Föreläsning 12. Kapitel 9. Strukturer. LTH April 2012 Bengt Mandersson Institutionen för elektro- och informationsteknik Lund Universitet

(1)

176 Digital signalbehandling ETI265

Föreläsning 12

Digital signalbehandling ETI265

Kapitel 9 Strukturer

LTH April 2012 Bengt Mandersson

Institutionen för elektro- och informationsteknik Lund Universitet

177

Digital signalbehandling, Institutionen för elektro- och informationsteknik

Kapitel 9 Strukturer (fortsättning på z-transform) Differensekvationer

IIR

( ) ( ) ( )

0 1

k n x b k

n y a n

y

_k

M

k k

N

k

−

=

−

+ ∑ ∑

=

FIR

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

k n x k h k

n x b n

y

M

k k

M

k

−

=

−

= ∑ ∑

=

FIR Fördelar Alltid stabila

kan göras med linjär fas om h(n) symmetrisk Nackdelar M stort (beräkningskrävande)

Icke-parametrisk (svårt att beskriva tex resonanstoppar)

IIR Fördelar Mindre gradtal (mindre beräkningar) Parametriskt (tex poler ger resonanstoppar) Nackdelar Kan bli instabila, sämre fasgång

OBS: För implementering (programmering) av IIR-filter av högre ordning än 4-5, se avsnitt 'Hur implementerar vi filter i praktiken'

178

FIR-filter

Detta ritsätt kallas direktform II, transversalfilter, tapped delay filter.

Ur figuren får vi direkt

4

0

[ ] [0 ] [ ] [1] [ 1] [2 ] [ 2] [3] [ 3] [4] [ 4]

[ ] [ ]

k

y n h x n h x n h x n h x n h x n

h k x n k

=

= + − + − + − + − =

=

∑

−

och med z-transform

1 2 3 4

( ) [0 ] ( ) [1] ( ) [2 ] ( ) [3] ( ) [4] ( ) ( ) ( )

Y z h X z h z X z h z X z h z X z h z X z H z X z

− − − −

= + + + + =

=

Kommentar:

Vid FIR-filter med linjär fas är impulssvaret symmetriskt.

Detta kan man utnyttja för att reducera antalet multiplikationer, se boken

z^-1 z^-1 z^-1 z^-1

x(n) X(z)

y(n) Y(z)

h(0) h(1) h(2) h(3) h(4)

179

IIR-filter

Exempel: Första ordningen

4 4

4 3

4 4

4 2

1

( )

1 0

1

( 1 ) ( ) ( 1 )

) (

n w

n x b n x b n y a n

y + − = + −

Direktform II (normalform, kanonisk form)

z^-1 b₀

b1

x(n)

-a₁

y(n)

(2)

180

För en andra ordningens krets får vi

Om ovanstående krets är given och då vi söker in-utsignalsamband måste vi införa en hjälpvariabel, här v(n).

Lös med z-transform

) ( ) ( )

( )

( z z

¹

a

₁

V z z

²

a

₂

V z X z

V = −

⁻

−

⁻

+

) ( )

( )

( z b

₀

V z z

¹

b

₁

V z z

²

b

₂

V z

Y = +

⁻

+

⁻

vilket ger

) ( )

( )

( ) ( )

( )

(

2

2 1

1 0

2 2 1

1

a Y z z a Y z b X z z b X z z b X z

z z

Y +

⁻

+

⁻

= +

⁻

+

⁻

och

) 1 (

) (

2 1 2 1 1

2 2 1 1

0

X z

z a z a

z b z b z b

Y

z

H

4 4 4 3

4 4

4 2

1

−

+ +

+

= +

z^-1

x(n) y(n)

b0

-a1 b1

-a2 b2

z^-1 v(n)

181

Hur implementerar vi filter i praktiken

Parallell, kaskad (serie)

Vid implementering är det numeriskt bäst att implementera systemet som kaskad eller seriekoppling av 1:a och 2:a ordningens delsystem.

