SVAR a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken

(1)

SVAR

1

1115 Arean är ( x ² + 4 x) cm². Ledtråd:

Basen b = x cm Höjden h = (2 x + 8) cm 1116 Uttryckets värde är 60.

1117 a) Ja.

Förklaring:

Om det första talet är a så kan summan skrivas

a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + 3) + (a + 4) =

= 5a + 10 = 5(a + 2) b) Nej.

Förklaring:

a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + 3) + (a + 4) + + (a + 5) = 6a + 15 =

= 3(2a + 5)

Summan är alltid delbar med 3 men inte med 6.

1121 a) y = 6 b) x = 3/4 = 0,75 c) x = −1/3 d) z = 1/2 = 0,5

1122 a) y = x + 3 c) y = 5x b) y = x d) y = −3x 1123 a) y = 6 – x c) y = 4 x + 5z

b) y = 3 x + 2 d) y = 2 x – 1 1124 a) x = 5 c) z = 8

b) y = –2 d) x = 4 1125 a) y = 4 x – 5

b) y = 13 – 3 x c) y = –6 x – 5 1126 a) x₁ = −7 x₂ = 4

b) x = 4

1127 a) x = 9 b) x = 30 1128 Ekvation:

5 x = 3(x + 90)

En konsertbiljett kostar 225 kr.

1129 Ekvation:

2 ∙ 3 x + 2 ∙ 4,5 x = 210 x = 14 cm

1110 a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken framför.

2. Han multiplicerar inte –3 med båda termerna i andra parentesen.

b) 30 – ( x – 6) –3(6 – x) =

= 30 – x+ 6 – 18 + 3 x =

= 2 x + 18 1111 a) 4b – a

b) a² + b² Ledtråd:

–(a – b)b kan skrivas –b(a – b)

c) 6 x + 6 y d) 16x ² + 15

1112 a) Uttryckets värde är 14.

b) Uttryckets värde är 20.

c) Uttryckets värde är 1.

d) Uttryckets värde är –2.

1113 a) Nej.

a – b ≠ b – a Motivering:

T.ex:

5 – 3 = 2 3 – 5 = –2 Allmänt gäller

a – b = –(b – a) b) Ja.

a ∙ b = b ∙ a Motivering:

ab = ba c) Nej.

a b ≠ ba Motivering:

5 2 ≠ 2

5 a

b = b

a gäller endast om a = b

1114 a) 0

b) 4 x³– 3 x ²– x c) 2 x³– 21 x ²– 18 x d) 3 x ²– x y – y ²

Kapitel 1

1104 a) 7x + 3y Ledtråd:

En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort.

b) 7 x − 3y c) 3 x − y

Ledtråd:

En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort om man då ändrar tecken för alla termer i parentesen.

d) 7x − y 1105 a) –2 x ²– 5 x + 4

b) –2 x ²– 11x + 14 c) 2 a – 2

d) 2 1106 a) 11x – 17

b) x + 2 Lösning:

3 x – 2(5 + x) + 12 =

= 3 x – 10 – 2 x + 12 =

= x + 2 c) –2a + 6 d) 11 y – 20

1107 Uttryckets värde är 17.

Lösning:

x = –3 insatt i x ² – 2 x + 2 ger (–3)² – 2 ∙ (–3) + 2 =

= 9 + 6 + 2 = 17 1108 A = A₁ + A₂

a(a + 2) = a² + 2a 1109 a) (4 x + 260) m

Ledtråd:

Kortsidan är x m.

Långsidan är ( x + 130) m.

b) (x ² + 130 x) m²

SVAR

Facit.indd 1

Facit.indd 1 2022-01-11 16:24:512022-01-11 16:24:51

(2)

SVAR

3 2

SVAR

1304 x y

2

1 Ledtråd:

Avläs x- och y-koordinaten i skärningspunkten.

1305 a)

b) x y

2 1

1306 a) y x

y x

3

4 b) x

y

1 3 1307 a) Nej.

Motivering:

x = 10, y = 20 är en lösning till den första ekvationen, men inte till den andra.

b) Ja.

Motivering:

x = 10, y = 20 är en lösning till båda ekvationerna.

1308 a) y x

y x

2 1 3 2 b) x = 6, y = –4

Kontroll:

Första ekvationen VL = –4

HL = – 62 – 1 = –3 – 1 = –4 VL = HL

Andra ekvationen VL = –4

HL = – 63 – 2 = –2 – 2 = –4 VL = HL

Lösningen är korrekt.

1309 a) T.ex. y x y x

²4 ¹ b) T.ex. y x

y x

2² 1¹

x y

1 1

1233 a) y = 0,039 x – 0,014 b) Fjädern förlängs 0,039 m

för varje kg man ökar belastningen med.

c) Ekvationen kan skrivas y = 3,4 x – 1,4

d) Fjädern kan inte förlängas hur mycket som helst.

1234 E = 9,1 och R_i= 1,2 Ledtråd:

Det tredje mätvärdet avviker mest från regressionslinjen.

1235 a) y = –14,5 x + 399 b) y = –9,42 x + 312,8

Lösning:

c) Pulsen 147 slag/minut.

d) Ja.

Motivering:

Modellen gäller kanske endast för det tidsintervall hon har undersökt. Hennes vilopuls respektive maxpuls är begränsningar.

Träning kan ge en annan modell.

Modellen kan inte tillämpas på andra personer.

e) Pulsen minskar med ca 9 slag/minut när tiden för ett varv ökar med 1 minut.

A B

2 17,40 136 3 16,63 162 4 18,18 129 1 17,05 157

5 16,40 154 6 18,98 148 7 16,32 170 8 17,15 146

Regression 130 140 150 160 170

16.2 16.4 16.6 16.8 17.0 17.2 17.4 17.6 17.8 18.0 18.2 18.4 18.6 18.8 19.0 y = 9.42x + 312.8

1227 a) y = 0,5 x + 2 b) y = 0,3 x + 3

Lösning:

Vi skriver in värdena i två kolumner och gör en linjär regression.

