Hur tre läromedel introducerar additionstecknet, subtraktionstecknet

School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI

Hur tre läromedel introducerar additionstecknet, subtraktionstecknet

och likhetstecknet

Cecilia Engstrand Camilla Trygg

MSI Report 07085

Examensarbete 10 poäng i Lärarutbildningen Vårterminen 2007

ABSTRAKT

Cecilia Engstrand & Camilla Trygg

Hur tre läromedel introducerar additionstecknet, subtraktionstecknet och likhetstecknet

How three textbooks in mathematics introduce signs for addition, subtraction and equal

Antal sidor: 40

Syftet med denna studie har varit att undersöka hur läromedel går tillväga vid introduceringen av additions-, subtraktions- och likhetstecknet. Den metod som valdes var en komparativ textundersökning av tre olika läromedel. De läromedel som undersöktes valdes utefter en intention att få en bredd på studien. Resultatet visade att symbolerna introduceras på olika sätt och i olika ordning i de tre läromedlen. Här framkom att likhetstecknet inte alltid får den huvudroll som teorin påtalar att den bör ha, vilket kan försvåra elevernas förståelse för symbolen. Vidare blev det tydligt att samtliga läromedel ger addition och subtraktion flera olika betydelser, exempelvis sammanläggning och jämförelse. Dessutom arbetar man med att förtydliga sambandet mellan dessa räknesätt i alla läromedel, även om man belyser detta samband i olika grad. Ett ytterligare resultat var att samtliga läromedel påtalar vikten av att utgå från barns informella kunskaper. Detta får dock olika utrymme i de olika läromedlen.

Vidare utgår även de tre läromedlen från analytiskt och syntetiskt tänkande i olika omfattning.

Sökord: Additionstecknet, subtraktionstecknet, likhetstecknet och läromedel.

Postadress

Växjö universitet 351 95 Växjö

Gatuadress

Universitetsplatsen

Telefon

0470-70 80 00

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 3

2. Syfte, frågeställningar och avgränsningar ... 4

2.1. Syfte... 4

2.2. Frågeställningar ... 4

2.3. Avgränsningar ... 4

3. Teoretisk bakgrund ... 5

3.1. Symbolerna ur ett historiskt och nutida perspektiv ... 5

3.2. Introducering av symboler ... 6

3.2.1. Addition och subtraktion ... 8

3.2.2. Likhetstecknet ... 9

3.3. Barns lärande ... 10

3.3.1. Analys och syntes ... 11

3.3.2. Språkets betydelse ... 12

3.3.3. Det informella språket ... 12

3.4. Definition av läromedel ... 13

3.4.1. Läromedlets roll i undervisningen ... 13

4. Metod ... 16

4.1. Metodisk ansats... 16

4.2. Urval ... 17

4.2.1. Beskrivning av läromedlen ... 17

4.3. Genomförande och bearbetning ... 19

5. Resultat och analys ... 20

5.1. Hur går man tillväga vid och under introduceringen av symbolerna? ... 20

5.2. Sammanfattande komparativ analys ... 24

5.3. Ger läromedel utrymme för elevernas informella matematikkunskaper? ... 26

5.4. Sammanfattande komparativ analys ... 28

5.5. Hur arbetar läromedlet med analytiskt och syntetiskt tänkande? ... 30

5.6. Sammanfattande komparativ analys ... 31

6. Diskussion ... 33

6.1. Resultatdiskussion ... 33

6.2. Metoddiskussion och metodkritik ... 37

6.3. Förslag till fortsatt forskning... 37

Referenslista .……….38

Bilaga 1 - 2

1. Inledning

Intentionen med denna uppsats är att titta på hur läromedel introducerar symbolerna;

additions-, subtraktions- samt likhetstecknet. Vi har under vår lärarutbildning tagit del av litteratur och forskning, där det framkommit att likhetstecknet ofta är en missförstådd symbol som elever kan få svårigheter med. En anledning till detta tycks vara att tecknet inte får den huvudroll som behövs, då den ofta introduceras samtidigt med addition. Dessutom tycks eleverna uppfatta symbolen som ett resultattecken som har sin enda funktion att visa var svaret ska skrivas. Litteraturen pekar också på ett ensidigt sätt att förmedla additionstecknet och subtraktionstecknet. Dessa får ofta betydelsen ökning eller motsvarande, minskning.

Tanken att undersöka hur just läromedel introducerar symbolerna föddes under våra tidigare undersökningar, då det framkom att lärare till stor del bygger sin undervisning på läromedlet.

Vi har även under vår utbildningstid tagit del av litteratur, undersökningar samt föreläsningar som påtalat just läromedlets dominerande roll. Med anledning av detta finner vi det intressant att titta på vilka metoder läromedel använder när de introducerar symbolerna.

En annan viktig insikt som nått oss under vår utbildning är att man i den inledande

matematikundervisningen bör ta hänsyn till elevernas tidigare erfarenheter av matematik, så

kallade informella matematikkunskaper. När barn börjar skolan och möter skolans formella

matematikspråk i form av siffror och symboler kan det uppstå en krock mellan detta abstrakta

språk och deras eget informella. Då barns förståelse för det formella matematikspråket är en

viktig grund i matematikundervisningen, vill vi även undersöka huruvida läromedel tar

hänsyn till barns informella kunskaper i introduktionen av symbolerna eller inte. Vi menar

även att det analytiska tänkandet är en viktig utgångspunkt när man tar hänsyn till barns

informella kunskaper, då forskning tyder på att barn har lättare att utgå från helheter. Vi valde

därför också att undersöka hur läromedlen arbetar med analytiskt och syntetiskt tänkande.

2. Syfte, frågeställningar och avgränsningar

2.1. Syfte

Syftet med detta examensarbete är att undersöka hur additionstecknet, subtraktionstecknet och likhetstecknet introduceras i läromedel.

2.2. Frågeställningar

 Hur går man tillväga vid och under introduceringen av symbolerna?

 Ger läromedel utrymme för elevernas informella kunskaper när man introducerar symbolerna, och i så fall på vilket sätt?

 Hur arbetar läromedlet med analytiskt och syntetiskt tänkande?

2.3. Avgränsningar

Undersökningen fokuserar på hur tre olika läromedel introducerar additionstecknet, subtraktionstecknet och likhetstecknet. Med läromedel avses lärarhandledning, läroböcker och allt material som knyts till detta. En mer utförlig läromedelsdefinition återfinns i teoridelen. I detta sammanhang bör också nämnas att efter inventering av de tre läromedlen valdes visst material bort, som således inte varit föremål för undersökningen. Detta har varit material som inte varit relevant för syftet, exempelvis geometriböcker.

Observationer av lärares eller elevers arbete med dessa symboler har inte utförts.

3. Teoretisk bakgrund

Nedan följer en kort presentation av symbolerna och historiken kring dessa. Här behandlas även barns lärande, samt språkets och det informella språkets betydelse för matematikinlärningen. Vidare ges en beskrivning av symbolintroduceringen, en läromedelsdefinition samt vilken roll läromedel har och hur lärare använder dessa i undervisningen.

3.1. Symbolerna ur ett historiskt och nutida perspektiv

Matematiken har varit en del av vardagen för oss människor i cirka 300 generationer. De senaste 20 generationerna har man använt sig av symbolisk matematik, vilket innebär att det funnits olika tecken att manipulera med när man brukat matematiken. I Europa, någon gång på 1600-talet, förenades två olika matematiska traditioner, den orientaliska med inslag av algebra och den grekiska med inslag av geometri. Detta låg som grund till, och fungerade som förberedande till den moderna matematiken och en matematik med olika slags symboler (Thompsson, 1996).

Symbolerna, exempelvis i form av siffror, geometriska figurer eller olika funktionstecken, har idag en stor betydelse inom matematiken. Rent historiskt skapades symbolerna utifrån ett mänskligt behov och kan se olika ut mellan olika kulturer (Gran, 1998). Dagens symbolsystem är betydelsefullt i den vetenskapliga och teknologiska kultur vi lever i.

