INOM
EXAMENSARBETE TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP
STOCKHOLM SVERIGE 2020,
Simulering av
diffusionsbegränsad
aggregering med oordning
WILLIAM GREEN ANDERS INDE
KTH
Sammanfattning
Sammanfattning
I detta arbete har det simulerats partiklar som genomför slumpmässig diffusion och kolliderar med varandra vilket bildar kluster. Dessa kluster visar sig ha fraktala egenskaper. En känd modell för denna process är diffusion-limited aggregation (DLA). Partiklarna i DLA som genomför diffusion kan vandra fritt tills de träffar aggregatet. En ny modell introduceras där det införs oordning i form av orenheter som blockerar de diffunderande partiklarnas väg. Vi har studerat hur den fraktala dimensionen hos klustrena som bildas i den nya oordningsmodellen skiljer sig från den vanliga DLA-modellen, och undersökt hur den beror på tätheten av oordningarna. Vi har också undersökt hur en införd prefaktor till gyrationsradiens beroende av antalet partiklar påverkas av oordningstätheten. Resultatet från undersökningen visar på ett negativt, kvadratiskt beroende för den fraktala dimensionen på oordningdtätheten, samt en svag exponentiell ökning av prefaktorn med ökande oordningstätheten.
Abstract
In this work a focus has been to simulate particles that undergo random diffusion and collide together, to create clusters. These clusters show fractal properties. A popular model for this process is Diffusion-limited aggregation (DLA). The diffusing particles in DLA can move freely until they hit the aggregate. A new model is presented where impurity-particles that block the path of the diffusing particles are introduced. We have investigated how the fractal dimension of the clusters that are produced in the new disorder model differs from the normal DLA model, and how the fractal dimension depends on the disorder density. We have also investigated how a prefactor in the radius-of-gyration to particle-number relation is affected by the disorder density.
The results from the study show a negative, quadratic dependence of the fractal dimension on the disorder density, and a weak exponential increase in the prefactor with increasing disorder density.
Tack till
Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare, Mats Wallin, som bidrog med ovärderlig hjälp när oordnings-modellen skulle utvecklas, svarade på frågor under arbetets gång och erbjöd feedback till rapporten. Vi vill också tacka David Aceituno Chavez, KTH, som med tålamod hjälpte oss att åstadkomma extrema optimeringsförbättringar på klusterdatornätverket, utan vars hjälp arbetets slutsatser aldrig hade varit möjliga.
Innehåll
1 Bakgrund 3
1.1 Fraktaler . . . 3
1.2 Fraktal dimension . . . 3
1.3 Diffusionsbegränsad aggregering . . . 4
1.4 Metoder för att beräkna Df . . . 4
1.4.1 Lådräkningsdimensionen . . . 4
1.4.2 Gyrationsradie . . . 5
1.5 Oordning i DLA . . . 5
2 Metod 8 2.1 Introduktion . . . 8
2.1.1 Algoritm . . . 8
2.2 Statistisk Undersökning . . . 8
2.3 Prefaktor . . . 10
3 Resultat 11 3.1 Fraktal dimension . . . 11
3.2 Prefaktor . . . 13
4 Diskussion och slutsats 16
Litteraturförteckning 17
Kapitel 1
Bakgrund
1.1 Fraktaler
Begreppet fraktal introducerades på 1970-talet av Benoit Mandelbrot, men studier av objekt som idag klassas som fraktaler har funnits länge innan dess [1]. Den vanligaste definitionen av en fraktal är ett objekt som är självliknande, vilket innebär att delar av objektet är en mindre kopia av objektets helhet. En gren på ett träd ser ofta ut som en mindre kopia av trädet. Ett känt exempel på en fraktal är Koch-kurvan introducerad år 1904 av svensken Helge von Koch.
Den är konstruerad genom att börja med en rak linje av längd 1, sedan ersätts den mittersta tredjedelen av två linjer av längd 1/3. Denna process upprepas för varje linjesegment, se figur 1.1.
