U.U.D.M. Project Report 2014:38
Examensarbete i matematik, 15 hp
Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 2014
Gaussiska heltal
Maja Wallén
2
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 3 1.1 Bakgrund ... 3 1.2 Syfte ... 3 2 Gaussiska heltal... 4 2.1 Normen ... 5 2.1.1 Normen är multiplikativ ... 52.2 Heltal och enheter ... 6
2.3 Delbarhet ... 6 2.4 Divitionsalgoritmen ... 9 2.5 Euklides algoritm ... 10 2.6 Entydig faktorisering ... 12 2.7 Modulär aritmetik ... 13 2.8 Irreducibelt tal ... 14 2.8.1 Gaussiska primtal ... 14
2.8.2 Vilka vanliga primtal är även Gaussiska primtal? ... 15
2.8.3 Samband och konsekvenser i talteori ... 16
2.9 Olösta problem ... 19
2.9.1 Gauss cirkelproblem ... 19
2.9.2 Gauss vallgravsproblem ... 19
3 Konklusion ... 21
3
1 Inledning
1.1
Bakgrund
År 1832 introducerade Carl Friedrich Gauss (1777-1855) teorin om Gaussiska heltal. Gauss, ofta kallad matematikernas konung, hade nu infört benämningar för komplexa tal och det komplexa talplanet som öppnande upp nya möjligheter i matematiken. I dessa områden uppkom en ny typ av heltal som är uppkallades efter Gauss som Gaussiska heltal. Gaussiska heltal är tal på formen a bi där a och b är heltal. Frågan är varför Gauss hade börjat intressera sig för heltalen i det komplexa talplanet. Svaret finner vi i den kvadratiska reciprocitetssatsen som han lyckades bevisa år 1796. Kvadratiska reciprocitetssatsen kopplar samman lösbarhet av två relaterade kvadratiska kongruenser. Gauss studerade även reciprocitetsatser av högre grad som kubisk och bikvadratisk. Vid lagen om bikvadratisk reciprocitetsats insåg Gauss att denna enklast kunde uttryckas med de hela komplexa talen som vi idag kallar Gaussiska heltal.
1.2
Syfte
4
2 Gaussiska heltal
Gaussiska heltal är tal på formen a + bi, där a och b är vanliga heltal. Mängden av de gaussiska heltalen betecknas med Z i
. Gaussiska heltal gör det möjligt att studera primtalen på ett nytt sätt. I Z i
kan vi nu faktorisera några av våra gamla primtal, låt oss studera talet 2 iZ i
. Då kan vi skriva 2 (1 i)(1i) och detta visar att 2 som är ett vanligt primtal i Z, inte är det iZ i
.För två Gaussiska heltal z a bi och w c didefinieras summan z + w som z w a c (b d i) och produkten z w som z w ac bd (adbc i) . Additionen och multiplikationen mellan vanliga heltal och gaussiska heltal fungerar på samma sätt, undantaget sker vid beräkningar mellan de gaussiska heltalen då det gäller att i2 1.
De gaussiska heltalen utgör i likhet med de hela talen, Z, en så kallad kommutativ ring. Detta eftersom mängden Z i
kan definieras med operationer som innehåller addition och multiplikation som ges på samma sätt i det komplexa talplanet. Vidare skall även ett antal lagar vara uppfyllda (se nedan).1. a + b ∈ Z i
2. a ∙ b ∈ Z i
3. a + b = b + a 4. a ∙ b = b ∙ a 5. a + (b + c) = (a + b) + c 6. a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c 7. a ∙ (b + c) = a
∙ b + a ∙ c 8. Heltalet 0 ∈ Z i
uppfyller a + 0 = a 9. Heltalet 1 ∈ Z i
uppfyller a ∙ 1 = 15
2.1
Normen
Genom att bestämma normen för ett Gaussiskt heltal får vi ett mått på hur stort talet är. Om vi antar att a bi där ,a bZså betecknar vi normen för α med
N(α). Normen definieras
2 2( )( ) a
N a a bi a bi b . Normen beräknas nästan på samma sätt som vi beräknar absolutbeloppet av ett tal. Exempelvis har
2+3i normen 13 och 1+2i normen 5. Vi väljer att räkna med N( ) istället för eftersom det handlar om heltal och absolutbeloppet av tal ger ofta kvadratrötter. Normen av varje gaussiskt heltal är ett heltal på formen a2b2 där ,a bZ. Normen kan inte vara negativ utan är alltid ett positivt heltal eller noll. Dock är det inte sant att varje positivt heltal är en norm. Alla positiva heltal är inte
summan av två kvadrater såsom 3, 7, 11, 15, 19 och 21. Det finns inget Gaussiskt heltal som har normen lika med värdet av dessa tal.
