Till mina vänner
E A O N
Matematikbok/Formelsamling för Högskoleprovet
Oscar A. Nilsson
Version 1.5
6 september 2020
Innehåll
1 Introduktion 3
2 Logik 3
2.1 Utsagor . . . 3
2.2 Implikation och Ekvivalens . . . 4
2.2.1 De nition och exempel . . . 4
2.2.2 Ekvivalens. . . 5
3 På tal om tal 5 3.1 Delbarhet! . . . 6
3.2 Hur man använder sig av delbarhet . . . 9
3.2.1 Minsta gemensamma nämnare (MGN) . . . 9
3.2.2 Uppgifter . . . 11
4 Approximationer 11 4.1 Approximationer . . . 11
5 Ordnade tal 12 5.1 Jämna och udda tal . . . 12
6 Operation ( · /√ + − ) 13 6.1 Addition . . . 13
6.2 Subtraktion . . . 14
6.3 Multiplikation (· eller × eller inget alls) . . . 14
6.4 Division (a b, a/b, eller a ÷ b) . . . 15
6.4.1 Divisions regler . . . 15
6.4.2 Huvudbråk . . . 15
6.5 Dela på eller stryka i bråk . . . 16
6.5.1 Förlänga 2.0. . . 17
6.6 Exponentiering . . . 17
6.7 n:te roten (√ ) . . . 18
7 Prioriteringsregler (räkningsordning) och tecken regler 19 7.1 Algebraiska förenklingar . . . 20
8 Olikheter 20 8.1 Regler för olikheter . . . 20
8.2 När får man byta håll på <?. . . 21
9 Mönster (hitta n:te guren) 21
10 PQ-formeln eller ABC-formeln 22
10.1 PQ-formeln . . . 22
10.2 ABC-formeln . . . 22
11 Geometri 23 11.1 Vinklar . . . 23
11.2 Geometriska objekt . . . 24
11.2.1 Trehörningar . . . 24
11.2.2 Fyrhörningar . . . 26
11.2.3 Cirklar. . . 28
12 Likformighetsfallen för trianglar 30 13 Talföljd 31 14 Medelvärde, median 31 14.1 Medelvärde . . . 31
14.2 Median . . . 32
15 Procent och delar! 32 15.1 Hundradelar . . . 32
15.2 En del . . . 32
16 Sannolikhet! 32 16.1 Grundläggande de nition . . . 32
16.2 Utfall . . . 33
17 Koordinatsystemet 33 17.1 Norr, söder, väster och öster . . . 33
18 Förhållande 33 18.1 Dubbelt så mycket hälften så snabbt . . . 33
19 Skalning 33 19.1 Från m, m2, m3 till cm, cm2, l ... osv. . . 34
19.1.1 Konverteringstabell, m, m2, m3 . . . 34
19.1.2 m/s till km/h, vice versa. . . 34
20 Funktioner 35 20.1 Sammansatta funktioner . . . 35
20.2 Funktioner och hur de fungerar . . . 35
20.3 Räta linjens ekvation . . . 35
2 LOGIK
20.3.1 Enpunktsformeln . . . 35 20.3.2 Tvåpunktsformeln . . . 35 20.4 Andragradspolynom, parabel . . . 36
21 Formler och ekvationer 36
21.1 Enhetsanalys . . . 36
A Symbollista 37
VIKTIGT!
Kolla så att du har den senaste versionen först!
Då proven under några år ck blandade ordning så har jag sammanställt en uppsättning med prov så man inte ska kunna blanda ihop olika versioner.
Proven är dem som man kan hitta på studera.nu och är öppna för alla, jag har bara satt ihop alla för att minska förvirringen.
Jag refererar till följande samling av prov som har publicerats av studera.nu
1 Introduktion
Vi kommer att börjar med grunderna och tittar på positiva heltal eller som man också kan säga de naturliga talen. Så vi börjar med 1, 2, 3, 4 ...
precis som alla objekt runt omkring oss är uppbyggd av atomer så är tal byggda på samma sätt. Dessa byggstenar kallar vi för primtal och de är bara delbar med sig själv och med ett.
2 Logik
Innan vi börjar med att prata om de mystiska symbolerna ⇐ och ⇒ som utläses implikation och ⇔, som utläses som ekvivalens, så måste vi diskutera om utsagor eller påstående.
2.1 Utsagor
De nition och exempel
Förenklat så är ett påstående en fråga som man kan svara sant eller falskt på.
Så med andra ord 'en fullständig mening' t.ex.
Lund ligger i Danmark.
Solen snurrar runt jorden.
x = 1.
3 · 7 = 21.
2.2 Implikation och Ekvivalens 2 LOGIK
Exemplen ovan kallar man mer speci kt för stängda utsagor då de inte har några fria variabler.
Vi har också öppna utsagor, det som gör att vi kallar dem för öppna utsagor är att vi behöver extra information för att avgöra om dem sanna eller falska. Vi antar att vi har den informationen som behövs för att avgöra sanningshalten av påståendet.
Vi tar som exempel cirkelns ekvation, x2+ y2 = r2.
Där x och y är punkters olika koordinater i x-led och y-led och r är radien från ett givet centrum. Vi kan därför inte avgöra om en punkt ligger på cirkeln eller inte om du inte vet alla delarna, så x, y och r. Därför kallar vi detta för en öppen utsaga (och om man ska vara petig en öppen utsaga).
Ett annat exempel textform skulle kunna vara
Det nns liv utanför vårt solsystem.
Vi vet inte om det nns liv utanför vårt solsystem eller om det inte gör det men frågan är sådan att det antigen måste nnas liv eller så nns det inte. Det viktiga är inte vad frågan gäller utan om vi skulle kunna svara sant eller falskt.
Det kan också vara till hjälp att se några exempel på vad som inte är ett påstående, som t.ex:
Lund
Månen
2 · 3
a2+ b2
Exemplen ovan är bara 'namn' eller ord på saker, det går också se på dem som om inget händer något i dem. För att lära dig mer om tecken symboler och olika stilar i Hur man läser matte.
2.2 Implikation och Ekvivalens
2.2.1 De nition och exempel
Vi har tre symboler som vi använder oss av ⇐, ⇒, ⇔, dessa som jag sa innan kalls för implikation och ekvivalens.
Pilen ⇒, utläses som Öm ... då ... så tex A ⇒ B så ska man läsa det som Öm A då (gäller) B", och vice versa för ⇐.
Kommentar. Implikationer och ekvivalenser kan bara skrivas mellan två eller era olika påstående.
Med siror,
x = 2 ⇒ x2 = 4.
Om x är lika med
| {z }
=
2 då
|{z}⇒
är kvadraten av
| {z }
x2
x lika med
| {z }
=
4.
Nu kan vi testa och se om omvändningen är sann d.v.s. bara för att x2= 4 så garanterar inte detta att x = 2 då (−2)2= 4.
Ett lite mer komplicerat exempel skulle kunna vara följande, så t.ex. På- stående A: Alla fattiga svälter, Påstående B: Jonas är fattig.
Då kan vi göra följande resonemang,
3 PÅ TAL OM TAL
Om alla fattiga svälter och Jonas är fattig då svälter Jonas.
Skriven i symboler Om A och B då C. Där C är påståendet att Jonas svälter.
Här är det viktig att se att de är en kombination som ger en slutsats, om den är sann eller inte det är lite av en annan fråga se Sanningstabellen en kort förklaring.
2.2.2 Ekvivalens
Ekvivalens är en kombination av de två implikations pilarna ovan. Och
⇔ utläses som om och endast om och brukar förkortas med omm.
Och gäller bara på påståenden där båda implikationspilarna gäller. Vi kan därför skriva A ⇔ B som en kombination av två implikationer A ⇒ B OCH A ⇐ B, påpekar igen att båda pilarna måste vara sanna.
Så,
x = 2 ⇔ 2x = 4 men inte x = 2⇔x 2 = 4
då x = -2 är också en möjlighet till (−2)2= 4. Låt oss se ett exempel där det är sant,
x = 2 eller x = 1 ⇔ (x − 2)(x − 1) = 0.
Hade vi bara haft en de två första påståendena så hade vi kunnat ha en ekvivalens pil,
x = 2⇔(x − 2)(x − 1) = 0.
3 På tal om tal
Vi kallar alla positiva heltal för de naturliga talen. Byggstenarna för de hela talen är primtalen vilket bygger upp alla de andra talen genom multiplikation.
De nition 1 (Primtal). Ett primtal är ett tal som är bara delbart med sig själv och med 1.
För att primtalsfaktorisera, det vill säga dela upp ett tal i dess prim- talsfaktorer så har vi en del regler som kan vara praktiska att kunna.
