Från konkret till abstrakt

Examensarbete

Från konkret till abstrakt

En kvalitativ studie om elevers svårigheter i arbete

med ekvationer

Författare: Esin Demir, Matilda

Torrång & Emelie Isenberg

Handledare: Oduor Olande Examinator: Hanna Palmér Termin: VT19

Abstrakt

Den här studien är en kvalitativ empirisk studie med inriktning på årskurs 1 - 3. Studien syftar till att kartlägga elevers förståelse samt svårigheter inom ekvationer. För att besvara studiens syfte och frågeställningar genomfördes en intervention samt observationer och intervjuer. Den insamlade empirin analyserades utifrån Heddens utvecklingsstadier. Studiens resultat visar att de flesta elever befann sig på ett abstrakt stadie samt att elever främst har svårigheter med likhetstecknets betydelse.

Nyckelord

Abstrakt, ekvationer, Heddens teori, konkret, semi-abstrakt, semi-konkret

Tack

Innehåll

1 Inledning ... 3

2 Syfte och frågeställningar ... 4

2.1 Syfte ... 4

2.2 Frågeställningar ... 4

3 Teoretisk utgångspunkt ... 5

3.1 Heddens teori ... 5

4 Litteraturbakgrund ... 6

4.1 Svårigheter med ekvationer ... 6

5 Metodologiska överväganden ... 8

5.1 Val av Forskningsansats ... 8

5.2 Urval ... 8

5.3 Studiens design ... 8

5.3.1 Förberedelse för insamlande av empiri ... 8

5.3.2 Uppgifter ... 8

5. 3. 3 Insamlingsmetod –observationer ... 11

5.3.4 Intervjuer ... 11

5.4 Genomförande ... 12

5.5 Analysmetod ... 12

5.6 Tillförlitlighet och trovärdighet ... 12

5.7 Etiska överväganden ... 13

6 Resultat och analys ... 14

6.1 Resultat ... 14

6.2 Analys ... 17

6.2.1 Hur ser elevers förståelse av ekvationer ut i årskurs 2? ... 17

6.2.2 Vilka svårigheter stöter eleverna på med ekvationer? ... 18

7 Diskussion ... 20

7.1 Metoddiskussion ... 20

7.2 Resultatdiskussion ... 20

7.3 Resultatet i förhållande till tidigare forskning och teori ... 21

7.4 Betydelse för verksamheten ... 21

8 Fortsatt forskning ... 23

9 Referenser ... 24

Bilagor ... 26

Bilaga 1 - Missivbrev ... 26

Bilaga 2 - Diagnostiskt test ... 28

Bilaga 3 - Observationsschema ... 34

1 Inledning

Ett centralt innehåll i kursplanen i matematik (Skolverket, 2018) är algebra. I kunskapskraven för årskurs tre i matematik står det att elever ska kunna hantera likhetstecknet på ett korrekt sätt och lösa enkla uppgifter där matematiska likheter är involverat (Skolverket, 2018). Det innebär att elever ska kunna lösa uppgifter som till exempel öppna utsagor. I kunskapskraven står även att elever ska förstå matematiska begrepp och kunna beskriva egenskaperna med hjälp av konkret material, bilder och symboler (Skolverket, 2018).

Under praktiken i lärarutbildningen har det observerats att elever arbetar mycket med laborativt material i form av bland annat klossar, när förståelsen för olika uppgifter brister hos eleven. Det har dessutom observerats att elever har svårt att förstå uppgifter med okända symboler som öppna utsagor, x och andra symboler för okända tal. I självständigt arbete 1 genomfördes en systematisk litteraturstudie om svårigheter inom området ekvationer (Demir, Torrång & Isenberg, 2019). Fokus för studien var då att synliggöra vilka svårigheter elever vanligen upplever vid arbete med ekvationer, men även var i arbetet med ekvationer elever stöter på eventuella svårigheter. Studiens resultat visade att elever behöver aritmetiska förkunskaper och förståelse av symboler. Studien visade också att elever behöver förstå de matematiska begreppen inom algebra med fokus på ekvationer, för att kunna förstå och utveckla sina kunskaper. Vidare visade studien att en svårighet som elever vanligen stötte på var likhetstecknets betydelse. Till exempel trodde elever att de var tvungna att hitta ett svar om likhetstecknet var involverat, de hade svårt att förstå begreppet likvärdighet. Enligt Driver och Powells (2015) studie var det lättare för elever att lösa ekvationer med bilder än med symboler.

2

Syfte och frågeställningar

2.1 Syfte

Studien syftar till att undersöka elevers förståelse för ekvationer samt de eventuella svårigheter som elever stöter på i arbetet med ekvationer.

2.2 Frågeställningar

• Hur ser elevers förståelse av ekvationer ut i årskurs 2?

• Vilka svårigheter stöter elever på vid arbete med ekvationer?

3

Teoretisk utgångspunkt

I det här avsnittet presenteras studiens valda teori - Heddens (1986). De fyra utvecklingsstadierna som ingår i teorin förklaras. Utifrån teorin analyseras sedan resultatet.

3.1 Heddens teori

Heddens (1986) teori bygger på att elever behöver ta sig från ett konkret till ett abstrakt arbetssätt för att kunna utvecklas kognitivt och behärska matematiken. Genom att ta sig genom de fyra stadierna utvecklas elevers matematiska förståelse. De fyra stadier som Heddens (1986) lyfter att elever måste gå genom är det konkreta, konkreta,

semi-abstrakta och semi-abstrakta stadiet. För varje stadie möter elever en ny representationsform

där det sker en progression av det abstrakta i uppgifterna. Heddens belyser vikten av att elever har full förståelse för den representation som behandlas på respektive stadie för att kunna ta sig vidare till nästa stadie.

