4.1 Diskrétní FT - vlastnosti a aplikace

Kapitola 4

Diskrétní a rychlá Fourierova transformace

4.1 Diskrétní FT - vlastnosti a aplikace

V praktických aplikacích se setkáváme se zpracováním aperiodických diskrétních posloupností konečné délky N zada- ných hodnot (vzorků) x T( )_v pro n=0, 1, 2, ... , N −1. Pro spektrum takové diskrétní posloupnosti, z dříve odvozeného vztahu (2.21), vyplývá:

X x n e ^{j n}

n N

( ~)ω = ( ) ^{− ω~}

=

∑

(4.1)

Toto spektrum je spojité a periodické s periodou F_v. Výsledkem výpočtů takového spektra digitálním systémem ovšem ne- může být spojitý průběh X ( ~).ω Výsledkem výpočtů budou diskrétní hodnoty tohoto spektra.

S ohledem na efektivnost a rychlost digitálního zpracování bude účelné počítat co nejmenší počet takových diskrétních hodnot, ovšem takový, který bude ještě jednoznačně definovat spojitý průběh X ( ~).ω

Mohli bychom vycházet ze vzorkovacího teorému aplikovaného na spojitý průběh spektra. Můžeme také vycházet z ná- sledující úvahy.

Počítané hodnoty představují diskrétní spektrum, které ale přísluší obecně pouze periodickému signálu (Fourierova řa- da). Můžeme si proto představit, že interval T₀ =NT_v zadaných N diskrétních hodnot x nT( _v) aperiodického signálu, předsta- vuje základní periodu periodického signálu. Takovému signálu pak jednoznačně přísluší diskrétní spektrum s hodnotami na frekvencích f = k T/ ₀ = kF₀ - viz. obr. 4.1. Počet takových diskrétních hodnot v základní periodě spektra délky F_v = N F_{1 0} , s uvážením T₀ = NT_v, bude:

N₁ = F_v /F₀ =T₀ /T_v = N (4.2)

Bude tedy shodný s počtem zadaných N diskrétních hodnot x nT( _v) na intervalu T₀ - viz. obr. 4.1. Je to teoreticky nejmenší počet hodnot spektra, umožňující zpětné jednoznačné stanovení diskrétních hodnot signálu x nT( _v).

Obr. 4.1 Diskrétní posloupnost hodnot x nT( _v) a diskrétní hodnoty jejího spektra

Z rov. (2.19) dostaneme substitucí f =kF₀ a s uvážením vztahu (4.2), pro hledané diskrétní hodnoty spektra na frekvencích kF₀ vztah:

X kF T X kF x nT e

v a v

jNnk

n N

( ₀) ( ₀) ( )

2

0

1 1

= = ⁻

=

∑

nebo

X k x n e ^jNnk k N

n N

( )= ( ) ⁻ = ( = , , , ... − )

=

∑

2

0 1

0 1 2 1

π

(4.4)

nebo

X k x n

N nk j x n

N nk

n N

( )=  ( ) cos − ( ) sin





= 

∑

1 π π

Je to výraz pro diskrétní FT (DFT) - tzv. N-bodová DFT - která umožňuje ze zadaných N diskrétních hodnot (vzorků) signá- lu x n( ) vypočítat postupně N diskrétních hodnot odpovídajícího spektra X k( ). Na konkrétní frekvence F_k =kF₀ [Hz] lze pak přejít při zadání vzorkovací frekvence F_v. Potom bude F_k =kF₀ = kF_v /N.

Jednotlivé členy v sumaci (4.3) resp. (4.4) vyjadřují dílčí sinusové složky v komplexním tvaru s frekvencí kF₀, s fází (nk 2π /N ) a s amplitudou x n( ). Jejich vektorový součet pro n=0, 1, 2, ... , N −1 (tj. sumace (4.4)) pro zvolené k pak vyja- dřuje výslednou sinusovou složku spektra X k( ) - v komplexním tvaru - na frekvenci kF₀ s reálnou amplitudou A_k = ( ) .T X k_v

Vzhledem k souměrnosti spektra stačí, v případě reálné posloupnosti x n( ), počítat jeho diskrétní hodnoty X k( ) jen v in- tervalu 0≤F ≤1 2/ F_v, tj. pro 0≤ω~≤π, tedy pro k= 0, 1, 2, ... N /2 (pro N sudé). Na obr. 4.2 jsou uvedeny periody spektra pro proměnné f, ω, ~f , ω~.

