Akilles och sköldpaddan

Akilles och sköldpaddan

När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort.

Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet.

Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen!

Lösningar till dessa uppgifter ska inte massproduceras eller läggas ut på internet!

Övning 1 En person vill sätta in en så stor summa pengar i en bank, att han efter 10 år kan lyfta 100000 kr. Om banken hela tiden ger 8%

ränta, hur stort bör det insatta kapitalet vara (hela kronor)?

Övning 2 Kvantiteten timmer i en ung skog tillväxer med 3.5% per år. Hur många år tar det för kvantiteten att fördubblas?

Övning 3 Sagan berättar om schackspelets uppfinnare, att han av ko- nungen av Persien uppmanades att som belöning för sin uppfinning begära vad han ville. Han bad då att få 1 sädeskorn för första fältet på schackbrädet, 2 för det andra, 4 för det tredje, o.s.v. För varje följan- de av brädets 64 fält skulle han alltså ha dubbelt så mycket som för det närmast föregående. Det visades sig vid anställd beräkning, att en sådan belöning var omöjlig att ge. Hur många sädeskorn begärde uppfinnaren?

Övning 4 Stockholms folkmängd uppgick år 1900 till 300.624 och år 1940 till 590.543 invånare. Antag att folkmängden varje år växer som en geometrisk talföljd.

a) Vilken är den procentuella tillväxten per år?

b) Om folkmängden antas tillväxa på samma sätt, vilken skulle folkmängden ha varit år 2000?

Övning 5 I en viss bakteriekultur tillväxer antalet bakterie i en kultur från dag till dag enligt en geometrisk talföljd. En viss dag var antalet bakterier 4·10⁶celler, och två dagar senare har kulturen vuxit till 10⁸ celler. Kan du använda denna information till att bestämma hur stor bakteriekulturen kommer att vara de kommande dagarna?

Övning 6 I ett stort motionslopp beslutar sig arrangörerna för att de- la ut priser till de 15 första som kommer i mål. Förstapriset är 10.000 kr, andrapriset är 3/4 av detta, tredjepriset är 3/4 av andrapriset, och så vidare. Hur stor är den totala prissumman som arrangörerna beta- lar ut? (Avrunda uppåt till hela kronor)

Övning 7 Under andra världskriget upptäckte man i USA att om det första bombplanet kostade K dollar att producera, så sjönk styckepri- set för de följande 2 till 0.8K. För de därpå följande 4 planen var kost- naden 80% av detta per plan och för de därpå följande 8 planen sjönk styckepriset med ytterligare 20%. Och så vidare.

a) Vad kostade det 1000:e planet att producera?

b) Hur stor är den sammanlagda kostnaden för de 1000 första planen?

Övning 8 Två tåg startar samtidigt från städerna A och B vilka lig- ger 120 km från varandra. Tågen går på parallellspår till den andra staden och håller båda en hastighet av 60 km/h. Från det ena loket lyfter i samma ögonblick en fluga som börjar flyga med en hastighet av 100 km/h mot det andra loket. När flugan når det, vänder den och flyger i motsatt riktning och vänder på nytt när den når det förs- ta loket. Den fortsätter sedan att flyga mellan loken på detta sätt tills den faller död ner av överansträngning när loken möts. Hur långt har flugan då färdats?

Övning 9 En armé som står 10 km från en stad sätts i rörelse med en hastighet av 5 km/h och rycker fram mot staden. En budbärare

springer i förväg till staden med en hastighet av 20 km/h. Så snart han kommit fram till stadsmuren vänder han och springer tillbaka.

När han möter den framryckande armén, vänder han igen, o.s.v. Så fortsätter han fram och tillbaka tills armén kommit fram till stadsmu- ren. Hur långt har budbäraren då sprungit.

Övning 10 (Detta problem är gammalt!) En dåraktig spelman ingick ett vad med djävulen. Varje gång spelmannen gick över en bro skulle djävulen fördubbla hans kassa men sedan ta 24 öre från honom.

a) Om det gäller att spelmannens kassa är slut när han gått tre gånger över bron, hur mycket hade han från början?

b) Om spelmannens kassa sinar när han gått över bron 10 gång- er, hur mycket hade han då från början?

c) Hur mycket måste spelmannen ha för att gå med vinst varje gång han går över bron?

Övning 11 En skuld på 412.000 kr, på vilken beräknas 6% ränta, av- betalas (amorteras) genom lika stora årliga inbetalningar (annuiteter), första gången efter ett år. Hur stor bör varje sådan inbetalning vara, om skulden ska vara fullt betald om 35 år?

Övning 12 En person har tagit ett lån på 80.000 kr mot 12% ränta.

Lånet skall amorteras på 10 år. Hur stor är annuiteten?

Övning 13 Hur stor del av den stora liksidiga triangelns area utgör summan av de ljusblåa areorna i figuren nedan (du får först fundera ut hur området är konstruerat — processen antas pågå i det oändli- ga)? Vilken likhet illustrerar figuren?

Övning 14 Alice behöver 1000 kr snabbt och tar därför ett lån av Är- lige Harry som tar 25% ränta per månad. Räntan läggs på den siste i varje månad och samma dag ska Alice betala 300 kr på lånet. Efter hur många månader är hon skuldfri och hur mycket har Alice då betalt till Ärlige Harry?