1228 m-värdet avläses då x = 0.

I figuren börjar x-axeln på x = 2.

1229 a) y = 2x – 0,5

b) y = 2,03x – 0,53 1230 a) y = 2,06 x – 36,7

b) Det övre trycket är 140.

1231 y = –30,5 x + 616

där x °C är medeltemperatur och y liter är oljeförbrukningen.

Modellen ger förbrukningen 493 liter då medeltemperaturen är 4,0 °C.

1232 a) Den vänstra.

b) y = 0,86 x – 1,5

A B

2 4 3

3 6 6

4 8 5

1 2 4

Linjär modell 3 2.5 3.54 4.5 5 5.56

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = 0.3x + 3

3 2 1 0 1 3 4

x 5 6y

2

1

2

1

2

3

4

5

1219 a) y = –5x + 5 b) y = 3x – 11

Ledtråd:

Lös ut y för att kunna avläsa linjens k-värde.

1220Lösning:

y = –3x + 1 och x = –1 ger y = –3 ∙ (–1) + 1 = 4 5x – 3y = –17 och x = –1 ger 5 ∙ (–1) – 3y = –17

– 3y = –12 y = 4

1221 Elvi har rätt. Linjerna är vinkelräta.

Motivering:

Linjerna kan skrivas y = x2 och y = −2x + 3,5 k₁ = 1/2 och k₂ = –2 vilket ger k₁ ∙ k₂ = –1 1222 a) T.ex. y = x

4 − 1 Linjerna är parallella

eftersom de har samma k-värde, 1/4.

b) T.ex. x = 2

Linjerna är vinkelräta eftersom y = 10 är en horisontell linje och x = 2 är en vertikal linje.

1223 a kan anta alla värden utom −1.

Motivering:

Linjerna har olika m-värden.

De skär alltid varandra i en punkt om de inte är parallella.

De kan alltså inte ha samma k-värde.

1224 a) 2y – x – 5 = 0 b) 3y + x – 10 = 0 c) y – 2x – 1 =0

1225 a = 4, b = 3 och c = −90 Ledtråd:

Bestäm k och m med hjälp av figuren. Omvandla linjens ekvation på k-form till allmän form.

1206 m = 15 000

Antal invånare var 15 000 år 2010.

k = −225

Befolkningen minskade med 225 personer per år.

1207 Linjen skär x-axeln där x = 4 dvs i punkten (4, 0).

Ledtråd:

På x-axeln är y = 0.

1208 a) Ljusets höjd är 75 mm.

b) Tiden är 3,2 h.

c) y = 200 – 25 t 1209 y = −3

Ledtråd:

Beräkna först linjens k-värde.

1210 Linjernas ekvationer är y = 3

4x + 5

4 och y = – x 2 – 5

2 1211 f(x) = −2x – 4

1215 a) k = – 1 c) k = 0 b) k = 3 d) k = 1/3 1216 A,C och E.

De kan alla skrivas i formen ax + by + c = 0.

1217 a)

b) L₁: y = x 2 + 2 L₂: y = −2x – 3

c) Skärningspunkt: (−2, 1) 1218 1−D, 2−A, 3—B, 4−C

6 4 2 0 3 6 8

x y

4

2

4

6

8

2

4

6

8

1130 a) I h = A b II h = 2A

b III h = 2A

a b+ b) I b = A

h II b = 2A

h III b = 2A

h – a 1131 a) x = 40/7

Ledtråd:

Multiplicera båda leden med MGN = 8 x.

b) y = 6/5 Ledtråd:

Multiplicera båda leden med MGN = 24.

c) x = 35/2 d) y = 12/5

1132 Talen är 55, 65 och 130.

1133 a) y = 5 6

x Ledtråd:

Multiplicera alla termer med MGN = 5 x y.

b) y = xzz x−

1202 a) y = 2x +1 b) y = −2x – 5 1203 a) k = –0,5

b) k = 1

c) k = 2/3 ≈ 0,67 d) k = –3 1204 a) y = 4x – 14

b) y = –3x + 7 1205 a) och b)

4 2

2 4

x

2 y

4 2

y = 2x – 3

y = –1,5x + 4

Facit.indd 2-3

Facit.indd 2-3 2022-01-11 16:24:552022-01-11 16:24:55

(3)

SVAR

5 4

SVAR

1340 Att hitta ett värde på x och ett värde på y som är en lösning till båda ekvationerna.

eller

Att hitta ett talpar ( x, y) som är en lösning till båda ekvationerna.

1341 a) x y

5 0 25, b) y

z

10 6

c) x y

23

53

1342 a) Han kan lösa ut y ur den första ekvationen och ersätta y med (3 – 2 x) i den andra.

(Han kan i stället välja att lösa ut x ur den andra ekvationen.)

b) Han kan multiplicera alla termer i den första ekvationen med –3. Sedan kan han addera vänsterleden respektive högerleden.

(Han kan i stället välja att multiplicera alla termer i den andra ekvationen med –2.) c) Han ritar graferna. Han kan

behöva lösa ut y innan han skriver in ekvationerna.

Han avläser koordinaterna i skärningspunkten.

d) x y

0 8 1 4 , ,

1343 a) T.ex: 3 2 5

2 9

x y

,

Förklaring:

3 ∙2 –3,5 = 2,5 2+ 2 ∙3,5 = 9 b) T.ex. x y

x y

4 2

2 2 0 5,

1331 a = 3, b = 1 Ledtråd:

Sätt in x = 7 och y = 2.

Lös ekvationssystemet i a och b.

1332 x y

13 23

1333 x a b

y a b

5 22 2

11 +

1336 a) a b

4

17 Ledtråd:

Börja med att addera ledvis.

b) y z

4

2 Ledtråd:

Börja med att addera ledvis.

c) x y

2 5 Ledtråd:

Multiplicera den andra ekvationen med –1.

d) a b

1 5 Ledtråd:

Multiplicera den andra ekvationen med –1.

