Kapitel 1

(1)

Kapitel 1

1116. a) ^!_!−^!!_! +^!!_! −^!!_! +^!!_! =!!!!!!!!!!!!!

! =^!!_!

b) ^!!_! =^!∙!"_! = 40 c) ^!!_! =^!_!∙ −_!"^! = −^!_! 1117. ^!!!!

! −^!!!!

! =^{!!!!! !!!!}

! =^!!!!!!!!!

! = ^!

!

1118. a) 𝑥 =^!_! 2𝑥 + 9 + 13 + 𝑥 + 3 𝑥 − 8 + 2 1 + 𝑥 = ^!_!8𝑥 = 2𝑥 b) 𝑥 = 2 ∙ 9.5 = 19 c) 𝑥 = −2 ∙^!

!= −^!

!

1119. a) 3 12 + 3 = 3 12 + 3 3 = 3 ∙ 12 + 3 = 36 + 3 = 9 b) 2 8 − 18 = 2 8 − 2 18 = 16 − 36 = 4 − 6 = −2

1120. 1 + 𝑥 2 − 𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥^! 1 − 𝑥 = 1 + 𝑥^! 2 − 𝑥 − 𝑥^! 1 − 𝑥 =

= 1 + 2𝑥^! − 𝑥^! − 𝑥^!− 𝑥^! = 1 + 𝑥^! > 0 1140. b)

!!!!

! −^!!!!_! = 1 −^!!!_! förläng med 30 30 ∙6𝑦 − 2

5 − 30 ∙4𝑦 − 2

3 = 30 ∙ 1 −8 + 𝑦 6 ∙ 6𝑦 − 2 − 10 ∙ 4𝑦 − 2 = 30 − 5 8 + 𝑦 6 36𝑦 − 12 − 40𝑦 − 20 = 30 − 40 + 5𝑦 36𝑦 − 12 − 40𝑦 + 20 = 30 − 40 − 5𝑦 8 − 4𝑦 = −10 − 5𝑦

𝑦 = −18

1142.

𝐽 = 2 ∙ 𝐸 𝑀 = 𝐽 + 4

𝐸 + 𝐽 + 𝑀 = 64⇒ 𝐽 = 2 ∙ 𝐸 𝑀 = 2𝐸 + 4 𝐸 + 2𝐸 + 2𝐸 + 4 = 64

⇒ 5𝐸 = 60 ⇒ 𝑀 = 28 år

1143. _!!!!^!!! =^!_! ⇒_{! !!!}^!!! =^!_! gäller för alla x utom 𝑥 = −2.

1144. a) ^!_!=_!!!^! ⇒ 𝑥 − 1 = 12 ⇒ 𝑥 = 13 b) _!!!^! = _!!!^! ⇒ 3 𝑥 + 1 = 2 𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 = −7

1145. _!"!!^! = 0.02 ⇒ 𝑥 = 0.5 + 0.02𝑥 ⇒ 0.98𝑥 = 0.5 ⇒ 𝑥 = ^!.!

!.!"≈ 5.1 dl 1146. ^!_!=_!!!^! _! ⇒ 3 − 𝑥^! = 12 ⇒ 𝑥^! = −9 dvs inga reella rötter.

(2)

1213. 3 − 𝑥 − 7 2𝑥 + 6 = 3 − 2𝑥^!+ 6𝑥 − 14𝑥 − 42 =

= 3 − 2𝑥^!− 6𝑥 + 14𝑥 + 42 = 45 + 8𝑥 − 2𝑥^!

1214. 𝑥 + 𝑦 + 2 3 + 𝑥 − 𝑥 − 𝑦 −3 − 𝑥 = 𝑥 + 𝑦 + 2 3 + 𝑥 + 𝑥 − 𝑦 3 + 𝑥 =

= 𝑥 + 𝑦 + 2 + 𝑥 − 𝑦 3 + 𝑥 = 2 + 2𝑥 3 + 𝑥 = 6 + 8𝑥 + 2𝑥^! 1215. Kalla sidorna x, y, u och z analogt med problem 1212. Då gäller:

𝑥𝑦 = 117 𝑢𝑦 = 135 𝑥𝑧 = 156

⇒ 𝑢𝑧 =135 𝑦 ∙156

𝑥 = 135 ∙ 156

117 = 180 m^!