Symbolsystemet fyller både en subjektiv och objektiv roll genom att fungera som ett tankeredskap där personliga uppfattningar och symbolernas långa kulturhistoriska process påverkar. Med hjälp av symbolsystemet kan vi reorganisera och bearbeta vårt vetande och lättare framställa, diskutera och kommunicera (Mellin-Olsen, 1989, i Emanuelsson, Johansson, Ryding, & Wallby, K. 1996; Sällström, 1991). Samhället idag består av ett större och mer abstrakt symboliskt språk än tidigare. I framtidens informationssamhälle kommer detta språk, som till stor del består av matematik, sannolikt inte att minska (Ljungblad, 2001).

Additionstecknet uppkom på 1400-talet, men kom inte till Sverige förrän omkring 1600-

talet. Ordet addition kommer från latinets addere, vilket betyder ”lägga till”. I svenska språket

uttrycker man vanligen handlingen som ”att lägga ihop”. Tecknet plus brukar kallas

plustecken eller additionstecken (Nystedt, 1993; Vejde & Roth, 1999). När man använder sig

av räknesättet addition och gör beräkningar används tecknet plus (+). De tal som adderas

kallas termer och resultatet summa. (Magnusson, 1991).

Subtraktionstecknet (–) kunde man hitta för första gången i en tysk räknebok från 1481.

Orden minus samt subtraktion kommer från det latinska språket och betyder mindre, respektive dra ifrån. Tecknet minus brukar man kalla minustecken eller subtraktionstecken.

Omvändningen till subtraktion är addition (Vejde & Roth, 1999; Nystedt, 1993). De tal som subtraheras kallas för termer och resultatet för differens (Magnusson, 1991).

Under årens lopp har likhetstecknet sett olika ut. Från början saknade man en symbol och uttryckte således tecknet i ord när man skrev det. Som exempel använde man i latinet quod est, gleich i Tyskland och i Frankrike esgale. De första symboler som användes för likhet var:

[, ~ och (║). 1557 skrev man = för första gången, men det dröjde ända till 1618 innan man använde tecknet igen. Först på 1700 – talet användes tecknet i allmänt bruk. En av orsakerna till att det dröjde så länge var troligen att tecknet användes till mycket annat än just ”likhet”.

Som exempel användes tecknet som minus, decimal eller för att separera tal (Nystedt, 1993).

”Två talbeteckningar sammanbundna med ett likhetstecken (=) kallas en likhet. En likhet anger att talbeteckningen står för lika (samma) tal. Tecknet = utläses ’är lika med’ och ibland kortare ’är’.” (…) ”Likhetstecknet används inte endast för att ange likhet mellan tal, utan även likhet mellan andra objekt som storheter, mängder och vektorer.” (Skolöverstyrelsen, 1997:9).

3.2. Introducering av symboler

Både det matematiska språket och skriftspråket är uppbyggt på språk i form av text, instruktioner och symboler. Matematikspråket, genom sitt speciella symbolspråk, kräver en precision till skillnad från skriftspråket. Elever måste förstå relationen mellan matematiska begrepp, idéer och symboler för att kunna kommunicera via symboler (Jakobsson-Åhl, 1999, i Sterner & Lundberg, 2004). Det är viktigt att kunna koppla symbolen till något som har en innebörd och en betydelse. De första symbolerna som barnet kan förstå är det ”ikoniska tecknet” som har en likhet till betydelsen, exempelvis att en ritad triangel är en triangel.

Därefter kommer ”indextecknet” som handlar om samband mellan tecken och referens, exempelvis ritar barnet fem streck som symboliserar fem hundar. Det sista är ”symbolen” som utgår från den konventionella relationen mellan tecken och referent, exempelvis tecknet + för plus. Här finns inte längre några perceptuella likheter utan det bygger på inre teoretiska kunskaper (Van Oers, 2000, i Sterner & Lundberg, 2004).

Elever kan ofta ha svårt för att översätta olika räknehandlingar till det kortfattade

matematiska symbolspråket. Det formella symbolspråket kan även vara hämmande för vissa

elever. Det här är något som lärare behöver vara medvetna om och därför gå varsamt fram i

introduceringen av matematikens formella språk (Malmer, 2002; Johnsen Høines, 2000;

Ahlberg, 2000). En anledning till att problem uppstår vid symbolintroduceringen är just att symbolerna förs in för tidigt. Det kan ta lång tid för eleven att överföra konkreta erfarenheter till andra jämförbara händelser i tanken, för att sedan koppla ihop det med symbolen. Lärare bör därför i den grundläggande undervisningen vara medveten om att elevens förmåga att uttrycka sig i matematiska symboler, inte betyder att de har en förståelse för innebörden och kan omsätta det till situationer inom matematiken. Eleverna behöver även få en förståelse för att de matematiska symbolerna är ett medel för att uttrycka en mening. Symbolerna är en beskrivning av verkligheten och ersätter det talade eller det skrivna ordet för en situation eller händelse (Anghileri, 2000, Kibel, 1992, Mellin-Olsen, 1984, i Sterner & Lundberg, 2004). I undervisningen bör man försätta eleverna i situationer där de själva finner ett behov av symbolerna. Det är oerhört betydelsefullt att eleverna förstår och inser värdet av användningen av matematiska symboler och tecken (Berggren & Lindroth, 1997; Engström, 1998).

Malmer (2002) menar att det är viktigt att eleverna får utveckla en ordentlig taluppfattning innan symbolerna introduceras. Eleverna behöver få ordentligt med tid för att under lekfulla former få umgås och experimentera med tal, dela upp och sätta samman, jämföra samt berätta.

Det är högst betydelsefullt att vi utgår från individens behov, eftersom vi inte kan förutsätta att alla elever vid samma tillfälle ska ha samma möjlighet att tillägna sig begrepp som de sedan också ska kunna översätta till ett koncentrerat symbolspråk (Malmer, 1990, 2002).

Även Johnsen Høines (2002) talar om vikten av ett individbaserat perspektiv. De menar att vi måste vara flexibla i undervisningen. Varje klass är unik och den består i sin tur av unika individer. Man kan därför inte rekommendera ett specifikt undervisningssätt som passar alla.

Elevernas erfarenheter är den viktigaste utgångspunkten när de ska ta till sig och förstå de

formella matematikkunskaperna. Ett laborativt och undersökande arbetssätt är lättare att

anpassa efter elevernas varierande förutsättningar och behov. Utan hård styrning från en

lärobok kan man ta hänsyn till elevernas varierande språkliga och begreppsmässiga

utveckling. I detta arbete mot symbolspråket är det viktigt med det åskådliggörande

handlandet, i form av laborerande, konkret material. Det kan även handla om att man låter

barnen göra och använda egna symboler, eller rita egna räknesagor. Det slutgiltiga målet är att

göra det matematiska symbolspråket till ett språk, som är införlivat i barnen som sitt eget, och

att de därmed ska kunna utveckla nya kunskaper genom det (Johnsen Høines, 2000; Malmer,

1990). Malmer (2002) beskriver denna process genom sex inlärningsnivåer. (Se bilaga 1).

3.2.1. Addition och subtraktion

Ljungblad (2001) menar att lärare gärna kan låta eleverna använda sig av exempelvis klossar då de börjar arbeta med addition eller subtraktion. Hon varnar dock för att detta inte automatiskt innebär att eleverna förstår att det konkreta materialet innebär något matematiskt.

Olika elever behöver olika lång tid för att inse att den handling de utför med klossarna kan översättas till det formella språket, en del kan inte alls se kopplingen. För att ge alla eleverna en chans till detta, förordas att lärare hittar många olika representationsformer i laborerandet och låter eleven använda sig av olika sinnen (Ljungblad, 2001).

Introduceringen av symbolerna i matematikundervisningen sker alltför ofta på ett ensidigt sätt. Vanligtvis får addition betydelsen ökning och subtraktion minskning, vilket ytterligare förstärks av att lärare lär ut så kallade ”signalord”, ord som innebär ökning eller minskning.

