FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal

Christian Forssén, Institutionen för fundamental fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige

Oct 12, 2015

Tentatal 2012-10-23: 6

En punktladdning Q är belägen i ~r = bˆz, och man söker potentialen från denna laddning innanför sfären r = a (med a > b), då randvillkoret är att den elektriska potentialen φ är noll på randen r = a.

• Visa att denna potential fås genom att introducera en fiktiv spegelladdning

−^a_bQ i punkten ~r = ^a_b²z.ˆ

• Ge ett uttryck för den ytladdningsfördelning som induceras på sfären r = a, om man antar att φ = 0 även för r > a.

• Kontrollera att den totala inducerade laddningen på sfären är −Q.

Hint.

• Man kan direkt teckna potentialen som en superposition av potentialer från två punktladdningar, den verkliga i bˆz plus spegelladdningen enligt uppgiften. Glöm inte 1/₀. Kontrollera att denna potential uppfyller randvilloret.

• Men det är en nyttig övning att gå hela vägen från Greensfunktionen (inklusive spegelladdning) och utföra volymsintegralen över sfären, där

laddningstätheten ges av en deltafunktion ρ(~r⁰) = Qδ³(~r⁰− bˆz).

• Ytladdningsfördelningen ges av 0r ·ˆ  ~E⁺− ~E⁻ 

_r=a, där det elektriska fältet är ~E = −∇φ.

• Totala inducerade laddningen på ytan fås genom att integrera över sfärens yta.

Answer. Ytladdningsfördelningen blir σ = −Q

4π

a²− b²

a (a²+ b²− 2ab cos θ)^3/2

Notera gärna att enheten blir lika med laddning per areaenhet, precis som den skall.

Solution. Potentialen kan vi egentligen teckna direkt; dvs utan att skriva ner Greensfunktionen och utföra integralen. Med två punktladdningar på z-axeln, enligt uppgiften, och avstånd till dessa som fås med cosinussatsen (se figur nedan), blir potentialen lika med (glöm inte 1/₀)

φ(~r) = Q 4π₀





√ 1

r²+ b²− 2br cos θ −a b

1 q

r²+^a_b⁴₂ − 2^a_b²r cos θ



.

Men för att vara noggranna räknar vi ut ovanstående med hjälp av Greens- funktioner. Enligt uppgiftstexten skall spegelladdningar införas så att för en punktladdning i punkten ~r⁰ skall det finnas en spegelladdning med styrkan

−a/r⁰ i punkten ~r⁰⁰, där ~r⁰⁰= _(r^a0²)²~r⁰. Greensfunktionen blir alltså

G(~r, ~r⁰) = 1

4π|~r − ~r⁰| − a r⁰

1 4π|~r − ~r⁰⁰|, och den slutliga lösningen fås genom att integrera

φ(~r) = 1

₀ Z

V⁰

dV⁰ρ(~r⁰)G(~r, ~r⁰),

där volymen V⁰ alltså är sfären och laddningsfördelningen i vårt fall är en punktladdning med styrkan Q i punkten bˆz, dvs

ρ(~r⁰) = Qδ³(~r⁰− bˆz).

Integralen blir

φ(~r) = 1

0

Z

V⁰

dV⁰ρ(~r⁰)G(~r, ~r⁰) = Q 4π0

"

1

|~r − bˆz|−a b

1 ~r −^a_b²zˆ

# ,

där vi använt att ~r⁰⁰= ^a_b²z när ~ˆ r⁰ = bˆz.

2

~r bˆz a²z/bˆ

Q

−aQ/b

θ a

Avstånden (streckade linjer i figuren) blir

|~r − bˆz| =p

r²+ b²− 2br cos θ 

~ r − a²

b zˆ    

= r

r²+a⁴ b² − 2a²

b r cos θ (1)

och lösningen är alltså

φ(~r) = Q 4π₀





√ 1

r²+ b²− 2br cos θ −a b

1 q

r²+^a_b⁴₂ − 2^a_b²r cos θ



.

Vid radien r = a kan vi skriva den andra termens nämnare qa²

b²(b²+ a²− 2ab cos θ).

Notera därför att denna lösning uppfyller det givna randvillkoret φ = 0 på sfärens yta r = a.

Ytladdningsfördelningen ges av 0r ·ˆ  ~E⁺− ~E⁻ 

_r=a. Eftersom potentialen var noll utanför sfären blir σ = −0Er−. Vi behöver alltså den radiella kompo- nenten av det elektriska fältet

E_r(~r) = −∂φ

∂r = Q 4π0

"

r − b cos θ

(r²+ b²− 2br cos θ)^3/2 −a b

r −^a_b²cos θ (r²+^a_b⁴₂ − 2^a_b²r cos θ)^3/2

# .

Vid radien r = a får vi

E_r|_r=a= Q 4π0

a²− b²

a(a²+ b²− 2ab cos θ)^3/2. Alltså får vi ytladdningen

σ = −0Er|_r=a= −Q 4π

a²− b²

a (a²+ b²− 2ab cos θ)^3/2. 3

Den totala laddningen på sfärens yta (dS = a²sin θdϕdθ) fås nu genom att integrera

Q⁰ = Z

r=a

σdS = −Q 4π

a²− b² a

Z 2π ϕ=0

a²dϕ Z π

θ=0

sin θdθ

(a²+ b²− 2ab cos θ)^3/2

=

 cos θ = t ⇒ dt = − sin θdθ θ ∈ [0, π] ⇒ t ∈ [1, −1]



= −Q

2(a²− b²)a Z 1

−1

dt

(a²+ b²− 2abt)^3/2

= −Q

2(a²− b²)a

"

1 ab

1

(a²+ b²− 2abt)^1/2

#1

−1

= −Q 2

(a²− b²) b

 1

a − b− 1 a + b



= −Q 2

(a²− b²) b

a + b − (a − b)

a²− b² = −Q. (2)

Remarks. Uppgiften illustrerar speglingsmetoden för att lösa Poissons ekva- tion i specifika geometrier. Notera speciellt hur den införda speglingsladdningen ligger utanför det relevanta området, men ändå ger ett bidrag till fältet. Po- tentialen kan tecknas direkt utifrån uppgiften, men det kan vara en god idé att faktiskt skriva ner Greensfunktionen och utföra volymsintegralen med en laddningsfördelning som motsvarar en punktladdning i punkten bˆz.

4