Heddens (1986) skriver att elever riskerar att hamna i “the gap” mellan det konkreta och det abstrakta stadiet, om de inte befäster matematiska kunskaper och skapar en djupare förståelse. Det kan enligt Heddens undvikas genom att lägga till ett semi-konkret och ett semi-abstrakt stadie mellan det konkreta och det abstrakta stadiet. För att befästa och behärska kunskaperna på varje nivå skriver Heddens (1986) att elever bör ta sig igenom de fyra stadierna för att i större grad kunna assimilera nya representationsformer.

Konkreta stadiet

I det konkreta stadiet använder elever fysiskt material. Genom att använda sig av fysiskt material kan elever skapa en inre bild som de sedan kan koppla ihop med representationer de möter i de andra stadierna.

Semi-konkreta stadiet

I det semi-konkreta stadiet byts det fysiska materialet till bilder på materialet. Om elever i det konkreta stadiet har arbetat med klossar, arbetar de nu med bilder på klossar för att lösa operationer.

Semi-abstrakta stadiet

I det semi-abstrakta stadiet arbetar elever med symboliska och visuella representationsformer som exempelvis streck eller prickar istället för klossar. Representationsformerna har ingen direkt koppling till det konkreta material som elever är

bekanta med.

Abstrakta stadiet

4 Litteraturbakgrund

I avsnittet nedan beskrivs tidigare forskning inom ämnet. Avsnittet är en sammanfattning av den systematiska litteraturstudie som genomfördes i självständigt arbete 1 (Demir, Torrång & Isenberg, 2019).

4.1 Svårigheter med ekvationer

McNeil och Alibali (2004) skriver att en svårighet vid elevers arbete med ekvationer kan vara att de tillämpar fel strategi. Till exempel kan elever tillämpa en strategi som inte fungerar vid mer avancerade uppgifter. Om eleven använder sig av fel strategi från början, kan det bli svårare för eleven att lära om eller lära sig ytterligare en strategi. Pillay, Wilss och Boulton-Lewis (1998) skriver att mellan algebra och aritmetik kan det uppkomma en svårighet, eftersom aritmetiken fokuserar på antal medan algebra fokuserar på okända värden och likhetstecknets betydelse. Powell, Kearns och Driver (2016) skriver att pre-algebra kan vara en bra grund för elevers pre-algebraiska tänkande samt att det kan vara en länk mellan aritmetik och algebra.

En svårighet kan vara att elever inte har en korrekt förståelse för likhetstecknet (Baroody & Ginsburg, 1983). Bland annat förstår inte vissa elever att likhetstecknet betyder att det ska vara en balans mellan vänster- och högerledet, det vill säga att antalet eller ”summan” ska vara samma på båda sidor av likhetstecknet (Ngu & Phan, 2015). Istället opererar elever i vänsterledet och glömmer bort att det även ska stämma överens med högerledet (Knuth, Stephens, McNeil & Martha, 2006).

Andra svårigheter är att elever inte förstår olika symboler för ett okänt tal samt att de har otillräckliga förkunskaper. Elever behöver ha en symbolisk känsla, det vill säga förstå att till exempel x har ett värde som kan variera (Vincent, Bardini, Pierce & Pearn, 2015). Hargreaves, Shorrocks-Taylor och Threlfall (1998) skriver att grundläggande aritmetik samt förståelse för mönster är viktigt för att kunna lösa ekvationer. Dessutom lyfter Warren (2005) att elever kan utveckla abstrakt tänkande av att arbeta med mönster. Vidare hävdar Lee, Ng Bull, Pe och Ho (2011) att elever som uppvisar svårigheter inom algebra även har svårigheter med mönster. Därför kan det bli en svårighet om elever har bristande eller otillräckliga kunskaper inom algebra. Dessutom har det visat sig att elever har lättare att lösa ekvationer med bilder än med symboler (Driver och Powells (2015). Forskningen har även visat att det är bra med icke-standardiserade uppgifter, där det okända kan stå i vänsterledet (MacGregor & Stacey, 1999).

McNeil och Alibali (2005) skriver att elevers svårigheter kan bero på att de ännu inte har ett fullt utvecklat minnessystem. De skriver också att svårigheterna kan bero på att elever saknar grundläggande kunskaper vid aritmetiska operationer. Enligt Alibali, Stephens, Brown, Kao och Nathan (2014) är det viktigt att förstå symbolers betydelse. Det finns olika beteckningar för ett okänt tal och författarna lyfter att det är viktigt att elever får möjlighet att arbeta med symboler. På så sätt kan elever få en djupare förståelse och undvika att hamna i svårigheter.

5 Metodologiska överväganden

I metodavsnittet presenteras de valda metoderna som ämnar att synliggöra elevers förståelse kring algebra och ekvationer. De valda metoderna är: intervjuer med elever, strukturerad observation samt data insamlat genom ett arbetsblad. Först presenteras val av forskningsansats och urval av deltagande elever. Därefter beskrivs genomförandet av studien där förberedelse, insamlingsmetod, urval av uppgifter och genomförande ingår. I metodavsnittets slutliga rubriker framställs analys av empirin, analysmetod, tillförlitlighet och trovärdighet samt etiska aspekter.

5.1 Val av Forskningsansats

Den här studien går från teori till empiri. Det innebär att sökandet av empiri styrs av teoretiska antaganden. Det gör att studien har en deduktiv ansats. Vidare skriver Emsheimer och Göhl (2014) att det kan ges en förståelse för en situation genom att en teori förankras i verkligheten. Den teori som valts för den här studien är Heddens (1986) teori, där uppgifterna är utformade efter hans olika stadier från konkret till abstrakt.