1228. a) 𝑥 + ℎ ^!− 𝑥 − ℎ ^! = 𝑥^! + 3𝑥^!ℎ + 3𝑥ℎ^!+ ℎ^!− 𝑥^!− 3𝑥^!ℎ + 3𝑥ℎ^!− ℎ^! =

= 𝑥^!+ 3𝑥^!ℎ + 3𝑥ℎ^!+ ℎ^!− 𝑥^!+ 3𝑥^!ℎ − 3𝑥ℎ^!+ ℎ^! = 6𝑥^!ℎ + 2ℎ^! b) 𝑥 + 2 ^!− 𝑥 + 2 ^!− 𝑥 − 2 =

= 𝑥^!+ 3𝑥^!2 + 3𝑥2^!+ 2^!− 𝑥^! + 4𝑥 + 4 − 𝑥 − 2 =

= 𝑥^!+ 6𝑥^!+ 12𝑥 + 8 − 𝑥^!− 4𝑥 − 4 − 𝑥 + 2 =

= 𝑥^!+ 5𝑥^!+ 7𝑥 + 6

1229 a) 2𝑥 + 4.5𝑥 ^! = 2𝑥 + 2 2𝑥 4.5𝑥 + 4.5𝑥 = 6.5𝑥 + 2 ∙ 3𝑥 = 12.5𝑥 b) 20𝑥 − 𝑥 5𝑥 ^! = 20𝑥 − 2 20𝑥 ∙ 𝑥 5𝑥 + 𝑥^!5𝑥 = 20𝑥 − 2𝑥10𝑥 + 𝑥^!5𝑥 =

= 20𝑥 − 20𝑥^!+ 5𝑥^!

c) 5^!!− 5^{!.!! !} = 5^!!− 2 ∙ 5^!!5^!.!!+ 5^! = 5^!!− 2 ∙ 5^!.!!+ 5^! d) ^!!!_! ^!− ^!!!_! ^! = ^!^!^!!!!!_! −^!^!^!!!!!_! =^!^!^!!!!!!!_! ^!^!!!!! = 𝑎

1230. Hela den stora kvadraten = 4 gula plus den röda. Eller matematiskt uttryckt:

𝑐^! = 4𝑎𝑏

2 + (𝑎 − 𝑏)^! = 2𝑎𝑏 + 𝑎^!− 2𝑎𝑏 + 𝑏^! = 𝑎^!+ 𝑏^! 1243.

𝑎 − 𝑏 = 5

𝑎^!− 𝑏^! = 195⇒ 𝑎 − 𝑏 = 5

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 195 ⇒

𝑎 − 𝑏 = 5

𝑎 + 𝑏 5 = 195 ⇒ 𝑎 − 𝑏 = 5 𝑎 + 𝑏 = 39

⇒ 𝑎 = 22 𝑏 = 17

1254. 𝑥 + 3 ^!+ 8 3 − 𝑥 ^! = 43 − 5 + 3𝑥 5 − 3𝑥 𝑥^!+ 6𝑥 + 9 + 8 9 − 6𝑥 + 𝑥^! = 43 − 25 − 9𝑥^! 𝑥^!+ 6𝑥 + 9 + 72 − 48𝑥 + 8𝑥^! = 43 − 25 + 9𝑥^! 9𝑥^!+ 81 − 42𝑥 = 18 + 9𝑥^! ⇒ 63 = 42𝑥 ⇒ 𝑥 =63

42=3

2= 1.5 1255. 3𝑥 + 4 ^!− 4 − 3𝑥 ^! = 2𝑥 + 3 ^!− 3 − 2𝑥 ^!

9𝑥^!+ 24𝑥 + 16 − 16 − 24𝑥 + 9𝑥^! = 4𝑥^!+ 12𝑥 + 9 − 4𝑥^!− 12𝑥 + 9 48𝑥 = 24𝑥 ⇒ 𝑥 = 0

(3)

1256. 𝑥^!+ 𝑥 + 19 = 𝑥 + 3 ^! = 𝑥^!+ 6𝑥 + 9 ⇒ 5𝑥 = 10 ⇒ 𝑥 = 2

1257. 5^!+ 𝑥^! = 10 − 𝑥 ^! = 100 − 20𝑥 + 𝑥^! ⇒ 20𝑥 = 75 ⇒ 𝑥 =^!"_! = 3.75 cm 1258. a) 14^!+ 35 − 𝑥 ^! = 35 + 𝑥 ^! ⇒ 196 − 70𝑥 = 70𝑥 ⇒ 𝑥 =^!"#_!"#=!"∙!"

