Något om några Grundbegrepp och Mathematica

Något om några Grundbegrepp och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15



p, q , q 0 

i 0 n q ⁱ 1 q q ² q ^{n 1 q} _{1 q}

 n

k  n

n k k

i 0 n

i x x _i för k 1, 2, , n

x

a a,b b sin n Π 0 n

2 ^\

i 1 n

i c

i 1 n i c

ab ¹ ₂ a b a, b 0

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till lite grundbegrepp och krumelurer som kommer flitigt till använd- ning längre fram. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig och något lite kryddad med Mathe- matica. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Inledning

Ämnet Matematik skall bidra till att utveckla kunskaper i matematik och en matematisk beredskap för vardagsliv, yrkesliv och fortsatta studier. Den matematiska beredskapen innebär att förstå begrepp och begreppsliga samband, att hantera problem och modellera, att behärska procedurer och rutinuppgifter, att kommunicera och argumentera samt att förstå matematikens relevans och historiska utveckling.

Kunskaper i matematik är av stort värde för att kunna analysera, värdera och ta ställning i frågor som är viktiga för ett aktivt delta- gande i en demokrati. Kommunikation med hjälp av matematikens symboler och andra representationer är likartad över hela världen och kunskaperna är därför även internationellt användbara.

Matematiken innehåller en omfattande och stabil teori- och metodbildning och är i ständig utveckling. Den har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer och har utvecklats såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematiken är en mänsklig tankekonstruktion som utvecklats i samspel med naturvetenskapliga, tekniska och samhälleliga tillämpningar. Sedan länge är matematiken ett av naturvetenskapens främsta verktyg, men idag är den också viktig inom ekonomi och samhällsvetenskap. Matematiken får en växande betydelse för kommunikation i vid mening och för hur vi organiserar samhället inom bankväsende, transportsystem, stadsplanering och handel. Även den bildmässiga världen som utvecklar animationer, simuleringar och virtuella miljöer blir alltmer beroende av matematiska modeller.

Undervisningen i ämnet Matematik skall för en ingenjör stärka karaktärsämnena, men också ge matematiken en inre mening genom att främja upptäckarglädje, kreativitet och logisk förmåga. Vår tids tillgång till tekniska hjälpmedel som datorer och grafritande och symbolhanterande räknare har delvis förändrat undervisningen i matematik. Numeriska, grafiska och algebraiska metoder kan utnyttjas i undervisningen på ett sätt som tidigare varit omöjligt och nya typer av mer komplexa problem kan behandlas. Dynamisk programvara kan användas för att fördjupa begreppsförståelse och analysera problemställningar. I undervisningen skall nya möj- ligheter till undersökande, experimenterande, upptäckande och problemhanterande arbetssätt utnyttjas, vilket också ställer nya krav på omdöme och kritisk granskning av förutsättningar, metoder och resultat, samt bidra till en samlad matematisk beredskap grundad på fem förmågor.

Förmågan att förstå och använda matematikens begrepp är grundläggande. I förmågan ingår också förståelse av begreppens inbördes samband utifrån ett samspel mellan teoretiska kunskaper och olika matematiska aktiviteter där variation i undervisningen leder till fördjupad begreppsförståelse.

Förmågan att hantera problem och modellera skapar självtillit, mening och relevans. Förmågan innebär att analysera problem, välja lämplig lösningsmetod och genomföra och värdera lösningar, både med och utan tekniska hjälpmedel. I förmågan ingår också att modellera problemsituationer, avkoda och värdera modeller, formulera egna problem och använda den matematiska kreativiteten inför utmanande problem.

Förmågan att använda procedurer och lösa rutinuppgifter främjar säkerhet, precision och effektivitet samt samspelar med prob- lemhantering och begreppsförståelse. Förmågan innebär att använda olika procedurer på ett flexibelt och omdömesgillt sätt, både med och utan tekniska hjälpmedel.

Förmågan att kommunicera och argumentera befäster begreppsförståelse och samverkar med matematikens logiska uppbyggnad.

Detta innebär att tolka och använda matematikens språkliga uttryck, symboler och andra representationsformer som grafer och diagram samt att föra matematiska resonemang i tal och skrift, argumentera och genomföra bevis.