5.2 Urval

Studien genomfördes på en skola där tre klasser i årskurs 2 deltog. Urvalet av skola var ett bekvämlighetsurval. Denscombe (2018) förklarar att bekvämlighetsurval bygger på forskarens bekvämlighet. Skolan valdes för att kunna få en bredd på deltagare bland elever eftersom det finns tre klasser i årskurs två. I varje klass är det 19 - 20 elever och totalt deltog 40 elever i studien.

5.3 Studiens design

Nedan beskrivs förberedelsen av empiri, urval av uppgifter och till sist studiens genomförande. I förberedelsen av empiri förklaras missivbrevet som skickades ut till elever och vårdnadshavare. Under urval av uppgifter beskrivs varje uppgift i arbetsbladet djupare och val av uppgifter förklaras. Slutligen sker en presentation av hur arbetsbladet genomfördes.

5.3.1 Förberedelse för insamlande av empiri

För att samla in empiri till studien krävdes ett godkännande från elever och vårdnadshavare. Ett missivbrev (se bilaga 1) skickades ut, där eleverna fick välja om de ville delta och där de även fick skriva under. Missivbrevet skickades ut för att studien skulle förhålla sig till de forskningsetiska principerna (Vetenskapsrådet, 2017).

5.3.2 Uppgifter

Arbetsbladet konstruerades för att undersöka elevers kunskaper kring ekvationer, från en konkret till en abstrakt nivå. Arbetsbladet är uppbyggt med uppgifter som går från det konkreta till det abstrakta stadiet. Arbetsbladet är uppbyggt för att följa Heddens (1986) fyra stadier, där det poängteras att elever måste ta sig genom varje stadie för att få kunskap om hur de ska arbeta i det abstrakta stadiet. Genom att ha uppgifter med de fyra stadierna kan elevers svårigheter synliggöras och det blir tydligare vilka representationsformer som blir problematiska för eleverna. Till en början var det tänkt att arbetsbladet skulle vara ett test, men ändrades sedan till ett arbetsblad. Tanken var att eleverna inte skulle bli stressade av att det var “ett test” samt att forskarna till studien skulle kunna hjälpa elever vid behov. Eftersom fokus i studien inte låg på elevers läsförståelse utan på deras matematiska kunskaper fick de elever, som var i behov av det, uppgifterna lästa för sig. De elever som inte hade förstått uppgifterna blev till en början ombedda att läsa uppgiften för en av forskarna. Därefter fick eleverna öppna frågor, till exempel ”vad får du veta i uppgiften?”, ”hur många streck har du?”, ”hur kan du få fram svaret?”. Arbetsbladet består av tre återkommande uppgifter med olika representationssätt, beroende på vilken av Heddens (1986) fyra stadier de representerar. Att ha samma tre uppgifter valdes för att tydligare se vilken representationsform elever hade svårigheter med.

I de tre första uppgifterna fick elever arbeta med fysiskt material i form av plockisar på ett papper med ett streck i mitten (se bild 1). Plockisar är ett material som eleverna har arbetat med tidigare under matematiklektionerna, därför var det lämpligt att använda samma fysiska material till de konkreta uppgifterna i arbetsbladet. Eleverna hade tillgång till det fysiska materialet under hela lektionstillfället. Uppgifterna presenterades i skrift i arbetsbladet (se bild 2). För att uppgifterna ska vara konkreta skriver Heddens (1986) att de inte ska stå i text. För att kunna genomföra undersökningen där elevers sätt att lösa uppgifter skulle synliggöras behövde de tre uppgifterna stå i text. Därför är uppgifterna konstruerade på ett konkret sätt, i den utsträckning det är möjligt. Om elever har använt det fysiska materialet har de använt ett konkret representationssätt.

Bild 2: Uppgift 1, konkret uppgift.

De nästkommande tre uppgifterna var kopplade till det semi-konkreta stadiet. I det stadiet fick elever möta en representationsform föreställande klossar, blommor och kronor istället för det fysiska materialet plockisar. Enligt Heddens (1986) innebär det semi-konkreta stadiet att elever arbetar med visuella bilder, som är elevnära kopplat till verkliga föremål. Valet av olika motiv grundades på att se om elever förstod uppgifterna trots en förändring av

representationerna. I uppgiften ska elever rita antalet klossar som saknas för att likheten ska stämma (se bild 3). Om elever har ritat klossar har de använt ett semi-konkret

representationssätt. MacGregor & Stacey (1999) lyfter att icke-standardiserade uppgifter, där det okända står i vänsterledet, kan vara bra för elevers matematiska utveckling. Det har tagits i åtanke av författarna vid utformningen av arbetsbladet.

Bild 3: Uppgift 4, semi-konkret uppgift.

Bild 4: Uppgift 7, semi-abstrakt uppgift.

I det sista stadiet, det abstrakta stadiet, arbetade elever med abstrakta representationsformer som siffror och variabler. Uppgifterna innehöll bland annat “x“ och “y” (se bild 5). I det abstrakta stadiet behövde elever förstå vad variablerna betydde utan att använda sig av de tidigare stadierna (Heddens 1986). Valet att använda samma uppgifter till de olika stadierna grundade sig i att se om elever hade förståelse för uppgifter med olika beteckningar för ett okänt tal. Om eleverna hade svarat med siffror hade de använt ett abstrakt arbetssätt.

Bild 5: Uppgift 12a, abstrakt uppgift. 5. 3. 3 Insamlingsmetod –observationer

Observationer är en grundläggande metod för datainsamling och innebär att studera människor och deras sätt att bete sig i olika situationer (Jacobsen, 2017).

I studien användes mixades strukturerad observation med deltagande observation.