!"∙!"= 1.4 cm Svar: Konens höjd är 33.6 cm

b) 𝑉_!"# =^!!

! = ^!!.!

! 𝜋14^! ≈ 7 liter

1312. Fall 1: 15 är en katet och 4x är hypotenusa.

15^!+ 4𝑥^! = 16𝑥^! ⇒ 12𝑥^! = 225 ⇒ 𝑥 = 225

12 ≈ 4.3 cm Svar: 2x= 8.7 cm

Fall 2: 4x är en katet och 15 är hypotenusa.

15^! = 4𝑥^!+ 16𝑥^! ⇒ 20𝑥^! = 225 ⇒ 𝑥 = 225

20 ≈ 3.4 cm Svar: 2x= 6.7 cm

1313. a) ^!_!= ^!"_! ⇒ 𝑥^! = 81 ⇒ 𝑥 = ±9

b) 3𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 − 3 + 10 = 𝑥 − 9 + 10 = 𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 0.5 1314. ^!!!!_!!! =^!!!_! ⇒ 3𝑥 − 2 𝑥 = 𝑥 − 1 ^! ⇒

3𝑥^!− 2𝑥 = 𝑥^!− 2𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥^! = 1 ⇒ 𝑥^! =1

2⇒ 𝑥 = ± 1

2= ± 0.5 1315. 𝑥 + 𝑎 ^! = 2𝑎 − 3𝑥 ^! ⇒ 𝑥 + 𝑎 = 2𝑎 − 3𝑥𝑥 + 𝑎 = −2𝑎 + 3𝑥 ⇒ 4𝑥 = 𝑎2𝑥 = 3𝑎

⇒

𝑥_! = 𝑎

4= 0.25𝑎 𝑥_! = 3𝑎

2 = 1.5𝑎

1316. 𝑥 − 𝑎 ^! = 16 ⇒ 𝑥 − 𝑎 = ±4 ⇒ 𝑥_! = 𝑎 + 4 𝑥_! = 𝑎 − 4 ⇒

6 = 𝑎 + 4 𝑥_! = 𝑎 − 4 ⇒

𝑎 = 2 𝑥_! = −2 Svaret i bokens facit är underligt.

1322. 𝑥 + 6 ^!+ 𝑥^! = 20^! ⇒ 𝑥^!+ 12𝑥 + 36 + 𝑥^! = 400 ⇒ 2𝑥^!+ 12𝑥 − 364 = 0 ⇒ 𝑥^!+ 6𝑥 − 182 = 0 ⇒ 𝑥 = −3 ± 9 + 182 ≈ −3 ± 13.8 = 10.8 cm

𝐴_△ =10.8 10.8 + 6

2 ≈ 91 cm^!

1323. 𝑦^!− 10𝑦^!+ 9 = 0 ⇒ 𝑦^! = 5 ± 25 − 9 = 5 ± 4 = 𝑦_!^! = 9

𝑦_!^! = 1⇒ 𝑦_! = ±3 𝑦_! = ±1 1338. 𝑥 + 1 𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥^!− 3𝑥 + 𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥^!− 2𝑥 − 3 = 0

(4)

1339. 1.2 = 0.0001𝑥^!− 0.016𝑥 + 1.34 ⇒ 0.0001𝑥^!− 0.016𝑥 + 0.14 = 0 ⇒ 𝑥^!− 160𝑥 + 1400 = 0 ⇒ 𝑥 = 80 ± 80^!− 1400 ≈ 150 km/h

1340. a) 𝑥^!− 13𝑥^!+ 36 = 0 ⇒ 𝑥^! = 6.5 ± 6.5^!− 36 = 6.5 ± 2.5 = 9 4⇒ 𝑥^! = 94⇒ 𝑥 = ±3±2

b) 𝑥 − 5 𝑥 + 4 = 0 ⇒ 𝑥 = 2.5 ± 2.5^!− 4 = 41⇒ 𝑥 = 161 1341. a) 𝑎𝑥^!+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑥^!+_!^!𝑥 +_!^! = 0 ⇒ 𝑝 =^!_! och 𝑞 =^!_! b) 𝑥 = −^!_!± ^!_! ^!− 𝑞 = −_!!^! ± _!!^! ^!−_!^! = −_!!^! ± _!!^!^!_!−^!!"_!!_! 𝑥 = −_!!^! ± ^!^!_!!^!!!"_! = ^{!!± !}_!!^!^!!!" VSB