Förmågan att knyta matematiken till omvärlden ger vidgat värde och relevans. Förmågan innebär att se matematiken i ett yrkesmäs- sigt, samhälleligt och historiskt sammanhang samt hur den samverkar med karaktärsämnena. Det historiska perspektivet bidrar till att identifiera det egna arbetet i undervisningen med de svårigheter och framgångar som mänskligheten tidigare haft inom matematiken.

ť Mängder

En mängd är helt enkelt en samling objekt, synonymt brukar element, medlem eller punkt användas, som vanligtvis har en eller flera egenskaper gemensamma. Mängdbegreppet är mycket centralt i modern matematik och infördes av tysken Georg Cantor (1845-1918) i slutet av 1800-talet. En mängd kan vara mycket konkret som exempelvis mängden av alla bilar som står parkerade på en viss gata under en viss natt eller någon mer abstrakt matematisk konstruktion.

En mängd kan preciseras genom att man skriver upp dess element inom krullparenteser

1, 4, 5 3 2, 4, 6,

Namnen skrivs oftast med stora “dubbelskrivna” bokstäver. Exempelvis i Mathematica som dsA , där ds står för double-struck.

Mängderna och är ändliga då de innehåller ett ändligt antal element medan , som består av alla jämna positiva heltal, är oändlig. I detta senare fall har vi även utnyttjat som vi skulle kunna ersätta med “och så vidare”. Detta skrivsätt ska naturligtvis bara användas då saknade element enkelt kan listas ut från de övriga. Exempelvis är 1, 2, 3, , 100 mängden av de hundra första hela talen. Notera att det inte spelar någon roll i vilken ordning vi väljer att ange elementen, inte heller om vi “råkar” upprepa ett eller flera element. Sålunda är exempelvis

1, 4, 5 4, 5, 1 1, 5, 4, 5, 1, 1

Ibland kan man precisera en mängd genom att ange en eller flera karakteristiska egenskaper för dess element. Vi skriver då x P är mängden av alla x sådana att P.

x P, Q är mängden av alla x sådana att P och Q.

Den mängd som inte innehåller några element kallar vi för tomma mängden och reserverar beteckningen , det vill säga . För att kunna göra operationer med mängder, mängdalgebra, är det fundamentalt att elementen är entydigt beskrivna så att man kan avgöra om de tillhör en given mängd eller ej. Vi skriver

x om elementet xtillhörmängden eller x ingår i . x om elementet xinte tillhörmängden .

Om varje element i mängden också är element i mängden säger vi att är endelmängdav och skriver eller . Det sista utläses som innesluter eller omfattar . Självklart är varje mängd en delmängd av sig själv, för alla mängder . Det är lika klart, att om och

så är och samma mängd, vi harlikhetoch skriver . Då likhet inte råder skriver vi istället . Om och skriver vi

och säger att är enäkta delmängdav . Speciellt har vi att tomma mängden är delmängd av varje annan mängd , eller kortare . Unioneneller föreningsmängden av två mängder och betecknas och består av den mängd vars element tillhör minst en av och . Analogt kan man bilda unionen av n givna mängder 1, 2, , n

1 2 n i 1n

i

och definieras som den mängd vars element är medlemmar i minst en av de givna mängderna i.

Union

Snitteteller skärningen mellan två mängder och betecknas

och definieras som den mängd vars element tillhör både och , det vill säga x x , x . Naturligtvis kan snittet vara tomt. Man säger då att och utesluter varandra eller att de ärdisjunkta. Om 1,

2, , när mängder så definieras snittmängden

1 2 n i 1n

i

som den mängd vars element tillhör alla mängderna i, eller mera formellt

i 1n

i x x kför k 1, 2, , n .

Snitt

Differensen \ består av de element som tillhör men inte . Formellt

\ x x , x .

\

Differens \

Ofta är alla de mängder, som man studerar i ett visst sammanhang, delmängder i en viss naturliggrundmängd . Vi kallar då \ för komplementettill med avseende på och skriver ^c.

c

\

Komplement

\

Produktmängden definieras som mängden av alla ordnade par a, b där a och b . Exempelvis har vi ² som mängden av alla ordnade par x, y ² som är punkter i vårt “vanliga” xy-plan. På motsvarande sätt kan vi utvidga för flera

mängder 1 2 n.

