder olika modaliteter i olika sammanhang ges eleverna flera
möjligheter och strategier för lärande. Elever lär på olika sätt och lärare behöver identifiera vilka modaliteter som passar bäst i vilket sammanhang och för vilken elev. Studiens resultat visar att modaliteter har betydelse för lärande i matematik.
6.2 Metoddiskussion
De styrkor som finns i samband med val av metod är att alla vetenskapliga publikationer är vetenskapligt granskade. Med hjälp av databaserna kan sökningen enkelt avgränsas till att visa bara vetenskapliga publikationer genom att använda avgränsningen peer-review. Det innebär att denna studie använder sig av trovärdiga källor. Avgränsningar har även varit matematik och problemlösning.
har diskursteorin använts. En annan styrka med val av metod är att använda böcker som kända matematiker och filosofer sammanställt kring
problemlösning inom matematik samt diskursteori. Hemsidan av MODE är baserad på dessa matematikers och filosofers arbete och den styrker då studiens användande av innehållet.
En svaghet är de publikationer där exempelvis Shirali, Riesbeck och Mwei sammanställt vad tidigare forskare beskrivit. Det kan då ses som att
tolkningen i denna studie baserats på en tidigare tolkning av det ursprungliga. Detta innebär att tolkningen i denna studie inte är lika trovärdig som
tolkningar från den ursprungliga forskningen. Därför har även den ursprungliga forskningen använts för att styrka trovärdigheten.
Att bara läsa fem publikationer ur varje sökprocess kan ses som en svaghet. Det är ett litet antal och kan ha lett till svårigheter att hitta de mest relevanta publikationerna för just denna studie. Att enbart läsa vissa innehållsdelar mer noggrant kan ha bidragit till svårigheter gällande relevansen av de valda innehållsdelarna. Däremot har varje relevant innehåll antecknats och det har därmed getts förutsättningar för att gå tillbaka i forskningen för att
exempelvis dubbelkolla vad som skrivits. 6.3 Vidare forskning
Denna studie har belyst hur väsentligt representationsformerna är i problemlösningsuppgifter. En framtida empirisk studie kan vara att
undersöka liknande frågeställningar ur ett elevperspektiv. Det går exempelvis att låta elever använda olika representationsformer för att undersöka vilken eller vilka representationsformer som tillämpas flest gånger. Det hade gett oss ett ytterligare perspektiv på representationsformernas roller inom problemlösningsuppgifter. Genom att låta eleverna lösa
Referenser
Björklund, C. & Palmér, H. (2018). Matematikundervisning i förskolan: att
se världen i ljuset av matematik. Stockholm: Natur & Kultur.
Björnsson, M. (red.) (2014). Grundskolan i internationella
kunskapsmätningar: kunskap, skolmiljö och attityder till lärande. Stockholm:
Skolverket.
Chouliaraki, L. & Fairclough, N. (1999). Discourse in late modernity:
rethinking critical discourse analysis. Edinburgh: Edinburgh Univ. Press.
Dahl, J. (2014). The problem-solving citizen. Licentiatavhandling Malmö: Malmö högskola, 2014. Malmö.
Dahl, T. (2012). Problemlösning kan avslöja matematiska förmågor: Att
upptäcka matematiska förmågor i en matematisk aktivitet. Lic.-avh., 2012.
Eriksson Barajas, K., Forsberg, C. & Wengström, Y. (2013). Systematiska
litteraturstudier i utbildningsvetenskap: Vägledning för examensarbeten och vetenskapliga artiklar. Stockholm: Natur och kultur.
Gonsalves, N., & Krawec, J. (2014). Using Number Lines to Solve Math Word Problems: A Strategy for Students with Learning Disabilities.
Learning Disabilities Research & Practice, 29(4), 160–170.
Goodman, S. & Graddol, D. (red.) (1996). Redesigning English: new texts,
new identities. London: Routledge in association with The Open University.
Gunnarsson, U. (2009). Problemlösning med olika representationsformer.
Nämnaren, 2009:2, 17-23.
Kress, G.R. (2010). Multimodality: a social semiotic approach to
contemporary communication. London: Routledge.
Kress, G.R. & Van Leeuwen, T. (2001). Multimodal discourse: the modes
and media of contemporary communication. London: Arnold.
Larsson, M. (2009). Learning systems thinking: the role of semiotic and
cognitive resources. Diss. Lund: Lunds universitet.
Liljekvist, Y. (2014). Lärande i matematik: om resonemang och
matematikuppgifters egenskaper. Diss. Karlstad: Karlstads universitet.
Sverige. Skolverket (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och
fritidshemmet 2011: reviderad 2019. Stockholm: Skolverket.
MODE (2012). Glossary of multimodal terms.
