Akilles och sköldpaddan

Akilles och sköldpaddan

Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.

Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.

Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).

Geometriska talföljder

Det är viktigt att ordentligt bekanta sig med det matematiska skrivsät- tet. Det är utvecklat för att man ska "kunna se skogen för bara träden".

Börjar därför med att göra följande uppgifter.

Övning 1 Hur kan du skriva nedanstående följder på formen{a_k}ⁿ_m a) 1, 2, 4, 8, . . . , 128

b) 1, 1/3, 1/9, . . . , 1/81.

c) 2, 2/11, 2/11², . . . , 2/11²⁵. d) 1/4,−1/8, . . . ,−1/2⁷³.

Övning 2 En talföljd{a_k}^∞₀ definieras rekursivt genom att a_k+1=a²_k−1, a₀=1.

Bestäm a₁, a₂och a₃.

Viktiga talföljder är de aritmetiska, som innebär att vi får nästa tal genom att lägga till ett fixt tal, och de geometriska där vi får nästa tal genom att multiplicera det föregående med ett visst tal.

Övning 3 Vilka av följande talföljder är aritmetiska, geometriska, el- ler ingetdera?

a) 1, 2, 3, 4, . . . , 100 b) 1, 2, 4, 8, . . . , 128 c) 4, 7, 10, 13, 16

Övning 4 Om vi fortsätter talföljderna i föregående övning, vilket blir det 1000:e talet?

Övning 5 Om du sätter in 1000 kr på ett bankkonto som har en årlig ränta på 5% (läggs till i slutet av varje år). Hur mycket pengar har du då tjänat efter 10 år, om du inte tar ut något och räntan är bunden hela perioden?

För nästa uppgift måste du ha klart för dig vad som menas med att man kapitaliserar ett lån (se huvudtexten).

Övning 6 Om man kapitaliserar insättningen 6 gånger om året i före- gående uppgift, vilken är då den nominella och den faktiska räntan?

Geometriska summor

Det första du måste göra i detta avsnitt är att bekanta dig med sum- masymbolen. Var därför noggrann när du gör följande övningar.

Övning 7 Beräkna (använd gärna en miniräknare eller motsvarande)

a)

∑

n³, b)

100

∑

k=₂ 3, c)

∑

1 k²

Övning 8 Skriv med summatecken

a) 1+¹ 2+¹

3+. . .+ ¹

10, b) 1+3+9+27+81+243 Använd nu formeln för den geometriska summan till att göra följande övningar (här får du mer träning på summasymbolen).

Övning 9 Beräkna följande geometriska summor

a) 1+2+4+8+16+32, b) 1−₃+9−₂₇+81−_243,

c) 2+1+¹ 2+¹

4+. . .+ ¹

128, d) a+a²+. . .+a¹⁰ e) 1−x+x²−x³+. . .−x⁹.

Övning 10 Beräkna följande summor

a)

∑

3·2^k b)

∑

3·2^k−1 c)

∑

3·2^k

Övning 11 Beräkna följande geometriska summor a) 1+1/3+1/9+. . .+1/3¹⁰.

b) 2+2/11+2/11²+. . .+2/11²⁵. c) 1−_1/2+_1/4+_{. . .}−_1/2⁷³_.

Det är bra att kunna beviset för den geometriska summan, eftersom idén är användbar även i andra sammanhang. Gå därför igenom det ordentligt och gör sedan följande övning.

Övning 12 Beräkna summan av de första 100 heltalen. Beräkna där- efter summan av talen i den artimetiska serien

a, a+d, a+2d, a+3d, . . . , a+nd.

Du ska härleda summan i båda fallen!

Övning 13 Lisa tänker sätta in 2000 kr på en bank vid varje årsskifte från och med årsskiftet 2011/12 till och med årsskiftet 2022/23. Hur mycket bör det finnas på Lisas bankkonto vid början av 2023, om rän- tesatsen är 2%?

Låt oss sticka emellan med att fundera på hur induktionsbevis fun- gerar. Följande övning är en illustration. Det är logiken som är det viktiga.

Övning 14 Gör ett induktionsbevis som visar att

1+2+3+4+. . .+n= ⁿ(n+1) 2 Var använder du induktionsaxiomet?

En praktiskt tillämpning av finansiellt intresse är annuitetslånen som diskuteras i texten.

Övning 15 Studera annuitetsexemplet i texten och motivera formeln

a= ^K(1+p)

∑ⁿk=⁻0¹(₁₊¹_p)^k

för amorteringen om man lånar K kr och lånet ska löpa över n år med räntan 100p%.