Exempel:I figuren ser vi exempelvis att

1, 4, 10, 7, 5 5, 3, 0, 10, 9 4 , 1, 10

1, 4, 7, 5, 10, 0, 3, 9 5, 10

\ 1, 4, 7

\ 0, 3, 9

\ \ 1, 4, 7, 0, 3, 9 4, 7

7 4

1

10 5

3 9 0

Mathematica ligger nära med med krullparenteser och sina funktionsnamn. Notera speciellt att Mathematica tar chansen att sortera elementen vid union, snitt

1, 4, 5, 7, 10 ; 5, 10, 0, 3, 9 ; Union ,

3, 0, 1, 4, 5, 7, 9, 10

Intersection , 5, 10

Complement , 1, 4, 7

MemberQ , 9 False

ť Talsystem

Vi erinrar om de olika talsystemen

0, 1, 2, 3, Denaturligatalen.

, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Dehelatalen.

_q^p p, q , q 0 Derationellatalen.

Med klarar man av att addera och multiplicera men även i begränsad omfattning subtraktion såvida man inte behöver hantera begrepp som “ha skuld” eller “stå på minus”, till detta krävs . Så här långt klarar man också i mycket begränsad omfattning division, bara den går jämnt upp. Men att dela 7 i 5 lika stora delar kräver . Nu tycker man att det räcker för att få talaxeln “tät”, man kan ju succesivt fylla igen mellan två punkter i med medelvärdet av dem, och så vidare i all evighet. Men, det visar sig att det kommer alltid att finnas oändligt med tal som inte går att skriva som ett rationellt tal, exempelvis längden av diagonalen i en kvadrat med sidan ett. Vi behöver lägga till de irrationella talen, och då har vi en tät talaxel! De irrationella talen är alltså oumbärliga, åtminstone inom matematisk analys. De anges oftast med en symbol. Vi känner igen Π, (naturliga basen) och 2 som vanliga exempel på irrationella tal. Efter tillägg av dessa får vi ett komplett talsystem som omfattar alla de ovan angivna och kallas för de reella talen och vi har .

Att verkligen tätar till talaxeln är inte självklart, detta visades av Richard Dedekind (1831-1916). De reella talen brukar represen- teras geometrisk på en linje, kallad reella talaxeln.

1 0 1 2 2 3Π 4

x

Eftersom de irrationella talen inte innehåller någon information om storleken av talet måste man ha möjlighet att erbjuda en approxi- mation. I praktiken går detta utmärkt eftersom man kan stänga in ett irrationellt tal godtyckligt noggrant med tal som ligger i , som

“tur” är för en praktiskt arbetande ingenjör eftersom det med stor säkerhet framkallar en viss munterhet att komma till bygghandeln och fråga efter en planka som är 2 m lång! Approximationer brukar anges med decimaltal, exempelvis 2 1.41421 och Π 3.14159. Ofta presenteras även rationella tal på decimalform genom att helt enkelt utföra divisionen _q^p. Skillnaden dem emellan visar sig då i det att de rationella talen har en ändlig eller periodisk decimalutveckling, exempelvis ₂₂⁷ 0.31818181 , medan detta saknas hos ett irrationellt tal.

Exempel: För att beräkna a , det vill säga lösa ekvationen x a , brukar datorer använda xi 1 1 2xi a

xi, i 0, 1, , för att med givet x0 generera en talföljd med allt bättre närmevärde till a . Detta kallas iteration (upprepning). Försök att lista ut varför medelvärdet är ett bättre närmevärde till a än både xi och _x^a

i Under tiden låter vi Mathematica prova receptet på 2 1.4142 , med start i x0 1.0.

NestList

1 2

2

&, 1.0, 4

1., 1.5, 1.41667, 1.41422, 1.41421

Exempel: Vilket rationellt tal har decimalutvecklingen 0.31818181 ?

Lösning: Låt a 0.31818181 . Eftersom a har periodiciteten 2 efter första decimalen bildar vi 1000a 10a 318.18181 3.1818181 315 990a 315 a ³¹⁵_{990 22}⁷

Så småningom visar det sig att i vissa sammanhang duger inte riktigt till heller utan man har fått introducera de komplexa talen.

Vi återkommer till dessa.