Övning 15 Man har en oändlig följd av koncentriska cirklar (dvs.

cirklar med samma medelpunkt), där radierna r0, r₁, r2, . . . bildar en geometrisk talföljd med kvoten k, 0 <k<1. Från en punkt på den yttersta cirkeln dras en tangent till cirkeln närmast innanför, från tan- geringspunkten en tangent till nästa cirkel, och så vidare. Beteckna tangenternas längder med l0, l1, l2, . . .. Bestäm kvoten k så att summan av serien∑^∞i=0l_iblir lika med den yttersta cirkelns omkrets.

Övning 16 Finns det ett x sådant att

∑

x^k= −_{2 ?}

Övning 17 För vilka x<1 gäller att

∑

xⁿ≥√ x ?

Övning 18 För vilka x gäller att

∑

x^2k<2 ?

Övning 19 Nedan är de första fyra stegen i en oändlig geometrisk konstruktion.

s₁ s₂ s₃ s₄ Bestäm förhållandet mellan den grå och den vita arean i s_∞.

Övning 20 Tolv likformiga rätvinkliga trianglar är placerade runt ori- go såsom figuren nedan visar. Varje triangel är placerad så att hörnet med den minsta vinkeln är placerat i origo. Den största triangelns hy- potenusa har längden 1. Beräkna trianglarnas sammanlagda area.

Övning 21 von Kochs snöflinga uppkommer genom att man utgår ifrån en liksidig triangel. Från varje sida tar man sedan bort den mit- tersta tredjedelen och sätter dit två sidor av en liksidig triangel med samma sida som den borttagna delen. Sedan upprepas detta på varje sida i en oändlig process. De tre första stegen illustreras nedan

s₁ s₂ s₃

Fortsätter vi den processen får vi i gräns en figur vi inte kan rita, men lite grand liknar figuren nedan.

Beräkna omkrets och innesluten area av s_∞.

Övning 22 You had a particularly prudent and farsighted ancestor who, in the year 1, invested the equivalent of $1.00 in the The Second Imperial Bank of Rome, a small but highly reliable and conservative firm paying interest at the rate of 2% per annum. In spite of war, pestilence, and the barbarian hords, this bank has managed to survive the centu- ries, and your ancestor’s account has remained untouched at the same interest for the past 2018 years. While sightseeing in Rome, you deci- de to stop in at the good old Second Imperial just to inquire how the little account is coming along. ’We are indeed honored by a visit from our most important depositor!’ says the manager of the bank. ’Accor- ding to our latest figures, you hav approximately X to your credit. I hope we may have the pleasure to continuing to serve you during the next two millenia’. What is X?

Svar

Övning 1 ₍¹⁰⁵

1.08)¹⁰ ≈_46320kr Övning 2 (ln 2)/ ln 1.035≈_{20 år.}

Övning 3 ∑⁶³k=02^k=2⁶⁴−₁≈_1.8·₁₀¹⁹_. Övning 4 a) 1.7%, b) 1.6 miljoner.

Övning 5 Ja, antalet efter n dagar är 4·₁₀⁶·₅ⁿ_. Övning 6 40.000(1− (3/4)¹⁵) =39466 kr

Övning 7 Kostnaden per plan ges av följande tabell:

1 2-3 4-7 8-15 16-31 32-63 64-127

K 0.8K 0.8²K 0.8³K 0.8⁴K 0.8⁵K 0.8⁶K 128-255 256-511 512-1023

0.8⁷K 0.8⁸K 0.8⁹K Vi ser alltså att

a) Det 1000:e planet kostar 0.8⁹K=0.134218K, alltså 13% av det första

b) 1000 plan kostar∑⁹k=02^k·0.8^kK−23·0.8⁹K=178.5K Övning 8 100 km

Övning 9 40 km

Övning 10 a) 21 öre, b) 24(1−₂⁻¹⁰)öre, c) mer än 24 öre.

Övning 11 28 417 kr Övning 12 14 159 kr

Övning 13

∑

(¹ 4)^k=¹

3

Övning 14 Efter n månader återstår det att betala 1200−₂₀₀·_1.25ⁿ kr, så vi ska lösa 1.25ⁿ = 6. Vi har att 1.25⁸ = 5.96 medan 1.25⁹ = 7.45, så nästan hela skulden är betald efter 8 månader. Det som inte är betalt är då knappt 8 kr och om vi låter dem stå kvar månaden ut så ska hon sista månaden betala 10 kr. Så efter 9 månader har hon betalt 2410 kr.

Övning 15 k= ^4π2−1

4π²+1

Övning 16 Nej! Ekvationen x/(1−x) = −2 har lösningen x = 2, men då konvergerar inte serien.

Övning 17 x=0 och(3−√

5)/2≤x<1.

Övning 18 |x| <_1/√ 2 Övning 19 (4−_π)/(π−₂). Övning 20

√ 3

2 (1− (³₄)¹²).

Övning 21 Omkretsen är oändlig, men arean är 8/5 av den utsprung- liga triangelns area.

Övning 22 X=1.02²⁰¹⁸≈_2.27·₁₀¹⁷