I en strukturerad observation deltar inte forskaren i situationen utan studerar situationer där deltagarna, i detta fall elever, utför handlingar. När det är flera forskare med i observationen är det viktigt att ha ett observationsschema (Denscombe 2018). Ett observationsschema kan innehålla kategorier, ofta i form av en checklista för att alla observatörer ska vara uppmärksamma på samma saker. Denscombe (2018) förtydligar dock att det inte innebär att all data som observatörerna samlar in är enhetliga och överensstämmande. Utifrån Denscombe (2018) utformades ett observationsschema (se bilaga 3). Det gjordes för att samtliga forskare i studien skulle observera samma sak och för att insamlingen skulle vara enhetlig. En deltagande observation innebär att forskarna deltar i situationen. I denna studie deltog forskarna genom att hjälpa elever vid behov. Från den strukturerade observationen valdes det att göra ett observationsschema för att alla forskare skulle observera samma saker.

Vid genomförandet av observationerna i de två första klasserna var alla tre författarna närvarande för att kunna observera och hjälpa eleverna med arbetsbladet. De tre författarna valde att delade upp klassen mellan sig, för att få en större möjlighet att få syn på saker som skedde under själva genomförandet. Vid genomförandet i den tredje klassen utfördes studien i två halvklasser, det medförde att alla författare inte behövde vara med samtidigt.

5.3.4 Intervjuer

Efter att observationen och arbetsbladen genomförts, granskats och rättats valdes totalt sex elever ut för att intervjuas. För att kunna få en bra översikt över resultatet valdes två elever ut som hade höga resultat, två som låg på medel och två som hade fått lågt resultat. Genom att intervjua elever fick studiens författare en tydligare bild över hur elever hade tänkt när de löste uppgifterna och även vilka uppgifter som ansågs vara enklast respektive svårast.

5.4 Genomförande

Arbetsbladet och observationerna genomfördes i tre olika klassrum i elevers naturliga miljö. Samtliga observationer genomfördes på förmiddagen. Innan insamlingen av empirin påbörjades blev elever informerade om syftet med arbetsbladet och fick även veta att de skulle bli observerade under tiden som de löste uppgifterna. Elever fick en genomgång av hur många uppgifter det var i arbetsbladet, hur de skulle använda det laborativa materialet i de tre första uppgifterna samt att de skulle fråga om hjälp om de tyckte att en uppgift var svår. När elever fått all information delades arbetsbladet och det laborativa materialet plockisar ut. Under tiden som elever gjorde arbetsbladet observerade forskarna till studien hur de gick tillväga för att lösa uppgifterna. För att kunna observera på ett strukturerat sätt blev varje forskare tilldelad ett antal elever att fokusera på och under observationen fyllde forskarna i ett observationsschema (se bilaga 3). Syftet med observationen var att iaktta hur elever löste uppgifterna i Heddens (1986) fyra stadier och om elever hade svårt för en viss uppgift eller stadie.

5.5 Analysmetod

För att göra en analys av empirin, samlades arbetsbladet in efter genomförande. För att få en överblick över resultatet på arbetsbladet användes en tabell, där resultatet från varje elev fylldes i. Observationerna användes för att få en djupare analys och en tydligare bild av hur elever löste uppgifterna. Slutligen genomfördes intervjuer med sex elever för att få en ytterligare fördjupning och förståelse. Efter att intervjuerna genomförts transkriberades dem.

Den data som samlas in analyseras utifrån Heddens (1986) kognitiva teori, som går från det konkreta till det abstrakta. Datan kategoriseras in i de fyra stadierna: konkret, semi-konkret, semi-abstrakt och abstrakt. Detta för att kartlägga elevernas kognitiva förmåga kring algebra.

5.6 Tillförlitlighet och trovärdighet

Studien är trovärdig eftersom alla elever fick samma arbetsblad och författarna till studien observerade samma saker. Efter genomförandet av arbetsbladet i varje klass granskades schemana, för att se att författarna uppfattat frågorna/observationen likadant, för att ytterligare stärka studiens trovärdighet. Innehållet från arbetsbladet, besvarar studiens syfte och frågeställningar och är därför nödvändigt för studien.

Vid insamlingen av studiens empiri hjälptes alla tre författarna åt för att kunna observera, intervjua och hjälpa elever med arbetsbladet, eftersom detta gav större möjlighet att få syn på fler saker som skedde under genomförandet. Ytterligare en faktor som säkerställt studiens trovärdighet, är att de fyra forskningsetiska principerna tagits i beaktandet. Dessa beskrivs i nästa del av metoden.

Studien hade varit mer trovärdig om alla elever hade fått lika mycket hjälp. Nu blev inte studien lika trovärdig eftersom eleverna fick olika mycket hjälp. Det bidrog till att vissa elever fick fler rätt på arbetsbladet än om de inte hade fått hjälp.

5.7 Etiska överväganden

Den här studien har tagit hänsyn till Vetenskapsrådets (2017) fyra forskningsetiska principer. De fyra principerna som en forskare måste ta i beaktning är: informationskravet,

samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.

Genom att ett missivbrev skickades ut blev elever och vårdnadshavare informerade om studien samt vilka uppgifter och rättigheter som deltagarna har (se bilaga 1). Eleverna fick bland annat informationen om att det var frivilligt att delta i studiens undersökning och att de hade rätt till att avbryta sin medverkan. Detta gjordes för att uppnå informationskravet

och samtyckeskravet. I studien hanteras deltagarnas information med sekretess för att

6 Resultat och analys

I det här avsnittet presenteras studiens resultat. Kapitlet inleder med en tabell där det totala resultatet på arbetsbladen redovisas.