Det är mycket viktigt att ge addition och subtraktion andra betydelser än ökning och minskning. Eleverna bör i addition få möta exempel som innefattar sammanläggningar, där antalet inte ökar, och i subtraktion ges tillfälle att möta och diskutera jämförelser mellan storheter. I subtraktion finner man ofta jämförelser av olika slag, det är därför extra viktigt att man lyfter fram även denna betydelse av subtraktionen för att eleven inte ska få svårigheter med detta senare (Malmer, 1990). Tränas eleverna i att se sambandet mellan helheten och delarna, blir det även naturligt att se kopplingen mellan addition och subtraktion, något som både Malmer (1990) och Ahlberg (2000) menar att eleverna har god hjälp av.

För att skapa olika tankebanor kan man i den inledande matematikundervisningen arbeta både utifrån analys och syntes, helhet och delar. Det är oftast enklare för elever att tänka utifrån helheter. Därför kan subtraktionen oftast vara en mer naturlig tankegång för eleverna eftersom man då utgår från något man har, helheten, och går till delarna. Ljungblad beskriver, utifrån Neumans forskning, ett analytiskt perspektiv på addition och subtraktion som hon kallar den ”analytiska modellen” (Ljungblad, 2001; Neuman, 1989).

Addition utifrån ett analytiskt perspektiv utgår från elevens informella utveckling av

kunskaper. För att tydliggöra saker de inte kan se använder sig barn, som inte är undervisade i

matematik, sina fingrar. De använder handen för uträkningar upp till 10 och utgår från

helheten. Utifrån helheten analyserar de sig fram till hur man kan dela upp tal, samt relatera

uppdelade tal till varandra och därefter gå från det uppdelade talet till det andra. Eleven kan

utifrån sina fingrar skapa en förståelse och koppling mellan talen. Utifrån denna insikt inom

det första tiotalsområdet, tiobasens struktur samt positionssystemet, kan man hjälpa eleverna

vidare för att få en förståelse för möjligheten att dela upp tal vid tio-gränser upp till 100

(Ljungblad, 2001).

Vid subtraktion från det analytiska perspektivet anses det viktigt att träna eleverna i att

”tänka genom sina händer”, samt att analysera talen och dess inbördes förhållanden inom talområdet 1 – 10. Genom att göra så kan man förhindra att eleverna ”dubbelräknar”. Det är bra om eleven får möta subtraktionstal i form av öppna lösningar. Om barnet använder sina fingrar när de räknar exempelvis 9 – 5 väljer de oftast automatiskt det enklaste sättet och räknar inte fem steg baklänges. Barnet tar helt enkelt bort den ena handen och ser att fyra fingrar finns kvar på den andra. Här ser de talet nio uppdelat på två, fem i form av hela den ena handen och fyra som fingrarna på den andra handen. Barnet kan nu välja om den vill tänka subtraktionen som 5 + 4 eller 9 – 5. Med denna fingerräkning blir sambandet mellan addition och subtraktion tydligt och den största delen av talet kommer alltid först, om det inte rör sig om tal som är lägre än fem. Barn som fingerräknar lär sig på ett naturligt sätt att utifrån talets helhet se delarna. De relaterar talens förhållande till varandra, vilket utgör grunden för en begreppslig talförståelse. Relationen mellan addition och subtraktion blir genom barnets informella lärande både självklart och naturligt. Handen plus fyra fingrar är både 5 + 4 och 4 + 5, men kan även representera 9 – 5 och 9 – 4 (Ljungblad, 2001).

3.2.2. Likhetstecknet

Likhetstecknet är ofta en missförstådd symbol som inte får den huvudroll den borde ha,

eftersom den för det mesta introduceras i samband med addition. Likhetstecknet är även den

svåraste symbolen, då det kan vara väldigt svårt för eleverna att förstå innebörden, nämligen

att det ska vara lika mycket på båda sidor om tecknet. Den uppfattas ofta felaktigt som ett

resultattecken och får betydelsen av att det är något som ”blir”, istället för att vara ”lika

mycket” (Ahlberg, 2000; Ljungblad, 2001; Malmer, 1990). En vanlig företeelse, som bidrar

till att likhetstecknet får en felaktig betydelse, är att eleverna i samband med introduceringen

av addition ofta möter det man kallar dynamisk addition. En dynamisk addition handlar om

tal som utgår från en händelse där något sker, exempelvis: det är fyra katter i en korg, sedan

kommer tre till och då blir de sju. Det är viktigt att eleverna i ett tidigt skede istället får möta

så kallad statisk addition, där tankegången är en sammanläggning som: på festen är det tre

flickor och fyra pojkar, tillsammans är det sju barn på festen. Vid tal som dessa är risken

mindre för att eleverna ger likhetstecknet betydelsen av att det är något som ”blir” (Malmer,

2002). Likhetstecknet får även ofta betydelsen att något ska utföras för många elever, vilket

kan bli missvisande i en del uppgifter och därmed ställa till svårigheter. En grundlig förståelse

för likhetstecknets innebörd är av stor betydelse när elever senare ska lära sig algebra. Det är

viktigt att eleverna får möta tal som ger dem tillfälle att reflektera över likhetstecknet betydelse. Exempel på sådana tal kan vara 2 + 5 = 4 + _ istället för mer traditionella tal som 2 + 5 = _. Det räcker dock inte att ge eleverna dessa uppgifter utan det bör finnas en vidare tanke bakom. Om eleverna ska få en bättre förförståelse i algebra är det viktigt att man i matematiken för diskussioner med eleverna både individuellt, i mindre grupper och i helklass (Emanuelsson, Mouwitz, Ryding, Trygg, Wallby, A. & Wallby, K. 2002).

3.3. Barns lärande

Inom den utvecklingspsykologiska forskningen har Piagets (1896–1980) och Vygotskijs (1896-1934) tankar varit betydelsefulla när det gäller synen på kunskap och inlärning. Dessa två ställs ofta i motsatsförhållande till varandra, då man gör jämförelser mellan deras olika synsätt (Malmer, 1990). Piaget (1972/1976) såg på lärandet främst utifrån ett biologiskt perspektiv, där han tittade på den intellektuella utvecklingen. Barnen sågs som oskrivna blad där de själva skulle få upptäcka, förstå och forma sin kunskap. Det logiska tänkandet ansågs inte vara medfött hos barnet. Därför borde skolan och dess undervisning handla om verkliga och experimentella aktiviteter, där eleven i gemenskap med andra och med hjälp av handlandet kan utforma ett logiskt tänkande. Undervisningen måste vara gränsöverskridande, tvärvetenskaplig och utgå från relationer mellan ting och fenomen. Piaget delade in barnets utveckling i olika stadier. Stadiet mellan sex och tolv års ålder kallade han ”det konkret, operationella stadiet”. I detta stadium kan barnen se logiska och matematiska relationer, men är i behov av att se konkreta ting framför sig. Inte förrän tidigast vid tolv års ålder går barnen över till det så kallade ”formellt operationella stadiet”, ett stadium där barnen sägs behärska så kallat vuxen- logiskt tänkande. Piaget menade även att det i matematiken är av yttersta vikt att elever får befästa sin förmåga att resonera kring förlopp och företeelser med sitt eget språk, innan de uppnått mognad för ett färdigt och alltför abstrakt språk i form av siffror och symboler (Piaget, 1972/1976).

Vygotskij (i Lindqvist, 1996/1999) såg på barns lärande främst utifrån ett socialt

sammanhang, där deras utveckling kan ske tillsammans med andra. Vygotskij talade om att

skolan borde vara en ”handlingens” skola, där elever och lärare är delaktiga i en aktiv

lärandemiljö. Kunskap förvärvas genom egna erfarenheter, där elevernas egna intressen är en

bärande del av lärandet, och där läraren har en viktig roll som handledare och organisatör. Det

är av stor vikt att det finns en koppling mellan det redan kända och det okända, samt mellan

skolan och det verkliga livet. Vygotskij satte även själva tänkandet i fokus, och menade att det

är viktigt att skapa samband mellan tanke och handling och att utmana tänkandet. Eleven behöver få reflektera över sin inlärning och själv skapa ett sammanhang där begreppsbildning kan ske. Vygotskij talade om den närmaste utvecklingszonen, vilket står för förhållandet mellan den faktiska utvecklingsnivån och den potentiella. Det är elevernas möjligheter som ska styra undervisningen. Det man kan göra med hjälp av en vuxen idag, kan man imorgon göra på egen hand (Vygotskij i Lindqvist, 1996/1999).