Faktorsatsen

I följande övningar ska du använda den geometriska summan vid polynomdivisionen. Börja med att göra följande övning.

Övning 16 Hur härleder man ur formeln

xⁿ⁺¹−1= (x−1)

∑

x^k

att

xⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹= (x−a)

∑

a^n−kx^k?

Skriv ut summan för n=4.

Övning 17 Faktorisera polynomet p(x) =x³−_2x−₄

Övning 18 Polynomet p(x) =x⁵−_10x²+15x−6 har nollstället x= 1. Bestäm nollställets multiplicitet och faktorisera polynomet.

Den geometriska serien och Akilles’ lopp

Här gör vi ett stort kliv: vi går från ändliga summor till oändliga såda- na. Det är ingen trivialitet!! Tänk därför noga igenom följande övning.

Övning 19 Vilka av följande geometriska serier konvergerar?

a) 1+1+1+1+. . .,

b) 1+1/3+1/9+1/27+1/81+. . . c) 1+2+4+8+. . .,

d) 1−₂+4−₈+16−_{. . .,} e) 1−1+1−1+1−1+. . . f) 1/3−_1/9+1/27−_1/81+. . .

Övning 20 En boll släpps från en meters höjd mot golvet. Vid var- je studs förlorar den 1/10 av sin rörelsenergi, vilket innebär att dess maximihöjd minskar i samma proportion. Hur lång sträcka har bollen totalt rört sig när den kommer till ro?

De blandade övningarna ger fler exempel på problem med den geo- metriska serien.

Om gränsvärden och oändliga serier

Att förstå tankegången när man definierar gränsvärden är viktigt.

Övning 21 Använd definitionen till att visa att√

n→_{∞ då n}→ _∞.

Det är viktigt att du skriver ut den exakta logiken.

Övning 22 Visa, genom att gå tillbaka till definitionen, att

a) ¹

n →₀ b) ⁿ

1+n →₁ då n→∞. Var noga med att skriva ut logiken!

Övning 23 Räkna igenom Exempel 14 i texten med det speciella valet r=1/2. Genomför sedan räkningarna då r=2. Förvissa dig därefter att du verkligen kan bevisa när och varför den geometriska serien konvergerar.

Svar och anvisningar

Övning 1 a) Vi ser att nästa tal hela tiden är dubbelt så stort som det aktuella. Det betyder att om akär det k:te talet, så är a_k=2ak−1. Om vi låter k starta med k=0, så gäller att a₀=1, vilket betyder att a1=2a0=2 och så vidare. Vi ser att ak=2^k och eftersom 128=2⁷ser vi att talföljden kan skrivas{₂^k}⁷_0. Vi kan också låta k starta i t.ex. m=1, men då blir ak =2^k−1 och talföljden alltså{₂^k−1}⁸

1.

b) Här gäller att ak = a_k−1/3, och vi kan skriva talföljden som {¹

3^k}⁴₀, eller hellre, som{₃^−k}⁴₀. Notera att enda talet som sak- nas i sviten i uppgiften är 1/27.

c) Här gäller att ak=a_k−₁/11, men nu är a0=2. Det betyder att formeln blir{₂·₁₁^−k}²⁵

0.

d) Här sker en division med 2, men också en teckenväxling. Med andra ord ak = −a_k−₁/2. k stycken teckenväxlingar kan vi skriva(−1)^k, så svaret blir{(−1)^k2^−k}⁷³₂ .

Övning 2 a₁ =a²₀−₁=1−₁= 0, a2 =a²₁−₁=0−₁= −1 och a₃=a²₂−₁= (−1)²−₁=0.

Övning 3 a) Detta är de första 100 heltalen, och varje tal är ett större än föregående, vilket betyder att vi kan skriva talfölj- den som ak=a_k−1+1. Det är därför en artimetisk talföljd.

b) Här multiplicerar vi nästkommande tal med 2, så att ak = 2ak−1. Det är därför en geometrisk talföljd.

c) Här lägger vi hela tiden till 3, så talföljden är aritmetisk.

Övning 4 a) Uppenbarligen 1000

b) Formeln för tal nummer k blir 2^k−1, så det 1000:e blir 2⁹⁹⁹. c) Här har vi a1= 1+3, a2 =1+2·_{3, a3} = a₂+3= 1+3·

3, a₄ = a₃+3 =1+4·3 och alltså allmänt att ak = 1+3k.

Det följer att det 1000:e talet blir 3001.