1337 a) x y

2

9 b) a b

2 2

1338 a) x y

1

4 d) x y

43 1 33 92 4 5

, ,

b) x y

19

4 e) p r

6 2 5, c) a

b

3

5 f) s t

67

25

1339 a) 2 4 116

3 3 120

x y

x är priset på en kopp kaffe och y är priset på en bulle.

b) En kopp kaffe kostar 22 kr.

c) En bulle kostar 18 kr.

1324 Metod 1:

Rita upp graferna och se om det stämmer.

Metod 2:

Sätt in x = –2 och y = 4 i båda ekvationerna för att se om VL = HL i båda ekvationerna.

Metod 3:

Lösa ekvationssystemet

y x

8 2 2

med substitutionsmetoden.

Ja, det stämmer.

1325 a) Skärningspunktens koordinater är x

y

3 4 b) Skärningspunktens

koordinater är x y

52 16

1326 x y

4

3 Ledtråd:

Ekvationssystemet kan skrivas x y

x y

2 2

6 27

1327 a = 12 Ledtråd:

Bestäm värdet på 5 x + 4 y om 5 x + 4 y – 3 = 9

1328 Ja, alla linjer går genom punkten (14, 25).

1329 Hörnen har koordinaterna (0,5; 2), (–2, –3) och (2, –1).

Ledtråd:

Skärningspunkt för linje 1 och 2:

Lös ekvationssystemet

y x

2 3

2 1

1330 a) y ax b y cx

d

b) y ax

b b

y cx

d d

1 1 e) a

b 4

5 f) x

y 0 5 1 5 , ,

1321 a) Anta att priset på en banan är x kr och att priset på en ostmacka är y kr.

Vi får 4 38

3 2 46

x y

b) En banan kostar 6 kr.

c) En ostmacka kostar 14 kr.

1322 a) a b

4 28 b) x

y

0 1 9 5 , , c) x

y

2 4 Ledtråd:

Lös ut y ur den andra ekvationen.

Du får y = –4 x – 4.

Sätt in detta i den första ekvationen.

d) s t

2 7

1323 a) x y

0 75 6

,

Ledtråd:

Skriv om ekvationerna till y = 9 – 4x och y = 8x.

Rita graferna till de två ekvationerna och avläs skärningspunkten.

b) x y

0 75 6

,

Ledtråd:

Multiplicera alla termer i den andra ekvationen med 4.

c) x y

3 4 6

Lös: ({f, g}, {x, y}) f : 4x + y = 9

f : 4x + y = 9

{

x = , y = 6

}

y4 1

g : – 2x = 0 2

3

g : –2x + 1y = 0 4

34

1310 a) x y

2 3 0 67 5 3 1 67

, , Lösning:

Vi ritar båda graferna i samma koordinatsystem och avläser skärningspunkten.

De exakta värdena är x = 2/3 och y = 5/3.

b) x y

1 8 0 4 ,

,

1311 a) Lösningen är approximativ (ungefärlig).

Motivering:

Lösningen ger att VL ≈ HL för 2 x – y + 2 = 0

b) Lösningen är exakt.

Motivering:

Lösningen ger att VL = HL för båda ekvationerna.

1312 a) x y

65

9 770 , 9

b) x ≈ 7,22, y ≈ 85,56

1313 a) T.ex. 3 2 16 7

x y

Ledtråd:

Ekvation 1

Välj en x-term, t.ex. 3 x, och en y-term, t.ex. 2 y, och skriv 3 x + 2 y = k

Beräkna konstanttermen k då x = 2 och y = 5.

b) T.ex. x y

x y

4 5

2 6 3

,

1314 a) x ≈ 1,8 och y ≈ 1,1 b) x ≈ 1,83 och y ≈ 1,11 1315 a = –4 och b = –2

4 4

INTERSECTION X = .6666667 Y = 1.6666667

-4 -4

1316

Förklaring:

Linjerna är parallella och saknar därför skärningspunkt.

Detta medför att ekvationssystemet saknar lösning.

1319 a) x y

5 20 Lösning:

y x

4 1

15 2 ( ) ( )

Enligt ekvation (1) är y = 4 x.

Insatt i ekvation (2) ger detta 4 x = x + 15

3 x = 15 x = 5

Vi sätter in värdet på x i ekvation (1):

y = 4 · 5 = 20 Lösningen är x

y

5 20 b) x

y

6 4

1320 a) x y

2 4 Ledtråd:

Ersätt y med 3 x – 2 i den andra ekvationen.

b) x z

3

2 Ledtråd:

Ersätt z med 4 – 2 x i den första ekvationen.

c) x y

2 1 Ledtråd:

Lös ut x ur den första ekvationen.

Du får x = 5 y – 3.

Sätt in detta i den andra ekvationen.

d) y z

1

2

x y

1 1

Facit.indd 4-5

Facit.indd 4-5 2022-01-11 16:25:052022-01-11 16:25:05

(4)

SVAR

7 6

SVAR

1382 Ekvationssystemet saknar lösning.

Motivering:

Linjerna har samma riktnings- koefficient, k = 1.

Linjerna är parallella och saknar därför skärningspunkt och lösning till ekvationssystemet.

1383 a) k = 2 3 b) x

y

3

1

c) k = –1 och m = 2 d) k = – 1

6

1384 a) Ekvationssystemet saknar lösning.

Grafisk tolkning:

Linjerna har ingen skärningspunkt.

b) x y

2 1

Grafisk tolkning:

Linjerna skär varandra i punkten (2, 1).

c) Ekvationssystemet har oändligt många lösningar.

Lösningen är alla ( x, y) för vilka 2 x – y = 3

Grafisk tolkning:

Alla punkter är gemensamma.

d) Ekvationssystemet saknar lösning.

Grafisk tolkning:

Linjerna har ingen skärnings- punkt.