1352. a) 𝑎 = 5 ∙ 6, 𝑏 = −11 ⇒ 𝑥^!− 11𝑥 + 30 = 0

b)

𝑟_! = −^!_!+ ^!_!^!− 𝑞 𝑟_! = −^!_!− ^!_!^!− 𝑞

⇒

𝑟_!+ 𝑟_! = −^!_!+ ^!_!^!− 𝑞 −^!_!− ^!_!^!− 𝑞 𝑟_!𝑟_! = −^!_!+ ^!_!^!− 𝑞 −^!_!− ^!_!^!− 𝑞 𝑟_!+ 𝑟_! = −𝑝

𝑟_!𝑟_! = 𝑝^!

4 − 𝑝^!

4 − 𝑞 = 𝑞 1362. a)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

𝑖^! i -1 -i 1 i -1 -i 1 i -1 -i 1

b) 𝑖^! = 1 när n är delbart med 4.

c) 𝑖^!"+ 𝑖!""# = 𝑖^!"!!+ 𝑖!"""!! = 𝑖^!+ 𝑖^! = −𝑖 + 𝑖 = 0 1363.

2𝑧^!+ 2 4 − 2𝑖 𝑧 − 16𝑖 = 0 ⇒ 𝑧^!+ 4 − 2𝑖 𝑧 − 8𝑖 = 0 𝑧 = −4 − 2𝑖

2 ± 4 − 2𝑖 2

!

+ 8𝑖 = 𝑖 − 2 ± 16 − 16𝑖 − 4

4 + 8𝑖 =

= 𝑖 − 2 ± 3 − 4𝑖 + 8𝑖 = 𝑖 − 2 ± 3 + 4𝑖 = 𝑖 − 2 ± 2 + 𝑖 = 2𝑖

−4 1364. 𝑧_! = −^!_!+ ^!_!^!− 𝑞, 𝑧_! = −^!_!− ^!_!^!− 𝑞 , 𝑧_! + 𝑧_! = −𝑝 = 12, 𝑧_! = 𝑎 + 𝑏𝑖 och 𝑧_! = 𝑎 − 𝑏𝑖 ⇒ 𝑧_! + 𝑧_! = 2𝑎 = 12 ⇒ 𝑎 = 6

Då rötterna är komplexa måste:

𝑝^!

4 − 𝑞 < 0 ⇒12^!

4 − 𝑞 < 0 ⇒ 36 − 𝑞 < 0 ⇒ 𝑞 > 36

(5)

1370. a) 3 − 𝑥 = −𝑥 − 9 ⇒ 3 − 𝑥 = 𝑥^!+ 18𝑥 + 81

⇒ 𝑥^!+ 19𝑥 + 78 = 0 ⇒ 𝑥 = −9.5 ± 9.5^!− 78 = −9.5 ± 3.5 = 𝑥_! = −6 𝑥_! = −13 Test: 3 − −6 = − −6 − 9

3 − −13 = − −13 − 9⇒ 9 = −3 NEJ, falsk rot!

16 = 4 Stämmer!

b) 𝑥^!+ 20𝑥 + 70 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑥^!+ 20𝑥 + 70 = 𝑥^!+ 4𝑥 + 4 ⇒

⇒ 20𝑥 + 70 = 4𝑥 + 4 ⇒ 20𝑥 + 70 = 16𝑥^!+ 32𝑥 + 16 ⇒

⇒ 16𝑥^!+ 12𝑥 − 54 = 0 ⇒ 𝑥^!+3

4𝑥 −27

8 = 0 ⇒ 𝑥 = −3

8± 3 8

!

+27 8

⇒ 𝑥 = −3

8± 225

64 = −3 ± 15

8 = 𝑥_! =3

2 Riktig rot!

𝑥_! = −9

4falsk rot.

1371. A. 2𝑥 + 5 = 𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 + 5 = 𝑥^!+ 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 = ±2 men − 2 är en falsk rot.