Övning 5 1000· (_1.05¹⁰−₁) =1629 kr (avrundat uppåt)

Övning 6 Den nominella räntan är alltjämt 5%. Kapitaliseringen in- nebär att man 6 gånger om året lägger på 5/6% ränta, vilket på ett år betyder att 1 kr växer till(1+0.05/6)⁶=1.051 kr, så den faktiska räntan är 5.1%.

Övning 7 a) 1+2³+3³+4³+5³=225 b) Här är 99 termer, så summan är 3·₉₉=₂₉₇ c) ₂¹2+ ¹

3²+ ¹

4²+ ¹

5² =1669/3600=0.463611.

Övning 8 a) ∑¹⁰k=11 k

b) ∑⁵k=03^k.

Övning 9 a) ∑⁵k=₀2^k=¹₁⁻₋²₂⁶ =2⁶−₁=63 b) ∑⁵k=0(−3)^k= ¹₁⁻⁽⁻₋₍₋³₃⁾₎⁶ = (1−₃⁶)/4= −182.

c) 2+_∑⁷_k=0(¹₂)^k=2+^1−(12)8

1−¹₂ =2+2(1− (¹₂)⁸) =⁵¹¹₁₂₈ d) =a(1+a+. . .+a⁹) =a∑⁹k=0a^k=a(1−a¹⁰)/(1−a).

e) =_∑⁹_k=0(−x)^k= (1−x¹⁰)/(1+x).

Övning 10 Beräkna summorna genom att skriva ut termerna och hit- ta en geometrisk summa bland dem:

a) 3∑¹⁰k=02^k=3¹₁⁻₋²¹¹₂ =3(2¹¹−₁)

b) 3(2²+2³+. . .+2⁹) =3·2²(1+2+. . .+2⁷) =12(2⁸−1) c) 3(2⁻²+2⁻¹+1+2+. . .+2¹⁰) =3·₂⁻²(1+2+. . .+2¹²) =

3

4(2¹³−₁).

Övning 11 Detta ska vara enkelt nu:

a) ∑¹⁰k=₀(1/3)^k= ¹⁻⁽₁₋^1/3_1/3⁾¹¹ = ³₂(1− (_1/3)¹¹) b) 2∑²⁵k=0(1/11)^k= ²²₁₀(1− (_1/11)²⁶) c) ∑⁷³k=0(−1/2)^k= ²₃(1− (_1/2)⁷⁴). Övning 12 För att beräkna

s=1+2+3+. . .+99+100

skriver vi upp summan en gång till, men nu i omvänd ordning:

s=100+99+. . .+3+2+1.

Adderar vi de två första termerna får vi 101. Likadant om vi adderar de två andratermerna: vi får 101. Faktum är att det gäller för den all- männa termen också: summan är 101. Vi får därför att 2s= s+s= 100·101 och alltså

s= ¹⁰⁰·₁₀₁ 2 =5050.

Motsvarande gäller för den allmänna aritmetiska serien:

s=a+ (a+d) + (a+2d) +. . .+ (a+ (n−₁)d) + (a+nd) s= (a+nd) + (a+ (n−₁)d) +. . .+ (a+2) + (a+d) +a Summerar vi kolonnerna får vi att 2s=n(2a+nd), alltså

s=n(a+nd 2).

I fallet med heltalen ska vi här ta a = 1 och n = 99, eftersom den allmänna aritmetiska summan vi skrev upp innehåller n+1 termer.

Övning 13 10⁵(_1.02¹²−₁) ≈_{26800 kr}

Övning 14 Vi börjar med att visa att formeln är sann för n = 1. In- stoppning ger att vänsterledet är då 1 och högerledet 1·_2/2=1, så formeln är sann för n=1.

Antag nu att den är sann för n=k, dvs att

1+₂+_{. . .}+k= ^k(k+1)

2 .

Vi ska då visa att den är sann för n=k+1. Eftersom vi antar att den är sann för n=k (induktionsantagandet) har vi då att

1+2+. . .+k+k+1= ^k(k+1) 2 +k+1.

Detta uttryck kan vi förenkla till(k+1)(k+2)/2, vilket betyder att påståendet är sant för n=k+1

Induktionsbeviset blir nu fullständigt genom att vi hänvisar till in- duktionsaxiomet, som säger att av det vi visat följer att formeln gäller för alla heltal n≥_1.

Övning 15 I Exempel 7 härleds formeln

a= ^K(r−₁) 1−r⁻ⁿ som kan skrivas om som

a= ^rK

1−r⁻ⁿ 1−r⁻¹

= ^rK

∑(¹_r)^k.

Stoppa in r=1+p, så får vi formeln.