Mwei, P. K. (2016). Problem Solving: How do In-Service Secondary School Teachers of Mathematics Make Sense of a Non-Routine Problem Context?
International Journal of Research in Education and Science, 3(25311), 31–
41.
Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (red.) (2002). Kompetencer og
matematiklæring: ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriets forlag.
Olsson, J. (2017). GeoGebra, enhancing creative mathematical reasoning. Diss. Umeå: Umeå universitet.
Riesbeck, E. (2000). Interaktion och problemlösning: att kommunicera om
och med matematik. Lic.-avh. Linköping: Linköpings universitet.
Roos, H. & Trygg, L. (2018). Begrepp och representationer (åk 1-3). Skolverket.
Schoenfeld, A.H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press.
Shirali, S. A. (2014). George Pólya & problem solving ... An appreciation.
Resonance, 19(4), 310–322.
Stylianou, D. A. (2010). Teachers’ conceptions of representation in middle school mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education, 13(4), 325– 343.
Szabo, A. (2013). Matematiska förmågors interaktion och det matematiska
minnets roll vid lösning av matematiska problem. Lic.-avh. Stockholm:
Stockholms universitet.
Van Leeuwen, T. (2005). Introducing social semiotics. London: Routledge. Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom
humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Vetenskapsrådet (2017). God forskningssed. (Reviderad utgåva). Stockholm: Vetenskapsrådet.
Winther Jørgensen, M. & Phillips, L. (2002). Discourse analysis as theory
and method. London: Sage Publications Ltd.
Ziman, J.M. (2000). Real science: what it is, and what it means. Cambridge: Cambridge University Press.
Özsoy, G., Kuruyer, H. G., & Çakiroglu, A. (2015). Evaluation of students' mathematical problem solving skills in relation to their reading levels.
Bilagor
Bilaga 1 Sökschema
databas
& datum sökord/sökfråga
avgräns-ningar
sök-träffar utvalda referenser
publikations- typ Libris 26/9-19 problemlösning* matematik*
avhandling 33 Riesbeck, E. (2000). Interaktion och
problemlösning: att kommunicera om och med matematik. Lic.-avh. Linköping: Linköpings
universitet. E-bok, Avhandling ERIC 30/9-19 mathematic* AND representation* AND ”middle School”
peer-reviewed 260 Stylianou, D. A. (2010). Teachers’
conceptions of representation in middle school mathematics. Journal of Mathematics Teacher
Education, 13(4), 325–343.
Scholarly Journals ERIC
30/9-19
”problem solving*” peer-reviewed, 2010-2019, problem solving, (mathematics skills), (reading skills)
22 Özsoy, G., Kuruyer, H. G., & Çakiroglu, A. (2015). Evaluation of students' mathematical problem solving skills in relation to their reading levels. International Electronic
Journal of Elementary Education, 8(1),
113-132.
Scholarly Journals
ERIC 30/9-19
math* AND ”problem solving”* peer-reviewed, 2010-2019, English, Problem solving
532 Mwei, P. K. (2016). Problem Solving: How do In-Service Secondary School Teachers of Mathematics Make Sense of a Non-Routine Problem Context? International Journal of
Research in Education and Science, 3(25311),
31–41.
Scholarly Journals
ERIC 30/9-19
math* AND ”problem solving*” peer-review, 2010-2019, middle school students, word problems (mathematics)
148 Gonsalves, N., & Krawec, J. (2014). Using Number Lines to Solve Math Word Problems: A Strategy for Students with Learning Disabilities. Learning Disabilities Research &
Practice, 29(4), 160–170. Scholarly Journals Libris 31/10-19 problemlösning* e-resurs, avhandling
29 Szabo, A. (2013). Matematiska förmågors
interaktion och det matematiska minnets roll vid lösning av matematiska problem. Lic.-avh.
Stockholm: Stockholms universitet.
E-bok, Avhandling Libris 31/10-19 problemlösning* e-resurs, avhandling
29 Dahl, T. (2012). Problemlösning kan avslöja
matematiska förmågor: Att upptäcka matematiska förmågor i en matematisk aktivitet. Lic.-avh. E-bok, Avhandling Libris 31/10-19 problemlösning* e-resurs, avhandling
29 Olsson, J. (2017). GeoGebra, enhancing
creative mathematical reasoning. Diss. Umeå:
Umeå universitet. E-bok, Avhandling Libris 31/10-19 problemlösning* e-resurs, avhandling
29 Dahl, J. (2014). The problem-solving citizen. Licentiatavhandling Malmö: Malmö högskola.
E-bok, Avhandling Libris 31/10-19 problemlösning* e-resurs, avhandling
29 Larsson, M. (2009). Learning systems
thinking: the role of semiotic and cognitive resources. Diss. Lund: Lunds universitet.