B. 2𝑥 + 5 = − 𝑥 + 1 ⇒ Bara 𝑥 = −2 är lösning.

C. 2𝑥 + 5 = 𝑥 + 1 ^! ⇒ 𝑥 = ±2 båda är riktiga rötter.

1381.

a) 6000 = 1200 + 𝑥 + 0.05𝑥^! ⇒ 𝑥^!+ 20𝑥 − 96000 = 0 ⇒ 𝑥 = −10 ± 100 + 96000 = 300 st (den negativa roten stryks) b) 22𝑥 = 1200 + 𝑥 + 0.05𝑥^! ⇒ 𝑥^!− 420𝑥 + 24000 = 0

𝑥 = 210 ± 210^!− 24000 = 68 flaskor352 (utanför definitionsmängden)

1382.

𝑎 + 𝑏 = 51

𝑎𝑏 = 144⇒ 𝑎 +144

𝑎 = 51 ⇒ 𝑎^!− 51𝑎 + 144 = 0 ⇒ 𝑎 = 25.5 ± 25.5^! − 144 𝑎 = 25.5 ± 22.5 = 483 ⇒ 𝑎_! = 48

𝑏_! = 3 eller

𝑎_! = 3 𝑏_! = 48

1383. ℎ = 𝑟 + 16, 105 = 2𝜋𝑟^!+ 2𝜋𝑟 𝑟 + 16 = 2𝜋𝑟^!+ 2𝜋𝑟^!+ 2𝜋𝑟16 ⇒ 4𝜋𝑟^!+ 2𝜋𝑟16 − 105 = 0 ⇒ 𝑟^!+2𝜋16

4𝜋 𝑟 −105

4𝜋 = 0 ⇒ 𝑟^! + 8𝑟 −105

4𝜋 = 0 ⇒

(6)

𝑟 = −4 ± 16 +105

4𝜋 = 9.4 mm

1384. Den lilla delen, 1-x, förhåller sig till den stora som den stora till det hela.

1 − 𝑥 𝑥 = 𝑥

1⇒ 1 − 𝑥 = 𝑥^! ⇒ 𝑥^!+ 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1

2± 1 2

!

+ 1

⇒ 𝑥 = −1

2± 1 + 4

4 = ignorera den negativa lösningen = 5 − 1 2 1412. a) 𝑥^!− 81𝑥 = 𝑥 𝑥^!− 81 = 𝑥 𝑥 + 9 𝑥 − 9

b) 4 𝑥 + 2 𝑥 + 7 − 8 𝑥 + 2 2𝑥 + 3 = 4 𝑥 + 2 𝑥 + 7 − 2 2𝑥 + 3 = = 4 𝑥 + 2 𝑥 + 7 − 4𝑥 − 6 = 4 𝑥 + 2 1 − 3𝑥

c) 𝑥 + 3 ^!− 9𝑦^! = 𝑥 + 3 − 3𝑦 𝑥 + 3 + 3𝑦 d) 𝑏^!!− 𝑏^! = 𝑏^! 𝑏^!!− 1 = 𝑏^! 𝑏^!+ 1 𝑏^!− 1

1424. 𝑥^!+ 𝑎 = 0 ⇒ 𝑥 + 7 𝑥 − 7 = 𝑥^!− 49 ⇒ 𝑎 = −49

1425. 𝑥^!"− 1 = 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"− 1 = 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"− 1 =

= 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"− 1 = 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"− 1 =

= 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"+ 1 𝑥^!"+ 1 𝑥^!+ 1 𝑥^!− 1

1439. 𝑧^!− 𝑧𝑎^! = 𝑧 𝑧^!− 𝑎^! = 𝑧 𝑧^!+ 𝑎^! 𝑧^!− 𝑎^! = 𝑧 𝑧^!+ 𝑎^! 𝑧 + 𝑎 𝑧 − 𝑎

= 𝑧 𝑧^!+ 49 𝑧 + 7 𝑧 − 7 ⇒ 𝑧 = 0, 𝑧 = ±7 och 𝑧 = ±7𝑖

1440. 𝑓 3 = 3𝑎 3 + 𝑎 = 12 ⇒ 𝑎^!+ 3𝑎 − 4 = 0 ⇒ 𝑎 = −1.5 ± 2.25 + 4 = −41 𝑓 𝑥 = −4𝑥 𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥_! = 0, 𝑥_! = 4