ť Pilar

Uppbyggnaden av en matematisk teori och för all del problemlösning sker med hjälp av logiska resonemang. För att förtydliga och korta ner textmassan används ofta implikationspilar , och ekvivalenspil . Dessa pilar används för att uttrycka samband mellan utsagor eller påståenden.

A B eller B A Betyder attomutsaganAär sannsåär ävenBsann.

Ibland säger man att A är ett tillräckligt villkor för B och att B är ett nödvändigt villkor för A. Eller A gäller endast om B.

A B Innebär att både A B och A B gäller. A och B är ekvivalenta.

A är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för B.

Exempel: Utsagan “Min bil är svart” kan delas upp i utsagorna A = “min bil” och B = “bilen är svart”. Då gäller uppenbarligen A B men knappast A B eftersom det skulle medföra att jag är ägare till alla svarta bilar!

ť Kvantifikatorer

Det finns två så kallade kvantifikatorer som används för att uttrycka utsagor av logisk/matematisk karaktär.

Allkvantifikatorn Utläsesför varje.

Existenskvantifikatorn Utläsesdet finns.

Exempel: sin nΠ 0 n eller x sin x 0.

ť Fält och ordningsaxiom

Matematik är till sin natur allmängiltig. Det första steget för att uppnå allmänna resultat är att lämna sifferräkning och övergå till räkning med symboler, vanligtvis bokstäver, som får stå för icke preciserade tal eller någon annan storhet. Vi kallar detta algebraisk räkning. Axiom, eller “odiskutabla sanningar”, kallas själva grundvalarna i matematik. Aritmetiken vilar tungt på att det finns två operationer addition och multiplikation så att det för alla par x, y finns summan x y och produkten xy som är entydigt bestämda av x och y, och som för x, y, z uppfyller

x y y x, xy yx kommutativa lagen x y z x y z, x yz xy z associativa lagen x y z xy xz distributiva lagen

Lek med likheter har också fått namn

x x reflexivitet , x y y x symmetri , x y och y z x z transitivitet Vidare förutsätter vi att det existerar en relation som kan avgöra ordningen mellan reella tal. Vi kallar dem olikheter

x 0 x ärpositivt y så att x yy. Annars 0 ellernegativt. x y betyder x y eller x y.

x y betyder att x är strängt mindre än y eller att y är större än x. x y, x y definieras på motsvarande sätt.

Så y x 0 eller y x är ett positivt tal.

Olikheter som inte tillåter likhet, dvs och , kallar vi stränga olikheter. En ingenjör brukar inte vara så sträng med namnen, eftersom exempelvis x y tillåter att skillnaden y x kan göras godtyckligt liten, så att exempelvis en dator inte kan skilja dem åt.

Exakt en av , och gäller i varje enskilt fall. För x, y, z gäller x y och y z x z transitivitet

x y x z y z

x y och z 0 xz yz

x y och z 0 xz yz OBS multiplikation med ett negativt talvänderolikheten

x y x y

Naturligtvis gäller motsvarande för , och . Med den tidigare presenterade reella talaxeln får dessa olikheter en intuitiv geometrisk innebörd. Då 3 5 säger man ofta att “3 ligger till vänster om 5”. De viktigaste konsekvenserna vid bråkräkning är

a

b a¹_b, ^ab_c a^b_c ^a_cb, ^{a b}_c ^a_c ^b_c, ^a_{b d}^{c ad bc}_bd , ¹₁

a

a, ^abc d

ad bc

Genom att använda innehållet i de gula rutorna ovan kan man systematiskt omforma algebraiska uttryck till önskad form. Detta är mycket viktigt att behärska. Man talar om att multiplicera ihop, faktorisera eller “bryta ut”. Vad som är den enklaste formen på ett uttryck är inte entydigt, det beror på vad man ska ha det till. Mathematica har en mängd funktioner till hjälp, förutom det som görs direkt av Mathematica själv innan den bestämmer sig för att presentera ett resultat. Det hela är en fråga om prestanda. Mathematica gör lagom mycket automatiskt. Det kanske inte är så värdefullt att ha ett snyggt algebraiskt uttryck om man ändå bara har tänkt sig att sätta in numeriska värden. Man ska veta att förenkla ett givet uttryck kan vara en mycket tidskrävande uppgift.