Ve zvláštním případě, bude-li x n( ) reálná a sudá posloupnost vzorků, tj. v případě x n( )= x N n( − ) pro 0≤ ≤n N−1, bude DFT takové posloupnosti ve tvaru:

X k x n e x n

N nk k N

jNnk

n N

n N

( )= ( ) ⁻ = ( ) cos = − ≤ ≤ −

=

−

=

∑ ∑

2

0 1

0

1 2

0 1

π π

(4.5)

Obr. 4.2 Periody spektra pro proměnné f, ω, ^~f , ω^~

Spektrum bude reálné. Je to tzv. kosinová DFT. Má použití u digitálních filtrů s lineární fází, protože jejich impulzní odezva je dána právě reálnou a často sudou posloupností.

Všimněme si ještě volby parametrů T_va N. Volba vzorkovací periody T_v, stejně jako u analogových signálů, vyplývá z podmínky pro potlačení efektu překrývání (aliasing) dílčích spekter, tj. ze vzorkovacího teorému: F_v =1/T_v =NF₀ ≥2B,, kde B je horní mezní frekvence spektra X( f). Z toho N ≥2BT₀.

Avšak zadané posloupnosti hodnot x(nT_v), konečné délky T₀ =NT_v, přísluší teoreticky vždy neomezené spektrum (B→∞). Bude tedy při praktických výpočtech hodnot spektra X kF( ₀) docházet k chybám v důsledku překrývání dílčích spekter a to zejména v oblasti vyšších frekvencí blízkých F_v / 2 - viz. obr. 3.4 (pro analogový signál). Vypočtené hodnoty X kF( ₀) budou odpovídat součtu překrývajících se částí dílčích spekter. Takové chyby lze při výpočtu zmenšit volbou vyšší frekvence F_v, tj. hustším vzorkováním, tedy zadáním většího počtu N diskrétních hodnot x nT( _v) na daném intervalu T₀. To se ve spektru projeví prodloužením jeho periody F_v = NT₀, čímž se zmenší vliv překrývání.

Ještě jeden pohled na hustotu hodnot spektra X kF( ₀). Budou-li hodnoty (vzorky) x nT( _v) nenulové pro

n=0, 1, 2, ... , ν−1, potom můžeme při výpočtech podle rov. (4.4) volit N =ν nebo N >ν.

Při volbě N =ν bude T₀ =νT_v. Spektrum bude obsahovat minimální počet vypočtených diskrétních hodnot X kF( ₀), kde F₀ = /1 νT_v. Při volbě N >ν - viz. obr. 4.3, doplníme počet zadaných ν-nenulových hodnot x nT( _v) do zvoleného počtu N hodnot nulovými vzorky při zachování vzorkovací periody T_v. Tím se prodlouží interval T₀ =νT_v na T₀′ = NT_v. Hustota vy- počítaných hodnot X kF( ₀′) se tím zvětší, neboť budou počítány pro frekvence kF₀′ =k/NT_v. Takové hustší spektrum pak lépe aproximuje spektrum X f( ). Tvar spektra a přesnost výpočtů se tím ovšem neovlivní. Doplnění zadaných ν hodnot nulovými vzorky na N hodnot použijeme také např. v případech, kdy je žádoucí s ohledem na algoritmus výpočtů volit počet vzorků

N = 2^α a počet zadaných vzorků x n( ) je ν < N.

Obr. 4.3 Prodloužení posloupnosti hodnot x nT( _v) o nulové vzorky

Vztah pro inverzní DFT můžeme získat např. následujícím postupem. Rovnici (4.4) vynásobíme činitelem

[ ]

exp jkm 2π/N a vytvoříme sumaci podle k:

X k e^jkmN x n e

k

N jk m n

N k

( ) ( ) ^{( )}

N-1

n=0 N-1 2

0

1 2

0

π π

=

− −

∑

∑

∑











Sumace v hranatých závorkách je rovna 0 pro m n≠ a rovna N pro m n= , takže dostaneme:

x m N e m N

k

jkmN

( )= = = , , −

∑

1 0 1 2 1

0

2

X(k) IDFT ( ... )