I resultatet presenteras dessutom resultat från intervjuerna. Avslutningsvis analyseras resultatet utifrån Heddens (1986) teori.

6.1 Resultat

Figur 1: Resultat från samtliga tre klasser, totalt 40 deltagande elever

I tabellen ovan syns det totala resultatet av arbetsbladet. För att representera alla Heddens (1986) stadier valdes fyra uppgifter ut för att granskas, analyseras och diskuteras. Uppgift 1, 4 och 7 valdes för att kunna analysera samma uppgift i olika stadier. Uppgift 12a valdes för att eleverna inte tidigare arbetat med variabler och att det därför var intressant att analsyera hur de löste en uppgift med både x och y.

Uppgift 1 (Konkreta stadiet)

Bild 6: Exempel på elevlösning av uppgift 1.

Uppgift 4 (Semi-konkreta stadiet)

Fyra elever frågade om hjälp med uppgiften, de ville få uppgiften förklarad för sig och undrade om det skulle vara lika många klossar på båda sidorna och om de skulle rita klossar. De frågade även vad ordet ”likhetstecknet” betydde. De flesta eleverna löste uppgiften genom att räkna klossarna på den högra sidan för att se hur många som fattades på vänstra sidan. De beräknade uppgiften genom att de ritade klossar eller skrev en siffra. Ett citat från en av de intervjuade eleverna var: Jag tänkte att man antingen kunde lösa med

klossar, eller så visste jag inte om man skulle göra en siffra bara. Några elever skrev på

uppgiften att det skulle läggas till sju klossar för att likheten skulle stämma (se bild 7). Några elever ritade fyra klossar, men svarade sju (se bild 8). Under en av intervjuerna framkom det att en elev räknade fel på antal klossar, men tänkte rätt på uppgiften.

Bild 7: Exempel på elevlösning av uppgift 4.

Uppgift 7 (Semi-abstrakta stadiet)

De flesta eleverna löste uppgiften genom att de räknade strecken för att se hur många som fattades på vänstra sidan. Ett antal elever ritade fyra streck i uppgiften men svarade sju streck (se bild 9). Några elever ritade även antingen två eller tre streck utan att ange något svar. En annan lösning var att elever svarade att det skulle läggas till fem streck för att likheten skulle stämma (se bild 10). Andra elever ritade sju streck, och svarade sju (se bild 11). När en av de intervjuade eleverna fick frågan om hur hen hade löst uppgift sju blev svaret: Hur många streck… vänta ja tre stycken. Jag vet vad det är nu, tio. Eleven adderade de tre strecken i det vänstra ledet med de sju strecken i det högra ledet.

Bild 9: Exempel på elevlösning av uppgift 7.

Bild 10: Exempel på elevlösning av uppgift 7.

Bild 11: Exempel på elevlösning av uppgift 7.

Uppgift 12a (Abstrakta stadiet)

Några elever ville ha hjälp med att förstå frågan eller förstå vad x betydde. Eleverna löste uppgiften genom att de delade upp 8 i två lika stora delar. Därefter använde de den informationen för att kunna lösa vad y var. Majoriteten av de elever som svarade fel gav inte ett fullständigt svar på uppgiften (se bild 12). Dessa elever har enbart angivit vad antingen x eller y är. En del elever svarade två, fyra och åtta, utan att ange vilken variabel de syftade på. Ett annat vanligt fel var att elever skrev svar utan att ange vilket tal som var x respektive y (se bild 13). Två elever svarade inte alls på frågan. Eleverna hade svårt att förstå variabler vilket synliggjordes under en intervju där en elev sa: Det var svårt att lista

Bild 13: Exempel på elevlösning av uppgift 12a.

6.2 Analys

I följande avsnitt analyseras resultatet i förhållande till Heddens (1986) teori. Det innebär att resultatet klassificeras i Heddens olika stadier: konkreta, semi-konkreta, semi-abstrakta samt det abstrakta stadiet. I detta avsnitt besvaras även frågeställningarna för studien som syftar till att undersöka elevernas förståelse samt svårigheter i förståelsen kring algebra.

6.2.1 Hur ser elevers förståelse av ekvationer ut i årskurs 2?

Eleverna hade aritmetiska förkunskaper. De hade tidigare arbetat med likhetstecknet, laborativt material och abstrakta uppgifter. Heddens (1986) skriver att elever på individnivå måste ta sig igenom alla fyra stadier. När testet genomfördes kan eleverna ha varit på olika stadier, beroende på vilka representationsformer läraren tidigare har arbetat med under matematiklektionerna samt elevernas individuella förståelse.

Konkreta stadiet

De tre första uppgifterna i arbetsbladet utformades efter Heddens (1986) första stadie, det konkreta stadiet. Samtliga elever hade tillgång till det fysiska materialet. Utifrån resultatet på arbetsbladet visade det att många elever hade lätt för att lösa uppgifterna med det fysiska materialet. Eleverna använde det fysiska materialet men flera skrev också abstrakta matematiska symboler. Det kan tolkas som att samtliga elever behärskar det abstrakta stadiet eftersom de antingen använde sig av det laborativa materialet eller en abstrakt representationsform.

Semi-konkreta stadiet

I det andra av Heddens (1986) stadie, det semi-konkreta stadiet, användes bilder på vanligt förekommande föremål för att hjälpa eleverna att lösa uppgifterna. Ett flertal elever ritade klossar när de arbetade med uppgifterna. Dessutom använde sig många elever av mer abstrakta metoder som att skriva siffror. Det kan tyda på att denna övergång mellan det konkreta och det semi-konkreta stadiet inte var nödvändig för dessa elever. Det observerades att eleverna kände igen symbolen ”=”, men inte hade förståelse för likhetstecknets betydelse.