x x y ²

y x² y²

2 x y x y ² x y

Mathematica tycker det verkar jobbigt och gör inget

2 y x x y² x y

x x y²

y x² y²

Simplify x x y ²

y x² y²

2 x y x y ² x y

 utom då vi ber om det 1

x y

Factora³ 2 a²b a b² a b

a b a² a b 1

Simplifya³ 3 a²b 3 a b² b³ a b³

Expand a b ³ a³ 3 b a² 3 b²a b³

Apart 1

z 1 z 3

 1

4 z 3 1 4 z 1

ť Intervall

Den del av reella talaxeln som svarar mot alla (oändligt många) tal mellan a och b med a b kallas för ett intervall. Talen a och b kallas för intervallets ändpunkter och beroende på om dessa inkluderas i intervallet eller ej kallas intervallet för slutet eller kom- pakt, vilket anges med hakparentes, respektive öppet som anges med rund parentes. Kombinationen kallas halvöppet eller halv- slutet. Situationen brukar åskådliggöras på reella talaxeln med en för öppna sidan och för den slutna. Sålunda

Öppet a, b är alla reella x så att a x b, det vill säga x z a z b

a b x

Slutet a, b är alla reella x så att a x b, det vill säga x z a z b

a b x

Halvöppet a, b är alla reella x så att a x b, det vill säga x z a z b

a b x

Halvöppet a, b är alla reella x så att a x b, det vill säga x z a z b

a b x

Dessa intervall kallas ändliga. Det finns också motsvarande oändliga öppna och halvöppna som bara har en ändpunkt, exempelvis a, x x a och , a x x a . Oändlighetsymbolen som inte är något reellt tal representerar just att det inte finns någon gräns åt detta håll. Denna sida måste alltid vara öppen. Man kan alltså inte “räkna” med . Ofta skriver man , .

ť Summor

För att förenkla uppskrivandet av summor används summasymbolen . Dess funktion är mycket enkel

i k

n ai ak ak 1 an

vilket utläses “summa ai då i går från k till n”. Här kallas i summationsindex med k som undre gräns och n som övre gräns. Man kan se ai som ett funktionsuttryck i vilket man succesivt sätter in i k, k 1, , n och slutligen adderar alla termer. Naturligtvis kan man använda vilka beteckningar man vill och justera gränser efter behag. Exempelvis är

i 1 n ai

p 2 n 1ap 1

m 0 n 1am 1

j 1

n 2aj 2 a1 a2 an

Eftersom det handlar om ändlig addition gäller naturligtvis enkla lagar som _{i k}ⁿ ai bi i kn ai ni kbi och _{i k}ⁿ cai c _{i k}ⁿ ai

där c är en konstant som inte beror av i.

Exempel: Vi tar några enkla exempel.

i 1

5 i 1 2 3 4 5 15,

i 1

50i ² ₁¹_{2 2}¹₂ ¹

50² 1 ¹_{4 2500}¹ ,

k 2

4 k 1 x^k 3x² 4x³ 5x⁴

Mathematica är mycket lättanvänd. Hela paketet med krumelurer och rutor att fylla i hämtas från palette.



i 1 5

ai

a1 a2 a3 a4 a5



i 1 50

i²

3 121 579 929 551 692 678 469 635 660 835 626 209 661 709 1 920 815 367 859 463 099 600 511 526 151 929 560 192 000



k 2 4

k 1 x^k

5 x⁴ 4 x³ 3 x²

Aritmetisk summa kännetecknas av att skillnaden mellan två på varandra följande tal är konstant. Om denna skillnad är d har vi

i 0

n ai a0 a1 an a0 a0 d

a₁

a0 2d

a₂

a0 nd

an

n 1 a0 d 1 2 3 n

Så prototypen av en aritmetisk summa är A _{i 1}ⁿ i 1 2 3 n. Eftersom alla aritmetiska summor kan härledas ned till denna är det lämpligt att vi söker ett slutet uttryck för den. Lägg samman A med sig själv fast i omvänd ordning!!