Figur 1.1: Fem iterationer av Koch-kurvan.
Efter oändligt antal upprepningar erhålls Koch-kurvan. Notera att en inzoomning på kurvan ger en mindre men exakt kopia av helheten, ett exempel på självliknelse. Notera även att för varje iteration ökar längden av kurvan med en faktor 4/3, vilket innebär att längden av den slutliga kurvan är oändlig! Man kan fråga sig vilken dimension kurvan har. Sträckan mellan två olika punkter på kurvan, längs kurvan, är oändlig vilket skiljer sig från vanliga endimensionella kurvor i euklidisk geometri. Kurvan är heller inte tvådimensionell då den inte fyller ut det tvådimensionella rummet i vilket den existerar.
1.2 Fraktal dimension
Både kvadrater och rektanglar kan vi dela upp i fyra kopior av sig själv med skalfaktor 1/2, eller till 9 kopior med skalfaktor 1/3 etc. Förhållandet mellan antalet kopior N och skalfaktorn s är
N = 1 s
2
. (1.1)
På samma sätt fås för en kub att N = 1/s3. Notera att exponenten till 1/s anger dimensionen på objektet. En generalisering ger att om ett objekt kan delas upp i N kopior med skalfaktorn s så kan dess dimension D införas sådan att
N = 1 s
D
, (1.2)
vilket med omskrivning ger
D = log N
log 1/s. (1.3)
För Koch-kurvan fås från figur 1.1 att den kan delas upp i fyra kopior av sig sjäv med skalfak- tor 1/3. Då fås D = log 4/ log 3 ≈ 1.26186. D behöver alltså inte vara ett heltal utan kan även vara en bråkdel (fraktion), därav begreppet fraktal. Hädanefter används fraktala dimensionen, skriven Df för dimensionen av en fraktal.
1.3 Diffusionsbegränsad aggregering
Diffusionsbegränsad aggregering (på engelska diffusion-limited aggregation), förkortat DLA, är en modell som beskriver hur partiklar som genomför slumpmässig rörelse slås ihop och bildar kluster. Modellen är applicerbar i situationer där partiklars rörelse domineras av dif- fusion istället för konvektion. Exempel är floders formation, frost på glas, jondeposition och elektrodeposition[5]. DLA introducerades 1981 av Witten och Sander [2], och har fått stor upp- märksamhet. Det mönster som bildas är förvånande komplext och har fraktala egenskaper, se figur 1.2. Den fraktala dimensionen för mönstret har i litteraturen visats sig vara 1.71. [3]
I ett tvådimensionellt rum beskrivs modellen som följande. Först placeras en startpartikel i mitten av något plan. Sedan introduceras en ny partikel på en bestämd radie från mitten och genomför en slumpvandring tills den träffar den första partikeln och får därmed aggregeras. Låt sedan en ny partikel vandra tills den träffar någon annan partikel i klustret och upprepa önskat antal gånger.
1.4 Metoder för att beräkna D
fI detta avsnitt förklaras mer detaljerat de metoder som används i praktiken för att beräkna Df. 1.4.1 Lådräkningsdimensionen
Lådräkningsmetoden beräknar den fraktala dimensionen, Df genom att dela in fraktalen i kvadrater vars storlekar bestäms av skalfaktorn. För varje potens av skalfaktorn räknas se- dan antalet kvadrater som innehåller en del av mönstret och detta ger en punkt Ni, Di, där Ni är antalet kvadrater som täcks av mönstret och Diär potensen för (1/s). När tillräckligt många punkter har mätts fås Df av
Df = log N
log 1/s. (1.4)
Figur 1.2: DLA-kluster av 2 miljoner partiklar.