En nutida svensk forskare, som visserligen inte når upp till samma status som Piaget och Vygotskij, men som ändå är värd att nämna i detta sammanhang, är Löwing (2006). Hon konstaterar att inlärning inte handlar om arbetssätt och arbetsform i första hand, utan att detta bara är en ram för inlärningen. För att lära matematik ska eleverna ges tillfälle att arbeta med, samt reflektera över ett matematiskt innehåll som är tillrättalagt och individanpassat. Löwing har i sin forskning kommit fram till att det mest avgörande för framgångsrik inlärning är kommunikationens didaktiska kvalitet. Den bygger på tre komponenter i form av lärarens egna kunskaper om ämnet, lärarens förmåga att lyfta fram meningen i det hon undervisar om, samt lärarens förmåga att ta hänsyn till elevernas förförståelse och abstraktionsförmåga (Löwing, 2006).

3.3.1. Analys och syntes

I ett analytiskt tänkande utgår man från helheten och undersöker delarna, medan man i det syntetiska gör tvärtom, går från delarna till helheten. För att skapa olika tankebanor inom samma problem bör man låta eleverna arbeta med både analys och syntes i den inledande matematikinlärningen (Ljungblad, 2001). Neuman (1989) anser att inlärning är en analytisk process, något som man ofta talar om när det gäller läs- och skrivinlärningen, men mer sällan när det gäller den matematiska inlärningen. Inom analysens ramar finns dock även utrymme för det syntetiska i form av ett sökande efter en uppfattbar helhet. Utifrån ett analytiskt perspektiv bör lärare ta reda på elevernas tidiga uppfattningar av tal och utgå från dem.

Neumans undersökningar visar att elever i ett tidigt stadium av sin matematikinlärning inte delar upp kvantiteten i enheter, utan ser på det som något som kan vara ”mycket” eller ”litet”

men utan bestämt antal. Därför bör man starta undervisningen utifrån ”omfånget” och skapa

enheter, för att sedan gå vidare med att låta eleverna få uppleva ett behov av att skapa

symboler som gör matematiken ihågkombar och uppfattbart (Neuman, 1989).

3.3.2. Språkets betydelse

Kursplanen för matematik (Skolverket, 2006) skriver att utbildningen i skolan ska ha som syfte att utveckla elevernas intresse för matematik, och ge möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Skolverket klargör språkets roll och vikten av att tala matematik i sin rapport Lusten att lära – med fokus på matematik (2003), där de skriver:

Sambandet mellan god språkbehärskning och matematisk förståelse är väl belagt såväl i praktiskt pedagogiskt arbete som i forskning. Ett väl utvecklat språk är en nödvändig förutsättning för allt annat lärande, också i matematik. Med hjälp av språket utvecklas matematiska begrepp, eleven blir medveten om sitt kunnande och hur man lär. I undervisningen behöver eleverna därför ges utrymme att förklara hur de tänkt, hur de löst uppgifter och de behöver delta i samtal kring matematik som ett led att utveckla sitt matematiska språk, sitt matematiska tänkande och sin förståelse. (2003:44).

Språket har en avgörande betydelse för inlärningen. Det är därför av yttersta vikt att lärare i sin undervisning använder, samt stödjer utvecklingen av ett adekvat matematiskt språk.

Vygotskij menade att undervisningen bör ge utrymme för kommunikation och samspel, både mellan lärare- elev samt eleverna emellan. Den mest ultimata inlärningssituationen sker i utbyte med någon mer kompetent, lärare eller kamrat. Språket leder elevens utveckling framåt och tanke och språk utvecklas i en ständigt pågående dialektik (Löwing, 2006; Vygotskij, 1934/1999; Vygotskij i Bråten, 1996/1998). Språket är vidare nödvändigt för att utveckla begrepp och föreställningar om matematiska förhållanden. Det är viktigt att man utvecklar ett muntligt bra matematikspråk innan man går in på det skriftliga symbolspråket (Malmer, 1990;

Sterner, 2000). I Skolutvecklingsenhetens rapport Vän med matematiken (2003) beskrivs en studie där man fokuserade undervisningen i år 1 på läs- och skrivinlärningen, medan matematikundervisning minskades drastiskt. Trots detta visade det sig att elevernas prestationer i matematiken förbättrades. Av detta drog man slutsatsen att man måste befästa språket innan eleverna kan tillgodogöra sig de matematiska symbolerna.

3.3.3. Det informella språket

När eleverna börjar skolan har de kunskaper, erfarenheter och problemställningar med sig.

Under sin uppväxt har de stött på matematiken i sin vardag. De har hört siffror och symboler

nämnas, de vet hur många år de är, vilken buss de ska åka, hur många steg det är i trappan och

hur de ska dela godiset mellan sig och sin kamrat. Dessa kunskaper uttrycker eleverna på sitt

informella språk genom en mängd olika uttrycksformer såsom bilder, kroppsspråk, konkreta

handlingar, egna ord med mera. De kan därpå utföra flertalet räknehandlingar som är både

komplicerade, samt innefattar olika räknesätt, så länge de inte behöver redovisa med det

formella matematikspråket (Ahlberg, 2000; Johnsen Høines, 2000; Malmer, 2002;

Skolutvecklingsenheten, 2003).

Elever som får använda sitt eget språk och samtala om matematiska problem, samtidigt som de får knyta an till egna erfarenheter i vardagen, kommer att ha en större chans att sammanbrygga sitt informella matematikspråk med det formella matematiska symbolspråket.

Det anses viktigt att lärare tar hänsyn till den individuella eleven och dess tidigare kunskaper och erfarenheter när de undervisar i matematik. För att göra detta måste de möta eleverna i deras verklighet, och utgå från deras informella språk, vilket är betydelsefullt för att det matematiska symbolspråket ska få en innebörd för eleven. Undervisningen måste tydliggöra för eleverna att de faktiskt redan löser matematiska problem i vardagslivet, fast på ett informellt sätt. Eleverna behöver även bli medvetna om vikten av att förmedla vad de kan.

Det är med dessa insikter hos eleverna som man kan lära dem hur problemen kan uttryckas på det matematiska symbolspråket (Johnsen Høines, 2000; Skolutvecklingsenheten, 2003).

Elevers informella språk bör ligga som grund i undervisningen, annars finns det en stor risk att eleven utvecklar två separata system för matematiken; ett som de använder i skolan och ett annat utanför (Sterner & Lundberg, 2004).

3.4. Definition av läromedel

Ett läromedel består av många olika delar. Som bas finns alltid en lärarhandledning som beskriver och ger förslag på hur materialet bör användas. Här kan man även, i lite varierande omfattning, finna tips på hur arbete utanför materialet kan bedrivas, samt ett kopieringsunderlag. Vidare finns det oftast grundböcker som eleverna kan arbeta i. Utöver dessa kan det även finnas extraböcker, läxböcker samt temaböcker om problemlösning och annat. I enstaka läromedel finns inga böcker att tillgå, utan läraren skapar själv elevernas böcker utifrån ett omfattande kopieringsmaterial. Ett läromedel kan även innehålla olika konkreta material, kortlådor, datamaterial samt spel.

3.4.1. Läromedlets roll i undervisningen

Skolverket kvalitetsgranskning (2003) visar att lärare i de tidigaste skolåren ofta utgår från lek, temaarbeten och språkstimulerande aktiviteter. Man använder ofta ett konkret och varierande arbetssätt och läromedel. Lärare tycks arbeta medvetet och ser till att eleverna får använda alla sinnena i matematiken och att de oftast får tydlig och snabb återkoppling.

Bilden från de tidiga skolåren är dock inte entydig. Det är visserligen vanligt med ett friare

arbetssätt här, men denna övergår relativt snart till ett mer formaliserat arbetssätt. Detta sker

på många håll redan i år 3, men det stöttes även på redan i förskoleklass (Skolverket, 2003).