Semi-abstrakta stadiet

arbeta med matematik på ett semi-abstrakt stadie kan det bidra till svårigheter med att lösa uppgifter, eftersom elever eventuellt kan uppleva uppgifterna som obekanta eller okända.

Abstrakta stadiet

I det abstrakta stadiet utformades uppgifterna abstrakt med siffror och variabler och eleverna använde siffror för att lösa uppgifterna. Eleverna använde sig enbart av dessa abstrakta representationer för att lösa uppgifterna. Det visade på att eleverna behärskade det abstrakta stadiet.

6.2.2Vilka svårigheter stöter eleverna på med ekvationer? Konkreta stadiet

Elevers svårigheter i det konkreta stadiet handlade om att elever angivit ett felaktigt svar som 3+2=7 samt 4+7= 7. Det kan enligt McNeil och Alibali (2005) samt Hinton mfl. (2015) berott på vikten av att eleverna har förståelse för antalsuppfattning. Att eleverna hade saknad antalsuppfattning kan vara ytterligare en faktor till att de angav ett felaktigt svar. Det kan även berott på att elever saknade grundläggande aritmetiska kunskaper. Dessutom kan det berott på att eleverna inte har förståelse för likhetstecknet (Baroody & Ginsburg, 1983).

Hargreaves mfl. (1998) beskriver aritmetik som en viktig grund för algebra. Det syntes bland annat genom att eleverna hade antalsuppfattning. Däremot kunde elever som frågade om de räknat rätt ha en bristande aritmetisk förmåga eftersom de inte hade förmågan att kontrollera sina svar.

Semi-konkreta

När eleverna arbetade med icke-standardiserade uppgifter, visade resultatet att elevers svårigheter med uppgifterna var att de trodde att det var själva “svaret” som var i fokus (Knuth mfl, 2006). Ett exempel var uppgift 4 där en elev ritat 4 i uträkningen och svarat 7 (se bild 14). Eleverna fokuserade på “svaret” 7 i högerledet istället för att lägga vikt vid siffrorna i vänsterledet.

Bild 14: Exempel på elevlösning av uppgift 4. Semi-abstrakta

på att de tänkt att svaret stått i högerledet (Knuth mfl, 2006).

Bild 15: Exempel på elevlösning av uppgift 7. Abstrakta stadiet

7 Diskussion

I detta avsnitt diskuteras inledningsvis metoden följt av en resultatdiskussion samt vad arbetet har för betydelse för verksamheten.

7.1 Metoddiskussion

All empiri till studien samlades in på förmiddagen under två dagar. Det gjorde studien mer tillförlitlig eftersom eleverna fick liknande förutsättningar att lösa uppgifterna och observeras.

Efter att första observationen genomförts kom författarna fram till lösningar för att tydligare kunna anteckna i observationsschemat. En kategori var till exempel: “Vilka uppgifter behöver elever hjälp med?”, där skrevs uppgifternas nummer upp för att enklare kunna anteckna vilka uppgifter elever behövde hjälp med.

De flesta av uppgifterna i arbetsbladet fyllde det tänkta syftet i studien. Däremot kunde några uppgifter omformulerats och förtydligats. Exempelvis genom att formulera om texten eller konstruera om uppgiften.

Eftersom vissa elever frågade om hjälp har det lett till att elevernas resultat och studiens trovärdighet har påverkats. En annan faktor kan vara att vissa elever hade svårigheter med det svenska språket, det gjorde att de inte förstod uppgifterna.

7.2 Resultatdiskussion

Syftet med studien har varit att undersöka elevers förståelse av ekvationer samt vilka svårigheter de stöter på med ekvationer. Studien har utgått från Heddens (1986) teori med fyra olika stadier. Överlag klarade de flesta eleverna av uppgifterna i de olika stadierna. Däremot fanns det ett antal faktorer som påverkade eleverna. Enligt Baroody och Ginsburg (1983), Knuth mfl, (2006) och Ngu och Phan, (2015) kan likhetstecknet vara en faktor som påverkar elevers förståelse. Eftersom de flesta hade ett bra resultat på testet tyder det på att de flesta elever hade en god förståelse för likhetstecknet på alla stadier.

Litteraturbakgrunden visar att elever har svårigheter med likhetstecknet, förkunskaper och okända symboler. Dessa svårigheter påträffats även i den här studien, genom att resultatet visar att elever inte förstår vad x och y står för, likhetstecknets betydelse samt elevers förkunskaper i form av aritmetiska kunskaper.

I inledningen nämndes kunskapskraven för årskurs 3 i matematik. För att klara kunskapskraven i årskurs tre ska eleverna hantera likhetstecknet på ett korrekt sätt och kunna lösa enkla ekvationer, till exempel öppna utsagor (Skolverket, 2018). Utifrån resultatet framgår det att vissa elever hade god förståelse för likhetstecknet och kunde lösa öppna utsagor, däremot var den en svårighet för vissa elever. I kunskapskraven står det även att elever ska förstå matematiska begrepp och kunna beskriva egenskaperna med konkret material, bilder och symboler (Skolverket, 2018). Detta var något eleverna fick arbeta med i arbetsbladet. Eleverna fick bland annat möta matematiska begrepp som likhetstecknet och variablerna x och y. I arbetsbladet fick eleverna även arbeta konkret genom att använda plockisar och de fick ta del av både symboler och bilder genom det semi-konkreta och semi-abstrakta stadiet.