1.4.2 Gyrationsradie
Gyrationsradien eller tröghetsradien av fraktalen är ett alternativt sätt att beräkna den fraktala dimensionen. Tröghetsradien för en kropp kring en rotationsaxel är det radiella avstånd från axeln som krävs för att tröghetsmomentet ska vara lika stort, om kroppens massfördelning koncentrerades i en och samma punktmassa med denna radie.
I =X
k
mkrk2. (1.5)
Gyrationsradien rg definieras genom X
k
mkr2k= r2gX
k
mk (1.6)
vilket ger
rg=
sP
krk2 P
kmk. (1.7)
Om punktmassorna byts mot ifyllda punkter i rummet fås för en fraktal följande uttryck för gyrationsradien:
rg = s1
N X
k
rk2. (1.8)
På liknande sätt som i ovanstående metod kan den fraktala dimensionen fås från en anpassning av förhållandet mellan gyrationsradien och antalet partiklar.
1.5 Oordning i DLA
Den modell av DLA som beskrivs i avsnitt 1.3 förutsätter att rörelsen hos partiklarna är Brownsk, det vill säga helt slumpmässig. För DLA på ett gitter innebär detta att varje stegrikt- ning alltid har samma sannolikhet pi = 1/4 i två dimensioner. Analogt för ett kontinuum är att
sannolikheten för stegvinkeln, p(φ), är likformigt distribuerad över [0, 2π]. En mer formell och generell modell för rörelsen av partiklarna ges av Langevins ekvation:
m ˙v = F − αv + ξ(t) (1.9)
där F är en kraft, α en friktionskefficient och ξ en slumpterm som uppfyller hξi = 0 och hξ(t)ξ(t0)i = δtt0. För DLA-modellen ovan får vi F = 0 och α = 0, så att slumptermen domine- rar rörelsen. Ett sätt att skapa oordning är att låta krafttermen vara nollskild och därmed välja pi eller p(φ) från en ickelikformig fördelning, förutsatt att P
ipi = 1. Gongwen och Decheng konstruerade 1990 en modell för DLA-bildning i ett pålagt elektriskt fält, som därmed ändrade pi. Ekvationen för just piför varje punkt på gittret härleddes ur diffusionsekvationen. Med valet av potential som ett centrerad Laplacefält blev resultatet att dimensionen ökade med styrkan på fältet. [4]
Vi introducerar nu en ny modell som lägger till oordning i form av slumpmässigt placerade orenheter. Orenheterna placeras slumpmässigt i rummet där partiklarna utför Brownsk rörelse.
Antalet orenheter bestäms utifrån en vald täthet, där täthet betyder andelen area av rummet täcks av orenheter. En vandrande DLA-partikel får aldrig befinna sig på en orenhet, som följd kommer DLA-aggregatet som bildas att undvika dessa punkter. I vår studie har orenheterna och DLA-partiklarna samma storlek och form, men denna restriktion kan ändras. Ett exempel med täthet 0.05 visas i figur 1.3 och en med täthet 0.15 visas i figur 1.4. Syftet med denna rapport är att undersöka om oordning påverkar den fraktala dimensionen hos DLA-kluster.
Figur 1.3: DLA-kluster med orenheter av täthet 0.05. De gröna partiklarna är orenheter, de andra tillhör aggregatet. Färgen illustrerar aggregeringstiden.
Figur 1.4: DLA-kluster med orenheter av täthet 0.15.
Kapitel 2
Metod
2.1 Introduktion
För att jämföra hur den fraktala dimensionen påverkas av olika tätheter används följande metod.
DLA-aggregat bildas för olika tätheter från 0.00 (noll orenheter) till 0.15. Större tätheter än så var praktiskt olämpliga att genomföra då datortiden ökar kraftigt med densiteten. Totalt behandlas 16 olika tätheter (0.00, 0.01, ... , 0.15). 1000 aggregat simuleras för varje densitet och antalet partiklar för varje aggregat är fixerat till 10000.