2.1.1 Normen är multiplikativ
Att normen för Gaussiska heltalen är multiplikativ betyder att om talen Z i
och Z i
så gäller det att N()N( ) N( ) . Vi bevisar detta genom att sätta a bi och c di, sedan följer:(a bi c di)( ) (ac bd) (ad +bc)i 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (a )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N b c d ac ad bc bd 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N ac bd ad bc ac abcd bd ad abcd bc ac ad bc bd
6
2.2
Heltal och enheter
Ett tal som har en multiplikativ invers är en enhet. Om vi kallar talet för x och inversen för y, då måste x y 1. Har alla heltal en invers? Svaret är nej. De vanliga heltalen har endast två enheter, 1 och -1.
Vilka enheter har de Gaussiska heltalen? De har samma enheter som heltalen, men det finns även två enheter till. De gaussiska heltalen har enheterna 1, -1, i och –i. Detta eftersom inversen till i är –i ty ( ) 1i i och inversen till –i är i eftersom
( ) i i 1.1 De gaussiska heltalen har fyra enheter.
Vi kan även bevisa att i Z i
är det endast ±1 och ±i som är inverterbara och därmed enheter bland de Gaussiska heltalen. Vi antar att Z i
är inverterbar och att inversen till α är β. Detta medför då att 1 och nu ska vi visa att
1, i
. Vi vet att N( ) N( ) N(1) 1 enligt heltalen i Z. Men både
( )
N och N( ) är positiva heltal och då måste båda vara lika med 1. Vidare ger
2 2
( ) a 1
N b att antingen är a 1, b=0 eller a=0 och b 1 så vi får fyra fall ±1 och ±i.
2.3
Delbarhet
Delbarhet i Z i
är densamma som i Z. Om vi låter β och α var heltal så är β delare till α om för något Z i
. Om α delar β skriver vi men om α inte delar β så skriver vi .Ett gaussiskt heltal a bi där a b, Zär delbart med c där cZ om och endast om c delar a och c delar b.
( ) ( ) ( )
c abi abi c mni där m, n är heltal och detta medför att
a c m och att b c m som i sin tur medför att c a och c b.
1
7
Vi kan använda delbarhet för att studera om delaren till tal tillhör de gaussiska
heltalenZ i
. Detta gör vi genom att studera om delaren är ett heltal eller inte. Om delaren inte är heltal tillhör den inteZ i
. Låt oss studera några exempel med Gaussiska heltal som har delare som tillhör och inte tillhör Z i
.Gäller (1i) (2 3 ) i ? 2 3 (2 3 )(1 i) 5 1 1 (1 )(1 ) 2 2 i i a i i i i Eftersom 5 2 och 1
2 inte är heltal så tillhör inte a Z i
.Gäller (4 5 ) (14 3 ) i i ? 14 3 (4 3 )(4 5 ) 71 58 4 5 (4 5 )(4 5 ) 41 41 i i i a i i i i Eftersom 71 41 och 58
41i inte är heltal så tillhör a inte Z i
.Gäller (3 2 ) (8 i) i ? 8 (8 )(3 2 ) 2 3 2 (3 2 )(3 2 ) i i i a i i i i
Eftersom 2 och -1 är heltal så tillhör a Z i
. Gäller (1i) (6 4 ) i ? 6 4 (6 4 )(1 ) 3 2 1 2 i i i a i i 8
Om α, β ϵ Z i
och i Z(i) så kan vi bevisa att N( ) N( ) i Z (se nedan). Detta är mycket användbart då vi vill studera om ett gaussiskt heltal är delare till ett annat gaussiskt heltal, genom att enkelt beräkna normen för båda talen. Dock är det viktigt att uppmärksamma att omvändningen inte alltid stämmer. Låt oss studera några exempel med Gaussiska heltal och normens betydelse.Från tidigare exempel vet vi att (3 2 ) (8 i) i så låt oss studera normen (8 ) 65
N i
(3 2 ) 13
N i
13 delar 65 och detta medför att 3+2i delar 8+i
Är 3+7i delare till 10+3i? (3 7 ) 58
N i
(10 3 ) 109
N i
58 delar inte 109 och detta medför att 3+7i inte delar 10+3i
Är 14+3i delare till 4+5i?