7.3 Resultatet i förhållande till tidigare forskning och teori

Efter genomförandet av den empiriska studien konstaterades det att resultatet skiljde sig från litteraturen om Heddens (1986) teori. Teorin skrev att elever behövde ta sig igenom varje stadie för att kunna utveckla en förståelse för det abstrakta arbetssättet. Däremot observerades det att många elever klarade av att arbeta på en abstrakt plan, trots att de inte hade arbetat med det semi-konkreta och semi-abstrakta stadierna. Det kan berott på att de hade goda aritmetiska förkunskaper. En slutsats som kunde dras var att alla elever inte behövde ta sig igenom samtliga stadier, men att vissa elever behövde arbeta mer med de olika stadierna innan de blev introducerade för variabler och symboler. Det kan även vara viktigt att läraren går igenom variabler och drar likheter med arbetssätt som eleverna arbetat med tidigare, för att de ska få en större förståelse. De svårigheter som litteraturen beskrivit att elever vanligtvis har, stämmer med det som observerades i den empiriska studien. Elevers svårigheter kan även berott på att uppgifterna blev för abstrakta och var på ett stadie som elever inte klarade av.

7.4 Betydelse för verksamheten

Från resultatet och litteraturbakgrunden har det visat sig att likhetstecknet haft en stor betydelse för att elever inte ska hamna i svårigheter. Om elever haft en full förståelse för likhetstecknet, blev det enklare för de att beräkna ekvationer. Därför är det viktigt som lärare att lära ut en korrekt betydelse av likhetstecknet, samt att ha i åtanke att det kan vara en svårighet. Det är viktigt att fortsätta arbeta med likhetstecknet även i högre åldrar eftersom det har visat sig att elever glömmer bort likhetstecknets betydelse (Knuth mfl, 2006).

Ytterligare en svårighet var att elever hade svårt för det semi-konkreta och semi-abstrakta stadiet. Det kan vara viktigt att använda sig mer av dessa stadier för att öka elevers förståelse. Det ger elever fler strategier för att lösa matematiska uppgifter. Dessutom kan ekvationer och operationer med okända tal upplevas som betydligt enklare om elever först fått arbeta med det konkreta för att därefter stegvis arbeta med det mer abstrakta.

8 Fortsatt forskning

Fortsatt forskning kring den här studien kan vara att undervisa eleverna inom ett nytt matematiskt område, till exempel geometeri utifrån Heddens teori.

Det kan även vara intressant att bredda forskningen kring hur mönster kan förebygga elevers svårigheter för ekvationer inom matematiken. Forskning kring mönster och hur arbete med mönster kan förebygga elevers svårigheter är något som denna studie inte täcker, men som tidigare forskning lyft.

9 Referenser

Alibali, M. W., Stephens, A. C., Brown, A. N., Kao, Y. S., & Nathan, M. J. (2014) Middle School Students' Conceptual Understanding of Equations: Evidence from Writing Story Problems. International Journal of Educational Psychology, 3(3), 235-264.

Allwood, Carl Martin & Erikson, Martin G. (2017). Grundläggande vetenskapsteori: för psykologi och andra beteendevetenskaper.

Baroody, J. & Ginsburg, H. P. (1983). The effects of instruction on children’s understanding of the equals sign. The Elementary School Journal, 84(2), 198–212. Denscombe, Martyn (2016). Forskningshandboken för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Johanneshov: MTM.

Driver, M. K. & Powell, S. R. (2015) Symbolic and Nonsymbolic Equivalence Tasks: The Influence of Symbols on Students with Mathematics Difficulty. Learning Disabilities Research & Practice, 30(3), 127-134.

Emsheimer, Peter & Göhl, Inger (2014). Handledning i lärarutbildning: att utforska undervisningssituationer. 3., [rev.] uppl. Lund: Studentlitteratur.

Hargreaves, M., Shorrocks-Taylor, D. & Threlfall, J. (1998). Children's Strategies with Number Patterns. Educational Studies, 24(3), 315-331. doi: 10.1080/0305569980240305 Heddens, J. (1986). Bridging the Gap between the Concrete and the Abstract. The Arithmetic Teacher, 33(6), 14-17.

Hinton, V., Stroizer, S & Flores, M. (2015) A Case Study in Using Explicit Instruction to Teach Young Children Counting Skills. Investigations in Mathematics Learning, 8(2), 37-54.

Knuth, E. J., Stephens, A. C., McNeil, N. M. & Martha W. (2006) Does Understanding the Equal Sign Matter? Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297-312. Lee, Kerry; Ng, Swee Fong; Bull, Rebecca; Pe, Madeline Lee; Ho, Ringo Ho Moon (2011). Are Patterns Important? An Investigation of the Relationships Between Proficiencies in Patterns, Computation, Executive Functioning, and Algebraic Word Problems, Journal of Educational Psychology, 103(2), 269 –281. doi: 10.1037/a0023068

MacGregor, M. & Stacey, K. (1999). A flying start to algebra. Teaching Children Mathematics, 6(2), 78–85.

McNeil, N. M. & Alibali, M. W. (2004) You'll See What You Mean: Students Encode Equations Based on Their Knowledge of Arithmetic. Cognitive Science, 28(3), 451-466. doi:10.1016/j.cogsci.2003.11.002

development, 76(4), 883-889. doi:10.1111/j.1467-8624.2005. 00884.x

Nationalencyklopedin, ekvation.

http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/ekvation (hämtad 2018-12-13).

Ngu, B. H., & Phan, H. P. (2015) Comparing Balance and Inverse Methods on Learning Conceptual and Procedural Knowledge in Equation Solving: A Cognitive Load Perspective. Pedagogies: An international Journal, 11(1), 63-83. doi:10.1080/1554480X.2015.1047836

Pillay, H., Wilss, L., & Boulton-Lewis, G. (1998). Sequential development of algebra knowledge: A cognitive analysis. Mathematics Education Research Journal, 10(2), 87– 102. http://dx.doi.org/10.1007/BF03217344

Powell, S. R., Kearns, D. M., & Driver, M. K. (2016) Exploring the Connection between Arithmetic and Prealgebraic Reasoning at First and Second Grade. Journal of Educational Psychology, 108(7), 943-959. doi:10.1037/edu0000112

Stacey, K. & MacGregor, M. (1997). Building foundations for algebra. Mathematics Teaching in the Middle School, 2(4), 252–260.