Exempel

=

− + +

= +

−

⋅ +

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

±

=

= =

− +

−

=

−

4 4

4 3

4 4

4 2

1 4 4 4 3 4

4 4 2 1

4 4 4

4 3

4 4 4

4 2

1

parallell serie

kaskad

hela

z z

z

j p p poler z

z z s

H

1 2

1

) (

1 2

3 , 2 1 3

2 1

2 1 1

2 1

4 1 1

4 1 2 1

2 1 1

1 4 1 1

1 5 . 0 5 . 0

8 1 4 1 2 1 1 ) 1 (

H_B(z) H_A(z)

Kaskad

H₁(z)

H₂(z)

Parallell

182

Annan vanlig form av implementering av filter Latticefilter

En struktur som är mycket vanlig vid modellering av signaler, speciellt talssignaler är latticefilter.

Andra ordningens lattice-FIR

H ( z ) = A

₂

( z )

Om alla

| K

_i

| < 1

är alla rötterna (nollställena) innanför enhetscirklen

Andra ordningens lattice all-pole IIR (används i talsyntes och i GSM)

IIR:

all pole filter

z z A

H ( )

) 1 (

2

=

Om alla

| K

_i

| < 1

är alla rötterna (polerna) innanför enhetscirklen y(n)

-K₂ -K₁

x(n)

K2 K1

z^-1 z^-1

Y(z) X(z)

y(n) K2 K₁

x(n)

K2 K₁

z^-1 z^-1

(3)

a

Digital Signalbehandling ETI265 Institutionen för elektro- och informationsteknik Repetition 2012

Signalbehandling i multimedia ETI265

2012

Målsättningen med kursen var att

ge förståelse för signalers egenskaper i tid och frekvens ge förståelse för kretsars egenskaper i tid och frekvens Har detta lyckats?

Digital sign. behandl.

A/D Lågpass-

filter

Lågpass- filter D/A

Sampling Digital Rekonstruktion

krets

b Digital signalbehandling, Institutionen för elektro- och informationsteknik Matematik i kursen

Komplexa tal:

⎩ ⎨

⎧

<

+

= >

Φ +

=

= +

=

^Φ

0 )

/ arctan(

0 )

/ arctan(

2

,

2

a om a

b

a om a b b a r där e r b j a

z

^j

π Φ

+ Φ

=

Φ

r cos j r sin e

r

^j

Eulers formler:

) 2 (

sin 1

) 2(

cos 1

ω ω

j j

e j e

e e

−

= +

=

Omskrivning med Eulers formler:

2 / 2 / 2

/ 2 / 2 /

2 / 2

/ 2 / 2 /

) 2 / ( sin 2 ) (

1 ) 2 / ( cos 2 ) (

1

π ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

j j j

j j

j j j

e e e

e e

e e e

−

=

−

=

−

= +

2 ) 2 1 cos(

) 1 ( , 1

2

,

/

e n

e

j =

^j^π

− =

^j^π

−

ⁿ

= π

Vanlig använt trigonomiskt samband

)) cos(

) (cos(

5 . 0 cos

cos a ⋅ b = a + b + a − b

eller

)) ) ( 2 cos(

) ) ( 2 (cos(

5 . 0 ) 2 ( cos ) 2 (

cos

π

f₁n⋅

π

f₂n =

π

f₁+f₂ n +

π

f₁−f₂ n

c Digital signalbehandling, Institutionen för elektro- och informationsteknik

Geometrisk summa:

1 0

4 3

2 0

1 1 1 1 1

( ) 1

2 2 4 8 1

1 2 1 ( )1

1 1 1 1 2

( ) 1

2 2 4 8 1

1 2

n n

S oändlig summa

S ändlig summa

∞

=

= = + + + + ⋅⋅ =

−

= = + + + =

−

∑

Bevis för geometrisk summa:

∑

=

+ + + +

=

= ^N

n

N

n a a a

a Sum

0

2 ...

1

Bilda â^⋅^Sum⁼ â⁺â²⁺^...⁺â^N⁺¹ tag nu differensen Sum−a⋅Sum=1−a^N⁺¹

Detta ger summan a

Sum a

N

−

= − ⁺

1

1 ¹

Den oändliga summan | | 1

1 ... 1 1

0

2 <

= − + + +

=

∑

^∞

=

a a om a

a a Sum

n n

d Digital signalbehandling, Institutionen för elektro- och informationsteknik Om

n

e

j

a =

⁻ ^ω

får vi

2 /

2 / 2 / 2

/

2 / ) 1 ( 2 / ) 1 ( 2 / ) 1 (

0

) 1 (

) 2 / sin(

) 2 / ) 1 ( sin(

) (

1 1

N j

j j j

N j N j N N j

n

j N j n j

N e

e e e

e e

ω

ω ω ω

ω ω

ω

−

+

− + +

−

=

+

− −

= +

−

⋅

−

= ⋅

−

= −

∑

Jämför integral:

2 2 2 2

2 0

2 2

0 2

2 2 2 ) 2 sin(

2 ) (

2 1 2

fT j fT

T j f T j f j

T f j f

j T f T j

t t f j

T e f

f T f T

j e e e

f j

e f

j e dt e

e

π π π

π

π π

π π π

π π

− −

−

=

−

− =

=

− =

=

− =

= −

∫

(4)

e

Sampling

{

0

( ) 20 cos(2 440 0.4 )

F

x t = π t − π

avläs med frekvensen

F

_s

= 1000 Hz

eller

s

T F

s

001 . 1000 0

1 1 = =

=

mellan avläsningarna

) 4 . 1000 0 2 440 cos(

20 | ) ( ) (

0 0

1

= π − π

=

n

t x n x

s s

F f F F

n T n

t

1 2 3

dvs ⁰

440 0.044 f = 1000 =

Beteckningar:

Ω = 2 π F

frekvens respektive vinkelfrekvens för tidskontinuerliga signaler.

2 f

ω = π

frekvens respektive vinkelfrekvens

för tidsdiskreta signaler.

f

Tidsdiskret sinus

0 0

2 2

0

2 ( 1) 2 ( 1) 0

[ ] cos(2 ) 1 ( )

2 cos(2 ( 1) ) 1 ( )

2

j f n j f n

j f n j f n

x n f n e e

f n e e

π π

−

+ − +

= = + =

= + = +

n heltal, f0=1/8 = 0.125 (f0 < 0.5 ger minst 2 sampel/period)

Hur rita frekvensinnehållet?

Lyssna på signalen genom att spela upp den genom D/A-omvandlare Vi väljer ut perioden - -0.5 < f < 0.5

och spelar upp med Fs=10000 Hz

-5000 < F < 5000 (verkliga frekvensen)

( ) cos(2 1 8 10000 ) cos(2 1250 )

y n = π t = π t

en period

-1 -0.5 0 0.5 1 f -2π - π 0 π 2π ω

1/2

-7/8 -1/8 1/8 7/8

Spektrum |X(f)|

g

Discrete-Time Signals

Beteckningar:

} 1 4 1 { ...}

0 0 0 1 4 1 0 0 0 {...

0 1 4

2 , 0 1 ) (

0

=

⎪ =

⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=↑

övrigt

n

för n n n

x

Impuls:

{... 0 0 0 1 0 0 0 ...}

0 0 ) 1

(

=0

=

↑

⎩ ⎨

⎧ =

=

övrigt

n

för n n

δ

Steg:

{... 0 0 0 1 1 1 1 ...}

0 0

0 ) 1

(

=0

=

↑

⎩ ⎨

⎧

<

= ≥ n

n

n n u

h

Differensekvation

) ( )

( )

(

0 1

k n x b k

n y a n

y

_k

N

k k

N

k

−

=

−

+ ∑ ∑

=

FIR:

alla a

_k

, k = 1 ,...; N är noll

IIR:

något a

_k

, k = 1 ,...; N är skilt från noll

Exempel på andra ordningens krets (IIR) Standardform

Kaskadform

Lattice-IIR

Tips: Implementera i kaskadform eller lattice på grund av numeriska problem y(n)

-K2 -K1

x(n)

K2 z^-1 K1 z^-1

HB(z) HA(z)

Kaskad z^-1

x(n) y(n)

b0

-a1 b1

-a2 b2

z^-1 v(n)

(5)

i

Faltning

Det viktigaste samband mellan insignal och utsignal kallas faltning. Om vi vet en krets impulssvar h[n] kan vi beräkna utsignalen för en godtycklig insignal.

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( n x k h n k h k x n k h n x n y

k k

∗

=

−

=

−

= ∑ ∑

j

Exempel på faltning

Givet: Insignal och impulssvar

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

↑

1 2 3 ) (

...

0 2 4 6 4 2 0 0 ...

) (

n h

n x

Sök: Utsignal (faltning)

{ { {

) 2 ( ) 1 ( 2 ) ( 3

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

2 1 3

− +

=

− +

=

−

=

−

= ∑ ∑

n x n x n x

n x h n x h n x h

k n x k h k

x k n h n y

k k

Lösning: Vi löser ”grafiskt” genom att skriva enligt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−

↑

2 8 20 28 28 16 6 0 0 )

(

0 2 4 6 4 2 0 0 ...