Som räkneexempel så kan vi primtalsfaktorisera 45. Vi börjar med att dela upp talet i faktorer steg för steg, 45 = 15 · 3 = 5 · 3 · 3. Här kan vi se att talet 45 består av en femma och två treor, 5 · 3 · 3.
Sats 1. Antag att heltalet n delas av ett annat heltal b då kan vi skriva resultatet på följande form,
n = a · b + r,
där a är ett heltal och r = 0 eller 1 > r > 0, vi kallar r för rest.
Vi säg att ett tal delar ett annat tal om det inte nns någon rest, d.v.s.
om vi använder formeln ovan så är r=0. Om b är en delare av n så skriver vi matematiskt b | n, utläses som b delar n eller b är den delare till n.
Om det istället skulle vara så att a inte delar b så drar vi ett snett litet sträck över det raka sträcket, -, så om a inte delar b så skriver vi a - b.
Så i praktisk mening så om vi inte har någon rest är att talet en multipel av talet.
3.1 Delbarhet! 3 PÅ TAL OM TAL
vi tar två räkneexempel för att illustrera det jag menar 16
2 = 8 till skilland från 17
2 = 8 +1 2,
vi kan se i det första exemplet att divisionen går jämt ut och i det senare fallet inte gör det och därför får vi en halva över vilket vi kallar för rest.
T.ex. tre är en delare till femton eller så kan man säga att 3 är en prim- talsfaktor till 15 3 | 15 och fyra är inte en delare till 9 eller så kan man säga att 4 är inte en primtalsfaktor 9, 4 - 9.
Det nns mer eller mindre lätta regler att använda för att se om ett tal är en faktor av ett annat tal. Här kommer vi med några av de reglerna, de som inte är primtal är bara en kombination av reglerna för en eller era primtal.
3.1 Delbarhet!
Kom ihåg att delbarheten av ett tal är inte beroende av tecken så algorit- men funkar lika bra om du byter alla tecken men kom ihåg att du måste då byta alla tecken.
Ta som exempel regeln för delbarhet med 11, det kvittar om du börjar med + sen - sen + så länge du ändrar på alla tecken till dess motsats.
Låt oss säga att du vill testa talet 121 för att se om det är delbart med 11 och får då, 1-2+1 = 0, då summan är lika med 0 och 0 är delbart med 11 så är också 121 delbart med 11.
Men vi skulle också kunna byta alla tecken och se om resultatet blir den samma ,-1 +2 -1 =0, vilket vi får och vi kan då ta samma resultat.
Delbarhet med 0
INGET tal är delbart med 0, då det är inte de nierat. MEN! alla tal delar 0! Division med noll är alltid förbjuden, det är lite som att prata i den tysta avdelningen på ett tåg.
Delbarhet med 1 Alla tal är delbara med 1.
Delbarhet med 2
Ett tal är delbart med 2 om det är jämt, det vill säga att du kan srkiva det på formen 2n, där n är ett heltal. Du kan också säga att ett tal är delbart med 2 om det slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8.
Så i lite praktiskt kontext så får vi att t.ex. 12 = 2 · 6 vilket vi kan skriva på 2n formen och därför är 12 jämnt. Tar vi t.ex. talet 230123 så kan vi applicera den andra varianten och säga att talet slutar inte på 0,2,4, 6 eller 8 så därför är inte heller talet 230123 delbart med 2.
Video om delbarhet med talet 2
Delbarhet med 3
Ett tal är delbart med 3 om summan av dess siror i talet är delbart med 3.
Låt oss säga att vi har 3210, då tar vi och summerar sirorna i talet för
3.1 Delbarhet! 3 PÅ TAL OM TAL
att se om det är delbart med 3, 3+2+1= 6 vilket är delbart med 3, därav så är också 3210 delbart med 3.
Ett annat exempel skulle kunna var 7219, 7 + 2+ 1+9 = 19 vilket är inte delbart med 3 därav är inte heller 7219 delbart med 3.
Om du är osäker eller om det resulterande talet blir för stort så kan du alltid upprepa tricket.
Låt oss testa detta med att du har 72987 och vill kolla om det är delbart med 3. Du får då 7 + 2 +9 + 8 +6 = 32. Vi kan nu testa igen 3 +2= 5 vilket är inte delbart med 3 därav så får vi att 72987 är inte heller delbar med 3.
Video om delbarhet med talet 3
Delbarhet med 4
Du behöver bara kolla om de två sista sirorna i ett tal för att se om det är delbart med 4. På de två sista sirorna så brukar det var lättast att dela det först med 2 och om det går så dela det igen med 2 för att se om det är delbart med 4.
Låt säga att du har talet 3451 och vill se om det är delbart med 4 då behöver du bara undersöka om 51 är delbart med 4, vilket det inte är så därför är inte heller 3451 delbart med 4.
Låt oss istället testa med 7872 då ser vi att det två sista sirorna ger oss talet 72, vilket är delbart med 4, därav så är 7872 delbart med 2.
Du kan också utföra kort division på de två sista sirorna för att se om det är delbart med 4.
Vi kan testa det igen, 7872, vilket ger oss igen 72 men nu tar vi det i steg vi dela det en gång,
72
4 = 36 ·2
2 ·2 = 18 ·2 2 = 18, vilket också ger oss 7872 är delbart med 4.
Video om delbarhet med talet 4
Delbarhet med 5
Ett tal är delbart med 5 om det slutar på 0 eller 5.
Video om delbarhet med talet 5
Delbarhet med 6
Ett tal är delbart med 6 om det uppfyller både kriteriet för delbarhet med 2 och med 3.
Kolla på videon för att få lite tips på hur du kan använda det,
Video om delbarhet med talet 6
Delbarhet med 7
Börja med att ta ditt tal och ta den sista siran dubbla den och dra ifrån det från den andra delen är resultatet delbar med 7 så är också det
3.1 Delbarhet! 3 PÅ TAL OM TAL
ursprungliga talet delbart med 7. Vet att den inte är så lätt att använda men den kan vara smidig och jag kommer att visa en massa exempel.
Så nu börjar vi. Vi testar med talet 21 då vi redan vet att det är en produkt av 3 och 7. Vi har 2 som är början och den sista siran 1, dubbla sista siran, 1 · 2, och subtrahera den från resten", 2 -2 = 0, vilket delbart med 7 så 21 är delbart med 7.
Låt oss ta ett annat räkneexempel 91, här är 9 början och 1 den sista siran. Dubbla den sista siran och subtrahera det från resten och vi får 9- 2 = 7, talet 7 är delbart med 7 vilket ger oss att 91 delbart med 7.
Ett annat exempel 203, början är 20 och sista siran är 3, dubbla 3, vilket är 6, och dra ifrån, 20 -6 = 14, 14 är delbart med 7 och därför är 203 delbart med 7.
Ifall det resulterande talet blir för stort så kan du upprepa algoritmen igen och igen om det behövs! Tex 299, dvs 29 - 18 = 11, och 1 - 2 = -1 så 299 är inte delbart med 7. Tar vi istället 266, så får vi 26 - 12 = 14, upprepar, och får då 1 - 8 = -7 vilket är delbart med 7 därav är 266 delbar med 7.
Delbarhet med 8
Att ett tal ska var delbart med 8 ska utgå från samma som först dela med 2 och sen med fyra eller att dela det första "hundratalsdelenmed 4 och sen med 2.
Delbarhet med 9
Delbarhet med 9 är samma som 3 fast med skillnaden att summan ska vara delbar med 9 och inte 3.
Som exempel så kan vi ta talet 3182, summerar alla sirorna i talet och får, 3 + 1 + 8 + 2 = 14, 14 är inte delbart med 9 vilket gör inte heller 3182 delbart med 9. Vi kan istället ta 8406, vi får då 8 + 4 + 0 + 6 = 18, 18 är delbart med 9 vilket ger oss att 8406 är delbart med 9.
Delbarhet med 10
Alla tal som slutar på 0 är delbara med 10.
Delbarhet med 11
Att ett tal är delbart med 11 beror på om var summan av vart annan sira i talet är positiv och negativ blir delbar med 11. dvs 121 ska bli 1 -2 +1
=0, delbar med 11.
1321 är då 1 -3 + 2-1 = -1 dvs icke delbart med 11 så 1321 är det inte heller. Men, 1331 blir 1 -3 + 3 -1 = 0 och därför delbar med 11.
1925 blir 1 - 9 +2 -5 = -11 vilket är delbart med 11 så 1925 är delbart med 11.
Delbarhet med 12
Ett tal är delbart med 12 om det uppfyller både delbarhets kriterierna för 4 och 3.
3.2 Hur man använder sig av delbarhet 3 PÅ TAL OM TAL
Delbarhet med 13
Vi kan få fram två regler en är mer ämnad för stora tal och en är mer ämnad för små tal. Ett tal är delbart med 13 om du tar det sista siran i talet och multiplicerar det med 9 och dra ifrån det från det första och det nya talet är delbart med 13.