Övning 16 I formeln

(1−x)

∑

x^k=1−xⁿ⁺¹

sätter vi istället för x in x/a och får

(1−^x a)

∑

(^x

a))^k=1− (^x a))ⁿ⁺¹.

Multiplicerar vi detta med aⁿ⁺¹blir högerledet aⁿ⁺¹−xⁿ⁺¹, medan vänsterledet blir

a(1− ^x a)

∑

(^x

a)^kaⁿ= (a−x)

∑

x^ka^n−k.

Dividerar vi detta med a−x får vi att

∑

a^n−kx^k= ^a

n+1−xⁿ⁺¹ a−x = ^x

n+1−aⁿ⁺¹ x−a

Om du inte kunde detta, gå igenom räkningarna tills du är säker på att du förstår alla steg.

För n=4 står här att

x⁵−a⁵= (x−a)(x⁴+ax³+a²x²+a³x+a⁵). Övning 17 Vi ser att p(2) =0, så vi har att

p(x) =p(x) −p(2) = (x³−2³) −2(x−2) − (4−4)

= (x−₂)(x²+2x+2) Övning 18 Vi vet att

x^k−₁= (x−₁)(1+x+. . .+x^k−1). Eftersom p(1) =0 har vi då att

p(x) =p(x) −p(1) = (x⁵−₁) −10(x²−₁) +15(x−₁) − (6−₆)

= (x−₁)(x⁴+x³+x²+x+1−₁₀(x+1) +15)

= (x−1)(x⁴+x³+x²−9x+6).

Kvoten är alltså q1(x) =x⁴+x³+x²−_9x+6, och för den ser vi att q₁(1) =0, så enligt faktorsatsen kan vi dela en gång till med(x−₁):

q₁(x) =q₁(x) −q₁(1) =x⁴−1+x³−1+x²−1−9(x−1)

= (x−₁)(x³+2x²+3x−₆).

Även denna kvot är noll i x=1, och vi får på samma sätt som ovan att

x³+2x²+3x−₆= (x−₁)(x²+3x+6), och alltså att

p(x) = (x−₁)³(x²+3x+6).

Det följer att x=1 är ett nollställe av multiplicitet 3.

Övning 19 I var och en av uppgifterna ska vi identifiera kvoten r och avgöra huruvida|r| <1 eller inte.

a) Här är kvoten uppenbarligen 1, och serien divergerar b) Kvoten är r=1/3, så serien konvergerar

c) Kvoten är r=2, så serien divergerar

d) Kvoten är r= −2 och| −₂| =₂≥1, så serien divergerar e) Kvoten är r= −1 och| −₁| =1, så serien divergerar f) Kvoten är nu r= −1/3, så|r| =_1/3<1, och serien konver-

gerar

Övning 20 Låt snbeteckna hur långt bollen har rört sig när den stud- sar den n:te gången. Då gäller att s1=1 eftersom den släpps från höj- den 1. Vid andra studsen har vi s₂=1+2·_9/10=1+1/5 eftersom bollen har studsat upp höjden 9/10 och sedan ner igen. Nästa gång studsar den upp höjden(9/10)², så s₃ = 1+2·_9/10+2· (_9/10)². Fortsätter vi på det sättet ser vi att vid den n:te studsen har bollen rört sig sträckan

sn=1+2

∑

( ⁹

10)^k=1+¹⁸ 10

n−₁ k

∑

( ⁹ 10)^k.

Att avgöra hur långt bollen rört sig då den kommer till ro får matema- tiskt översättas till att avgöra vad gränsvärdet av detta är då n→_∞.

Enligt den geometriska serien är detta

1+¹⁸ 10

1

1−₁₀⁹ =19 m.

Övning 21 Det vi ska visa är att oavsett vilket (stort) A vi tar, så gäller att det finns ett N sådant att om n>N så gäller att√

n>A. Men att

√n>A är ekvivalent med att n²>A², eftersom n>0. Om vi därför tar N=A²så har vi visat det vi ska visa.

Övning 22

a) Vi ska visa att oavsett hur litet e >0 vi väljer så finns ett N sådant att om n≥ N, så gäller att|_1/n−₀| =_1/n<e. Men olikheten är ekvivalent med att n>1/e, så om vi tar N som ett heltal som är större än 1/e, så har vi visat påståendet.

b) Den här gången ska vi visa att det till varje e>0 finns ett N sådant att om n>N så gäller att

n n+1−₁

<e.

Men 

n n+1−₁

= ¹ n+1

och att detta är<ebetyder att n+1>1/e. Om vi därför tar ett heltal N>1/e−1, så får vi olikheten vi söker.