2.1.1 Algoritm
Algoritmen för att simulera DLA (off-lattice) med oordning ges av följande steg:
1. Placera ut orenheter slumpmässigt i rummet. Antalet bestäms som den valda densiteten gånger arean av ytan där mönstret bildas delat med arean av en orenhet. Orenheterna tillåts inte överlappa.
2. Introducera en partikel slumpmässigt på en cirkel med bestämd radie från startpartikeln.
Denna radie satte vi till 4 partikeldiametrar större än aggregatets radie.
3. Generera slumpsteg av vald längd, om steget skulle orsaka en träff med orenhet så genereras nya steg tills träff inte sker.
4. När partikeln träffar en annan partikel i klustret så fixeras positionen och aggregatet växer.
5. Upprepa till önskat antal partiklar uppnås.
Notera att algoritmen för vanlig DLA fås genom att ta bort restriktionen i steg 3.
Algoritmen ovan implementerades i c++. För att få tillräckligt med data användes ett da- torkluster på KTH för att generera ett stort antal aggregat parallellt.
2.2 Statistisk Undersökning
För att undersöka om oordnings-modellen hade påverkan på DLA-mönstrets form, producerades flera DLA-mönster med varierande oordningstäthet.
Eftersom DLA-mönstret skapas av stokastiska processer (slumpvandringar) så kommer även den
uppmätta fraktala dimensionen att uppvisa varians. Det krävs därför statistiska metoder för att undersöka om oordning påverkar den fraktala dimensionen.
Med antagandet att den fraktala dimensionen antingen var linjärt korrelerad med tätheten eller att ingen korrelation fanns, utfördes en enkel linjär regression av den fraktala dimensionens beroende av oordningstäthet.
En enkel linjär regressionsmodell tar formen
y = α + βx (2.1)
vilket ger en linje med lutning β och skärningspunkt α, där x är en vektor med oordningstäthet.
Vi får ett förhållande mellan skattningarna yi och parametrarna xi enligt
yi = α + βxi+ i. (2.2)
Konstanterna bestäms med hjälp av minstakvadratmetoden så att
n
X
i=1
2i =
n
X
i=1
[yi− (α + βxi)]2 (2.3)
minimeras, där de minimerande värdena ges av β =ˆ
Pn
i=1(xi− ¯x)(yi− ¯y) Pn
i=1(xi− ¯x)2 (2.4)
ˆ
α = ¯y − ˆβ ¯x. (2.5)
Punktskattningarna ˆα och ˆβ kommer dock att slumpmässigt variera och bero på antalet skatt- ningar som gjorts, därför är det viktigt att kunna utvärdera hur mycket regressionslinjen kan ändras beroende på prov av fraktaldimensionsvärden. Detta kan göras med konfidensintervall.
Under antagandet att avvikelserna mellan den teoretiska regressionslinjen och de skattade regres- sionslinjerna är normalfördelade, eller att antalet skattningar är så stort att avvikelserna är approximativt normalfördelade kan konfidensintervall konstrueras på följande sätt:
β ∈ [ ˆβ − sβˆt∗n−2, ˆβ + sβˆt∗n−2] (2.6) α ∈ [ ˆα − sαˆt∗n−2, ˆα + sαˆt∗n−2] (2.7) där tn−2är (1 −γ2)-kvantilen (1 − γ = konfidensnivå) från Students t-test-fördelningen med n − 2 frihetsgrader som beräknas som
t = β − βˆ
sβˆ (2.8)
där
sβˆ=
s 1
n−2
Pn i=1ˆ2i Pn
i=1(xi− ¯x)2 (2.9)
är standardfelet av ˆβ, och
sαˆ = sβˆ v u u t 1 n
n
X
i=1
x2i (2.10)
är standardfelet av ˆα.