1385 Om b ≠ 3 finns en enda lösning till ekvationssystemet.

Motivering:

Linjerna är inte parallella.

Om b = 3 och a ≠ –7 saknas lösning.

Motivering:

Linjerna är parallella men inte identiska eftersom de har olika m-värde.

Om b = 3 och a = –7 finns oändligt många lösningar.

Motivering:

Ekvationerna är identiska.

d)

x y z

x y

y x

20 1

3 22 2

2 3

( ) ( ) ( ) 5 vinster, 7 oavgjorda och

8 förluster.

Ledtråd:

Börja med att ersätta y med x + 2 i ekvation (2).

1374 1 8, x 0 18, y 75 192 1,2x + 0,0864y + 50 = 121 x = 265

6 ≈ 44 y = 6253 ≈ 208 Ramen kostar 44 kr/m.

Glaset kostar 208 kr/m². 1375 600 elever var godkända och 240 var underkända.

1376 Skärningspunkten är (2,5; 17) Ledtråd:

L₁: y = kx + m

L₂: y = (k + 2) x + (m – 5) 1377 Flodbåtens hastighet är 20 km/h

och strömmens hastighet är 4 km/h.

Ledtråd:

Låt flodbåtens hastighet vara x km/h och strömmens hastighet vara y km/h.

1378 Hon arbetade 7 timmar på lördagen.

Ledtråd:

x y z

y z

x y z

24 2

70 90 120 1 995

1379 T.ex. x y

1 5

0 ,

1380 Hon ska blanda 16,7 liter ren bensin med 8,3 liter av den 85-procentiga blandningen.

1381 a) k = 3 b) k = 5 1366 a) x y

x y

240

2 30

b) Det var 170 personbilar.

1367 v₀ = 7,5 och a = 2,4 1368 f ( x) = x + 2

Ledtråd:

k m

2 4

2 0

( )

1369 Det finns 27 grisar och 43 höns.

1370 a) Det ena lånet är 350 000 kr större än det andra lånet.

Det kan betyda att räntan på lån a är 4,3 % och räntan på lån b är 2,7 % samt att totala räntekostnaden är 54 950 kr.

b) Lånen är på 920 000 kr respektive 570 000 kr.

Ledtråd:

Använd symbolhanterande verktyg, t.ex:

1371 a) Skärningspunkten är (6, 3).

b) Skärningspunkten är (6, 3).

Lösning:

c) Den stora triangelns area är dubbelt så stor som den lilla.

Förhållandet är 2:1 eller 2 1 1372 Det finns 130 sängplatser.

1373 a) x + y + z = 20 b) 3 x + y = 22

Lösning:

3 ∙ x + 1 ∙ y + 0 ∙ z = 22 3 x + y = 22

c) y = x + 2

{S1, S2}

a – b = 350000 a – b = 350000

Lös: {{a = 920000, b = 570000}}

100043 1

0.043a + 0.027b = 54950 2

3

a + b = 5495027 1000

2 4 6 8

y = 0.5x 6 4 y = 9 x y

x 8 2

(6, 3) 2

10 10

1356 a) x y z

18 12 9

b) x y z

4 10 12

1357 x y z

23 13 2

1358 a) Ja, det är möjligt.

Motivering:

Då a = 4 och b = 2 löser samtliga tre ekvationer.

b) Nej, det är inte möjligt.

Motivering:

Det finns inget värde på a och b som tillsammans med rötterna löser samtliga tre ekvationer.

1361 a) Totala antalet biljetter ( x + y) är 240 stycken.

b) Totala biljettintäkterna (650 x + 300 y) är 103 500 kr.

c) x y

90 150

1362 a) 2 2 46 8

x y

y x

b) Sidornas längder är 7,5 cm och 15,5 cm.

1363 a) x y

x y

150 22 b) Talen är 64 och 86.

1364 Steghöjden ska vara 17 cm och stegdjupet ska vara 29 cm.

1365 Talet i rutan ska vara 35.

Ledtråd:

Lösningen till ekvationssystemet

3 5 37

4 4 36

x y

ger priset på ett päron respektive ett äpple.

1352 a) x y z

12

8 19 Ledtråd:

Börja t.ex. med att addera ekvation 1 och 2 samt addera ekvation 1 och 3.

b) x y z

2 3 1 Ledtråd:

Den tredje ekvationen ger x = 6,5 – 1,5 y

Sätt in detta i den första och andra ekvationen.

c) x y z

1

3 5 Ledtråd:

Lös ut z ur den första ekvationen och sätt in uttrycket för z i den andra och tredje ekvationen.

1353 a) En bricka väger 31 g.

b) En mutter väger 16 g.

c) En bult väger 48 g.

1354 Nej.

Motivering:

x = 10, y = –3 och z = 2 är en lösning till ekvation 1 och 2, men inte till ekvation 3.

1355 T.ex:

x y z

x y z

x z

2 22

2 3

5 2 5

Ledtråd:

Utgå från ekvationen a x + b y + cz = d

och sätt in x = 5, y = –3 och z = 10.

Du får

5a – 3b + 10c = d Välj värden på a, b och c och beräkna d.

1344 a) x y

4 5 3

,

Ledtråd:

Använd t.ex.

substitutionsmetoden.

Börja med att dividera båda leden i den första ekvationen med 2.

b) a b

0 03 30

,

c) x z

74 300

1345 x y

17 2 3 1346 a) x

y 15 3 b) x

y

1

1 Ledtråd:

Börja med att multiplicera ekvationerna med någon gemensam nämnare.

1347 x y

2

1

1348 s t

8 2

1351 a) x y z

3

1 5 Ledtråd:

x kan beräknas ur ekvation 1 och sedan kan y beräknas ur ekvation 2.

b) x y z

7 5 2 Ledtråd:

Lös ut x ur ekvation 1.

Lös ut z ur ekvation 2.