(14 3 ) 41
N i
(4 5 ) 205
N i
41 delar 205 men 14+3i delar inte 4+5i. Detta är ett exempel som visar att omvändningen inte alltid stämmer.
Om där Z i( ) så medför detta om vi istället tar normen för båda sidorna att N( ) N( ) N( ) . Detta gör att N( ) N( ) . Så vi ser att om ett Gaussiskt heltal delar ett annat så måste N( ) dela N( ) .
9
medför att varje multipel av 1+i är ett jämnt tal. Omvänt antar vi nu att N m ni( ) är ett jämnt tal alltså att m2n2 0 (mod 2) dvs. att m2n2 är delbart med 2. Utifrån detta vet vi att m och n är jämna eller udda båda två så mn (mod 2) dvs. att m n är delbart med 2.
Vi vill ha (m ni ) (1 i u vi)( ), dvs. m ni (u v) (u v i) och detta är ekvivalent med m u v och n u v eller u (n m) / 2 och v(n m ) / 2.
Detta medför att u och v är heltal eftersom vi visste att m n är delbart med 2 och då måste även (1i) (mni) gälla. Omvändningen är bevisad.
2.4
Divitionsalgoritmen
Till varje heltal a och heltal b, då b>0 finns det ett unikt heltal q och ett unikt heltal r så att a q b r där 0 r b. Man brukar kalla r för rest och q för kvot.
Att vi lyckats överföra resultat från Z till Z i
är delvis tack vare divitionsalgoritmen. Det är viktigt att påpeka att när vi räknar med divitionsalgoritmen i Z i
kan vi få en lösning som är entydig eller inte entydig.Vi har två tal , Z(i) med 0, då finns det två andra tal , Z i
sådana att med N( ) N( ) . Knepet är att vi kan välja ρ så att( ) ( ) / 2
N N och då är γ kvoten och ρ resten. Låt oss studera ett exempel hur vi räknar divitionsalgoritmen med Gaussiska heltal.
Låt 27 32i och
8 i, N( ) 65Målet är att skriva där N( ) 65 och vi söker kvot och rest.
10
Vi vill nu välja närmaste heltal till 2,696 och -3,246 och då får vi 3 3i (27 23 ) (8i i)(3 3 )i 2i 65 ( ) ( ) 4 2 2 N N (8 i)(3 3 ) 2i i
3 3i är en tänkbar kvot med resten -2i. Det är viktigt att påpeka att denna lösning inte är entydig eftersom det finns andra kvoter och rester som uppfyller villkoret vid divisionen.
2.5
Euklides algoritm
Euklides algoritm används för att bestämma största gemensamma delare till två heltal. Största gemensamma delare av a och b kan vi förkortat skriva SDG(a,b). Vi börjar med att definiera SGD innan vi studerar Euklides algoritm för gaussiska heltal. Om vi låter n vara ett heltal och sedan betraktar mängden
( ) : 0,
D n aZ a a n så är den här mängden delarmängden till n. Alla positiva delare till n finns alltså i mängden D(n).
Euklides algoritm för gaussiska heltal följer ett mönster för att finna den största gemensamma delaren. Om vi låter , Z i
då α, β ≠ 0 och följer nedanstående räkningar får vi tillslut fram en sista rest som är skild från noll och detta är största gemensamma delaren. I den meningen att det är en gemensam delare med maximala normen.11
Vi studerar ett exempel med Gaussiska heltal. Frågan är om 4 5i och 4 5i
är relativt prima i Z i
och de är det om och endast om deras SGD är lika någon av enheterna för Gaussiska heltalen.4 5i 4 5i 4 5 9 40 4 5 41 i i i 9 0, 21 41 40 1 41 1
väljer vi genom att ta närmaste heltal och får då att1 0 i i
1 1 1 4 5 i (4 5 )i i 1 1 i (1 i) 1 (4 5 )(1 ) 4 4 5 5 9 2 2 2 i i i i i 9 4 2 1 0 2 2
får vi precis som1 genom att ta nästa heltal och får då att 2 4
12 1 2 3 3 3 (1 i) i( i 1) 3 1 i 1 i 3 0
SGD i vilket medför att α, β är relativt prima i Z i
.2.6
Entydig faktorisering
Faktorisering i Zär då vi uttrycker ett tal som en produkt av flera faktorer. Exempelvis kan talet 4 skrivas som 2 2 . Vi ska nu studera faktoriseringen av de Gaussiska heltalen.