) (

3 2 1 )

0 ( : )

(

n y result the gives

k x

k h backwards n

h

Multiplicera komponentvis och addera.

Skifta sen impulssvar åt höger

k

Z-transformen, kap 3

Vi definierar nu Z-transformen av impulssvaret som

∑

^∞

=

− 0

) ( )

(

n

z

n

n h z

H

där

z = r e

^j^ω

H(z) är en komplex funktion av en komplex variabel.

Vi såg att (viktigt)

ω H z

z ejω

H ( ) = ( ) |

₌

z-plan f=1/4

ω=π/2 z=e^jπ/2=j

Godtycklig punkt z=e^j2πf

f=0 ω=0 z=1 z=e^j2πf

f=1/2 ω=π z=-1

f=3/4 ω=3π/2 z=e^j3π/2=-j

l

Egenskaper hos z-transformen

Faltning övergår i produkt

) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( n h n x n Y z H z X z

y = ∗ ⇔ =

Givet en andra ordningens differensekvation

) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 81 . 0 ) 1 ( 27 . 1 )

( n − y n − + y n − = x n − − x n − y

Vi kan Z-transformera varje term i ovanstående uttryck och får (vi antar att både x(n) och y(n) är kausala)

) ( )

( ) ( 81 . 0 ) ( 27 . 1 )

( z z

¹

Y z z

²

Y z z

¹

X z z

²

X z

Y −

⁻

+

⁻

=

⁻

−

⁻

Lös ut

) ( ) ( ) 81 (

. 0 27 . 1 ) 1 (

) (

2 1

z X z H z z X z

z z z

Y

z H

+ =

−

=

⁻₋

−

⁻ ₋

4 4

4 3

4 4

4 2

1

Om H(z) givet kan vi naturligtvis också gå tillbaka till differensekvationen

(6)

m

Invers z-transform: Utnyttja tabeller

1:a ordningen

9 1

. 0 1 ) 1

( ₋

= − z z

Y _ger

y n ( ) = 0.9

ⁿ

μ ( ) n

2:a ordningen, reella poler (partialbråksuppdeln.)

Y z( )= z z z z

− + =

− −

−

− − − −

1

1 3 2 1 2

2 1

1 1 1 2

1 2 1 1

ger

y n ( ) = 2 ( ) (1 2) u n −

ⁿ

μ ( ) n

2:a ordningen, komplexa poler (formelsamling direkt)

1

1 2

0.5sin( / 4) ( ) 1 2 0.5 cos( / 4) 0.25 Y z z

z z

π π

−

− −

= − ⋅ ⋅ +

ger

y n ( ) = 0 5 .

ⁿ

sin( / π 4 n u n ) ( )

Dela upp i 1:a och 2:a gradsuttryck (partialbråksuppdelning) 2:a gradsuttryck, kolla allra först om reella eller komplexa poler

n

Kapitel 4 Fouriertransform

Definition: Fouriertransform av tidsdiskret signal DTFT, sid 251

f e

n x e

n x f

X ^j ⁿ

n n f j n

π ω

ω

π ( ) 2

) ( )

( = ² = ^∞ ⁻ =

−∞

=

∞ −

−∞

=

∑

π ω

π

df X f e d

e f X n

x

^j ^fⁿ ^j ⁿ

f

) 2 (

) 1 ( )

(

²

2 / 1

2 /

1

∫

=−

−

=

Exempel på transformer.

Tidsfunktion Fouriertransform }

1 2 3 { ) (n = x

ω ω

π π

2 2 2 2

2 3

2 3 ) (

j j

f j f j

e e

e e f

X

−

+ +

=

= +

+

=

} 1 { ) ( ) (n = n =

x

δ

X ( f ) = 1

skift

} 1 0 { ) 1 ( )

(n = n− =

x

δ

X ( f ) = e

⁻^j²^π^f

= e

⁻^j^ω )

( )

(n n n₀

x =

δ

−

X ( f ) = e

⁻^j²^π^fⁿ⁰

= e

⁻^j^ωⁿ⁰ )

( )

(n xn n₀

y = −

Y ( ω ) = e

⁻^j^ωⁿ⁰

X ( ω )

faltning

) ( ) ( )