A 1 2 3 n 1 n

A n n 1 n 2 2 1

2A n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

Eftersom vi har n termer blir så 2A n n 1 varav

Den aritmetiska (prototyp)summan _{i 1}ⁿ i 1 2 3 n ¹₂n n 1

På motsvarande sätt har vi den geometriska summan som kännetecknas av att kvoten mellan två på varandra följande tal är kon- stant. Om denna kvot är q har vi

i 0

n g_i g₀ g₁ gn g₀ g₀q

g₁

g₀q²

g₂

g₀qⁿ

gn

g₀1 q q² qⁿ g₀

i 0 n qⁱ

Så prototypen av en geometrisk summa är G _{i 0}ⁿ qⁱ 1 q q² qⁿ. Eftersom alla geometriska summor kan härledas ned till denna är det lämpligt att vi söker ett slutet uttryck för den. Bilda skillnaden G qG!!

G 1 q q² q^{n 1} qⁿ

qG q q² q^{n 1} qⁿ q^{n 1}

G qG 1 0 0 0 0 q^{n 1}

Så till slut G 1 q 1 q^{n 1} varav

Den geometriska (prototyp)summan _{i 0}ⁿ qⁱ 1 q q² q^{n 1 q}_{1 q}^{n 1 1 kvoten}antalet termer

1 kvoten

ť Kvadreringsregler och konjugatregeln

Genom att utveckla a b² och a b a b har vi de viktiga

a b² a² 2ab b² Kvadreringsreglerna a b a b a² b² Konjugatregeln För högre potenser n har vi binomialsatsen a bⁿ _{k 0}ⁿ n

k a^{n k}b^k, där n k

n

n k k kallas binomialkoefficienter och m kallas m-fakultet och beräknas för m enligt m m m 1 2 1 då m 0 och 0 1.

Kvadreringsreglerna och konjugatregeln kommer till användning i tid och otid och ska kännas igen både fram- och baklänges! Ofta behöver man göra kvadratkomplettering, vilket som namnet antyder innebär att komplettera ett uttryck så att delar av det kan skrivas som en kvadrat. Man säger också att man faktoriserar dessa delar. Vi tar två exempel

Exempel: Att kvadratkomplettera innebär att man sneglar på högra ledet i kvadreringsreglerna och succesivt försöker omforma sitt givna uttryck så att en del av det får den önskade formen. Det är den kvadratiska och linjära termen som tilldrar sig intresset, konstanter hänger bara med. Häng mé

x² 3x 1 Låt a x och meka om till en 2:a framför den linjära termen.

x² 2 ¹₂ 3x 1 Tydligen är b ³₂, lägg till och dra ifrån b². x² 2 ³₂x ³₂²

x ³₂²

³₂² 1 Känn igen kvadreringsregeln Hyfsa till ³₂² 1 ⁵₄

x ³₂^{2 5}₄ Färdig

å en gång till

4x² 7x 3 Låt a x och fixa till en 1:a framför den kvadratiska termen.

4x^{2 7}₄x 3 Jobba vidare i parentesen och meka om till en 2:a framför den linjära termen.

4x² 2 ¹₂ ⁷₄x 3 Tydligen är b ⁷₈, lägg till och dra ifrån b²i parentesen.

4x² 2 ⁷₈x ₈⁷² ⁷₈² 3 Känn igen kvadreringsregeln 4x ⁷₈² ⁷₈² 3 Hyfsa 4 ⁷₈² 3 ⁴⁹₁₆ ⁴⁸_{16 16}¹ 4x ⁷₈² ₁₆¹ Färdig

En typisk användning för kvadratkomplettering är då man “glömt” formeln för att lösa en andragradsekvation. Vi får resan x² ax b 0 x² 2 ¹₂ ax ^a₂²

x ^a₂²

^a₂² b 0 x ^a₂² ^a₂² b 0 x ^a₂² ^a₂² b

x ^a₂ ^a₂² b x ^a₂ ^a₂² b

vilket är rötterna eller nollställena till den givna andragradsekvationen. Man säger ibland att lösningsmängden är x  ^a₂ ^a₂² b , ^a₂ ^a₂² b.

Andragradsekvationen x² ax b 0 har rötterna x1,2 a

2 ^a₂² b .

Exempel: Lös andragradsekvationen x² 2x 3 0.

Lösningsförslag: Håll noga koll på alla tecken, använd (), så får vi x1,2 2

2 ₂²² 3 1 2. I första ledet sätter vi bara in koefficienterna med tecken och i det andra räknar och förenklar vi. Gör inte båda samtidigt!! Rötterna är alltså x1 1 2 3 och x2 1 2 1. Vilken man väljer som x1 eller x2 vilken spelar naturligtvis ingen roll. För att lösa en stor klass av ekvationer används funktionen Solve i Mathematica. Lägg märke till två likhetstecken, , eftersom det är en ekvation!