Ett tal är delbart med 13 om du tar det sista siran i talet och multiplicerar den med 4 och sen adderar den till det första sirorna och detta nya tal är delbart med 13. Då är också det första talet delbart med 13.
Låt oss säga att vi har 3424 och vill dela det med 13. Så tar vi och delar den i den sista siran 4 och multiplicerar den med 9 så vi får 4 · 9 = 36 och drar ifrån detta från resten"eller de andra sirorna så i detta fallet har vi 342. Så vi får att 342 - 36 = 306, vi kan göra detta igen så vi har 5, ( 5 · 9 = 45) så vi får 30 - 45 = -15 vilket är inte delbart med 13 och då är också inte heller 3424 delbart med 13.
Vi kan göra den andra också, den är mer lämplig för mindre tal, eller mer för att kombinera med den första. Låt oss säga att vi har 134 då får vi att sista siran är 4 och de andra hälften är 13. Detta får vi då till 13 + 16 vilket är inte delbart med 13.
Man kan också göra följande, att ta de främre delen och multiplicera den med 3 och sen dra ifrån det från den sista siran. Så typ 103 blir 10 multiplicerat med 3 vilket är 30 och sen dra ifrån den sista siran så vi får 30 - 3 = 27 vilket är inte delbart med 13.
Delbarhet med 17
Ett tal är delbart med 17 om du tar det sista siran i talet och multiplicerar den med 5 och sen dra ifrån det från det första och det nya talet är delbart med 17. Då är också hela talet delbart med 17.
Så låt oss säga att vi har talet 519. Vi har då 9 som den sista siran, vi multiplicerar den med 5 och drar ifrån den från den andra delen. så vi får, 9 · 5 = 45 och sen drar vi från detta från 51, vilket ger oss 51 - 45 = 6.
3.2 Hur man använder sig av delbarhet
Det nns många uppgifter på provet som kräver att du kan vad delbarhet är och också att resonera kring delbarhet. Det nns också många uppgifter där delbarhet är ett delmoment i en lösning för en uppgift.
Ett exempel är t.ex. uppgift 9 från provpass 2, hösten 2018, frågan är vad sannolikheten är att två på varande tal är delbara med 2.
I den uppgiften så måste man både kunna förstå sannolikheten men också hur man använder sig av delbarhet som ett redskap.
3.2.1 Minsta gemensamma nämnare (MGN)
När vi letar efter en minsta gemensamma nämnare så handlar det om att hitta en nämnare som funkar för alla bråken och är så lite som möjligt.
Vad menas med detta, låt säga att du har två bråk, tex
1 2+ 1
6
då kan vi börja med att primtalsfaktorisera båda nämnarna, dvs dela upp varje tal i dess primtals komponenter, 2 = 2, 6 = 2 · 3 och får då
1 2+ 1
2 · 3.
3.2 Hur man använder sig av delbarhet 3 PÅ TAL OM TAL
Börja med att hitta den största nämnaren, vilket är 6 i detta fallet. Jämför sen det med dem andra nämnarna och se vad som skiljer dem åt. Vi ser då att i det vänstra bråket så saknar"vi en 3 (vi får då MGN = 6) så då förlänger vi med det (multiplicera med det talet både uppe och nere) och får då.
1 · 3 2 · 3+ 1
2 · 3 = 3 6 +1
6 = 3 + 1 6 = 4
6 = 2 ·2 3 ·2 = 22
3.
Vilket gör det nu enklare för oss att räkna ut vad summan blir. Vi kan ta ett annat räkneexempel,
1 5+ 5
12+1 6,
Vi börjar med att primtalsfaktorisera nämnaren igen och får då,
1
5+ 1
2 · 2 · 3+ 1 2 · 3.
Ser att 12 är det största talet, dock så ser vi att 12 saknar en 5 så vi måste lägga till det till vårt MGN ( MGN = 2 · 2 · 3 · 5). MGN är det talet som
"innehållerminst antal primtal som alla nämnare delar.
Så, den första nämnare saknar"2 · 2 · 3, den har redan femman. I det mittersta bråket så saknas"en femma. I det sista bråket så saknar"vi 2 · 5.
Lägger vi till detta nu så får vi,
1 · 2 · 2 · 3
5 · 2 · 2 · 3 + 1 · 5
2 · ·2 · 3 · 5+ 1 · 2 · 5
·2 · 3 · 2 · 5.
Utför vi multiplikationerna och sätter allt på ett och samma bråksträck så får vi följande,
12 60 + 5
60 +10
60 = 12 + 5 + 10
60 = 17
60.
Vi kan snabbt se att 17 är ett primtal (med hjälp av reglerna ovan, och lite vana) att 17 är ett primtal så vi kan inte förenkla mer. Vi kan nu också se att ju er gemensamma primtal vi har i nämnaren ju lättare är det att räkna ut, tex
1
3 · 3 + 1
2 · 3 · 3+ 1 2 · 2 · 3 · 3
för här får vi att MGN = 2 · 2 · 3 · 3 så det är inte så mycket som saknas".
Det blir väldigt jobbigt om du har tex 1 7+1
2 +1 5,
för här ser vi att det saknasmer i alla termer då MGN = 7 · 2 · 5.
Du kan nu försöka lösa uppgift: 21, från provet: Hösten 2018, Provpass:
4 Du kan nu försöka lösa uppgift: 5, från provet: Våren 2018, Provpass:
1 Du kan nu försöka lösa uppgift: 1, från provet: Våren 2018, Provpass:
4
Du kan nu försöka lösa uppgift: 4, från provet: Våren 2017, Provpass: 5 Den kan också lösas med approximationer också Du kan nu försöka lösa uppgift: 2, från provet: Våren 2018, Provpass: 1
Det vanligast tillfället vi använder oss av delbarhet är när vi ska hitta den minsta gemensamma nämnare (MGN), detta gör vi för att kunna sätta olika bråk på en gemensamma nämnare. Ett exempel på den typen av uppgift är tex uppgift 15 på höstensprov 2018 på pass 2, , där man skall bestämma vilken av två kvantiteter som är störst. Vi måste då bestämma om ett stort bråk är större, mindre eller lika med summan av er bråk.
4 APPROXIMATIONER
Uppgifter som denna är den enklaste formen även om vi måste vara lite smart när vi väljer vår minsta gemensamma nämnare. Det brukar också komma upp när vi ska lösa ekvationssystem. Ett exempel på detta är, tex uppgift 7 från höstensprov 2018 pass 2.
Här ska vi lösa ett ekvationssystem med en några bråk, här hjälper det med att hitta den minsta gemensamma nämnare och använda sig av prim- talsfaktorisering. Då kan vi snabbt inse att multiplicerar vi båda leden med 9 så är det enklare att lösa ekvationen.
3.2.2 Uppgifter
Du kan nu försöka lösa uppgift: 7, från provet: Hösten-2013, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 27, från provet: Våren - 2015, Provpass:
2 Du kan nu försöka lösa uppgift: 1, från provet: Våren - 2015, Provpass:
2
Du kan nu försöka lösa uppgift: 26, från provet: Höst - 2017, Provpass:
3
Du kan nu försöka lösa uppgift: 2, från provet: Höst 2014, Provpass: 2 Den sista skulle kunna ses som en kombination med ett av de andra kapitel som är med här, jämna och udda tal. Du kan nu försöka lösa uppgift: 2, från provet: Våren - 2015, Provpass: 4
4 Approximationer
4.1 Approximationer
Ett råd är att lär sig några av approximationer då de är väldigt hjälpsam- ma för att kunna lösa uppgifterna snabbt, såklart är detta inte det ända
sätt att lösa den typen av uppgifter.
√
2 ≈ 1.41 ≈ 99 70 ≈ 17
12 ≈ 1.4 √
3 ≈ 1.73 ≈ 97 56 ≈ 19
11 ≈ 1.7
√
5 ≈ 2.24 ≈ 161 72 ≈ 9
4 ≈ 2.2 √
7 ≈ 2.65 ≈ 127 48 ≈ 8
3 ≈ 2.6
√
10 =√ 2√
5 ≈ 3.16 ≈ 3.2 √
11 ≈ 3.33 ≈ 199 60 ≈ 10
3 = 3.3...