En anledning till att det formella matematikspråket förs in tidigt kan vara att det idag finns en tradition i Sverige att ta in det formella i matematiken nästan på en gång. Samtidigt är det vanligt att lärare hämmar elevernas kreativitet och upptäckarglädje under det första året, när de enbart låter dem lösa enkla tal i väntan på att eleverna lär sig hantera det formella språket (Malmer, 1990; Ljungberg, 2001; Sterner & Lundberg, 2004).

I skolverkets rapport Läromedlens roll i undervisningen (2006) framkommer att läromedlet fungerar som riktningsgivare i undervisningen, och har en stark påverkan på exempelvis innehållet, speciellt i språk, matematik samt naturorienterande ämnen, där ämnesstoffet systematiskt bygger på varandra. De konstaterar att läromedlet tycks ha en stark ställning i skolundervisningen och hänvisar till undersökningar gjorda av Föreningen Svenska Läromedel (FSL). Där konstateras att 20 % av lärare använder läromedel så gott som varje lektion, drygt 60 % regelbundet, 16 % sällan och endast 2 % anger att de aldrig använder läromedel. Englund (1999) konstaterar i sin forskning att lärobokens starka ställning har flera olika förklaringar. En förklaring är att lärare tycks se den som en garanti för att uppfylla läro- och kursplanernas mål, en slags kunskapsgaranterande-auktoriserande roll. Läroboken tycks även spela en gemensamhetsskapande-sammanhållande roll, både tankemässigt- ideologiskt och praktiskt. Läroboken underlättar även kravet på utvärdering och är praktiskt för läraren att hänvisa till vid prov. Englund konstaterar vidare att läroboken underlättar både för läraren och för elevens tillvaro. Lärare som är osäkra i sina ämneskunskaper finner ett stöd i läroboken, de slipper göra egna läromedel, och den underlättar både planering samt organisering av arbetet. För eleverna är det praktiskt att ha en lärobok istället för lösblad, artiklar samt faktaböcker av olika slag. En sista faktor som påverkar är lärobokens disciplinerande funktion. Den håller eleverna sysselsatta, vilket förhindrar kaos i klassrummet och den disciplinerar till arbete och läxläsning (Englund, 1999).

I Skolverkets rapport Lusten att lära, med fokus på matematik (2003) framkommer att läromedlets dominerande roll inverkar både positivt och negativt på elevernas känslor inför matematiklärandet. Kerstin Fejde (1998) skriver att lärare uppfattar att elever och föräldrar förknippar matematik med läroboken. När man utför andra övningar uppfattar eleverna inte detta som matematik. Det här är något som en del lärare uttrycker besvikelse och frustration över och känner att läroboken styr dem i alltför hög grad.

I andra undersökningar framkommer att lärare tycker att matematik är ett förhållandevis

enkelt ämne att undervisa i. Ahlberg (2000) undrar om detta kan bero på att lärare låter

läromedlet få en central roll i undervisningen och att man låter läromedlets upplägg styra

istället för elevernas behov. Löwing (2006) konstaterar att ambitionen från lärare att låta eleverna arbeta individuellt oftast innebär läromedelstyrt arbete i egen takt. Lärarens huvudsakliga uppgift blir då att handleda eleverna när behov uppstår. I sin forskning har Löwing funnit att denna läromedelsstyrda undervisning ofta har stora brister och inte alls handlar om individualisering. Eleverna arbetar i stort sett med samma uppgifter och efter samma instruktioner, utan hänsyn till individuella förutsättningar. Läraren uppvisade även stora svårigheter med att hålla reda på elevernas förkunskaper, då de ofta kunde arbeta med många olika moment. Detta resulterade i att lärare och elev talade förbi varandra och nya problem uppstod (Löwing, 2006).

När man diskuterar matematikundervisningen i skolan används ofta uttrycket ”den traditionella läroboksbundna undervisningen” (Ahlberg, 2000). Ahlberg menar dock att detta uttryck speglar en alltför ensidig bild av arbetet med läroböcker i undervisningen. Hur lärare använder sig av läromedlet skiljer sig vida åt. Att man använder läromedel i undervisningen behöver inte betyda att man styrs av den. Enligt Ahlberg utkristalliseras tre olika inriktningar på hur lärare arbetar med läromedel. Den första gruppen lärare använder läromedlet som enda utgångspunkt för undervisningen och knyter inte an innehållet till elevernas egna erfarenheter.

Den andra gruppen använder läromedlet som huvudsaklig utgångspunkt, men försöker knyta an till elevernas egna tankar och funderingar utifrån det boken tar upp. Slutligen finns en grupp lärare som utgår helt från elevernas egna erfarenheter. De kan som komplement till detta använda flera olika läromedel och då främst för färdighetsträningen. I Skolverkets kvalitetsgranskning (2003) undersökte man hur och varför läromedlet användes och där trädde två olika förhållningssätt fram:

”– att låta ett läromedel stå för måltolkning, arbetsmetoder och uppgiftsval, vilket är det i särklass vanligaste förhållningssättet i matematik, eller

– att utgå från kursplanens strävansmål och uppnåendemål och planera en variationsrik väg som

leder fram mot målen med hjälp av olika slags läromedel och arbetssätt, vilket enligt intervjuer

och observationer är ovanligt i matematikundervisningen.” (Skolverket 2003:39).

4. Metod

Nedan redovisas den metodiska ansats undersökningen haft. I detta stycke återfinns undersökningens validitet respektive reliabilitet. Under urvalet motiveras, samt presenteras de läromedel som granskats. Därpå följer en beskrivning av själva genomförandet och bearbetningen av undersökningen.

4.1. Metodisk ansats

Uppsatsens syfte har varit att undersöka hur läromedel introducerar additions-, subtraktions- och likhetstecknet. I arbetet med detta har en kvalitativ, strukturerad och komparativ textundersökning av läromedel gjorts. Den kvalitativa undersökningen anses som passande när man vill nå en djupare kunskap om någonting, vilket också varit syftet med denna undersökning (Patel & Davidsson, 2003). En textundersökning används då man vill beskriva och analysera texter, exempelvis ett läromedel. Då en jämförelse mellan läromedlens metoder även var önskvärd, valdes en komparativ textundersökning (Johannson & Svedner, 2001).

Undersökningen har utgått från fasta, strukturerade frågor som tillkommit utifrån de frågeställningar undersökningen inleddes med. Dessa frågeställningar har hjälpt till att fokusera på rätt saker för att få ett svar på vårt syfte, vilket ökat reliabiliteten. Reliabilitet handlar om att göra undersökningen på ett tillförlitligt sätt (Patel & Davidsson, 2003).

Reliabiliteten ökar också på grund av att undersökningsledarna var för sig undersökt samma läromedel och därefter diskuterat fram ett gemensamt resultat.

Validitet i en undersökning handlar om att det finns en överensstämmelse mellan vad det är vi vill undersöka och vad vi undersöker i praktiken (Patel & Davidsson, 2003). Då syftet med föreliggande undersökning har varit hur läromedel introducerar additions-, subtraktions- samt likhetstecknet anser vi att validiteten blir god, då vi i ett första skede inventerat läromedlets samtliga delar för skolår 1, och utifrån dessa gått igenom och utvärderat allt det material som berör syftet. Genom detta har en heltäckande och rättvis bild av läromedlet erhållits.

Validiteten ökar också av att de undersökningsfrågor som utformats utgått från syftet med

undersökningen. En fallgrop i dessa frågor kan ha varit förutfattade åsikter om vad som är

mer lämpligt i introduktionen av symbolerna.

4.2. Urval

I denna undersökning har tre olika läromedel för skolår 1 undersökts. Anledningen till att valet föll på läromedel för skolår 1 beror på att man traditionellt inför additions-, subtraktions- och likhetstecknet under det första skolåret. Valet av läromedel var inte slumpmässigt, utan valdes utifrån en intention att försöka få en bredd på undersökningen. Detta val speglades av det första intryck de olika läromedlen gav och är personliga. Med bredd menas här, att de tre läromedel som valdes i ett första skede såg ut att använda sig av lite olika upplägg kring introduceringen av symbolerna. Med olika upplägg menas att de tre läromedlen använder olika ordning vid introduceringen av symbolerna. Dessa läromedel är till viss del bekanta sedan tidigare då undersökningsledarna träffat på dem i arbetslivet, samt i studierna.