Solvex² 2 x 3 0

x 1 , x 3

Solve4 x² 2 x 7 0

x 1

4^ 1 29,x 1

4^ 1 29

När det inte går att lista ut vad vid vill lösa ut måste vi tala om detta för Mathematica. Här den välkända pq-formeln.

Solvex² p x q 0, x

x 1

2^ p² 4 q p,x 1

2^ p² 4 q p

Ta för vana att alltid lösa ut lika många obekanta som det är ekvationer. Det är bara att samla i listor när man vill ha något gjort för flera saker.

Solve x k y 5, 4 x 2 y 6 , x, y Simplify

x 3 k 5

2 k 1, y 7 2 k 1^

ť Lite om matematisk teori

Matematikens formella struktur består av endast tre komponenter: definitioner, satser och bevis. De är matematikens byggstenar.

Axiom är en sorts grunddefinition, “odiskutabel sanning”. Termen brukar användas för de ursprungligaste definitionerna, de som inte hänvisar till andra definitioner. Man talar också om lemmor (grekiska för hjälpsats) vilka är vanligen satser av lite mindre betydelse, eller påståenden som är viktiga steg för att bevisa en sats. Både satser och lemmor är matematiska påståenden som är särskilt viktiga jämfört med andra påståenden. Satserna är ofta de resultat som används utanför det specifika området. Det är alltså egentligen ganska mycket en fråga om tycke och smak och tradition vad som är så viktigt att det bör utnämnas till en sats.

De tre byggstenarnas roller är:

Definitionerna talar om vad begreppen betyder på “matematiska”, oftast i termer av tidigare begrepp. Att göra de rätta definition- erna kräver lång erfarenhet, god matematisk överblick och en rejäl känsla för vad man vill åstadkomma. Man kan säga att matematik- ern är en sorts “designer” av teori.

Satserna talar om hur begrepp hänger ihop: om vi antar något (förutsättning), så vet vi också något annat (slutsats). Medan defini- tioner uppfinns kan man säga att satser upptäcks.

Bevisen är argumentationer som lämnar utom allt tvivel att satserna är sanna. I bevisen använder man ofta definitionerna baklänges - man går ofta tillbaka till tidigare definitioner och arbetar med dessa.

Att bevisa något som hittills är obevisat betyder att hitta en kedja av omskrivningar som når fram till målet, så att varje steg i kedjan är oantastligt. Detta kan mycket väl beskrivas som en (mental) bergsbestigning. Kan vi finna någon väg upp till den högsta toppen?

Vilken väg ska vi försöka ta? I början brukar alla tänkbara vägar se oframkomliga ut. En väg är för brant, en annan för isig, en tredje ligger under ständig hård vind. I matematiken, liksom vid bergsklättring, visar det sig ofta att någon sorts kombination av de olika vägarna leder till målet. Framgångsvägarna är ofta kombinationer av olika delar av misslyckade försök. Studier och forskning i matematik är orientering i en högst varierande mental terräng.

Ofta handlar det om ett svåröverblickbart landskap som innehåller många överraskningar. Problem som är snarlika kan vara av mycket olika svårighetsgrad. Betrakta problemet “Har aⁿ bⁿ cⁿ någon lösning med positiva heltal a, b och c för heltal n 1?”.

För n 2 är svaret oändligt många, vilket visas lätt. För n 3 är svaret nej. Detta senare fall har trotsat matematikernas ansträngningar i över 350 år. Det är Fermats “stora sats”, Pierre de Fermat (1601-1665), som bevisades 1995 av Andrew Wiles (1953-). Detta bevis är mycket långt och kräver en hel driva med modern avancerad teori.

Vi ska ge några exempel på bevis av satser eller lite mindre anspråkslösa påståenden.

Sats: Om a och b är icke-negativa tal så gäller för det aritmetiska medelvärdet ^{a b}₂ och det geometriska medelvärdet ab att ab ^{a b}₂ .

Bevis: Eftersom a och b är icke-negativa kan vi bilda a och b och utnyttja att kvadraten på ett reellt tal är icke-negativt

 a b ² 0 a 2 a b b 0 ab ^{a b}₂ . Färdig! Första olikheten visar att vi har likhet endast då a b.