π ≈ 3.1415 ≈ 22
7 e ≈ 2.7182 ≈ 19
7
Du kan nu försöka lösa uppgift: 4, från provet: 2015-04-14, Provpass: 1 Du kan nu försöka lösa uppgift: 21, från provet: 2018-10-21, Provpass: 5 Du kan nu försöka lösa uppgift: 19, från provet: Hösten - 2018, Provpass:
2 Kan dock också lösas direkt med exponent och n.te roten delen.
1
3 ≈ 0.33 1
4 = 0.25 1
5 = 0.2 1
6 ≈ 0.17 1
7 ≈ 0.14 1
8 = 0.125 1
9 ≈ 0.11 1
11 ≈ 0.09 1
12 ≈ 0.083 1
13 ≈ 0.077 1
14 ≈ 0.071 1
15 ≈ 0.067 1
16 = 0.0625 1
17 ≈ 0.059 1
18 ≈ 0.056
Vi de nierar π som förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess dia- meter, diametern är lika lång som två gånger radien,
π = Omkrets
Diameter = Omkrets 2 ·radien.
5 ORDNADE TAL
5 Ordnade tal
5.1 Jämna och udda tal
Det är viktigt att lära sig lite om udd och jämna heltal, då det kommer ofta frågor som går att lösa med hjälpa av lite enkla tankesätt och tricks.
Dock så kan man behöva se de ett par gånger innan man själv kan använda dem.
Vi börjar med att konstatera att alla heltal kan antingen skrivas på formen 2n+1(detta kallar vi för ett udda tal) eller 2n (detta kallar vi för ett jämnt tal) och där n är ett heltal.
Som exempel så kan vi skriva om en del tal på dessa former, 110är jämnt då 110 = 2 · (55), 111 är udda då 111 = 2(55) + 1
46 är jämnt då 46 = 2(23), eller så har vi 77 vilket är udda då77 = 2(38) + 1 Vi vet också att det är alltid vartannat jämnt tal och vartannat udda.
Vilket ger oss att två på varandra följande tal kan skrivas godtyckligt som antigen ett udda tal först,
Fall 1: 2n + 1, 2n, t.ex. 3, 4 eller 111, 112.
Eller som ett jämnt tal först,
Fall 2: 2n, 2n + 1 t.ex. 10, 11 eller 100, 101.
Du kan nu försöka lösa uppgift: 9, från provet: Hösten - 2018, Provpass:
2 Vi frågan så skall vi testa att se om det går att dela två på varandra
följande tal är jämnt delbart med 2? Om vi utgår från fall 1 så ser vi om vi summerar två på varandra följande tal så får vi,
(2n1+ 1) + (2n2)
2 = 2n1+ 2n2
2 = (n1+ n2) + 1
2 = (n1+ n2) +1 2. Vilket är inte delbart med 2, testa att göra själv samma sak fast med fall 2, yes, det är väldigt enkelt och mesta bara att kopiera men ett steg i taget innan man börjar springa.
Även om du inte gjorde föregående uppgiften så kan jag säga att vi komma fram till att summeras två på varande tal så är det nya talet udda. Då det också kvittar i vilken ordning vi summerar tal i (a + b = b + a) så kan vi komma fram till en sats.
Sats 2. Summan av ett jämnt och ett udda tal är udda.
Vi kan göra detta för lite olika fall och få fram följande fyra satser. Försöka att bevisa dessa satser med tekniken som vi använde oss av innan.
Sats 3. Summan av två jämna tal är jämna.
Bevis. Så vi kan börja ett bevis med hjälpa av att utgå från vad vi vet?
Jo vi ska summera två jämna tal. Vad vill vi komma fram till, jo, att resultatet ska vara jämnt, vad betyder det? Det betyder att vi kan skriva talet på formen 2n.
Tar två jämna tal, 2n1 och 2n2, varför n1 och n2, jo för att vi ska ta två godtyckliga jämna tal, det räcker inte att det bara funkar för ett par tal utan det måste gälla för alla fall. Vi börjar med att summera dem,
2n1+ 2n2 = 2(n1+ n2) = 2n3 där n3 = n1+ n2.
6 OPERATION ( · /√
+ −)
Nu har vi bevisat vår sats, då summan av två jämna tal är ett jämnt tal då vi ser att det går att skriva om dem.
Vi kan antingen då avsluta med att skriva v.s.b som står för - vilket skulle bevisa - eller så använder vi oss av en kvadrat ( ), det vanligaste bland matematiker är kvadrat.
Sats 4. Summan av två udda tal är jämna.
Vi skulle också kunna göra det för produkter, innan du kikar vidare testa på samma sätt som ovan för produkter innan du tittar på satserna nedan.
Sats 5. Produkten av två udda tal är udda.
Sats 6. Produkten av två jämna tal är jämnt.
Sats 7. Produkten av ett jämt tal och ett udda tal är jämnt.
Från detta så får du också att produkten av n udda tal är udda, då du bara kan para ihop dem två i taget och sedan fortsätta med processen så många gånger vi behöver.
Sats 8. Summan av n-udda tal är udda om n är jämnt och udda om n är udda.
Sats 9. Summan n-jämna tal är jämnt.
Du kan nu försöka lösa uppgift: 6, från provet: Vår - 2016, Provpass: 5 Du kan nu försöka lösa uppgift: 7, från provet: Höst - 2015, Provpass: 3 Snäppet svårare: Du kan nu försöka lösa uppgift: 12, från provet: Våren - 2018, Provpass: 1 Du kan nu försöka lösa uppgift: 27, från provet: Höst 2017, Provpass: 5 Du kan nu försöka lösa uppgift: 9, från provet: Hösten - 2018, Provpass: 4
6 Operation ( · / √
+ − )
Det var kanske ett tag sedan du satt på en matematiklektionerna räknade, därför så kommer vi gå igenom några av grunder som ofta kommer på provet och som är viktiga att kunna.
6.1 Addition Vi börjar med addition.
Addend+ Addend= Summa
En av dem första sakerna vi lär oss är i skolgången är tio kompisarna vilket är de talen mellan 0 och 10 som blir tillsammans 10. Vilka är, 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5, dessa kan hjälpa dig sen när man räknar med division och multiplikation eller när du snabbt ska räkna ut ett medelvärden.
Tabell 1: Additionslagar
a + b = b + a kommutativa lagen under addition (a + b) + c = a + (b + c) Associativa lagen under addition a + 0 = a för alla a ∈ R Additiv identitet också kallad noll
element
a + c = b + c ⇔ a = b Annulleringslagen under addition a · (b + c) = a · b + a · c Distributiva lagen
6.2 Subtraktion 6 OPERATION ( · /√
+ −)
Kommentar till reglerna och vad som kan vara bra att tänka på. den första lagen säger att det kvittar i vilken ordning vi summerar, så att t.ex. sum- man av ett udda tal med ett jämnt är precis samma sak som att summera ett jämnt med ett udda.
Den andra lagen säger att det är ingen skillnad om vi ändrar ordningen på tre eller era tal, resultatet blir desamma.
Sen kommer det en rätt enkel sak som kan vara till hjälp ibland och det är att om vi adderar noll till ett tal så är det lika med ursprungstalet. I vissa tillfällen så kan det hjälpa att lägga till och dra ifrån samma tal(d.v.s. 0 ).
T.ex. att följande är lika a = a + b − b.
Näst sist är en bra lag som säger att vi får lov att ta bort samma del från båda sidorna och likheten behålls.
Den sista lagen säger att multiplikation och addition går att kombinera.
6.2 Subtraktion
En sak som är bra att komma ihåg är att subtraktion är bara en dold additiondå vi skriver t.ex. a − b men vi menar egentligen a + (−b) men för att förenkla allt skrivande så förkortar vi det till a − b.
Men det kan vara praktiskt och göra det mer intuitivt att tänka att vi adderar positiva saker med negativa saker. Lite vanliga sätt som vi brukar symbolsiera det som är att du kanske har 30 kr men är skyldig din kompis 40 kr för en falafel så resultatet blir då -10 kr, 30 kr + (−40 kr) = −10 kr.
Det kanske är så att vid lunch idag så var det 10 grader ute men nu på natten så har det sjunkit med 12 grader så nu är det -2 grader.
Vi skulle också kunna se det som att vis ska gå från punkt A till punkt
B, vilket är 8 km. När vi har kommit en bit till punkten C som ligger 7 km från A så inser vi att vi har tappat plånboken och börjar då att gå tillbaka. Efter 4 km så hittar vi plånboken, hur långt är vi från punkten A just nu?
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1 1
A D C B
Beräkningen blir då 7 km − 4 km = 3 km.
Minuend − Subtrahend =Dierens
6.3 Multiplikation (· eller × eller inget alls) Multiplikator · Multiplikand=Produkt
Multiplikation kan ibland skrivas med hjälp av symbolen ×, dock inte så vanligt förekommande. Skriver vi ut symbolen (oftast bara när det gäller multiplikation mellan siror) så skriver vi ·. T.ex.
71 · 11, 91 · 71 eller 103 · 2.
Vi har som en konvention att när vi har en sira bredvid en variabel eller två olika variabler så skriver vi generellt inte ut multiplikation symbolen utan räknar med att den bara nns där.