Genom entydig faktorisering kan vi studera hur Gaussiska heltal kan skrivas som produkter av minimala faktorer. Detta medför att vi kan se vilka Gaussiska heltal som kan och inte kan skrivas som produkter. Något som är värt att anmärka är att vi alltid kan lägga till enheter i faktoriseringen av Gaussiska heltal eftersom för varje z ∈ Z i
så gäller z 1 z och z i i ( z).Vi vet att ett Gaussiskt heltal z sägs vara ett primtal om vi bara kan skriva z som en produkt av Gaussiska heltal eller använda enheterna i Z i
och z som faktorer. Om vi dessutom kan skriva z som en ändlig produkt av irreducibla element i Z i
har z en irreducibel faktorisering, en primtalsfaktorisering. Det finns bevis att varje element i talringen Z i
som är skiljt från 0 har en irreducibel faktorisering. Dock är den irreducibla faktoriseringen inte entydig men det finns minst en sådan av varje Gaussiskt heltal. Om vi låter p vara ett primtal i Z kommer faktoriseringen i Z i
att bestämmas av pmod 41. 2 (1 i)(1 i) i(1 i)2
2. Om p 1(mod4) så är p en produkt av två konjugater som inte är enhets multiplar
13
Vi kan studera talet 7+i för att visa hur de kan faktoriseras på olika sätt. En trivial faktorisering av 7 i är (1 7 )i i och en icke trivial faktorisering av 7 i är
(1 2 )(1 3 ) i i .
2.7
Modulär aritmetik
Moduloräkning är ett sätt att beräkna heltal på med hjälp av de vanliga räknesätten. All moduloräkning utgår från att vi låter n ≥ 1 vara ett heltal. Sedan definierar vi vad som menas när vi säger att a och b som båda är heltal är kongruenta modulo n. Detta skriver vi ab (mod n) om n a( b).
Gaussiska heltal behandlas på samma sätt som de vanliga i Z genom kongurensräkning som vi definierar genom delbarhet. Så för de gaussiska heltalen
α, β och γ skriver vi precis lika vi tidigare skrivit med heltal (mod ) då
( )
. Addition och multiplikation i kongruensen i Z i
fungerar precis som vanlig. Låt oss studera ett exempel med moduloräkning av Gaussiska heltal.14 2i
5 12 i (4 i)(2 3 ) 2 i i
Vi kommer slutligen fram till att (3 2 ) i 2 2 (mod(4i i))
2.8
Irreducibelt tal
Ett irreducibelt tal är ett primtal. Ett heltal p i Z är ett primtal om p>1 och om de enda positiva heltal som är delare till p är 1 och p. Ett primtal kan inte faktoriseras, det kan inte skrivas som en produkt av andra tal förutom 1. Primtal som 3, 7, 11 och 19 i Z känner vi redan till men vilka är de Gaussiska primtalen? Vi ska nu studera primtalen i Z i
med hjälp av tidigare resultat.2.9
Gaussiska primtal
Om α är ett gaussiskt heltal med normen större än 1 sägs α vara ett sammansatt tal om α har icke triviala faktorer. De triviala faktorerna är enheterna till de gaussiska heltalen, ±1 och ±i. Om α endast innehåller triviala faktorer sägs
α vara ett primtal. Ett heltal som inte är sammansatt i Z i
förblir då primtal även i Z. Exempel på tal som inte är sammansatta är heltal som 3, 7, 11, och 19. Det kan påpekas att tal som inte är sammansatta i Z kan bli sammansatta i Z i
, ett exempel är 2 som sönderfaller i (1i)(1i).Om Z i
och dess norm N( ) är ett primtal så är α även ett primtal i
Z i . Detta kan vi bevisa genom att visa att om α är sammansatt i Z i
så är ( )15
Gaussiska primtal, detta gäller eftersom normen för talet och konjugatet är detsamma.
Omvändningen gäller inte vilket vi kan se om α=3 så blir N(3)9 och 9 är inte ett primtal i Z. Normen 9 medför att en icke-trivial faktor måste ha normen 3,
men det finns inte något Gaussiskt heltal med normen 3 eftersom a2b2 3 saknar heltalslösning. Ett tal kan alltså ha en sammansatt norm även om talet är ett primtal.