Påstående: Kvadraten på ett jämnt tal är jämnt och kvadraten på ett udda tal är udda.

Bevis: Eftersom ett jämnt tal n kan skrivas n 2k för något k får vi n² 2k² 4k² 2 2k² 2m för något m .

Alltså gäller första delen av påståendet. Nu över till ett udda tal n som kan skrivas n 2k 1 för något k . Vi får n² 2k 1² 4k² 2 2k 1² 22k² 2k 1 2m 1 för något m .

Alltså gäller även andra delen av påståendet och vi är färdiga.

Påståendet i en sats handlar inte alltid om en likhet eller relation. Ibland uttalar satsen att ett visst matematiskt objekt har en bestämd egenskap. Det kan då hända att beviset är av det slag som man kallar indirekt bevis eller ett motsägelsebevis. Man visar därvid att om objektet inte har den angivna egenskapen så blir konsekvensen en motsägelse. Av detta drar man slutsatsen att egenskapen i fråga faktiskt måste föreligga.

Vi skall använda detta på en klassisk problemställning, som bekymrade grekiska matematiker redan på 400-talet f.Kr. Frågan kan med modern terminologi ställas så här: om x är mätetalet för diagonalen i en kvadrat med sidan 1, är då x ett rationellt tal? Enligt Pytagoras' sats gäller att x 1² 1² 2 . Frågan är därför huruvida 2 är ett rationellt tal eller inte. Att visa att ett tal är irrationellt eller ej bjuder ofta på rejält motstånd men i detta speciella fall är det tämligen enkelt och svaret ges av följande påstående.

Påstående: Talet 2 är irrationellt.

Bevis: Antag att 2 vore ett rationellt tal. Det skulle då ha formen 2 ^p_q där p och q är hela tal och q 0. Vi kan dessutom förutsätta att bråket _q^p är förkortat så långt det går, det vill säga att p och q saknar gemensamma faktorer förutom 1. Genom kvadrering erhålles

2 ^p_q 2 ^p2

q² 2q² p²

Detta visar att p² är ett jämnt tal. Eftersom kvadraten på ett udda tal alltid är udda måste därför även p vara ett jämnt tal. Det har alltså formen p 2n för något heltal n. Sätter vi in detta får vi att

2q² 2n² 2q² 4n² q² 2n²

Men här avläser vi som ovan att q² är jämnt och därmed även q jämnt. Då nu både p och q är jämna har de den gemensamma faktorn 2. Detta strider mot vårt antagande att ^p_q är fullständigt förkortat. Vi har fått en motsägelse. Alltså kan 2 inte vara ett rationellt tal, med andra ord är 2 irrationellt och beviset är klart!

Påstående: Visa att 9ⁿ 8n 1 är delbart med 64 för varje heltal n 1, 2, 3, . Bevis: Innan vi går igång på allvar stärker vi oss med en numerisk prövning.

n,

9ⁿ 8 n 1

64  . n Range 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 11 102 922 8303 74 733 672 604 6 053 444 54 481 005 490 329 055 4 412 961 506 39 716 653 566

Ser ju lovande ut men som bevis räcker det inte med att prova aldrig så många n. För denna typ av påstående när något ska visas för n 1, 2, är det vanligt att göra ett så kallat induktionsbevis. Jämför dominobrickor “Faller den första, faller alla!” eller “Det borde vara förbjudet att arbeta dag efter ledig dag!” Beviset genomförs i 3 steg.

1. Visa först att påståendet är sant för det första n:et i följden. Alltså n 1 9¹ 8 1 1 9 8 1 0 vilket är delbart med 64.

2. Visa sedan attomdet är sant för nsåär det sant även för n 1. Vi får

9^{n 1} 8 n 1 1 Potenslag Hyfsa

9ⁿ 9 8n 9 Om 9ⁿ 8n 1 delbart med 64,

så k så att 9ⁿ 8n 1 64k.

64k 8n 1 9 8n 9 Hyfsa

64k 9 64n 64 9k n Vilket uppenbarligen är delbart med 64.

3. Så påståendet är sant för alla n. Färdig n 1 n 2 n 3

1 2 3 ∫ n n+1