N-1 π

(4.6)

Vztah (4.6) představuje inversní DFT, která umožňuje vypočítat diskrétní hodnoty x n( ) ze zadaných diskrétních hodnot spektra X k( ), které můžeme např. odečíst za zadaného spojitého průběhu spektra X ( ~).ω I když (4.4) a (4.6) vyjadřují perio- dické posloupnosti, je DFT určena pro výpočet spektra X k( ) aperiodických diskrétních posloupností. Periodická posloup- nost x n( ) zde byla zavedena s ohledem na výpočet diskrétních hodnot spojitého spektra X ( ~).ω DFT nachází praktické použi- tí v celé řadě aplikací digitálního zpracování signálů a to nejen při analýze spekter, ale např. i při lineární filtraci, analýze ko- relace aj.

4.2 Algoritmus rychlé Fourierovy transformace

Vztah pro výpočet diskrétní posloupnosti X k( ) ze zadané posloupnosti hodnot x n( ), je dán rov. (4.4) a pro inversní po- stup rov. (4.6). S ohledem na výklad postupu při výpočtech podle těchto rovnic zavedeme substituci:

W_N^nk =e^−jNnk

2π

(4.7)

Vztahy pro DFT a IDFT pak budou ve tvaru:

[ ]

DFT x n X k x n e ^jNnk x n W_N

n N

nk n

N

( ) = ( )= ( ) ⁻ = ( )

=

−

=

∑

∑

1

0 π 1

(4.8)

[ ]

IDFT X k x n W_N

N X k e

N X k

jNnk

k N

nk k

N

( ) = ( )= ( ) = ( )

=

− −

=

∑ ∑

1 ² 1

0 1

0 π 1

(4.9)

Výpočet diskrétních hodnot X k( ) nebo x n( ) podle uvedených vztahů je při delší posloupnosti N zadaných diskrétních hodnot časově velmi náročný, protože vyžaduje velké množství aritmetických operací, zejména součinů. Počet těchto výpo- četních operací můžeme velmi podstatně snížit použitím vhodného algoritmu, který využívá periodicity činitele W_N^nk. Z ex- ponenciálního vyjádření - rov. (4.7) - vyplývají zejména následující vlastnosti:

1. Činitel W_N^nk vykazuje periodicitu s periodou N, takže platí:

W_N^nk =W_N^{nk N+} =W_N^nk+2N = ... (4.10) 2. Pro N / 2-bodovou a N-bodovou DFT bude:

W_N/2^nk =W_N^2nk (4.11) 3. Činitel W_N^nk se vyznačuje souměrností, neboť platí:

W j

N nk j

N

N W

Nnk N

Nnk

+ = −





 −





= −

/² exp 2 exp 2

2

π π

(4.12)

Uvedené a stejně tak další souvislosti vyplývají z grafického zobrazení fázoru ^WNnk =exp

[

]

Rozšířeným algoritmem pro výpočet hodnot X k( ) nebo x n( ), který účinně využívá uvedených vlastností, je rychlá FT (angl. Fast Fourier Transform - FFT). Základní myšlenka FFT vychází z rozkladu zadané posloupnosti N diskrétních hodnot na kratší posloupnosti, jejichž DFT vyžaduje menší počet aritmetických operací. Následující kombinací dílčích výsledků pak

lze získat DFT původní delší posloupnosti při podstatně menším celkovém počtu aritmetických operací. Rozklad na kratší posloupnosti lze provést např. rozdělením zadané posloupnosti N hodnot x n( ) na dvě části a to na posloupnost sudých členů

a m( )= 2x m( ), tj. členů x n( ) pro n= 2 ,m a na posloupnost lichých členů b m( )= x m(2 +1), tj. členů x n( ) pro n=2m+1, kde

m=0, 1, 2, ... ,(N /2 1− ). Takový postup dělení diskrétní posloupnosti x n( ) se nazývá decimace v čase.

Graficky je uvedené rozdělení naznačeno na obr. 4.4a) (N = 8).