2.9.1 Vilka vanliga primtal är även Gaussiska primtal?
Vi har nu introducerat de Gaussiska primtalen och studerat normens betydelse för primtalen. Nu ska vi försöka att undersöka vilka vanliga primtal som även är Gaussiska primtal. Till att börja med studerar vi konjugater och vad de har för betydelse för primtalen.
Låt pN vara ett primtal. Då är p ett primtal i Z i
om och endast om p inte är en summa av två kvadrater. Detta kan vi bevisa, vi antar att p är summanav två kvadrater, dvs. pa2b2 (a bi a bi )( ) Då p inte är en kvadrat måste
a≠0 och b≠0 eftersom varken a+bi eller a-bi är enheter. Detta medför att
(a bi a bi )( )är en icke trivial faktorisering av p och p är då inte ett primtal i
Z i .
Omvändningen till detta bevisas genom att använda normen för p. Vi antar att
p inte är ett primtal i Z i
och får då att p är ett sammansatt tal, p där
, Z i
. Ingen av dessa är enheter eller har normen 1 men då får vi att
2
( ) ( ) (p)
N N N p . Så 2
( )
N p men både N( ) och N( ) är lika med p
eftersom p är ett primtal i Z. Om vi sätter a bi ger N( ) p att
2 2
pa b vilket skulle visas.
Vi antar att pN är ett primtal i Z och att p inte är ett primtal i Z i
dvs.p där α, β inte är enheter i Z i
. Vi ska nu visa att .2
( ) ( )
N N p ( ) ( )
16 Primtal i Z
Reella primtal i Icke-reellt primtal i
2 2
( )( )
pa b a bi a bi
( )
p a bi
Om pN är ett primtal i Z och pa2b2så är a bi och a bi
primtal i Z i
vilket vi kan se av tidigare exempel.Det vi har studerat nu visar att det finns ett samband mellan teorin för Gaussiska primtal och det talteoretiska problemet om vilka heltal som kan skrivas som en summa av två kvadrater. Detta är ett klassiskt problem inom talteorin som går tillbaka till Fermat. Fermats sats säger att om vi låter p vara ett primtal så är
2 2
pa b för något ,a bZ om och endast om p2 eller p1(mod 4). Detta kommer från Lagranges hjälpsats om ett primtal p4n1 kan divideras med
2
1
m för något mZ.
Exempelvis är 5 inte ett primtal enligt Fermats sats eftersom 5 kan skrivas som en summa av två kvadrater 52212 eftersom 5 1(mod 4) .
2.9.2 Samband och konsekvenser i talteori
Vi har nu studerat Gaussiska primtal på flera olika sätt. Vi har sett att det finns flera centrala sätt för att studera vilka vanliga primtal som även är Gaussiska primtal. Genom flera beräkningar har vi kunnat konstatera att vissa av våra vanliga primtal inte är Gaussiska primtal. Det finns olika former av Gaussiska primtal som är reella eller icke-reella. Vi förtydligar detta med en bild som visar hur primtalen fördelar sig:
Ett primtal p i Z på formen p4n1 vet vi är summan av två kvadrater
2 2
17
två kvadrater är inte ett Gaussiska primtal men dess faktorer är icke-reella Gaussiska primtal.
För att tydliggöra detta och kvalificera dessa kan vi utgå från nedanstående villkor för att bestämma vilka vanliga primtal som även är Gaussiska primtal: (Dessa villkor gäller för alla Gaussiska primtal, både reella och icke-reella.)
Ett Gaussiskt heltal a + bi är ett Gaussiskt primtal om och endast om något av dessa nedanstående två villkor är uppfyllda.