T.ex. så ska 2x tolkas som 2 · x eller 2 × x. På samma sätt så ska 1/2x tolkas som (1/2) · x = 1
2 · xeller 1 2× x.
6.4 Division (a
b, a/b, eller a ÷ b) 6 OPERATION ( · /√
+ −)
Tabell 2: Multiplikationslagar
a · b = b · a Kommutativa lagen under multipli- kation
(a · b) · c = a · (b · c) Associativa lagen under multiplika- tion
1 · a = a för alla a ∈ R Multiplikativ identitet
a · c = b · c ⇔ a = b om c 6= 0. Annulleringslagen under multiplika- tion
a · (b + c) = a · b + a · c Distributiva lagen
6.4 Division (a
b, a/b, eller a ÷ b)
Division kan man lite se som motpolen till multiplikation, att de som vi multiplicerar med något kan vi också dividera bort, a = a · b/b = a ·b
b = a . De två vanligaste skrivsätten är a
b och a/b, vi använder väldigt sällan
÷men det kan förkomma. Ett bra sätt att tänka på division är att delar vi något på er än 1 då måste talet bli mindre, delar vi det på mindre andelar än 1 så måste det bli mer.
T.ex. är vi tre personer som ska dela på fem glassar så får varje person 5/3 dels glassar. Skulle det komma två till så skulle vi bara få en 5/5, dvs 1 glass var. Men om vi var tre och en var laktosintolerant dvs bara 2/3 som kunde äta av glassarna så skulle vi få mer.
Dividend / Divisor= Kvot
Vi brukar också kalla a och b i a
b för a = täljare (taket) och b= nämnare (nere).
6.4.1 Divisions regler Låt b 6= 0, c 6= 0 och d 6= 0.
(i) ab
c = a · b c = a
1 ·b c = ab
c (ii) a
b c d = a
b · c d = ac
bd (iii) a
b
c d=
a b c d
= a b ·d
c = ad bc (iv) a
b ± c d = ad
bd + bc
bd = ad ± bc bd
6.4.2 Huvudbråk
En annan sak som är viktig att veta, det är vad huvudbråksträcket är. Det vill säga, vad ska vi dela på vad. Har vi t.ex. 1/3/4, menar vi då 1/3 som ska delas på 4 eller är det 1 som ska delas på 3/4, i de olika fallen så får vi olika (1/12, 4/3 ). Därför är det viktigt att veta vad som ska delas på vad och är också av den anledning som vi brukar markera det med antingen ett längre sträck som i
a b c d
eller a/b
/
c/d.Innan vi fortsätter så går vi tillbaka till en av sakerna som vi började med och det är att om nämnaren är större än 1 så blir talet mindre men om det är mellan 1> x> 0, det är ingen skillnad om du har ett annat tecken.
6.5 Dela på eller stryka i bråk 6 OPERATION ( · /√
+ −)
Vilket kan hjälpa dig att dubbelkolla om en förenkling eller uträkning är rätt.
Låt oss kolla på ett par exempel. Antag att vi har följande bråk,
a b c d
(>1 eller 0<c/d<1
Så om c > d, så måste svaret bli större men om d<c så kommer talet att bli mindre.
Vi kan också kolla varför vi brukar göra så här a/b
/
c/d = (a/b) · (d/c) = (ad)/(bc), detta kan vi visa genom att kolla på om vi skulle byta ut bråken mot exponenter men kom då ihåg att 1a = a−1.
a b c d
= ab−1 cd−1
= ab−1(cd−1)−1
= ab−1c−1(d−1)−1
= ab−1c−1d(−1)·(−1)
= ab−1c−1d
= ad bc
= a b ·d
c.
På samma sätt så kan vi komma fram till tre hjälpregler,
a b c d
= ad bc,
a b d = a
bdoch a b c
= ac b
Du kan nu försöka lösa uppgift: 5, från provet: 2018-10-21, Provpass: 4 Du kan nu försöka lösa uppgift: 7, från provet: 2018-04-14, Provpass: 4 Du kan nu försöka lösa uppgift: 9, från provet: 2018-10-21, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 8, från provet: 2018-10-21, Provpass: 5
6.5 Dela på eller stryka i bråk
Regler för att brytaupp"eller stryka faktorer/termer. Du kan alltid dela på termer i täljaren som har ett plus eller minus i sig men bara om termerna står för sig själva. Du kan heller aldrig gör det för nämnaren.
Så tex.
A + B
2 = A
2+B
2 men inte 2(A + B)
3 6= 2A
3 +B
3 men 2(A + B)
3 = 2A
3 +2B 3 Som en generell regel så hittar vi + eller - och de inte nns i en parenteser så stryk det inte, t.ex.
2x + 1
x + 1 6= 2x + 1
x + 1 6= 2.
Vi kan inte heller stryka något om parenteserna bara nns i en av fakto- rerna
2x(e + 1) − 2x(y + 1)
e + 1 6= 2x(e + 1) − 2x(y + 1)
e + 1 6= 2x − 2x(y + 1).
6.6 Exponentiering 6 OPERATION ( · /√
+ −)
Vi får lov att stryka faktorer som nns i alla termer som exempelvis 2(x + 1)
(x + 1) = 2x + 1
x + 1 = 2, eller
2x(e + 1) − 2x(e + 1)(y + 1)
e + 1 = 2x(e + 1) − 2x (e + 1) (y + 1)
e + 1 = 2x−2x(y+1) Genom att kombinera de båda två metoderna ovan så kan vi t.ex. göra följande.
a − 1 3ab = a
3ab− 1 3ab = a
3ab − 1 3ab
6.5.1 Förlänga 2.0
Vi har redan kollat lite på hur man gör när man ska pilla med MGN, gå gärna tillbaka och titta på medan du läser det här kapitlet. Vill också påpeka att om du känner dig osäker på exponenter så bör du läsa det kapitlet först.
Vad vi ofta gör är att vi bara kors multiplicera talen och kanske inte riktigt tänkt över det mer, vad vi måste börja med att konstatera är att vi kan alltid multiplicera ett tal med 1 utan att ändra på det, x = x · 1 = 1 · x.
Vad vi också kan tänka på att vi har alltid möjlighet att skriva om 0 till 1-1. Vi behöver också komma ihåg att vilket tal eller variabel skild från noll upphöjt till noll är alltid lika med 1, x0 = 222220 = 90 = 1. Slår vi hop allt så kan vi tex gör följande,
a = a · 1 = a · x0= a · x1−1= ax1x−1 = ax x .
Vad du nu kan se är att vi kan använda det här tricket för att förlänga ett bråk och på så sätt kunna bryta ut en gemensam faktor för att sen kunna
skriva om allt igen som ett bråk. Vi sak visa på hur man kan göra detta genom ett räkneexempel,
a + by−1 = a · 1 + by−1 = ayy−1+ by−1 = (ay + b)y−1= ay + b y .
6.6 Exponentiering
Exponenter är något som kommer väldigt ofta och kan ibland vara väldigt knepigt.
BasExponent =Potens
Givet att a och b är positiva och skilda från noll (a, b ≥ 0) så gäller följande,
Tabell 3: Potenslagar an· am = an+m a−n= 1
an an−m= an am
(an)m= an·m = (am)n (ab)n= an· bn
Tabell 4: Specialfall av potenslagarna a0= 1 då a 6= 0 √
a = a1/2 0n= 0 då n 6= 0
6.7 n:te roten (√ ) 6 OPERATION ( · /√
+ −)
Den första regeln är bra att komma ihåg då den brukar lura många och få det till att bli lika med noll, men så är det inte utan vilket tal som helst som är skilt från noll och är upphöjt till noll är lika med ett.
Du kan nu försöka lösa uppgift: 6, från provet: 2015-03-28, Provpass: 2 Den följande regeln kommer fram om man bara utvecklar termerna och funderar lite på vad det betyder att man har t.ex. a3. Att ha an betyder bara att du har n antal a, och på samma sätt så har du m antal a i den andra termen.
an· am = a · a . . . a
| {z }
n gånger
· a · a . . . a
| {z }
m gånger
= a · a . . . a
| {z }
n + m gånger
.
Regel nummer 3 är bara en de nition som vi har sagt ska gälla, att vi kan använda oss av ett minus för att kunna skriva ett bråk.
Regel nummer 4 kommer från föregående de nition, tillsammans med regel nummer 1.
Regel nummer 5 kommer också fram genom att tänka på vad det betyder att ha något upphöjt till n t.ex.
(an)m = an· an. . . an
| {z }
m gånger
= a · a . . . a
| {z }
n gånger
· . . . a · a . . . a
| {z }
n gånger
| {z }
m gånger
Att ha (an)m betyder att du har m stycken an, som i sin tur betyder att du har n stycken a. I beräkningen ser vi sen att nu en kedja med m antal mindre kedjor som har n antal a, vilket blir n ∗ m.