Obr. 4.4 a) Rozklad posloupnosti x n( ) na sudé a liché členy b) Počítaná posloupnost X k( ) a její dílčí posloupnosti A k( ) a B k( )

Každá dílčí posloupnost a m( ) a ^{b m( )} bude obsahovat právě N / 2 členů původní posloupnosti x n( ). S ohledem na uvede- né dělení a další postup je vhodné, aby výchozí posloupnost x n( ) obsahovala N = 2^α členů, α - celé číslo. Základní vztah (4.4) pak lze psát ve tvaru:

) 1 2 ( )

2 (

) 1 2 ( )

2 ( )

( )

(

1 2 /

0

2 1

2 /

0

2

1 2 /

0

) 1 2 1 (

2 /

0 1 2

0

= +

+

=

= +

+

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

− +

=

−

=

N

m

N mk Nk

N

m

N mk

N

m

k N m N

m

N mk N

n

Nnk

W m x W

W m x

W m x W

m x W

n x k

X

= +

=

∑ ∑

=

−

=

1 2 /

0

2 / 1

2 /

0

2

/ ( )

) (

N

m

N mk Nk

N

m

N mk W b m W

W m a

= A k( )+W_N^k B k( ) pro k =0, 1, 2, ... , -1N (4.13)

Činitel W_n^k u druhé sumace vyplývá z posunutí posloupnosti lichých členů o jeden vzorkovací interval T_v vpravo - viz. obr.

4.4a).

Uvedené sumace zřejmě představují N / 2-bodové DFT posloupností a m( ) a b m( ), tedy

[ ] [ ]

DFTa m( ) = A k( ) a DFTb m( ) = B k( ).

Při počítání hodnot X k( ) podle (4.13) pro k =0, 1, 2, ... , N −1, se každá dílčí posloupnost A k( ) a B k( ) uplatní dvěma pe- riodami, neboť dílčí posloupnosti a m( ) a b m( ) obsahují pouze N / 2 členů a mají 2-krát delší interval vzorkování proti po- sloupnosti x n( ). Proto také perioda jim odpovídajících dílčích spekter A k( ) a B k( ) bude poloviční., tj. N / 2 - viz. obr. 4.4b).

Bude tedy např. A k( +N / )2 = A k( ) pro k =0, 1, 2, ... (N/2 1− ). S ohledem na tuto periodicitu posloupností A k( ) a B k( ), můžeme výpočty hodnot X k( ) podle vztahu (4.13) zjednodušit. Pro prvou polovinu hodnot X k( ) použijeme vztah:

X k( )= A k( )+W_N^k B k( ) pro k =0, 1, 2, ... ,(N /2 1− ) (4.14)

Obr. 4.5 Orientovaný graf posledního stupně algoritmu FFT decimací v čase pro 8-bodovou DFT

Pro druhou polovinu hodnot X k( ), tj. pro k = N / 2až N− 1 pak bude platit:

X k( + N / )2 = A k( +N / )2 +W_N^{k N+ /2} B k( + N / )2

S ohledem na periodu N / 2 posloupností A k( ) a B k( ) a na vztah (4.12) lze toto psát ve tvaru:

X k( +N / )2 = A k( )−W_N^k B k( ) pro k =0, 1, 2, ... , (N /2 1− ) (4.15)

Poznámka: Na obr. 4.4b) jsou naznačeny pouze moduly hodnot X k( ), A k( ) a B k( ). Ve skutečnosti to jsou nejčastěji kom- plexní čísla.

Postup výpočtu diskrétních hodnot X k( ), na základě předchozího výkladu, můžeme názorně zobrazit orientovaným gra- fem - viz. obr. 4.5 pro N = 8. Připsaný činitel W_N^k vyjadřuje násobení tímto činitelem.

Výsledné hodnoty X k( ) jsou získány v kombinačním stupni, který vytváří kombinace členů A k( ) a B k( ) podle rov.

(4.14) a (4.15). Tvorbu těchto kombinací podle těchto rovnic lze znázornit jednoduchým orientovaným grafem, tzv. motýl- kem podle obr. 4.6a), který můžeme kreslit také ve tvaru podle obr. 4.6b) nebo c). Podle toho pak lze kreslit i celý kombi- nační stupeň. U motýlku podle obr. 4.6b) přechod vstupní proměnné B z dolního vstupu přes střední uzel do dolního výstupu symbolizuje záporné znaménko.