4.2.1. Beskrivning av läromedlen

Det första läromedel som undersökts är Matteboken (Rockström & Lantz, 2002). Författarna

till läromedlet är lärare i grunden. Materialet finns för skolår 1 – 6 och bygger på

sammanhållen kurs. Materialet för skolår 1 består av två grundböcker, två läxböcker, en

extrabok samt en lärarhandledning. I lärarhandledningen förklaras läromedlets upplägg och

grundläggande tankar. Här återfinns metodiska anvisningar och en del konkreta förslag på

exempelvis laborativt arbete, övningar, sånglekar, spel och lek som är direkt kopplade till

varje sida i kapitlet. Lärarhandledningen innehåller även kopieringsunderlag för diagnoser,

sifferskrivning, tillverkning av laborativt material och spel, färdighetsträning med mera. De

tankar Matteboken förmedlar i lärarhandledningen är att undervisningen ska se till att

elevernas upptäckarlust, kreativitet samt logiska förmåga tas tillvara. Eleverna ska tränas i att

dra egna slutsatser genom att undervisningen ska ge dem tankeväckande impulser där

eleverna själva kan bygga upp sin kunskap, upptäcka strukturer och sammanhang. De lägger

stor vikt vid att undervisningen ska ge utrymme för, samt leda till att eleverna utvecklar ett

matematiskt riktigt språk, både muntligt och skriftligt. Rockström och Lantz skriver vidare

att eleverna ska ges en upplevelse av att matematiken är något intressant och roligt, och att

elevens fantasi och uppfinningsrikedom ska tillvaratas. Motorik och rörelseträning, rytmik,

rim och ramsor är andra faktorer som författarna framhåller som redskap i

matematikundervisningen. Att i den inledande matematiken laborera och använda sig av

konkret material för att stärka elevens upplevelse av matematiken, ses även som en del av

undervisningen för de elever som behöver detta.

Det andra läromedel som undersökts är Tänk och räkna (Häggblom & Hartikainen, 2001).

Författarna är lärare i grunden. Materialet finns från förskoleklass till skolår 6 och bygger på sammanhållen kurs. Materialet för skolår 1 består av två grundböcker, två läxböcker, en utvärderingsbok, en problemlösningsbok samt en lärarhandledning. I lärarhandledningen återfinns förklaringar kring läromedlets upplägg och tankar, samt en allmän information om innehållet. Här finns även metodiska anvisningar, konkreta förslag till laborativt arbete, andra övningar, sånglekar, spel och lekar, direkt kopplat till varje sida i kapitlet.

Lärarhandledningen innehåller kopieringsunderlag med bland annat presentationsunderlag till första föräldramötet, övningsmallar, färdighetsträning samt förslag och underlag till elevprofiler i matematik. De tankar Tänk och räkna förmedlar i lärarhandledningen är att både lärare och elever ska ha en klar arbetsgång, samt klart uttalade mål som utgångspunkt i undervisningen. Författarna betonar elevernas egen kreativitet, samt samarbete eleverna emellan. De menar att matematikinlärning är en aktiv process där det ska finnas stort utrymme för språk och kommunikation genom laborativa samarbetsövningar, där begreppsbildning kan ske. Författarna poängterar vikten av aktiviteter som främjar både individuell och social utveckling. De menar att eleverna ska få möta vardagsnära problem och verklighetsanknutna situationer, vilket bidrar till att förankra matematiska begrepp.

Det tredje läromedel som undersökts är MultiMatte (Ingrid Olsson, Margareta Forsbäck, Annika Mårtensson 2002). Författarna är lärare i grunden. Materialet finns från förskoleklass till skolår 3, men är även tänkt att kunna användas upp i skolår 4. MultiMatte bygger inte på sammanhållen kurs. Materialet för skolår 1 består av förskoleklasshäftet, som i år 1 kan användas som introduktion eller helt väljas bort, tre grundböcker – varav en räknemetodbok, en problemlösningsbok samt en bok med tema geometri och mätningar. Det finns även häften med färdighetsträning, dataprogram med färdighetsträning i form av kopieringsmaterial och som CD-rom, dataspel med matteövningar samt en lärarhandledning. I lärarhandledningen förklarar man läromedlets upplägg och tankar. Här finns utförlig information, samt tydliga anvisningar direkt kopplade till varje enskild sida i grundboken. Författarna ger även många förslag på hur undervisningen kan läggas upp, såsom tips på lekar och material, samt vad man kan observera och utvärdera. I lärarhandledningen återfinns också kopieringsunderlag som innehåller information till föräldrar, material för fortsatt arbete samt fördjupning i form av övningar, spel med mera. De tankar MultiMatte förmedlar i lärarhandledningen är att matematikundervisningen ska utveckla barnens tänkande och resonerande i matematiken.

Detta för att de ska upptäcka, utforska och befästa kunskaper i meningsfulla sammanhang.

Författarna menar att tonvikten ska läggas vid att eleverna utvecklar en förståelse för de

grundläggande begreppen. Vidare betonar de vikten av att fokusera på tankeprocesserna istället för de rätta svaren. En annan viktig tanke med materialet är att läraren ska känna frihet att själv utforma sin undervisning med hjälp och stöd av läromedlet. Läromedlet är därför uppbyggt så att läraren själv ska kunna styra sin undervisning och välja i vilken ordning momenten ska presenteras, samt i vilken omfattning man ska arbeta med dem.

4.3. Genomförande och bearbetning

I ett första skede inventerades läromedlens olika material för att sortera ut det material som

berörde undersökningens syfte. Denna inventering gjordes i samråd med läromedelsförlagen,

samt yrkesverksamma lärare. För att få tillgång till det utvalda materialet, lånades dels

läromedel från arbetsplatser samt bibliotek, dels skickade förlag sådant material som var svårt

att få tag på. Visst material var även tvunget att köpas in. Därefter granskades de tre

läromedlen utifrån de strukturerade undersökningsfrågor som gjorts (se bilaga 2). Detta

gjordes i ett första skede enskilt, varpå diskussioner kring dessa resultat fördes och

reviderades. Själva granskningen gjordes genom att varje läromedels lärarhandledning

noggrant inventerades. Därefter granskades de delar av lärarhandledningarna som berörde

syftet. Vidare granskades även de olika läroböckerna, samt annat tillhörande material utifrån

de strukturerade undersökningsfrågorna. Då detta var klart sammanfattades resultatet, varje

läromedel för sig, under varje övergripande frågeställning. De olika läromedlens resultat

jämfördes sedan med varandra och analyserades mot teorin. Detta gjordes i en ständig dialog

undersökningsledarna emellan, vilket gjordes både genom telefonsamtal samt genom fysiska

träffar.

5. Resultat och analys

Här nedan redovisas undersökningens resultat. Redovisningen utgår från de frågeställningar som återfinns i syftet. Då resultatet presenteras görs detta utifrån en frågeställning i taget.

Under varje frågeställning återfinns varje enskilt läromedels resultat i tur och ordning. Efter resultatet av varje frågeställning görs en komparativ analys av de resultat som framkommit.

5.1. Hur går man tillväga vid och under introduceringen av symbolerna?

Matteboken introducerar likhetstecknet först. Detta sker i det tredje kapitlet i grundbok 1.

Strax därefter, när likhetstecknet övats på två sidor i grundboken, introducerar man additionstecknet. I andra grundbokens första kapitel introduceras subtraktionstecknet.

Läromedlet motiverar eller kommenterar inte ordningen av symbolernas introducering.

Innan läromedlet introducerar likhetstecknet har man i läroböckerna arbetat med begreppet

”lika många” i samband med antalsuppfattning. Vid introduktionsmomentet får eleverna sätta ut likhetstecknet mellan de bilder som är lika mycket värda, samt öva på hur man skriver symbolen på rätt sätt. I grundboken ägnas två sidor åt övning av enbart likhetstecknet, samt del av en läxa i läxboken. Lite senare i läroboken repeteras likhetstecknet i samband med uppdelning av tal. Här påtalas möjligheten att ett likhetstecken kan stå på flera ställen i exempelvis en addition. Vikten av att eleverna har en förståelse för likhetstecknets betydelse påtalas också.