Sätt sedan in dessa uttryck i ekvation 3.

c) x y z

7 3 4

Facit.indd 6-7

Facit.indd 6-7 2022-01-11 16:25:112022-01-11 16:25:11

(5)

SVAR

9 8

SVAR

7 a) 4 obekanta b) b = antal basar

t = antal tenorer a = antal altar s = antal sopraner c) (1) a = b och b

b t = 0,70 (2) s = 10 + t och a s

b t a s

= 2 d) C 3

8 a) 3 obekanta

b) x = pris innan ändring r = pris röd paprika g = pris grön paprika c) (1) g = x + 4 och r = x – 2

(2) 3g = 4r d) C

9 a) 2 obekanta

b) x = antal bilar som kommer till parkeringen

y = antal bilar som lämnar parkeringen

c) (1) x = 2y (2) x = y + 10 d) C

10 a) 2 obekanta

b) x = antal mål som Ersmark gjort 10 min innan slutet.

y = antal mål som Ersboda gjort 10 min innan slutet.

c) y = 2x

(1) x + 3 + 2x = 18 (2) x + 6 = 2x + 1 d) D

11 a) 3 obekanta

b) x = antal kilo på stången första serien.

y =a ntal kilo på stången andra serien.

z = antal kilo på stången tredje serien.

c) (1) 50 ∙ 10 + 55 ∙ 10 + + 60,5 ∙ 10 = 165,5 (2) y = x + 5 och 10x + 10z =

= 1 105 d) A

3 a) 2 obekanta

b) g = antal giftiga ormar t = totalt antal ormar c) g + 1 900 = t

(1) 0,174 ∙ t = g

(2) g = 1 900 – 1 500 = 400 d) D

4 a) 3 obekanta b) g = antal grisar

h = antal höns f = antal får c) (1) f = 5

(g + h + f)/8 = g (2) 0,24( g + h + f) = h d) C

5 a) 3 obekanta Ledtråd:

Vi måste inte veta värdet på variablerna, bara om a är större än b.

b) a, b och c är positiva ensiffriga heltal

c) 3a + b = c (1) a + b + c = 4b

Lösning:

Lös ut c ur den andra ekvationen c = 3b – a Vi sätter den första och den andra ekvationen lika.

3a + b = 3b – a 4a = 2b

a = b/2 d.v.s. a < b Vi kan besvara frågan (Nej).

(2) a + b = 3

Uppgiften går inte att lösa med (2).

d) A

6 a) 3 obekanta

b) r = antal röda ränder g = antal gula ränder l = antal lila ränder c) (1) 2

13 (r + g + l ) = l och r = 3 ∙ l

Uppgifterna går inte att lösa med (1).

(2) 2 + 5 + 1,2 ∙ 5 = 13 d) B

1386 a) T.ex. y = – 23x + 1 b) T.ex. 4 x + 6 y = 10 c) T.ex. x + y = 3 1387 a ≠ 3

1388 a = 33 ger x = 49/3 ≈ 16,3 y = –44 a = 33,1 ger x = 98 y = –269,4

Att en liten ändring i a ger en stor ändring i lösningen beror på att linjerna är nästan parallella.

1389 Oändligt många lösningar då a = 4 och b = –3/2

Motivering:

Båda linjerna kan skrivas y = 3

2x – 3 4

Saknar lösning då a = 4 och b ≠ –3/2

Motivering:

Linjerna är parallella.

De har samma k-värde men inte samma m-värde.

En lösning då a ≠ 4 Motivering:

Linjerna är inte parallella och har därför en skärningspunkt.

Tema:

Nu är det NOG 1 a) 2 obekanta

b) x = det positiva talet y = det negativa talet c) x + y = 9

Punkt 1: x – y = 21 Punkt 2: y

x= –2/5 d) D

2 a) 2 obekanta

b) x = Karins ålder år 2001.

y = Annas ålder år 2001.

c) (1) x + 6 = y + 6 – 24 (2) y + 13 = 2(x + 13) d) C

1404 a) x² + 8x + 15 b) 8a²– 2a – 3 c) 2p² – 9pq + 10q²

Lösning:

(p – 2q)(2p – 5q) =

= 2p² – 5pq – 4pq + 10q² =

= 2p² – 9pq + 10q² d) 2t² – 9t – 35 1405 a) x³ – 2x – 4

b) 5a³ + 21a² + 24a + 18 c) 12 x ² – 9,2 x y + 1,6 y ² 1406Förklaring:

Hela rektangelns area är (a + b)(c + d)

vilket är lika med summan av de fyra delrektanglarnas area ac + ad + bc + bd

1407 a) T.ex. 2 x² + 4 x – 5 b) T.ex. x² – 10 1408 a) y = –1

Ledtråd:

Börja med att förenkla vänster led respektive höger led.

b) x = – 69 = – 2 3 ≈ –0,67 1409 a) Koefficienten framför x² är 20.

Koefficienten framför x är 23.

b) Koefficienten framför x² är 2.

Koefficienten framför x är −10.

1410 a) 2 x² + 3 x + 18 b) 16 s + 3

1411 Arean för figurerna är 16 m² vardera.

Ledtråd:

Vi sätter uttrycket för kvadratens area lika med uttrycket för rektangelns area.

x² = (x – 2)(x + 4) 1412 a) x² – 3

b) x4² + 2 x + 3 c) 3 x + 1

1413 a) 2 x³ + 6 x² + 2 x + 1 b) x³ + 6 x² + 11x c) 2 x² – 16

Ledtråd:

Multiplicera först parenteserna.

Skriv sedan om bråken så att de får samma nämnare.

1414 a) (24 – x) cm Ledtråd:

Summan av basen och höjden x är en halv omkrets.

b) (14 + x) cm 1415 Nej.

Förklaring:

Kvadratens area A_k = x ² Rektangelns area A_r = (x + a)(x – a) =

= x² – ax + ax – a² =

= x² – a²

Areorna är lika endast då a = 0 Det finns inget positivt värde på a som uppfyller villkoret.