Antingen är a eller b lika med noll och den andra är ett primtal på formen 4n + 3, där n är ett positivt heltal
Både a och b är skilda från noll där 2 2
pa b är ett primtal som inte är på formen 4n + 3
Moduloräkning kan även vara till hjälp för att studera om ett tal är sammansatt och därmed inte ett primtal. Om ett primtal α uppfyller villkoret 3(mod 4) förblir ett primtal i Z i
då är inte α inte ett sammansatt tal och förblir då ett primtal. Vilket gör att vi slutligen kommer fram till att alla Gaussiska primtal är enhetsmultiplar av följande primtal 1 i
eller där N( ) p, där p är ett primtal i Z som även är kongruent med 1(mod 4)
18
Målet var att studera vilka av de vanliga primtalen i Z som även är primtal i Z i
. I tabellen nedan visas primtal i Z mellan heltalen 1 och 50.Primtal i Z Sammansatta tal 4n+3 4n+1 Reella primtal i Z i
Exempel på icke-reella primtal i Z i
2 2 2 1 1 1 i 3 4 0 3 3 5 2 2 2 1 4 1 1 1 2i 7 4 1 3 7 11 4 2 3 11 13 2 2 3 2 4 3 1 3 2i 17 2 2 4 1 4 4 1 4 i 19 4 4 3 19 23 4 5 3 23 29 2 2 5 2 4 7 1 5 2i 31 4 7 3 31 37 2 2 6 1 4 9 1 6 i 41 2 2 5 4 4 10 1 5 4i 43 4 10 3 43 47 4 11 3 47Vi kan tydligt se att det finns primtal i Z som inte består i Z i
. Primtal i Z som kan skrivas som summan av två kvadrater eller på formen 4n+1 motsvaras av icke-reella tal i Z i
. Primtalet 13 i Z motsvaras till exempel av primtalet 3 2i i
19
2.10
Olösta problem
Gauss lämnade en hel del olösta problem när de gäller Gaussiska heltal. De flesta problemen är relaterade till fördelningen i planet för Gaussiska primtalen. Gauss cirkelproblem och vallgravsproblem är två problem som är olösta än idag.
2.10.1 Gauss cirkelproblem
Gauss cirkel problem behandlar inte de gaussiska heltalen i sig utan tar istället upp antalet gitterpunkter inuti en cirkel med en given radie centrerad i origo. Detta är samma sak som att bestämma antalet gaussiska heltal med normen mindre än eller lika med ett givet värde. Om vi har en cirkel i planet i origo och en radie som är större än ett vill vi veta hur många punkter det finns inuti denna cirkel på formen (m, n) där m och n är heltal. Cirkelns ekvation ges i kartesiska koordinater
på formen x2y2 r2 och detta gör att frågan hur många par av heltal m och n finns det sådan att m2n2 r2. Eftersom en kvadrat med sida ett i allmänhet innehåller en gitterpunkt, och en cirkel med radie r har area r2 så antar man att antalet N r Gaussiska heltal på och inom denna cirkel har formen ( )
2
( ) ( )
N r r E r men en ”felterm” E r( ). Gauss visade att E r( )2 2r och man förmodar, men har ännu inte bevisat att E r( ) har storleksordningen Ar1/ 2.
2.10.2 Gauss vallgravsproblem
Att gå till oändligheten med hjälp av Gaussiska primtalen som språngbrädor och vidta åtgärder med begränsad längd är ett olöst problem som många under lång tid försökt att bevisa. Det är bevisat att det inte går att genomföra med hjälp av de vanliga primtalen men kvarstår olöst med hjälp av Gaussiska primtalen eftersom problemet blir alltför komplext.
20
21
3 Konklusion
22
4 Referenser
Björk, Lars-Eric, Brolin, Hans, Eliasson, Lennart och Ljungström, Lars-Fredrik. 1980.
Matematik – Gymnasieskolans treåriga linje. Stockholm: Natur och Kultur
Conrad, Keith, The Gaussian integers
Engblom, Andreas och Sola, Alan. 2008. Talteori. Stockholm: KTHs Matematiska Cirkel, Institutionen för matematik
Gethner, Ellen, Wagon, Stan och Wick Brian. 1998. A Stroll Through the Gaussian Primes.
Katz, Victor J. 2009. A History of Mathematics. 3rd Edition. Upper Saddle River, New Jersey:Pearson
Keijo, Hildén. Några valda ämnen I algebra och talteori. Linköping: Linköpings universitet
Kiselman, Christer. Gaussiska primtal.
Uppsala:Institutionen Mittag-Leffler & Uppsala universitet
Nagell, Trygve. 1984. Lärobok i algebra. Almquist & Wiksells Akademiska Handböcker. Uppsala: Hugo cebers förlag.
Rosen, Kenneth H. 2011. Elementary Number Theory Monmouth University: Pearson
Thompson, Jan - under medverkan av Martinsson, Thomas. 1991. Matematiskt lexikon. Stockholm: Wahlström & Widstrand
Thompson, Jan. 1996. Matematiken i historien. Uppl 1:15. Lund: Studentlitteratur AB