Innan läromedlet introducerar additions- och subtraktionstecknen har man arbetat med den grundläggande taluppfattningen. Vid introduktionsmomentet av additionstecknet förordas att man ska lyssna till och utgå från elevernas eventuellt egna kunskaper om symbolen. Läraren ska sedan bygga på dessa kunskaper med egna förklaringar. Som stöd för detta finns en sida i grundboken med både illustrerande bilder samt symbolspråket presenterade. Utifrån bilden förs diskussioner om vad som händer och symbolspråket skrivs ner utifrån det som berättas.

Det anses även viktigt att läsa ut talen med symbolspråket. I samband med detta övar man

även på hur symbolen skrivs. Läromedlet visar på textuppgifter för att påtala att även det

skrivna ordet kan översättas till symbolspråket. Detta moment anses som svårt, och i

lärarhandledningen rekommenderas att till en början låta eleverna rita och berätta egna

räknesagor utifrån ett givet additionstal, för att få förtrogenhet med räknesättet och tvingas

tänka efter vad additionstecknet står för. I arbetet med räknesagorna påtalas vikten av att

gemensamt, men även individuellt med läraren, arbeta och tala om vad det är man gör. I

ytterligare övningar används konkret bildstöd i kombination med symbolen.

Lärarhandledningen påtalar att en addition kan ha olika innehåll som ökning, sammanläggning eller jämförelse. I läroböckerna kan man hitta additioner med alla dessa olika slags innehåll.

Vid introduktionsmomentet av subtraktionstecknet får eleverna räkna ut lästal som är illustrerade med bilder för att konkretisera och stödja eleven. De får även skriva en räknesaga om ett bestämt tal. Därutöver finns övningar med konkreta talbilder i kombination med symbolerna.

Lärarhandledningen påtalar vikten av att subtraktion får en annan betydelse än ”ta bort”

och uppmuntrar därför uppgifter där innehållet är uppdelning eller jämförelse. I läroböckerna kan man hitta subtraktioner med alla dessa olika slags innehåll. De påtalar att även om innehållet i subtraktionen kan variera, så är skrivsättet detsamma.

Lärarhandledningen behandlar vikten av att tydliggöra sambandet mellan addition och subtraktion för eleverna. I läroböckerna finns övningar där man utgår från ett tal och gör både subtraktions- och additionsuppgifter, och där lärarhandledningen påtalar vikten av att samtala om det man gör. Det finns även ren färdighetsträning där man blandar additionstal och subtraktionstal, dock utan att påtala sambandet på ett tydligt sätt som i exemplet ovan.

Tänk och räkna introducerar additions-, subtraktions- och likhetstecknet vid samma tillfälle i slutet av det första kapitlet i grundbok 1. Läromedlet motiverar eller kommenterar inte ordningen av symbolernas introducering.

Innan likhetstecknet introduceras har eleverna kommit i kontakt med begreppet ”lika många” i övningar av taluppfattningen. Likhetstecknet introduceras samtidigt med additions- och subtraktionstecknet. Vid introduktionsmomentet läggs ingen speciell vikt vid tecknets betydelse. Man övar även formskrivning tillsammans med additions- och subtraktionstecknet.

Senare i läroböckerna arbetar dock eleverna med likhetstecknet i samband med introduceringen av > och < tecknen, samt begreppen lik- och olikheter. Man skriver tal som 7=7 på tavlan och eleverna övar på att utläsa likhetstecknet. Eleverna får även i grupp arbeta med talkort och lägga tal så att lik- eller olikheten blir rätt. Det förekommer övningar där likhetstecknet kan skrivas före talvärdena samt tal som exempelvis: _ + _ = _ + _.

Matematikvågen nämns som ett laborativt hjälpmedel för att illustrera likhetstecknets betydelse.

Innan additions- och subtraktionstecknet introduceras har man i läroböckerna arbetat med

taluppfattningen. Själva introduktionsmomentet av additions- och subtraktionstecknet sker

gemensamt där man gör räknesagor tillsammans, gärna utifrån aktuellt tema. Läraren

redovisar sagan med symbolspråket för att sedan läsa upp uttrycket. I lärarhandledningen

påpekas att här kan leksaker vara ett bra hjälpmedel. Man övar även huvudräkning där svaret redovisas med sifferkort. I detta inledande skede förordar läromedlet användandet av så kallade Multilinkklossar, för att konkretisera det matematiska och symbolisera något välkänt för eleverna. Därefter övar eleverna ren formskrivning av additions- och subtraktionstecknet för att sedan möta det formella i boken. I nästa moment får eleverna själva göra räknesagor.

De som anses mogna för det redovisar med det formella matematikspråket. Sist i detta inledande skede övas det formella symbolskrivandet i en gemensam övning, där eleverna får skriva olika räkneuttryck på tavlan.

Lärarhandledningen påtalar att innehållet i additionsuppgifterna kan variera mellan ökning, sammanläggning samt jämförelse. I läroböckerna går det att hitta uppgifter med alla dessa olika slags innehåll. Innehållet i subtraktionsuppgifterna kan variera mellan minskning, uppdelning, jämförelse eller utfyllnad. I läroböckerna går det att hitta uppgifter med alla dessa olika slags innehåll.

Läromedlet introducerar addition och subtraktion samtidigt, och poängterar i ett tidigt skede vikten av att påtala och föra samtal om sambandet. I läroböckerna används återkommande så kallade ”talfamiljer” för att tydliggöra detta samband. ”Talfamiljen” är en trekant där ett tal står överst i toppen, exempelvis 6. Längst ner i de andra hörnen står 4 och 2.

Mellan siffrorna 6 och 4 samt 6 och 2 står subtraktionstecken, och mellan 4 och 2 ett additionstecken. Här ska eleverna redovisa de olika kombinationerna av addition och subtraktion som finns av ett tal. Överhuvudtaget förekommer addition och subtraktion ofta tillsammans i läroböckerna vilket gör att sambandet påvisas.

MultiMatte introducerar likhetstecknet först. Detta gör man dels i sista kapitlet i förskoleklassens bok, dels en bit in i första kapitlet i ena grundboken. Additionstecknet introduceras i sjätte kapitlet i denna grundbok, subtraktionstecknet strax därefter. Man kan dock välja att introducera additions- och subtraktionstecknet samtidigt. Läromedlet menar att symbolerna är abstrakta och väljer därför att gå fram långsamt. Först introduceras siffror och

=, > samt <. I lärarhandledningen behandlas vikten av att eleverna förstår likhetstecknets betydelse. Därför introduceras likhetstecknet först och man menar att eleven måste förstå dess innebörd innan de får gå vidare.

Innan man inför likhetstecknet har eleverna fått arbeta med begreppet ”lika många” i samband med antalsuppfattningen. Vid introduceringen av likhetstecknet i slutet av förskoleklassens bok får eleverna utforska vilka symboler som finns i deras närmiljö.

Symbolen introduceras i samband med > och <. Symbolerna liknas vid en krokodil som gapar

mot den hög som innehåller flest. När det är lika mycket på båda sidor om krokodilen vet han

inte vilken hög han ska välja, munnen förblir stängd, vilket symboliserar =. I förskoleklassboken får eleverna klippa ut symbolerna =, > och < som de får placera mellan högar av konkret material, det man kallar ”plockisar”. I boken finns tre sidor med övning av likhetstecknet, och även förslag på konkreta övningar i lärarhandledningen. Även i den ena grundboken för år 1 används krokodilerna för att konkretisera. På två sidor får eleverna placera ut =, > och < mellan bilder med olika antal föremål på. Därutöver föreslår lärarhandledningen att man arbetar med vågen samt har samtal om likhetstecknet. Konkreta förslag på ytterligare övningar samt kopieringsunderlag finns att tillgå. Lärarhandledningen påpekar också att detta är ett tecken vars innebörd man kontinuerligt bör repetera, eftersom det har en tendens att för många elever övergå till att betyda ”här kommer svaret” eller ”det blir”.