Du kan nu försöka lösa uppgift: 1, från provet: 2018-10-21, Provpass: 4 Du kan nu försöka lösa uppgift: 11, från provet: 2018-10-21, Provpass: 4
Du kan nu försöka lösa uppgift: 13, från provet: 2018-10-21, Provpass: 4 Du kan nu försöka lösa uppgift: 1, från provet: 2018-04-14, Provpass: 1 Du kan nu försöka lösa uppgift: 12, från provet: 2018-04-14, Provpass: 4 Kom ihåg att produkten av tal som är strikt mindre än 1 men större än 0 blir mindre.
Som exempel så tar vi uppgift, Du kan nu försöka lösa uppgift: 13, från provet: 2015-03-28, Provpass: 2 i den första kvantitativa delen så ser vi att talet är mindre än 1 och större än noll vilket göra talet alltid kommer att bli mindre hur mycket vi än väljer att multiplicera det. Vi kan komma fram till detta genom att göra ett exempel, om vi har ett som är mindre än 1 och så kan man tänka sig att man tar ett mindre tal och delar det på ett större tal och då får följande räkneexempel
(0.4)100= 2 5
100
= 2 5. . .2
5 = 2 . . . 2 5 . . . 5.
Vad vi då lättare kan se att vi kan ställa alla bråken på ett gemensamt bråksträck där varje term i täljaren kommer att vara mindre än den i nämnaren och därför så kan inte talet bli större.
6.7 n:te roten (√ )
Vi stöter också ofta på kvadratroten ur och det är nog oftare lättare att tänka på dem som en exponent till ett bråktal då vi alltid kan räkna med den som en bråktals exponent. Då har vi också ett fast system för hur vi ska räkna med dem och du kan då med andra ord bara återanvända reglerna från avsnittet med exponenter.
Basp
Exponent=Rot
7 PRIORITERINGSREGLER (RÄKNINGSORDNING) OCH TECKEN REGLER
Den viktigaste regeln som man ska komma ihåg är att du inte får dela på två tal eller symboler som adderas ihop eller subtraheras får inte delas på
i bråk, √
a + b 6=√ a +
√
b och √
a − b 6=√ a −
√ b.
T.ex.
px2− y2 6=√
x2−p y2.
Men! Du kan separera på bråk och multiplikation så följande är okej r a
b =
√a
√
b och √
ab =√ a ·√
b.
Vi kan se hur det kan komma sig då vi kan använda oss av exponenter, då följande är sant (a + b)2 = a2+ 2ab + b2 men inte (a + b)26= a2+ b2 och därför kan inte följande stämma,
√
a + b = (a + b)1/2 6= (a)1/2+ (b)1/2.
Tabell 5: Kvadratrötter (i) √
ab =√ a ·
√
b (ii)
√a
√
b =r a b (iii) a
√c = a√ c
c (iv) √n
ab = √n a ·√n
b (v) qn
m√
a = mn√
a (vi) a√n
b = n
√ anb
Du kan nu försöka lösa uppgift: 19, från provet: 2018-10-21, Provpass: 2 Du kan nu försöka lösa uppgift: 12, från provet: 2018-10-21, Provpass: 2
Du kan nu försöka lösa uppgift: 13, från provet: 2018-10-21, Provpass: 4 Du kan nu försöka lösa uppgift: 3, från provet: 2018-04-14, Provpass: 4 Det nns en stor vits med att lära sig några av dem vanligaste närmevär- dena för några tals rot. Vi kan se det i några exempel i följande uppgifter.
Du kan nu försöka lösa uppgift: 3, från provet: 2015-03-28, Provpass: 2 Du kan nu försöka lösa uppgift: 5, från provet: 2014-10-25, Provpass: 5
7 Prioriteringsregler (räkningsordning) och tec- ken regler
1 Parenteser och om det nns er så börja med den innersta! T.ex.
y −
x +
a + b! .
Vi börjar med(), sen()och sen så avslutar vi med().
2 Exponenter! I exponenten så gäller samma prioriteringsregler som för hela talet.
Vi kan ta ett räkneexempel följande, 2·13,
vi kan nu se hur viktigt det är att ta en exponent först sedan produkt, så man inte mixar ihop dem och ta den ena före den andra
Gör inte! 2·13 6= (2·1)36= 23, prioritera, så gör istället 2·13 = 2·1 = 2.
Ett annat räkneexempel skulle kunna vara,
2 · (3 − 4)3= 2 · (−1)3 = 2 · (−1) = −2.
7.1 Algebraiska förenklingar 8 OLIKHETER
3 Multiplikation och division, ordningen spelar inte roll men håll tung- an rätt i mun så att det inte blir fel ändå.
Det som kan vara svårast med detta är om man gör divisionen på fel sätt eller om man mixar multiplikationen med fel term vid fel tidpunkt. Det är väldigt förekommande i olika bilder på internet där man skall hitta rätt svar på en fråga som 2 ÷ 3 · 4 =?
4 Addition och division, ordningen spelar inte någon roll.
Vissa brukar bara skriva parenteser, multiplikation och division, addition och division. För att exponenter bakas lite in i det hela, dock så kan detta också skapa problem så jag ber er att använda varje delmoment.
Du kan nu försöka lösa uppgift: 4, från provet: 2018-10-21, Provpass: 2
Tabell 6: Teckenlagarna
(i) a + (−b) = a − b (ii) a − (−b) = a + b
(iii) a · (−b) = −ab = (−a) · b (iv) (−a) · (−b) = (−(−a))b = ab (v) −a
b = a
−b = −a
b (vi) −a
−b = a b
Du kan nu försöka lösa uppgift: 13, från provet: 2018-10-21, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 9, från provet: 2016-10-29, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 17, från provet: 2016-10-29, Provpass: 3
7.1 Algebraiska förenklingar
Tabell 7: Kvadreringsregler
(i) (x ± y)2= x2± x · y + y2 (ii) (x + y)(x − y) = x2− y2
Du kan nu försöka lösa uppgift: 3, från provet: 2018-04-14, Provpass: 4 Du kan nu försöka lösa uppgift: 7, från provet: 2017-10-21, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 10, från provet: 2017-10-21, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 11, från provet: 2017-10-21, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 5, från provet: 2017-04-01, Provpass: 1 Du kan nu försöka lösa uppgift: 14, från provet: 2017-04-01, Provpass: 1
a + c = d + c ⇔ a = d a ± b c = a
c ±b c
8 Olikheter
8.1 Regler för olikheter
Tabell 8: Transitivt och storlek
x < y ⇔ x + c < y + c x + y < z och y ≥ 0 ⇒ x < z x < y och c > 0 ⇔ c · x < c · y x · y < z och y > 0 ⇒ x < z x < y och c < 0 ⇒ xc > yc x < y och c < 0 ⇒ x
c > y c x < y och y < z ⇒ x < z
8.2 När får man byta håll på <? 9 MÖNSTER (HITTA N:TE FIGUREN)
8.2 När får man byta håll på <?
Du ändrar hållet på en olikhet då du multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal. Vi tar några räkneexempel,
−2x2+ 2x < 1 ⇔ −2x2+ 2x
−2 > 1
−2,
−2
3 x + 2 > x3 ⇔ (−3)(−2
3 x + 2) < (−3)x3.
Det är viktigt att multiplicera eller dividera hela sidan, det blir fel om du bara multiplicerar en del eller bara en sida. Följande är exempel då det kan bli fel,
x2− 2x > −1⇔ (−2)x 2− 2x < (−2)(−1),
−2x + 4 < 2⇔ −2x + 4
−2 > 2.
Du kan också alltid ändra på olikheten så länge du ändrar alla tecken då du alltid kan multiplicera med -1. Som exempel,
x2− 2x + 1 < 1 ⇔ (−1)(x2− 2x + 1) > (−1)1 ⇔ −x2+ 2x − 1 > −1.
9 Mönster (hitta n:te guren)
Jag brukar gå efter fyra steg för att hitta en regel för gurer,
1 Steg ett är att hitta hur gurerna ändrar sig och med hur mycket.
I räkneexemplet nedan så ser vi att vi lägger till fyra lådor i varje steg och dessa byggs på från mitten.
2 Steg två är att skriva ut antalet i varje gur och numret på guren.
Vi ser att den ändrar sig med fyra i varje steg.
3 Steg tre är att skriva en formel, det nns en bra början. Skriv bas- fallet som en konstant då den inte ändrar sig utan är på den formen som vi bygger vidare på alltid. Du kan alltid få talen till att börja på den siran du vill gen att lägga till eller dra ifrån. Låt oss säga att vi vill börja på en faktor n = 3 så kan vi lägga till n + 2 då n börjar på 1. På samma sätt så kan du lägga till och dra ifrån.