Från de gjorda skattningarna utförs sedan den linjära regressionen och medelvärde på de olika konstanterna samt konfidensintervall kan bestämmas. När konfidensintervallet för β har bestämts kan sedan ett statistiskt test utföras huruvida oordningen påverkar den fraktala di- mensionen eller inte.
Följande hypotes formuleras:
H0 : β = 0 H1: β 6= 0.
Signifikanstestet blir därför:
om | ˆβ| ≥ sβˆt∗n−2 förkasta H0
| ˆβ| < sβˆt∗n−2 förkasta ej H0. Vi får också ett P-värde enligt:
P (H0 förkastas |H0 är sann) = P (| ˆβ| ≥ sβˆt∗n−2) (2.11) Även en polynom-anpassning av den fraktala dimensionens beroende av tätheten utfördes.
2.3 Prefaktor
Inte bara den fraktala dimensionen kan antas ändras av oordningstätheten utan det kan också existera så kallade prefaktorer i förhållandet mellan gyrationsradien och antalet inhägnade par- tiklar, som i sin tur kan bero av oordningstätheten.
Vi gör följande ansats
rg = q
C(x)N1/Df(x), (2.12)
där x är oordningstätheten.
Logaritmering ger följande samband
2 ln rg = ln C(x) + (1/Df(x)) ln N.
Detta förhållande kan ritas i en log-log-plott och den linjära anpassningen som fås ger A =
1
2ln C(x) som konstantterm och inversen av den fraktala dimensionen som koefficient. Utöver att undersöka hur den fraktala dimensionen påverkas av olika oordningstätheter så görs en undersökning av oordningstäthetens påverkan på prefaktorn C(x).
Kapitel 3
Resultat
3.1 Fraktal dimension
Simulering av DLA med N = 10000 partiklar och de olika oordningstätheterna gav följande värden på den fraktala dimensionen
Täthet, x y(x)¯ Täthet, x y(x)¯
0.0 1.723 0.08 1.715
0.01 1.722 0.09 1.715
0.02 1.722 0.10 1.714
0.03 1.721 0.11 1.709
0.04 1.718 0.12 1.707
0.05 1.719 0.13 1.703
0.06 1.719 0.14 1.697
0.07 1.716 0.15 1.690
De uppskattade konstanterna blev
β = −0.153ˆ ˆ
α = 1.727 sβˆ= 0.00959 sαˆ = 0.000828
Den linjära regressionen visas på följande sida. Med konfidensnivån 0.99 och 15998 frihetsgrader blev 0.995-kvantilen av t-fördelningen
t∗15998= 2.576 Detta gav konfidensintervallen
β ∈ [−0.209, −0.160]
α ∈ [1.725, 1.729]
och P-värdet:
P (H0 förkastas om |H0 är sann) < 10−80
Nollhypotesen att β = 0 vilket är ekvivalent med att oordningen inte påverkar den fraktala dimensionen kan således förkastas med extremt hög konfidens.
Figur 3.1: Skattade Df för olika tätheter jämfört med regressionslinjen.
En andra ordningens 1 polynom-anpassning av den fraktala dimensionens beroende av tät- heten gav resultat som visas i figuren nedan. Den bästa anpassningen gavs av funktionen:
Df(x) = 1.721 + 0.0767x − 1.744x2, (3.1) där x är oordningstätheten. Ett χ2-test gav P ∼ 0. Om anpassning kan antas riskera överpa- rametrisering så togs den linjära termen bort (blå kurva i figuren ovan) och χ2-testet gav då P ∼ 10−12 vilket fortfarande kan är en väldigt god anpassning.
1Polynom av grad två gav de bästa anpassningarna och stämmer överens med utseendet på datan.
Figur 3.2: Två anpassningar av Df som funktion av oordningstätheten jämförda med data.