1418 a) x² – 9 b) 81 – y² c) 4 x ² – 9 d) 64a² – 9b² 1419 a) a² + 10a + 25

b) b² + 20b + 100 c) 9 x ² + 24 x + 16 d) 49y ² + 84 y + 36 1420 a) a² – 10a + 25

b) y ² – 16 y + 64 c) 16 x² – 72 x + 81 d) 4 y ² – 28 y + 49 1421 a) x² + x

b) x² + 4 x + 12 c) 2a² + 72 d) 3b² – b – 7

1422 a) I rutan ska det stå x + 7 b) I rutan ska det stå − y ² c) I båda rutorna ska det stå 4 x d) I båda rutorna ska det stå 5

2 1423 Första kvadreringsregeln

(a + b)² = a² + 2ab + b² Förklaring:

Stora kvadratens area =

= (a + b)(a + b) =

= (a + b)² =

= a² + 2ab + b²

Arean av två kvadrater och två rektanglar =

= a² + b² + ab + ba =

= a² + 2ab + b² 1424 Ellgot har gjort fel då

han använder den andra kvadreringsregeln.

Han har missat att (2 x)² = 4 x² samt att dubbla produkten är –2 ∙ 2 x ∙ 3 = –12 x

Rätt svar är

(2 x – 3)² = 4 x² – 12 x + 9 1425 a) (x + 10)(x – 10)

b) (2 x + 5)(2 x – 5) c) (x + 3y)(x – 3y) d) (8 x + 9y)(8 x – 9y) 1429 a) Uttryckets värde är 9.

b) Uttrycket kan förenklas till y ². Lösning:

(2 x + y)² – 4( x² + x y) =

= 4 x² + 4 xy + y² – 4 x² – 4 xy =

= y ²

c) Uttryckets värde är 9.

1430 a) = 5 = 10x b) = 3y = 42 y c) = 5 = 25 d) = 8b = 64b² 1431 a) Arean ökar med

(10 x + 25) cm²

b) Arean minskar med 25 cm².

Facit.indd 8-9

Facit.indd 8-9 2022-01-11 16:25:132022-01-11 16:25:13

(6)

SVAR

11 10

SVAR

Blandade övningar 1 1 Alternativ D: x² – 6x + 9 2 a) x

y 1,5 3,5 b) x

y –0,5 1,5 Ledtråd:

Lös ut y ur den andra ekvationen.

3 a) I punkten (0; 10,6) Ledtråd:

b motsvarar m-värdet i y = kx + m

b) Nej, linjen går inte genom punkten (5, 50).

Motivering:

Linjen går genom punkten (5, 51).

Varje x-värde kan endast ge ett y-värde.

4 a) 8x + 16 b) x² 5 Talen är 27 och 52.

Ledtråd:

Anta att talen är x och y.

x y

79 1 25 2 ( ) ( ) 6 a = 4

Ledtråd:

Uttrycket kan skrivas x² + 8x + 16 7 a) x

y 2

2

b) y x

y x

2 2

4 c) T.ex. y = 2 – x 8 k = 49

Lösning:

x² − 14x + 49 kan skrivas (x – 7)² = (x – 7)(x – 7) 9 a) 20x b) –10x + 50 10 x + 3

1461 2 + 10^–10 = 2,000 000 000 1 Lösning:

4 10 2 10

20 10

−

− = 2 10

2 10

2 10 2

10

−

( ) =

= (2 10 )(2 10 ) 2 10

10 10

10

=

= 2 + 10^–10

De flesta verktyg klarar inte av att räkna ut det exakta värdet utan avrundar svaret till 2.

Testa dig själv 1

1 a) 10x + 4 b) x = –0,4 2 y = 3 x + 5

3 y = –3 x + 5 4 y = 0,89 x – 84,41 5 a) x ≈ −0,7

y ≈ 4,7 Ledtråd:

Vi ritar graferna till ekvationerna och avläser skärningspunktens koordinater.

b) x ≈ 0,71 y ≈ –1,57 Ledtråd:

Lösningen är skärningspunkten mellan graferna till

y = –5 x + 2 och y = 2 x – 3

6 a) x y 0,5

1,6 b) x y –7,6

2,4

7 a) x y

3

1 b) x

y 1 3 23 – 8 Lasten består av 45 stora lådor

och 52 små lådor.

9 a) x² – 6x + 16 b) 9x² + 16 10 a) y = 2x – 3 b) x = 9 11 x = 2

12 a) a + 2 b) x + 7 2 d) 3(x + 5)(x – 5)

Ledtråd:

Bryt först ut 3 och använd sedan konjugatregeln omvänt.

e) 5(b + 1)² f) (7a + 8b)(7a – 8b) 1456 a) x – 3

b) 2 x(1 – 2 x) c) 3a – 7 d) a b−

2 Ledtråd:

Täljaren kan faktoriseras till (a – b)²

1457 a) 444 Lösning:

112² – 110 ² =

= (112 + 110)(112 – 110) =

= 222 ∙ 2 = 444 b) 891

Lösning:

33 ∙ 27 =

= (30 + 3)(30 – 3) =

= 30² – 3² =

= 900 – 9 = 891 1458 a) 961 c) 2 401

b) 9 604 d) 1 004 004 1459 a) 2(4a – 3b)²

Ledtråd:

Bryt först ut 2 och använd sedan kvadreringsregeln omvänt.

b) –2( x – 5)² c) 2a(3a + b)(3a – b) d) (5 x – y)(p – q) 1460 a) (a + b + c)(a – b – c)

b) (s³ – 1)² c) ( x + a)(2 + b)

Ledtråd:

Bryt först ut 2 från de två första termerna.

d) a^{2 x}(a² – 1) =

= a^{2 x}(a + 1)(a – 1) 1444 a) x³ – 12x² + 48 x – 64

b) 1 + 6y + 12y² + 8y³ c) 1 + 3t ² + 3t ⁴ + t ⁶ d) 8x³ – 36x² + 54x – 27 1445 a) a³+ 3a²b + 3ab² + b³ b) a³ – 3a²b + 3ab² – b³ c) a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ d) a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴ 1449 a) 2x² – x = x(2x – 1)

b) 21x – 14x² = 7x(3 – 2x) 1450 a) (x + 10)(x – 10)

b) (2a + 5)(2a – 5) c) (3 x + 1)(3 x – 1) d) (7 + 4 x)(7 – 4 x) 1451 a) = 3 och = 9

b) = 5 och = 30y Ledtråd:

Jämför med kvadreringsregeln. Finn först vad

”triangel” står för.