Den sista delen är att multiplicera med den faktorn som vi behöver.
I vårt fall så behöver vi lägga till 4,
Grundfall + förändringsfaktor · (n + skiftningen som behövs).
I vårt fall så får vi,
1 + 4 · (n − 1).
4 Det sista steget är att förenkla, du kan alltid skriva en väldigt lång ekvation så länge den funkar så är det okej då du alltid kan förenkla den senare.
1 + 4 · (n − 1) = 1 + 4n − 4 = 4n − 3.
10 PQ-FORMELN ELLER ABC-FORMELN
Antal 1 Antal 5 Antal 9
n = 1 n = 2 n = 3
Du kan nu försöka lösa uppgift: 6, från provet: 2018-10-21, Provpass: 2
10 PQ-formeln eller ABC-formeln
10.1 PQ-formeln
Sats 10. Låt x2+ px + q, då ges nollställena av följande formel,
x = −p 2 ±
r
p 2
2
− q.
Ett råd är att inte att lära sig bara pq-formeln eller ABC-formlen utan att lära sig hur man kommer fram till dem. Detta gör man genom att använda sig av kvadratkomplettering.
x2+ px + q = 0 ⇔ x2+2px
2 + q = 0
⇔ x +p
2
2
+ q −
p 2
2
= 0
⇔ x +p
2
2
+ q −p2 4 = 0
⇔ x +p
2
2
= p2 4 − q.
Om vi nu tar roten ur på båda sidorna så missar vi en av lösningarna så därför måste vi ta plus och minus roten och yttar sen över p/2.
x = −p 2 ±r p
4− q.
10.2 ABC-formeln
Vi kan göra på ett likanade sätt för att komma fram till ABC formlen.
Sats 11. Låt ax2+ bx + c, då ges nollställena av följande formel,
x = − b 2a ±
√
b2− 4ac 2a .
Beviset är väldigt likt beviset för pq-formeln, början är bara lite annorlun- da men försök att göra det själv.
ax2+ bx + c = 0 ⇔ x2+2bx 2a + c
a = 0
⇔
x + b
2a
2
+ c a− b
2a
2
= 0 ...
Du kan nu försöka lösa uppgift: 27, från provet: 2016-10-29, Provpass: 3
11 GEOMETRI
11 Geometri
11.1 Vinklar
Här kommer några satser om vinklar och dess samband, lär dig följdsat- serna så att du både känner dig bekväm med att använda dem men också för att öka hastigheten på dina lösningar. Ett bra sådant exempel är Du kan nu försöka lösa uppgift: 22, från provet: 2017-10-21, Provpass: 5 du kan lösa den genom att satsen för alternatvinklar. Vilket ger dig svaret direkt.
Antag att linjerna A och B är parallella.
A
B C
α
β γ
δ ε ζ
η θ ι
I den första bilden (bilden till vänster) så kan vi se vinklarna α, β, och γ.
De nition 2 (Vertikalvinklar). Vinklarnaγ och β kallar vi för vertikal- vinklar.
Sats 12. Vertikalvinklar är alltid lika stora.
I den andra bilden (bilden till höger) så kan vi se linjerna A och B dessa är parallella.
De nition 3 (Parallellsymbol). Om två linjer A och B är parallella så skriver det på följande sätt A k B.
De nition 4 (Transversal). En linje som skär två eller er linjer kallas för transversallinje.
Den röda T-linjen i bilden nedan är en transversallinje.
T
OBS! de andra lin- jerna behöver inte vara parallella eller ha någon speciell egenskap. I vårt fall så är C en transversallinje.
De nition 5 (Alternatvinklar). Vinklarna δ och ι kallar vi för yttre alternatvinklar. Vinklarna ζ och θ kallar vi för inre alternatvinklar.
Sats 13. Alternatiklarna är lika stor om och endast om linjerna A och B är parallella.
11.2 Geometriska objekt 11 GEOMETRI
Det vill säga om du har en två linjer och en tredje som korsar dem och dess alternatviklar är lika så vet du att de två första linjerna är parallella.
Det omvända är att om du vet att två linjer är parallella så vet du då också att dess alternatviklar är lika stora.
De nition 6. Vinklarnaεoch η kallar vi för likbelägna vinklar.
Sats 14. Likbelägna vinklar är lika stora om och endast om linjerna A och B är parallella.
Det vill säga om du har en två linjer och en tredje som korsar dem och dess likbelägna vinklar är lika så vet du att de två första linjerna är parallella.
Det omvända är att om du vet att två linjer är parallella så vet du då också att dess likbelägna vinklar är lika stora.
11.2 Geometriska objekt
Vi kommer att börja med lite olika geometriska objekt och se vilka egen- skaper de har och vilka slutsatser man kan dra från dem.
11.2.1 Trehörningar
De nition 7 (Triangel). En månghörning med tre hörn kallas för en tri- angel.
Sats 15. Summan av alla vinklarna i en triangel är lika med 180 grader.
De nition 8 (Bas (i en triangel)). Sidan i en trehörning som har valts ut för att göra en area beräkning.
De nition 9 (Höjd (i en triangel)). Sträckan som går vinkelrätt från en sida eller dess förlängning till dess motstående hörn.
Sats 16 (Arean av en triangel). Arean av en trehörning bestäms alltid av basen multiplicerad med höjden delat på två,
bas · höjd
2 .
Då kan man ju fråga sig varför detta fungerar. Ska visa med tre bilder så att det blir tydligt, två av dem kommer bara vara en rotation av varandra men det är viktigt att se varför det funkar. Och på provet så är det inte alltid så att man vet alla delar eller kan ta reda på dem.
A B C
Vi börjar med triangel A, den är en rätvinklig triangel. Och den lättaste att förklar då vi ser att den är bara en halv rektangel så därför får vi arean som bas multiplicerat med höjden, delat med två.
b h
b h
b h
Om vi har en triangel som liknar en pyramid så gör vi i två steg. För det första så delar vi upp pyramiden"i två mindre trianglar och gör som för en rät triangel. Så vi får nu två rektanglar där halva arean är aren för triangeln.
11.2 Geometriska objekt 11 GEOMETRI
Figur 1:
b b b
h h h
I det sista fallet så har vi en snedtriangel. Om du vetbasenochhöjdenså kan du bara multiplicera dem med varandra för att få ut arean, okej varför funkar detta? Jo vi börjar med att göra om den till ett parallellogram och ser att vi är ute efter är halva arean. redan här kan man se att det stämmer då parallellgrammet är bara en 'sned' rektangel.
b b b
h h
För att göra det enklare och så kommer vi fram till att diagonalen på ena hållet kommer att ge samma area som om vi hade haft diagonalen på andra hållet. Redan här skulle vi också kunna gå tillbaka och använda föregående satsför att säga att vi redan nu vet att det stämmer men vi fortsätter lite på detta spåret och visar att det stämmer.
Det vi börjar med att göra är att ytt slutetpå triangeln till den främre delen av parallellogrammet, efter detta så kan vi se att vi nu får två rek- tanglar som vi kan lätt räkna ut arean för och att halva den är arean är vår ursprungstriangel.
De nition 10. Vinkelnγi guren nedan kallas för yttervinkel till triang- eln 4ABC.
A B
C
α
β
γ
Sats 17 (Yttervinkel satsen). Om γ är yttervinkel till 4ABC (se ovan).
Då gäller följande,
γ =α+β.
Med andra ord så är yttervinkeln lika med de två motstående inre vink- larna. Du kan nu försöka lösa uppgift: 20, från provet: 2018 - 10 - 21,
11.2 Geometriska objekt 11 GEOMETRI
Provpass: 4
De nition 11 (Spetsig triangel). En triangel där alla vinklar är mindre än 90 grader kallas för en spetsig triangel.
De nition 12 (Trubbig triangel). En triangel där en av vinklarna är trubbig (med andra ord större än 90 grader) kallas för trubbig triangel.
De nition 13 (Rätvinklig triangel ). En triangel där en av vinklarna är 90 grader kallas för en rätvinklig triangel.
När du har en rätvinklig triangel så kan du använda dig om Pythagoras sats, och om du vet att a2= b2+ c2 gäller så är triangeln rätvinklig, då a är hypotenusan och b och c är katetrarna.
Vilket vi bör formulera som en sats.
Sats 18 (Pythagoras och omvändningen). Låt a vara hypotenusan av en triangel och sidorna b och c vara katetrar. Triangeln är rätvinklig om och endast om a2 = b2+ c2.
a b
c
a2 = b2+ c2
⇐⇒
Detta betyder att om du har en triangel som uppfyller formeln a2 = b2+c2 så måste den triangeln vara rätvinklig. Och om du har en triangel som är
rätvinklig så vet du att a2 = b2+ c2 gäller.
