Föreläsning 10. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 7. Diskreta FourierTransformen DFT

(1)

Signalbehandling i multimedia - ETI265

Föreläsning 10

Signalbehandling i multimedia - ETI265

Kapitel 7

Diskreta FourierTransformen DFT

LTH 2014

Nedelko Grbic

(mtrl. från Bengt Mandersson)

Institutionen för elektro- och informationsteknik Lund University

(2)

Digital signalbehandling, Institutionen för elektro- och informationsteknik

Kapitel 7 Discrete-Time FourierTransformen DTFT Fouriertransformen av Tidsdiskreta signaler

Definition: Fouriertransform av tidsdiskret signal DTFT

n f j n

e n x f

X ( ) ( )

^ ² ^











 



¹

0

2 5

. 0

5 . 0

2

( )

) ( )

(

f

n f j

f

n f

j

df X f e df

e f X n

x

^ ^

Konvergens: Om

^x   ⁿ

stabil, dvs

| [ ] |

n

x n 



Lite svagare konvergens

| [ ] |

n

x n  



| [ ] |

2 n

x n  begränsad energi



(3)

Definition:

z-transform

Låt h n [ ] vara ett kausalt impulssvar

.

Kausalt innebär att

[ ] 0 0.

h n  för n 

Vi definierar Z-transformen av impulssvaret som

0

( ) [ ]

ⁿ

n

H z h n z

 



 

där z  r e

^j^

är ett komplext tal som vi oftast skriver som belopp och fas.

H(z) är en komplex funktion av en komplex variabel.

Viktigt : Om h n [ ] är kausal och stabil får vi



j

e

z z

H

H ( )  ( ) | _

(4)

Diskreta Fouriertransformen DFT

^{sid 456}

läs sid 449-456 översiktligt

Låt x n[ ] {...0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0...}





Vanlig Fouriertransform DTFT

n f j n

e n x f

X ( ) ( )

^ ² ^









df e

f X n

x

^j ^f ⁿ

f

 2 1

0

) ( )

( 



Välj längd N 8och beräkna

X ( f )

_i_N _punkter

0, 1/ , 2 / ,... , ( 1) /

f  N N N  N_dvs f  k N/

ger den Diskreta Fourier-Transformen (DFT)

1 2

0

1 2

0

[ ] [ ]

[ ] 1 [ ]

N j k n

N DFT

n

N j k n

N DFT

k

X k x n e

x n X k e

N



 









 ₀ _, ₁ _,..., ₁

1 ,...,

1 , 0









N n

N k

4

|X(f)|

|X(k)|

0 0.5 1 f 0 2 4 6 7 k 0 N/2 N-1 k

(5)

Periodicitet

Vanlig Fouriertransform DTFT

) ( f

X

periodisk ty

n f

j n

f

j

e

²^



²^ ⁽ ^¹⁾

Diskreta Fouriertransformen DFT

Både X k[ ], [ ]x n periodiska, (index beräknas modulo N ₎ ty n'  n p N, k' k p N, p heltal ger samma numeriska värden

2 ( ) 2

2

1

( )

2 2

2

1

k k

j n p N j n

j k p

N N

k p N k

j n j n

j n p

N N

e e e

  









(6)

Om x(n) bara definierad för 0 nN-1 (längd  N) får vi

N f k

DFT

k X f

X ( )  ( ) |



dvs

X ( f )

i N punkter

Kommentar: Om N är en jämn 2-potens kan beräkningarna snabbas upp mycket, N log N istället för N². Algoritmen kallas FFT.

Algoritmen beskrivs i Proakis. kapitel 8 men ingår inte i grundkursen.

(7)

Viktigt samband

N N

n

l N n j k

l n N

N l

n N

N l

n N

N p l

n om

N p l

n om e N

)) (

((

) modulo ,

( :

notation Proakis

) modulo ,

(

0 0

0

1

0

) ( 2









 













 



^









Summan av punkter jämnt fördelade på enhetscirklen = 0

S

umman av värdena i punkterna är:

A+A+A+A+A+A+A+A=8 A+B+C+D+E+F+G+H=0 A+C+E+G+A+C+E+G=0 osv

Jämför: Integralen av cos(t) över ett jämnt antal perioder är noll utom för =0

C

D B

E A

F H

G

(8)

Speciella egenskaper för DFT

Både x n [ ] _och X k [ ] periodiska, detta medför vissa speciella egenskaper, alla index räknas modulo N

Tolkning av x[n]

x[n]={ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 } x[n-1]={4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 }

Cirkulärt shift

[

0

, modulo ]

x n  n N 

² ⁰

[ ]

j k n

e

^ ^ N

X k

Exempel på skift vid DFT

x[n]={1 2 3 4}, x[n-1]={4 1 2 3}

(9)

Cirkulär faltning vid DFT, längd N, sid 476-477

1 2

( ) ( ) ( )

X k  X k X k

1 2

1

1 2

0

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ , modulo ]

N

l

x n x n x n

x l x n l N





 

  

(alla signaler har samma längd N)

Exempel på cirkulär faltning

Givet: x[n]={

1

2 3 4}, h[n]={

2

2 1 1}

Sök cirkulär faltning

y n [ ]  x n [ ]  h n [ ]

Grafisk lösning

h[0-k] 1 1 2

2

x[n] { 1 2 3 4

1

2 3 4 1 2 3 4 } ger y[n] = {

15

13 15 17}

Problemet uppstår därför att N=4 men resultatet av faltningen blir av längd 7. Därför ‘trillar’ värdena runt.