( n x n h n

y = ∗

Y ( ω ) = H ( ω ) X ( ω )

o

Fouriertransform av rektangelpuls, kap 4 Tidsplanet Frekvensplanet

Analog rektangelpuls (rektangulärt tidsfönster)

1 0 t T ( ) 0 för övrigt x t ⎧ ≤ ≤

= ⎨ ⎩

2 2

sin(2 ) ( ) 2

2 2

j FT

F T

X F T e

F T π

π

=

−

Tidsdiskret rektangelpuls (rektangulärt tidsfönster)

1 0 n N-1

[ ] 0 för övrigt

x n ⎧ ≤ ≤

= ⎨⎩

²

2 1

2) 2 1 sin(

2) 2 sin(

) (

− −

= e ^j ^f^N

f N

f N N

f

X ^π

π π

OBS.

^X^{( f}⁾är periodiskt med perioden

f = 1, ω = 2 π

1

F t

T

T |X(F)|

x(t)

0 1/T 0

1

N-1 n x(n), N=4

0

N |X(f)|

1/N

0 1 f

-1

0 2π ω

-2π

p

Diskreta

Fouriertransformen DFT, kap 7

Låt x n[ ] {...0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0...}

↑

=

Vanlig Fouriertransform DTFT

n f j

n

e n x f

X ( ) ( )

⁻ ²^π

∞

−∞

∑

=

df e f X n

x

^j ^fⁿ

f

π 2 1

0

) ( )

( ∫

=

Välj längd N=8och beräkna X( f) i N_punkter 0, 1/ , 2 / ,... , ( 1) /

f = N N N− N_dvsf =k N/

1 2

0

1 2

0

[ ] [ ]

[ ] 1 [ ]

N j kn

N DFT

n

N j kn

N DFT

k

X k x n e

x n X k e

N

π

− −

=

−

=

∑

Både x[n] och X[k] periodiska, medför vissa speciella egenskaper, alla index räknas modulo N

4 |H(k)| |H(f)|

0 0.5 1 f 0 2 4 6 7 k 0 N/2 N-1 k

(7)

q

Egenskaper hos DFT

Cirkulärt shift

[ n n N ]

x −

₀

, modulo

² ⁰

[ ]

j kn

e

⁻ ^πN

X k

Exempel på skift vid DFT

x[n]={1 2 3 4}, x[n-1]={4 1 2 3}

Cirkulär faltning vid DFT, längd N,

1 2

1

1 2

0

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ , modulo ]

N

l

x n x n x n

x l x n l N

−

=

= ⊗

=

∑

−

^{X k} ^{( )} ⁼ ^{X k X}

¹

^{( )}

²

^{( )} ^k

(alla signaler har samma längd N)

Exempel på cirkulär faltning

Givet: x[n]={

1

2 3 4}, h[n]={

2

2 1 1}

Sök cirkulär faltning

y n [ ] = x n [ ] ⊗ h n [ ]

Grafisk lösning

h[0-k] 1 1 2

2

x[n] { 1 2 3 4

1

2 3 4 1 2 3 4 } ger y[n] = {

15

13 15 17}

r

LTI system, kap 5

Differensekvation.

) ( )

( )

(

0 1

k n x b k

n y a n

y

_k

M

k k

N

k

−

=

−

+ ∑ ∑

=

Faltning.

) ( ) ( )

( ) ( ) (

0

k n x k h n

x n h n y

M

k

−

=

∗

= ∑

=

Vi har 2 typer av differensekvationer.

FIR: Alla a_k =0, k≠0 , (ingen återkoppling).

Här blir impulssvaret h(n)={b₀ b₂b₂ b_M }_{, dvs} faltning och differensekvation är lika.

IIR: Något ak≠0, k≠0 (Vi har återkoppling).