3.2 Prefaktor
Även prefaktorn hade ett beroende av oordningstätheten. En linjär regression gjordes av kvan- titeten A(x) = 12ln C(x) vilket gav följande linjära samband
A(x) = ˆˆ α + ˆβx = −0.0787 + 2.103x
Figur 3.3: Linjärt samband mellan A(x) = 12ln C(x) och oordningstätheten
Med 0.99-konfidensintervall
β ∈ [2.004, 2.202]
α ∈ [−0.0873, −0.0702]
Anpassningen var så pass god att hypotesprövningen för lutningskoefficienten β gav P = 0.
Sambandet mellan A(x) och den faktiska prefaktorn C(x) gör så att vi kan rita upp prefaktorns beroende av oordningstätheten nedan. Prefaktorn beror exponentiellt av oordningstätheten med följande beroende
C(x) = 0.85e4.21x
Figur 3.4: Prefaktorn C(x) är svagt exponentiellt växande med ökande oordning.
Kapitel 4
Diskussion och slutsats
Oordningarna tvingar DLA-mönstret att sprida ut sig i planet för ett fixt partikelantal och därför uppta mindre plats, vilket leder till lägre areadensitet och lägre fraktal dimension eller större prefaktorbelopp.
Statistiskt signifikanta resultat erhölls som visade på negativt beroende hos den fraktala dimen- sionen av orenhetstätheten. Detta stämmer överens med hypotesen. Dessutom verkar orenhets- tätheten minska kvadratiskt från värdet utan störning av orenheter, med förhållandet Df(x) ≈ Df(0) − 1.35x2, där x är oordningstätheten.
Även prefaktorn C(x) beror av oordningstätheten med exponentiellt växande beroende. Detta kan möjligtvis förklaras av att oordningarna ger upphov till hålrum i DLA-mönstret eftersom DLA-mönster kan omringa oordningar. Ju högre oordningstäthet desto fler eller större hålrum, vilket ökar det fraktala mönstrets så kallade lacunarity. Mandelbrot har föreslagit att lacunarity relaterar till en prefaktor med samma samband till gyrationsradien som i den ansats som gjorts i metoddelen. Två fraktala mönster med samma fraktala dimension kan ha olika prefaktorer beroende på hur ihåliga de är, där håligheten (lacunarity) har ett positivt samband med prefak- torn. Det är således rimligt att prefaktorn är positivt korrelerad med orenhetstätheten, vilket undersökningen har funnit.
En viktig aspekt som inte har undersökts är om fraktala dimensionens beroende och/eller pre- faktorberoendet av oordningstätheten helt eller delvis är finite size-effekter, det vill säga om de riktiga beroendena är annorlunda men på grund av det relativt få antalet partiklar introduceras effekter som avtar vid större partikelantal. Konvergensstudier med ökande antal aggregatpartik- lar behöver därför göras i framtida undersökningar för att se om ökande antal partiklar påverkar oordningseffekterna.
Litteraturförteckning
[1] Peitgen, H.O., Jürgens, H., Saupe, D. (2004). Chaos and Fractals. Second edition. Springer Verlag.
[2] Witten, T. A., & Sander, L. M. (1981). Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon, Physical Review Letters, 47(19). 1400. doi:10.1103/PhysRevLett.47.1400.
[3] Sander, L. M. (2000). Diffusion-limited aggregation: A kinetic critical phenomenon?, Con- temporary Physics, 41(4), 203-218. doi:10.1080/001075100409698.
[4] Gongwen, P., & Decheng, T. (1992). Chinese Phys. Lett. 9(7), 359-362. doi:10.1088/0256- 307X/9/7/007.
[5] Halsey, T. (2000). Diffusion-Limited Aggregation: A Model for Pattern Formation, Physics Today, 53(11), 36. doi: 10.1063/1.1333284,
[6] Meakin, P. (1984). Diffusion-limited aggregation in three dimensions: Results from a new cluster-cluster aggregation model, Journal of Colloid and Interface Science, 102(2), 491- 504. doi:10.1016/0021-9797(84)90252-2.