MATLAB: x=[1 2 3 4]; h=[2 2 1 1];

y=real(ifft(fft(x).*fft(h)))

(10)

Vanlig faltning med DFT

x[n]={

1

2 3 4}, h{n]={

2

2 1 1}

Faltningen mellan x[n] och h[n] ger y(n) av längd 4+4-1

Välj längd hos DFT:n N=8 Grafisk lösning

h[0-k] 0 0 0 0 1 1 2

2

x[k] {1 2 3 4 0 0 0 0

1

2 3 4 0 0 0 0 1 2 3 4 } ger y[n] = {

2

6 11 17 13 7 4 0}

MATLAB: y=real(ifft(fft(x,8).*fft(h,8)))

Jämför med förra sidan y_förra={

2+13

, 6+7, 11+4, 17+0}

(11)

Sampling av spektrum ger periodicitet.

Låt ^j ^f

n

e f a

X n

u a n

x

₂_

1 ) 1 ( )

( )

(

_

 





Avläs

X ( f )

i N punkter och bilda

N f k

f X k

X ( )  ( ) |



Nu är

x (n )

_{är en}

oändligt lång sekvens men invers DFT av

X (k )

_{ger en}

sekvens av längd N.

Vad blir

x

_DFT

( n )  IDFT ( X ( k ))

Dvs vad blir resultatet av nedanstående räkning?

N j k N

f k DFT

f j n

e a f

X k

X IDFT

n x

e f a

X DTFT

n u a n

x



2 2

1 | 1 ) ( )

(

? ) (

1 ) 1 ( )

( )

(

 











 





|X(k)|

|X(f)|

0 0.5 1 f 0 1 2 N/2 N-1 k

(12)

Sampling av spektrum ger periodicitet, fortsättning

Lösning:

N f k

DFT

k X f

X ( )  ( ) |



Invers DFT ger

1 2 1 2 2

0 0

1 2 ( )

0

[ , modulo ] [ ]

1 1

[ ] [ ] [ ]

1 [ ] [ ]

periodiserat

k k k

N j n N j l j n

N N N

DFT

k k l

N j k n l

N

l k l

N n l N x n

x n X k e x l e e

N N

x l e x n l N

N

  





   

  

   

  



  

  

  

dvs

[ ]

[ ] [ ]

periodiserat

DFT

l

x n

x n x n l N





  

(x(n), x (n) ritat heldraget för enkelhets skull) x[n]

0 N-1 n

x_DFT[n]

0 N-1 n

(13)

Visa periodicitet i tid med numeriskt exempel

DTFT och DFT av fyrkantpuls

 











 



 



 



st L

n

x 1 1 1 1 .... 1 ger

 

^L ^j ^N^kⁿ ^j ^k^L^N

n

fL n j

f j L

n

e k N

N k L e

n x k

X

e f

f L e

n x f

X

2 2 1 1 2

0

2 2 1 2

1

0

2 ) 2 1 sin(

2 ) 2 sin(

) (

2) 2 1

sin(

2) 2

sin(

) ( )

(

 



 







 



Exempel:

Låt nu

N kL

e j

k N N k L k

X k

Y ²

2 1

1

2 ) 2 1 sin(

2 ) 2 sin(

) ( )

(

 



 ^



och bestäm ^y₁

 

ⁿ ^^IDFT⁽^Y₁

 

^k ⁾

samt

2

2 2 1 2

2

2 ) 2 1 sin(

2 ) 2 sin(

)) ( ( ) (















 

N kL

e j

k N N k L k

X k

Y ^



och bestäm y₂(n)IDFT(Y₂(k))

Matlabkod: N=16, L=6 och L=10

k=0:N-1; k=k+.00000001;

Y1=sin(2*pi*L*k/(2*N))./sin(2*pi*k/(2*N)).*exp(-j*2*pi*(L-1)*k/(2*N));

y1=real(ifft(Y1));

Y2=Y1.*Y1;

y2=real(ifft(Y2));

Hur ser y1[n] och y2[n] ut? Svar nästa sida.

(14)

Fortsättning: Matlabexempel på periodicitet i tid, Matlabplot N=16, L=6,

N kL

e j

k N N k L k

Y ²

2 1

1

2 ) 2 1 sin(

2 ) 2 sin(

) (

 

 ^



y1⁽n⁾IDFT⁽Y1⁾

2

2 2 1

2

2 ) 2 1 sin(

2 ) 2 sin(

) (















 

N kL

e j

k N N k L k

Y ^



y2⁽n⁾ IDFT⁽Y2⁾

N=16, L=10,

)

1(k

Y y₁(n)IDFT(Y₁)

(15)

En praktisk tillämpning

Öka upplösning i frekvens med hjälp av ”zero padding” el. ”trailing zeroes”

Låt x[n]={… 0 0 0 0 0 0

1

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 …}

Tag N=8 punkters DFT av x[n]

Tag N=16 punkters DFT av x[n]

4

|X(f)|

|X[k]|

0 0.5 1 f 0 2 4 6 7 k 0 N/2 N-1 k

4

|X(f)|

|X[k]|

0 0.5 1 f 0 4 8 15 k 0 N/2 N-1 k

(16)

Appendix

DFT i matrisform sid 459-460 (för kännedom) Definiera W

_N

 e

^^j ² ^N

 W

 1

1 ,...,

1 , 0 )

1 ( ) (

1 ,...,

1 , 0 )

( )

(

1

0 1

0











 





N n

W k N X

n x

N k

W n x k

X

N

k

kn N

n

kn

Låt

^x ^















 x( ) x( )

x(N 0 1

1)

^X^















 X( ) X( )

X(N 0 1

1)

2 1

1 2( 1) ( 1)( 1)

1 1 1 1

1

N

N N N N

W W W



   

 

 

  

 

 

D

Medför att vi kan skriva

-1

X = D x

x = D X ^eller

1  N

^*

x D X

Föreläsning 10. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 7. Diskreta FourierTransformen DFT