Tidsdiskret krets h(n)

y(n) x(n)

s

Exempel på sinussignaler genom linjär krets

Givet: Insignalen 1

[ ] cos(2 ) [ ]

x n = π16n u n och systemet

1 2

( ) 1 1.27 0.81

z z

H z z z

− −

= −

− + enligt tidigare ex

Sök: Beräkna numeriskt y[n]=x[n]*h[n] i MATLAB Lösning:

insignal x[n]

impulssvar h[n]

utsignal y[n]

Vi får y[n] = transient + stationär lösning

t

Stationär lösning

Givet insignalen x n[ ] cos(2=

π

f n0 )

ger stationära utsignalen

) }

| ) ( arg{

2 cos(

| ) (

| )

( 1 42 43

0 0

1 4 2 4 4 3 4

0

fasändring f f ng

förstärkni f f

stationär

n H f f n H f

y =

₌

π +

₌

Vi kan beräkna och plotta amplitud och fas för H( f) i tex MATLAB och sen bara läsa av värdet av amplituden och fasen för f=f0

OBS: Detta gäller efter det att eventuella insvängningsförlopp dött ut Kallas för stationär lösning (steady state)

Med systemet

1 2

( ) 1 1.27 0.81

z z

H z z z

− −

= −

− +

får vi ²

2

81 . 0 27 . 1 ) 1

( _ω _ω

ω

ω ^jω_j ^j _j

e e

e

H e ₋ ₋

−

+

−

= −

Vi plottar belopp och fas för 0≤ ≤f 1 (0≤ω≤2 )π

Amplitudfunktion Fasfunktion

Vi ser att för frekvensen 1

f=16 får vi amplitudfunktionen ungefär 1 (jämför med exemplet tidigare).

(8)

u

Bestäm H(

ω

) approximativt

H z z

z e

^j

z e

^j

( )

( . ) ( . )

= −

− −

⁻

1 0 9

⁴

0 9

⁴

π π

4 4 3 4

4 2 1 4 4 3 4 4 2 1

8 7 6

2 1

1

| ) 9 . 0 (

|

| ) 9 . 0 (

|

| 1

| | ) (

| ) (

|

4 4

U j j

V j e

z

e e e e z e

H

H j π

π ω ω

ω

= −

−

⋅

−

= −

=

2 1

|

1

) (

|

| ) (

| U U

z V H

H

j

e

z

=

₌ ω

ω

värdet på enhetscirklen

Rita in i en figur

ω=0: V1=0 ger |H(ω)|=0 ω=π/4: U1=liten ger |H(ω)| stort ω>π/4: U1, U2 ökar ger |H(ω)| minskar

z-plan f=1/4

ω=π/2

Godtycklig punkt z=e^j2πf

f=0 ω=0

z=e^j2πf f=1/2

ω=π U1

V1

U2

v

Sampling , kap 7 Sampling

Definition av sampling:

( ) |

/

[ ]

a t nT n FT

x t

_{= =}

≡ x n

F

s

f = F

Sambandet mellan fouriertransformerna är

) ( )

(

_a _S

k

S

X F k F

F f

X = ⋅ ∑

^∞

− ⋅

−∞

=

Ideal rekonstruktion

Välj ut en period av

X ( f )

) med hjälp av ett lågpassfilter

Hz F i F F

f f

F X F

Y ^S ^S

S ( ), 0.5 0.5 2 2

) 1

( = ⋅ − < < − < <

) (

)) ( sin(

| ) ( ) (

T n T t

T n T t n

x t

y _n _F_t

n ^S −

−

= ^∞ ₌

−∞

∑

=

_π

π

) ( ) 1 ( )

,

( X f H F

F F

Y

_LP

s ut

a

=

Rekonstruktion med sample and hold krets

Utsignalens spektrum ges av

4 4 3 4

4 2

1

( )

,

( ) ( ) ( ) ( )

F H

LP SH

ut a

total

F H F H f X F

Y =

w

Kapitel 9 Strukturer

IIR

( ) ( ) ( )

0 1

k n x b k n y a n

y

_k

M

k k

N

k

−

=

−

+ ∑ ∑

=

FIR

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

k n x k h k n x b n y

M

k k

M

k

−

=

−

= ∑ ∑

=

FIR Fördelar Alltid stabila

kan göras med linjär fas om h(n) symmetrisk dvs nollställen 'speglade i enhetscirklen'

(om z1 nollställe => 1/z1 också nollställe) Nackdelar M stort (beräkningskrävande)

Icke-parametrisk (svårt att beskriva tex resonanstoppar)

IIR Fördelar Mindre gradtal (mindre beräkningar) Parametriskt (tex poler ger resonanstoppar) Nackdelar Kan bli instabila, sämre fasgång

Realisering i serie, parallell eller lattice format FIR

IIR

Y(z) X(z)

y(n) K2 K1

x(n)

K2 K1

z^-1 z^-1

y(n)

-K2 -K1

x(n)

K2 z^-1 K1 z^-1