Innan additions- och subtraktionstecknet introduceras arbetar man med den grundläggande taluppfattningen. Läromedlet menar att eleverna bör ha en förståelse för =, > samt < innan nya symboler introduceras. Vid introduceringen av additionstecknet behandlas det stora steget från konkret situation till abstrakt symbolspråk med hjälp av talspråket. Detta steg, menar man, måste få ta olika lång tid för olika elever eftersom förståelsen är viktig. I lärarhandledningen förklaras att man först bör använda konkret material, i kombination med symbolkort samt sifferkort. Här förordas grupparbete och samtal kring vad som händer, för att sedan dokumentera sina lösningar i arbetshäften. Det finns även kopieringsunderlag för att befästa detta ytterligare. Till en början förmedlas ett statiskt tänkande, det vill säga övningar som lägger ihop redan befintliga saker. Genom samtal och skapande av räknehändelser får de i nästa steg upptäcka addition som en händelse, så kallad dynamisk addition.

När läromedlet introducerar subtraktionstecknet förordas ett liknande arbetssätt som vid addition. I lärarhandledningen påtalas vikten av att uppmärksamma att addition och subtraktion kan ha olika innehåll och att eleverna bör få möta en tankeform i taget. Addition kan innebära ökning, sammanläggning och jämförelse, medan subtraktion kan innebära minskning eller jämförelser. Alla dessa olika slags innehåll återfinns i läromedlet.

När läromedlet introducerar addition och subtraktion vill man belysa sambandet dem emellan. Lärarhandledningen uppger att många elever tycker att minus är svårare än plus, vilket kan förklaras med att subtraktion kan ses på många olika sätt. Dessa elever ser inte sambandet mellan räknesätten, och har inte talets uppdelning klar för sig. Därför vill läromedlet förtydliga sambandet och ta med detta sätt att tänka redan från början i subtraktionen. Man lägger då grunden till att förstå differenser och hur tal kan manipuleras.

Vikten av att laborera med konkret material poängteras, liksom samtalet om att addition och

subtraktion hör ihop. Detta gäller framförallt subtraktion med både ta bort-tänkande och differens-tänkande. I läromedlet hittar man uppgifter som påtalar sambandet mellan addition och subtraktion.

5.2. Sammanfattande komparativ analys

När de tre läromedel som undersökts introducerar symbolerna för första gången väljer de att göra det vid olika tillfällen och på olika sätt. Innan likhetstecknet introduceras har alla tre läromedel låtit eleverna komma i kontakt med begreppet ”lika många”. Detta lägger grunden för en bättre förutsättning att förstå likhetstecknets betydelse. Det här är dock något som är svårt för eleverna enligt Ahlberg (2000), Ljungblad (2001) och Malmer (1990), som menar att likhetstecknet är den svåraste och mest missförstådda symbolen. De tre läromedlen lägger olika stor tyngdvikt på likhetstecknet och dess betydelse vid introduceringen av symbolen. I Tänk och räkna (Häggblom & Hartikainen, 2001) blir likhetstecknet ett bihang till additions- och subtraktionstecknet och något man knappt förklarar. Matteboken (Rockström & Lantz, 2002) lägger större tyngdvikt vid likhetstecknet och påtalar vikten av förståelse, men även här introduceras dock addition relativt snabbt därefter. Ahlberg (2000), Ljungblad (2001) och Malmer (1990) anser att en av anledningarna till att likhetstecknet ofta blir missförstått, och inte får den huvudroll den bör ha, är att den introduceras i samband med addition. Här finner MultiMatte (Olsson, Forsbäck & Mårtensson, 2002) stöd i sitt val att introducera likhetstecknet först, och vänta med additions- och subtraktionstecknen. MultiMatte arbetar grundligt med likhetstecknet och är noga med att påtala vikten av dess betydelse. Det är även det enda läromedlet som använder sig av konkret bildstöd i introduceringen av likhetstecknet.

Det liknas vid en krokodilmun, något som kan fungera som stöd för eleverna i övergången mellan det som Van Oers kallar det ”ikoniska tecknet”, som har en likhet till betydelsen, och den abstrakta symbolen för likhetstecknet (Van Oers, 2000, i Sterner & Lundberg, 2004).

MultiMatte uttalar att de använder sig av så kallat statiskt tänkande i introduceringen av addition, för att sedan gå över till en dynamisk addition. Det statiska tänkandet hjälper eleverna i att utveckla rätt förståelse för likhetstecknet och är viktigt att eleverna får möta enligt Malmer (2002). Resultatet av undersökningen visar att de tre läromedlen arbetar med likhetstecknet på olika sätt och i olika stor omfattning. Som lärare får man olika mycket stöd och hjälp i sin planering, och i det praktiska arbetet med eleverna. Matteboken (Rockström &

Lantz, 2002) medvetandegör likhetstecknets betydelse för läraren, men läromedlet innehåller

relativt få övningar eller tips på vad eleverna kan arbeta med. Tänk och räkna (Häggblom &

Hartikainen, 2001) medvetandegör inte alls likhetstecknets betydelse för läraren, men innehåller i sin tur något fler övningar och tips på hur man kan arbeta med likhetstecknet.

MultiMatte (Olsson, Forsbäck & Mårtensson, 2002) medvetandegör däremot både betydelsen, samt ger lärare en mängd uppgifter och övningar att använda sig av i undervisningen.

Slutsatsen som kan dras av detta resultat är att MultiMatte är det läromedel i vår undersökning som arbetar mest grundligt med likhetstecknet. Läromedlet ger eleven en bra möjlighet att utveckla en förståelse för likhetstecknets rätta innebörd. MultiMatte är även det läromedel som ger likhetstecknet den huvudroll som Malmer (1990) anser att den bör ha, då hon påtalar att tecknet bör introduceras först och ges stort utrymme. Matteboken samt Tänk och räkna ägnar inte likhetstecknet lika mycket tid och ger inte samma utrymme för symbolen som MultiMatte. En konsekvens av detta kan bli att eleverna inte ges en ordentlig chans att utveckla en grundlig förståelse för likhetstecknet och dess innebörd.

Alla tre läromedel arbetar med den grundläggande taluppfattningen innan additions- och subtraktionstecknet introduceras. Malmer (2002) menar att eleverna behöver få ordentligt med tid för det grundläggande arbetet med taluppfattningen innan symbolerna introduceras.

Resultatet visar att de tre läromedlen väljer lite olika metoder vid introduceringen av additions- och subtraktionstecknen. Tänk och räkna samt MultiMatte låter eleverna använda sig av konkret och laborerande material, medan Matteboken inte använder detta. Användandet av konkret material i introduceringen av symbolerna finner stöd hos Ljungblad (2001), som menar att det kan ta lång tid för eleverna att förstå kopplingen mellan det konkreta laborerandet och det abstrakta symbolspråket. Hon anser det bra att använda sig av olika slags konkret material där olika sinnen ges utrymme. Även Anghileri påtalar att eleverna behöver tid för att överföra konkreta erfarenheter till andra jämförbara händelser i tanken, för att sedan koppla ihop det med symbolen (Anghileri, 2000, i Sterner & Lundberg 2004).

Resultatet visar även att alla tre läromedel påtalar vikten av att ge addition och subtraktion olika innehåll. I alla tre läromedel återfinns uppgifter och övningar som inbegriper annat innehåll än ökning när det gäller addition, och annat innehåll än minskning när det gäller subtraktion. Malmer (1990) anser detta viktigt eftersom räknesätten annars riskerar att få en alltför ensidig betydelse. Just när det gäller subtraktion är det extra viktigt att eleverna får möta så kallade jämförelser. Inom subtraktion finner man ofta detta innehåll, vilket gör det viktigt att påvisa för eleven (Malmer 1990).

När det gäller att påvisa sambandet mellan addition och subtraktion visar resultatet på

skillnader mellan de tre olika läromedlen. Tänk och räkna (Häggblom & Hartikainen, 2001)

samt MultiMatte (Olsson, Forsbäck & Mårtensson, 2002) arbetar medvetet med att påvisa