Obr. 4.6 Tvary motýlku algoritmu FFT při decimaci v čase (k =0, 1, 2, ... , (N /2 1− ))

Uvedený algoritmus výpočtu členů N-bodové DFT z kombinace členů dvou N / 2-bodových DFT lze aplikovat i na vý- počet členů A k( ) a B k( ), tj. na výpočet členů N / 2-bodových DFT z kombinace členů N / 4-bodových DFT. K tomuto účelu bychom každou dílčí posloupnost N / 2 členů a m( ) a b m( ) rozdělili na další dvě dílčí posloupnosti sudých a lichých členů a vypočetli jejich DFT. Jejich kombinací podle předchozího algoritmu bychom získali N / 2-bodové DFT obsahující N / 4 členů. V takovém dělení na kratší posloupnosti můžeme pokračovat tak dlouho, až dostaneme základní dílčí posloupnosti dvou členů x n( ), pro které lze snadno vypočítat 2-bodovou DFT.

N

W^k_N A(k) X(k)=A(k)+ B(k)

W^k_N W^kN

W^k

B(k) X(k+ )=A(k)- B(k)

- 2

W^k_N

A A+ B

W^k_N W^kN

B A- B

W^k_N

A A+ B

W^k_N W^k_N

B A- B

-1

a) b)

c)

Uvedeme příklad pro N = 8 a obrátíme postup výkladu. Zadanou posloupnost x n( ) rozdělíme na sudé členy a n( ) a liché členy b n( ). Posloupnost a n( ) rozdělíme na sudé členy c n( ) a liché členy d n( ). Obdobně b n( ) rozdělíme na sudé e n( ) a liché

g n( ). Z tohoto postupu vyplývá přiřazení původních členů x n( ) zavedeným dílčím posloupnostem (mapování indexů n), jak je uvedeno na obr. 4.7 v levé části.

Obr. 4.7 Mapování indexů n dílčí posloupnosti x n( ) při decimaci v čase a dílčí stupně FFT proN = 8

Ze členů c( )0 a c( )1, d( )0 a d( )1 atd. vypočteme 2-bodové DFT, tj. C( )0 a C( )1, D( )0 a D( )1 atd. Použijeme např. motýlku podle obr. 4.6a). Potom např.:

Obr. 4.8 Dvoubodová DFT v 1.stupni podle obr. 4.7

x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)

a(0) a(1) a(2) a(3) b(0) b(1) b(2) b(3)

c(0) c(1) d(0) d(1) e(0) e(1) g(0) g(1)

C(0) C(1) D(0) D(1) E(0) E(1) G(0) G(1)

X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) A(0)

A(1) A(2) A(3) B(0) B(1) B(2) B(3) FFT

1.stupeň

mapování indexů n r 2.stupeň 3.stupeň

0 1 2 3 4 5 6 7

c(0) C(0) = c(0)+c(1) = x(0)+x(4)

W =1⁰₂

-1

c(1) C(1) = c(0)-c(1) = x(0)-x(4)

Obdobně kombinací členů C( ), ( )0 C 1, D( )0 a D( )1 s použitím stejného motýlku vypočteme členy A( ), ( )0 A 1, A( ), ( )2 A 3 a obdob- ně členy B( ), ( )0 , B 1 B( )2 a B( )3 - viz. 2.stupeň na obr. 4.7. Konečné výpočty ve 3.stupni byly již vysvětleny na obr. 4.5.

Celý postup a operace v uvedených stupních můžeme jednoduše znázornit orientovaným grafem, který je uveden na obr.

4.9. Pro kreslení bylo použity motýlku podle obr. 4.6b), který dává nejjednodušší znázornění kombinací a potřebných opera- cí (sčítání a násobení). Na obr. 4.7 je totéž ale s motýlkem podle obr. 4.6a).

Činitelé W_N^k v 1.stupni se uvádějí jako mocniny W₂, ve 2.stupni jako mocniny W₄, ve 3.stupni jako mocniny W₈ atd.

Nebo také jednotně ve všech stupních (obr. 4.9) jako mocniny W_N, kde N je délka posloupnosti x n( ). Souvislost mezi oběma způsoby je dána rov. (4.10). Např. W₂^k =W₈^4k.