Basen här skall tolkas som 4 + 3 och därför som en rät linje. Du kan nu försöka lösa uppgift: 8, från provet: 2018-10-21, Provpass: 2
De nition 14 (Liksidig triangel). En triangel där alla sidorna är lika långa kallas för liksidig triangel.
För alla liksidiga trianglar så har vi att alla vinklarna är lika med 60 grader.
De nition 15 (Likbent triangel). En triangel där två sidor är lika långa kallas för likbent triangel.
I en likbent triangel så är alltid de två vinklarna som ges av den tredje sidan lika stora.
Kolla på de nition för en rätvinklig triangel också sen lös, Du kan nu försöka lösa uppgift: 28, från provet: 2018-10-21, Provpass: 4
11.2.2 Fyrhörningar
De nition 16 (Fyrhörning). En månghörning med fyra hörn kallar vi för fyrhörning.
OBS!!!! Om man skall vara nog så kallar vi detta också för fyrkant, dock så används detta ordet slarvigt och kan då betyda kvadrat. Därför använder jag ordet fyrhörning, då detta ger en mer allmän bild av detta geometriska objekt och gör det då lättare att tänka att vi har en mång-
11.2 Geometriska objekt 11 GEOMETRI
hörning som har vissa speciella egenskaper.
Det nns inte så mycket man kan säga om en fyrhörning mer än att sum- man av alla vinklar som är på insidan är lika med 360 grader.
De nition 17 (Parallelltrapets). En fyrhörning med minst två sidor pa- rallella kallas för en parallelltrapets.
Arean av en parallelltrapets beräknas som medelvärdet av båda sidorna multiplicerad med dess höjd.
Arean = a + b 2 · h.
De nition 18 (Parallellogram). En fyrhörning där sidorna är parvis pa- rallella för ett parallellogram.
I en parallellogram är såväl motstående sidor som vinklar lika stora.
De nition 19 (Romb). En romb är en fyrhörning där sidorna är parvis parallella och sidorna är lika långa.
De nition 20 (Rektangel). En fyrhörnings där sidorna är parallella och alla vinklarna på insidan kallas för rektangel.
De nition 21 (Kvadrat). En kvadrat är att två motsatta sidor är paral- lella, lika långa och har bara räta vinklar.
Lite notation innan vi börjar, sträckan mellan två punkter på en polygon brukar skrivas AB eller bara AB. Vinkeln β brukar skrivas som ∠ACB
eller i kort form ABC om det är klart uti från sitt sammanhang. En hel speciell triangel (om det nns många) brukar skrivas som ∆4ABC. Vi säger att en triangel är kongruent (likadana bortsett från någon rotation, för yttning eller spegling) med en annan om de delar Sida-sida-sida, dvs alla tre sidor är lika, detta kallas för SSS regeln, om trianglarna delar vinkel-sida-vinkel, detta kallas för VSV-regeln, eller till sist om trianglar- na delar sida-vinkel-sida, detta kallas för SVS-regeln. Vi betecknar detta genom ∆ABC ∼= ∆DEF eller ∆ABC ∼ ∆DEF .
Det viktigaste att komma ihåg är Pythagorassats, du kan bara använda satsen om du har en rätvinklig triangel, dvs att en av vinklarna i triangeln är rätvinklig (90 grader),
AB2 = BC2+ AC2.
A
B
C β = 90◦
Den vanligaste arean som man beräknar är triangelns och den lyder föl- jande, basen multiplicerat med höjden,
11.2 Geometriska objekt 11 GEOMETRI
h
B Area = B · h
Ett parallellogram har egenskapen att motstående sidor är parallella, men det är ej tvunget att sidornas längd måste vara lika.
C
D E
F M
B H
α β = 90◦
Arean kan räknas ut genom
Area = B · H eller Area = CF · CD sin(α).
Vi får också en annan intressant egenskap och det är att följande sidor har samma längd,
DM = M F och CM = ME.
En parallelltrapets måste ha två sidor parallella, detta sätter dock inget krav på de övriga sidorna ej heller dess längd. Arean räknas ut genom,
Area = h(B + T )
2 .
T
B h
α = 90◦
11.2.3 Cirklar
Vi går vidare med cirkeln och dess area och omkrets, Arean = πr2 = πd2
4 Omkretsen = 2πr = πd.
11.2 Geometriska objekt 11 GEOMETRI
C r
D
Cirkeln har också vissa speciella egenskaper som kan vara bra att komma ihåg. Den följande sats kallas för kordasatsen,
F
G
H
J
Den säger att produkten av sidorna t.ex. F och H är lika med produkten av J och G. Den andra kallas för randvinkelsatsen
C α
β
Följande så har vi också lite likheter vad gällande cirkel sektorer,
r b
α
Vi kan från cirkelns area och omkrets komma fram till två olika formler, och koncept som gäller båglängd och cirkelsektor. Om du börjar med att komma ihåg vad är formeln för en cirkels area (A = πr2) och omkrets (O = 2πr) så kan du lista ut vad är arean av en fjärdedels cirkel och vad har dess 'yttre' båglängd (markerat med ett b i bilden ovan)? Jo, vi delar
12 LIKFORMIGHETSFALLEN FÖR TRIANGLAR
bara arean och omkretsen på 4 då den är bara en fjärdedel av hela arean eller ett varv.
Men okej vad hade hänt om vi bara haft en vinkel? Jo vi kan tänka på det som en del av ett helt varv, så om vi har en vinkel α och delar den på 360 som är antalet grader på ett helt varv så får vi fram hur stor del av ett helt varv den vinkeln är,
Andel av ett varv = Känd vinkel Ett helt varv = α
360. Så vi kommer fram till två formler,
b = α
360◦2πr och Arean = α
360◦πr2= br 2
Du kan nu försöka lösa uppgift: 6, från provet: 2013-10-26, Provpass: 3 Du kan nu försöka lösa uppgift: 12, från provet: 2018-10-21, Provpass: 4 Ett annat viktigt koncept är bisektrissatsen:
A
B
D C β α
En bisektris är en linje som delar en vinkel i två lika stora delar. Om sträckan BD är en bisektris så är nu α = β, som konsekvens så gäller nu
följande förhållande,
AD DC = AB
BC. Likformighet:
Likformighet ger följande likheter:
J H = K
I = L G α
β
γ
α
β
γ G
I H K J
L
12 Likformighetsfallen för trianglar
Det nns tre likformighetsfall för trianglar.
Sats 19. Låt triangel T1: 4ABC och T2: 4DEF.
SVS Triangel T1 är likformiga med T2 om två sidor i T1 är porppotionella mot två i T2och vinkeln som ligger mellan dessa två sidor, vice versa.
14 MEDELVÄRDE, MEDIAN
I matematisk text så blir det:
∠ABC = ∠DEF BA
ED = BC EF
⇒ 4ABC kongurent med 4DEF.
SSS Triangel T1 är likformig med T2 om alla sidorna i triangeln T1 är propotionella mot sidorna i T2. I matematiska text så blir det:
BA
ED = BC
EF = AC
DF ⇒ 4ABC kongurent med 4DEF
VSV Triangel T1 är likformig med T2 om två vinklar i T1 är lika med två vinklar i T2. I matematiska symboler så blir det:
(∠ABC = ∠DEF
∠BCA = ∠EF D ⇒ 4ABC kongurent med 4DEF
Topptriangelsatsen: Triangeln ABC är likformig med DBE.
Transversalsatsen: DB
AD = BE EC.
A
B
C
D E
13 Talföljd
En geometrisk talföljd känns igen på att kvoten av påföljande tal i serien är konstant, detta betecknas i matematiska symboler på följande sätt, låt a, a · x1, a · x2... vara tal i serien, då får vi att axn+1/(axn) = c där c är en konstant och n ska gälla för alla godtyckliga tal som nns i serien.
Summan av en sådan talföljd kan skrivas på en sluten form,
a0+ a1+ ... + an=
n
X
k=0
axk= a 1 − xn 1 − x
! .
En aritmetisk talföljd känns igen på att dierensen (-) av varje påföljande tal i serien är konstant, givet en talföljd a1, a2, ..., anså får vi att dierensen ska bete sig på följande vis, an+1− an= cdär c är en konstant. Summan av en sådan talföljd kan skrivas på en sluten form,
a1+ a2+ ... + an=
n
X
k=1
ak= n(a1+ an)
2 .
14 Medelvärde, median
14.1 Medelvärde
Medelvärde är väldigt vanligt både på högskoleprovet men också i det vardagliga livet. Det är också väldigt enkelt att räkna ut då vi bara tar summan av alla talen som vi vill beräkna medelvärdet av delat på antalet tal som vi använder. Låt oss säga en serie av tal a1+ ...an och vill räkna medelvärdet så blir det,