1452 a) (b – 1)² b) (x + 5)² c) (x – 12)² Ledtråd:

144 är ett kvadrattal.

12² = 144 d) (4a + 3)² 1453 Nej.

Motivering:

(x + 1)² = x ² + 2 x + 1 x ² + x + 1 saknar ett x för att vara en jämn kvadrat.

1454 a) 2(x + 2)(x + 2) b) 2(x + 2)(x – 2) 1455 a)

(

^{9 +}³⁴^y

)(

^{9 – 3}4

y

)

b)

(

^b2 – 1

)

²

Ledtråd:

Använd kvadreringsregeln omvänt.

c) Uttrycket kan inte faktoriseras.

1436 8x² – 38x + 49 1437 a) A 64 – x²

B –x² + 10x – 25 b) A kan utvecklas med

konjugatregeln eftersom (x + 8)(8 – x) = (8 + x)(8 – x) B kan inte utvecklas med konjugatregeln.

1438 a) Ja.

Motivering:

VL = ( x – y)² = x² – 2 x y + y² HL = ( y – x)² = y² – 2 x y + x² VL = HL för alla värden på x och y.

b) Ja.

Motivering:

VL = ( x + y)² – ( y – x)² =

= x²+ 2 xy + y² – ( y² – 2 xy + x²) =

= x² + 2 xy + y² – y² + 2 xy – x² =

= 4 xy HL = 4 xy

VL = HL för alla värden på x och y.

1439 a) Uttrycket förenklas till 9 x ² – 49.

b) Uttrycket skrivs inte om.

c) Uttrycket förenklas till 9 x ² + 42 x.

d) Uttrycket förenklas till 2 5 x + 5

1440 a) x9² + 9 b) 9 – 6 x c) x ² – 90 d) 18 – 2 x 1441 a) 4 x⁶ + 4 x⁵ + x⁴

b) 0,25 y ⁶ – 4 1442 a) p

b) 2k – 1

1443 Det gäller för a = 1.

Lösning:

x ² + 2 x + 1 = (x + 1)² vilket ger

VL = ( x ² + 2 x + 1)² =

= (( x + 1)²)² = (x + 1)⁴ HL = ( x + a)⁴

VL = HL för alla värden på x om a = 1 1432 a) 2 y ² – 18

Ledtråd:

Börja med konjugatregeln.

Multiplicera sedan alla termer med 2.

b) 3 x ² + 12 x + 12 Ledtråd:

Börja med kvadreringsregeln.

Multiplicera sedan alla termer med 3.

c) x² – 6 x + 32 d) 10 x – x²

Ledtråd:

Multiplicera varje term i den

första parentesen med varje term i den andra

parentesen.

1433 a) Han gör fel när han utvecklar

parentesen och han glömmer att byta tecken när han tar bort parentesen.

b) 7 – ( x + 3)² =

= 7 – ( x ² + 6 x + 9) =

= 7 – x² – 6 x – 9 =

= – x² – 6 x – 2 1434 a) 16

Lösning:

x² – (x + 4)(x – 4) =

= x² – (x² – 16) =

= x² – x² + 16 = 16 b) 22x + 11

c) x²

d) y² + 2 y + 24 1435 a) x = 2

b) x = 5 c) x = 2

d) Lösning saknas.

Lösning:

(2 x – 3)(2 x + 3) =

= 4(x + 1)(x – 1) (2 x) ² – 3² = 4(x² – 1²) 4 x² – 9 = 4 x² – 4 Vi ser att vänster led och

höger led inte kan vara lika.

–9 ≠ –4 e) x = –9

Facit.indd 10-11

Facit.indd 10-11 2022-01-11 16:25:172022-01-11 16:25:17

(7)

SVAR

13 12

SVAR

28 a) y = 59 000x + 8 432 000 y är befolkningen x år efter 1990.

b) Ca år 2060.

Ledtråd:

Lös ekvationen 59 000x + 8 432 000 =

= 12 500 000

29 a) Blandningen ska vara på 10 liter.

b) Summan av mängden fett i lättmjölken och i standard- mjölken är lika med fett- mängden i blandningen.

c) De ska blanda 6 liter lättmjölk och 4 liter standardmjölk.

30 Nej, hon har fel.

Motivering:

Graferna kan se ut att vara identiska.

Med verktyget för skärning eller genom att zooma in får vi fram att linjerna har en skärningspunkt.

31 a) Nej, båda har fel.

Motivering:

Albin har fel:

Den anpassade linjen behöver inte gå genom någon av punkterna, inte heller origo.

Melsa har fel:

m-värdet är y-värdet då x = 0.

Melsa avläser y = 7 då x = 5.

b) m-värdet = 0,83 Ledtråd:

Gör en linjär regression.

f : 80 + 79x = 80 g : x + y = 1 A = Skärning (f, g)

(0, 1)

3 2 1 0 1 3 4

x y

2 A

1

2

1

2

3

20 M = −3, A = 11, T = 16, H = −3 Ledtråd:

M + A= 8 ochA + H= 8 ger M = H

M + A= 8 ochM + T= 13 ger T = A + 5

21 a) Lösning saknas då k = –0,5.

b) k ≠ –0,5 c) k > –1/3 Ledtråd:

Då k = –1/3 hamnar skärningspunkten på x-axeln.

d) h(a) = 1 Ledtråd:

a = 2 e) 0 < x < 1,5 22 8 x +8

23 (2a + b)³ = (2a + b)(2a + b)² =

= (2a + b)(4a² + 4ab + b²) Multiplicera parenteserna och förenkla.