Sverige. Skolverket (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2018. Stockholm: Norstedts Juridik AB. Tillgänglig på Internet: http://www.skolverket.se/publikationer?id=3975

Vetenskapsrådet (2017). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet.

Vincent, J., Bardini, C., Pierce, R., & Pearn C. (2015). Misuse of the equals sign: An entrenched practice from early primary years to tertiary mathematics. Australian Senior Mathematics Journal, 29(2), 31 – 39. https://search-proquest-com.proxy.lnu.se/eric/docview/1826525007/5E53AFDCEBB842A4PQ/1?accountid=148 27

(Hämtad: 26-11- 2018).

Bilagor

Bilaga 1 - Missivbrev

Hej!

Vi heter Esin Demir, Matilda Torrång och Emelie Isenberg och vi läser sista terminen på grundlärarprogrammet med inriktning förskoleklass till årskurs 3 på Linnéuniversitetet i Kalmar. Den här terminen kommer vi att skriva vårt sista självständiga arbete inom matematik.

Arbetet handlar om vilka svårigheter elever upplever med ekvationer. Vi har som avsikt att undersöka elevers svårigheter inom ekvationer genom att genomföra ett test med eleverna. Under testets gång kommer vi att observera hur eleverna löser de olika uppgifterna. Efter testet kan även eventuella intervjuer förekomma. Resultatet från testet, observationerna och intervjuerna kommer att ligga till grund för studien. Vi ber om ert godkännande för att få använda testerna, observationerna och intervjuerna i studien.

Vi kommer att följa de forskningsetiska principerna som Vetenskapsrådet har skrivit fram. Vi behöver samtycke från vårdnadshavare och barn. Deltagandet är frivilligt och kan när som helst avslutas. Alla deltar anonymt och materialet kommer att behandlas konfidentiellt och endast användas i den aktuella studien.

Det är viktigt att fylla i nedanstående blankett och lämna in till klassläraren. Även om ett godkännande har lämnats in är medverkande frivilligt och eleven kan när som helst välja att hoppa av studien.

Om ni har några frågor kan ni kontakta oss eller vår handledare.

Esin Demir Matilda Torrång ed222hb@student.lnu.se

mt222@student.lnu.se

Emelie Isenberg Oduor Olande (handledare) ei222cf@student.lnu.se odo ur.olande@lnu.se

Samtyckesformulär

Lämnas till klasslärare senast 10/4 oavsett deltagande eller ej.

□

□

Vårdnadshavares underskrift: ______________________________________

Bilaga 2 - Diagnostiskt test

Namn:_______________________

Klass: _______________________ Okända tal

1. Hur många klossar behöver du lägga till? Skriv på mattespråk.

Om du har tre klossar på den vänstra sidan och sju klossar på den högra sidan, hur många klossar behöver du lägga till på den vänstra sidan för att få lika många klossar som på den högra sidan?

Svar: _____________

2. Hur många klossar behöver du ta bort? Skriv på mattespråk.

Du har åtta klossar på den vänstra sidan och fyra klossar på den högra sidan. Hur många klossar behöver du ta bort från den vänstra sidan för att få lika många klossar på båda sidorna?

Svar: _____________

3. Vad kostar klubban och tårtbiten? Skriv på mattespråk.

b) Du har 6 kronor. Om du köper en tårtbit har du lika många kronor kvar som en klubba kostar. Vad kostar tårtbiten?

Svar: ____________

4. Hur många klossar behöver du rita på vänster sida, för att det ska bli lika många klossar på båda sidor av likhetstecknet.

+ ____________________ =

Svar: ____________

5. Hur många blommor behöver du stryka över på vänster sida, för att det ska bli lika många klossar på båda sidor av likhetstecknet.

=

6.

a. Du köper två klubbor som kostar lika mycket,

tillsammans kostar klubborna åtta kronor. Vad kostar en klubba?

_________ + _________ =

b) Du har 6 kronor. Om du köper en tårtbit har du lika många kronor kvar som en klubba kostar. Vad kostar tårtbiten?

= _________________

Svar: En tårtbit kostar:

7. Hur många streck ska läggas till för att uppgiften ska stämma?

lll + ___ = lllll ll Svar: ________________

8. Hur många streck saknas för att uppgiften ska stämma?

9. Hur många streck är cirkeln? Hur många streck är triangeln?

〇 + 〇 = IIIII III

IIIII I - 🔺 = 〇

Svar: 〇 = ______

🔺 = ______

10. Vilket tal ska det stå istället för X?

3 + X = 7 Svar:

________________

11. Vilket tal ska det stå istället för X?

8 - X = 4 Svar:

12. Vilka tal är X och Y?

a. X + X = 8 Svar: ________________

6 - Y = X

Bilaga 3 - Observationsschema

Observationsschema

Bilaga 4 - Intervjufrågor

Uppgifter:

1. Hur tänkte du när du löste uppgiften?

2. Visste du direkt hur du skulle lösa uppgiften? 3. Varför valde du just den metoden?

4. Hade du olika idéer om hur du skulle lösa uppgiften?

Arbetsbladet - generellt:

5. Vilken uppgift tyckte du var mest utmanande? 6. Vilken uppgift tyckte du var mest enklast? 7. Har du löst liknande uppgifter tidigare?