Obr. 4.9 Úplný orientovaný graf algoritmu FFT decimací v čase pro 8-bodovou DFT

Algoritmus FFT decimací v čase vyžaduje zpracovávat prvky vstupní posloupnosti x n( ) v pozměněném pořadí, které vy- plývá z dělení na sudé a liché členy - viz. mapování indexů n na obr. 4.7 a výsledné přiřazení prvků x n( ) na obr. 4.9 pro

x(0) X(0)

x(4) X(1)

x(2) X(2)

x(6) X(3)

x(1) X(4)

x(5) X(5)

x(3) X(6)

x(7) X(7)

1.stupeň 2.stupeň 3.stupeň

W⁰

x(n) X(k)

k=0 k=0,1 k=0,1,2,3

W⁰ W⁰ W⁰

W⁰ W²

W⁰ W²

W² W³ W⁰ W¹ W^k₈ W^2k₈

W^4k₈

N = 8. Aniž bychom museli provádět mapování indexů n postupným dělením na sudé a liché členy, lze novou pozici r ve vstupní paměti, do které je třeba přesunout prvek x n( ) z přirozené pozice n, určit jednoduše obrácením (reverzí) dvojkového čísla vyjadřujícího pozici n (n=0, 1, 2, ... N −1). Např. pro N = 8 je třeba prvek x n( ) např. pro n= =4 100$ přesunout do pozi- ce r=001 1=$ - viz. obr. 4.7 a 4.9. Nebo pro N = 16 je třeba prvek x n( ) např. pro n=11 1011=$ přesunout do pozice

r=1101 13=$ .

Zhodnoťme přínos uvedeného algoritmu FFT. Při přímém výpočtu DFT podle rov. (4.8) je třeba realizovat celkem N²

komplexních, tj. 4N² reálných součinů.

Při použití algoritmu FFT bude v každém stupni právě N / 2 motýlků a každý motýlek vyžaduje jeden komplexní součin (B k W( ) _n^k) - viz. obr. 4.6b,c). V každém stupni tedy bude N / 2 komplexních součinů - viz. obr. 4.9. Bude-li N = 2^α, bude celkem α= log₂ N stupňů, takže celkový počet komplexních součinů bude N /2 α= N /2 log₂ N , což je celkem 2N log₂ N

reálných součinů. Z toho jsou některé jednotkové, neboť W_N⁰ = .1 Např. při délce N = 256 hodnot x n( ), bude při přímém vý- počtu celkem N² =65536 komplexních součinů, kdežto při použití algoritmu FFT jich bude pouze N /2 log₂ N =1024.

Vedle uvedeného rozkladu N-bodové DFT až na 2-bodové DFT (N je zde mocninou základu (radixu) 2; N = 2^α) se pou- žívá také rozklad na 4-bodové DFT (N je mocninou základu (radixu) 4; N = 4^α), což zvyšuje efektivnost výpočtů.

Vedle uvedeného algoritmu FFT decimací v čase, existuje ještě algoritmus FFT decimací ve frekvenci. V tomto případě se vstupní posloupnost x n( ) opět rozdělí na 2 dílčí posloupnosti a n( ) a b n( ) o délce N / .2 Nyní ale dílčí posloupnost a n( ) je tvořena první polovinou členů x n( ) a posloupnost b n( ) druhou polovinou členů x n( ):

a n x n

b n x n N n

( ) ( )

( ) ( / )

=

= + 2 pro =0, 1, 2, ... N / 2 -1

Také posloupnosti a n( ) a b n( ) můžeme opět každou rozdělit na dvě posloupnosti délky N / .4 Obdobným postupem jako při decimaci v čase, dospějeme k výslednému orientovanému grafu, uvedenému pro N = 8 na obr. 4.10.

Obr. 4.10 Orientovaný graf algoritmu FFT decimací ve frekvenci pro 8-bodovou DFT

V porovnání s orientovaným grafem pro algoritmus FFT decimací v čase jsou zde dva rozdíly:

1. Motýlek FFT s decimací ve frekvenci je částečně odlišný, neboť komplexní součin se vytváří až po operaci sčítání nebo odčítání - viz. obr. 4.11.

2. Při decimaci v čase je vstupní posloupnost x n( ) v pozměněném pořadí, kdežto výstup X k( ) je v přirozeném pořadí. Při decimaci ve frekvenci je toto zaměněno.

Obr. 4.11 Motýlek algoritmu FFT decimací ve frekvenci

A A+B

W_N^k W_N^k

B (A-B)