24 2 ∙ x ∙ x ∙ (5x + 1)(5x + 1) (2x²(5x + 1)²)

25 a = 324 och b = 175 Ledtråd:

a = 182 och b = 30625 26 a) r + 3b = 106

b) En röd bok kostar 19 kr.

En blå bok kostar 29 kr.

27 a) x betyder antal hg billigt godis.

y betyder antal hg dyrt godis.

b) Den första ekvationen visar att Patrik köper totalt 5 hg godis.

Den andra ekvationen visar att han betalar totalt 30 kr för godiset.

c) Ja, det är möjligt.

Förklaring:

Patrik ska köpa 3,2 hg av det billigare godiset och 1,8 hg av det dyrare godiset.

x y

1 1

2y + x = 6 11 a) y = x + 2

kan skrivas5 y = x5 + 25

Detta är samma ekvation som y = 0,2 x + 0,4

Ekvationerna beskriver alltså samma linje.

b) Oändligt många lösningar.

Alla x och y som uppfyller y = 0,2 x + 0,4

12 a) 17 b) 77 13 x = −2,5

14 x y –1

1

15 A I är större än II Ledtråd:

y x

2 10

3 11 16 − 2

x + 2 17 Lösning:

31² = (30 + 1)² =

= 30² + 2 ∙ 30 ∙ 1 + 1² =

= 900 + 60 + 1 = 961

18 Lösningen är x y m

0 Ledtråd:

Linjerna skär y-axeln i samma punkt.

19 Lösning:

Lösningen till ekvationssystemet

2 1 0

4 4 0

x y

ger att skärningspunkten mellan linjerna är (–0,5; 2)

Vi undersöker om skärnings- punkten (–0,5; 2) ligger på den tredje linjen 8 x + 3 y – 2 = 0 VL =

= 8 ∙ (–0,5) + 3 ∙ 2 – 2 = 0 = HL Alla tre linjerna går genom punkten (–0,5; 2) VSV

Kapitel 2

2102 a) x = ± 4 b) x = ±6 c) x = ±10

d) Ekvationen saknar reell lösning.

Ledtråd:

Inget reellt tal har en negativ kvadrat.

2103 a) x₁ = –5 x₂ = 1 b) x₁ = 1 x₂ = 3 c) x₁ = 0 x₂ = 7 d) x₁ = 0 x₂ = –3 2104 a) x₁ = 0 x₂ = –8

Ledtråd:

Bryt ut x och använd nollproduktmetoden.

b) x₁ = 0 x₂ = –7 c) x₁ = 0 x₂ = 5 d) x₁ = 0 x₂ = 10 2105 a) x = ± 283 ≈ ±3,06

b) x₁ = 0 x₂ = 35 = 0,6 Ledtråd:

x = 0 och 3 – 5 x = 0 c) x₁ = 0 x₂ = 1/3 d) x = ± 11 ≈ ±3,32 2106 a) x₁ = 7 x₂ = –13

b) x₁ = 12 x₂ = 6 c) x₁ = 6 x₂ = –8 2107 För att produkten av två

parenteser ska vara noll måste den första eller andra parentesen vara noll

a) x = 5 är en rot då det ger att första parentesen är noll.

x = –3 är en rot då det ger att andra parentesen är noll.

b) Båda parenteserna är noll om x = 2, dvs. ekvationen har endast en lösning, x = 2.

32 Lösning:

Ledvis addition av de två första ekvationerna ger

2 x + 2z = 12 som kan skrivas x + z = 6

Den tredje ekvationen 3 x + 3z = 20 kan skrivas x + z = 20/3

x + z kan inte vara lika med både 6 och 20/3.

Detta innebär att ekvationssystemet saknar lösning.

33 1: För alla värden på b och a ≠ –3 2: För a = –3 och b ≠ 2 3: För a = –3 och b = 2 34 a) x

y

1 5 b) x

y

1 5

c) Skärningspunkten är densamma.

d) Skärningspunkten mellan två linjer på formen a x + y + a – 5 = 0 är alltid (–1, 5).

e) Ekvationen a x + y + a – 5 = 0 kan skrivas y = –a( x + 1) + 5 Då x = –1 är y = 5 oberoende av värdet på a.

2108 a) x₁= 0 x₂ = 15 = 0,2 b) x = ± 5

c) x₁ = –5 + 2 x₂ = –5 – 2 d) x₁ = 7

3 x₂ = – 5 7 2109 a) T.ex. x² = 4 eller

(x – 2)(x + 2) = 0 b) T.ex. x(x – 12) = 0 eller

x² – 12 x = 0

c) T.ex. (x – 4)(x – 5) = 0 d) T.ex. (x + 1)(x – 3) = 0 2110 Ekvationerna A, D och E.

Kommentar:

Boch Cär ekvationer av första graden. F är en tredjegradsekvation.

2111 a) x = ± 4 Ledtråd:

Ekvationen kan skrivas 4x² = 64

b) x₁ = 0 x₂ = 1 c) x = ± 1 5, ≈ ±1,22 d) x₁ = 0 x₂ = 1,5 2112 Roger har rätt.

Andragradsekvationer kan ha två rötter som är lika. Hans första exempel är korrekt, men det andra exemplet är felaktigt.

Motivering:

x² = 5 x x² – 5 x = 0 x( x – 5) = 0 x₁ = 0 x₂ = 5

Ekvationen har två olika rötter.

Facit.indd 12-13

Facit.indd 12-13 2022-01-11 16:25:202022-01-11 16:25:20

SVAR a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken

1

Kapitel 1

SVAR

3 2





5 4

{

}

7 6

9 8

11 10

(

)(

)

(

)

13 12

Kapitel 2