𝑥 𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥_! = 0, 𝑥_! = −1

Blandade uppgifter i kapitel 1

32. 𝑥 − 2 𝑥^!− 81 = 𝑥 − 2 𝑥^!+ 9 𝑥^!− 9 = 𝑥 − 2 𝑥^!+ 9 𝑥^!+ 3 𝑥^!− 3 ⇒ 𝑥_!𝑥_!𝑥_! = 2 − 3 3 = −6

33. Standard: 𝑥^!+ ^!_! ^!𝑥^! = 28^! ⇒^!"_! 𝑥^! = 28^! ⇒ 𝑥 = ^!∙!"_!"^!⇒ 𝐴 =^!_!^!∙!"_!"^! ≈ 376 tum^!

Bredbild: 𝑦^!+ ^!"_! ^!𝑦^! = 28^! ⇒^!!"_!" 𝑦^! = 28^! ⇒ 𝑦 = !"∙!"^!

!!" ⇒ 𝐴 =^!"_! !"∙!"^!

!!" ≈ 335 tum^!

(7)

34. a) 𝑥 ∙ 1.25𝑥 = 𝑥 + 1.25𝑥 ⇒ 𝑥 ∙ 1.25 = 2.25 ⇒ 𝑥 = 1.8 och 2.25 b) 4𝑥 ∙ 5𝑥 = 2𝑥 ∙ 3𝑥 + 4046 ⇒ 14𝑥^! = 4046 ⇒ 𝑥 = 17

Talen är: 34, 51, 68, 85 dvs summan är 238.

35. 𝑥 32 − 𝑥 + 𝑥 + 2 30 − 𝑥 = 510

32𝑥 − 𝑥^!− 𝑥^!+ 28𝑥 + 60 = 510 ⇒ 𝑥^!− 30𝑥 + 225 = 0 𝑥 = 15 ± 15^!− 225 = 15 cm

36. 𝑥 + 1 ^! = 𝑥^!+ 1 ⇒ 𝑥^! + 3𝑥^! + 3𝑥 + 1 = 𝑥^!+ 1 ⇒ 3𝑥 𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥_! = 0, 𝑥_! = −1

37. 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 4 = 𝑎 𝑥 − 2 ⇒ 𝑥^!− 4𝑥 + 𝑎𝑥 − 4𝑎 = 𝑎𝑥 − 2𝑎 ⇒ 𝑥^!− 4𝑥 − 2𝑎 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 ± 4 + 2𝑎 ⇒ 𝑎 = −2 ger dubbelrot

38. 𝑥 + 2 + 3𝑦 ^!− 𝑥 + 3𝑦 ^! = 𝑥 + 2 + 3𝑦 + 𝑥 + 3𝑦 𝑥 + 2 + 3𝑦 − 𝑥 + 3𝑦 = = 2𝑥 + 2 + 6𝑦 𝑥 + 2 + 3𝑦 − 𝑥 − 3𝑦 = 2 𝑥 + 1 + 3𝑦 2 Är jämnt delbart med 4 om x och y är hela tal.

40. 𝑎𝑥^!+ 25𝑎 = 3𝑥 ⇒ 𝑥^!−^!_!3𝑥 + 25 = 0 ⇒ 𝑥 =_!!^! ± _!!^!_!− 25 ⇒_!!^!_!− 25 < 0

⇒ 9

4𝑎^! < 25 ⇒ 9

100< 𝑎^! ⇒ 3

10< 𝑎

42. 𝑥^!− 15𝑎𝑥 + 9 = 0 ⇒ 𝑥 = 7.5𝑎 ± 7.5𝑎 ^!− 9 ⇒ 7.5𝑎 ^!− 9 > 0 ⇒ 7.5𝑎 ^! > 9 ⇒ 𝑎^! > 0.16 ⇒ 𝑎 > 0.4

43. 𝑥^!− 2𝑥 ^!/! = 𝑥^!− 2𝑥 = −5 ⇒ 𝑥^! − 2𝑥 + 5 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 ± 1 − 5 ⇒ 𝑥 = 1 ± −4 = 1 ± 2𝑖 ⇒ 1 + 2𝑖 ^!+ 1 − 2𝑖 ^! = 1 + 4𝑖 − 4 + 1 − 4𝑖 − 4 =

= 1 − 4 + 1 − 4 = −6 44. 𝑥_!^!+ 𝑥_!^! = 45 och _!^!

!+_!^!

! = ^!_!^!^!!^!

!!! =^!_!⇒ 4 𝑥_! + 𝑥_! = 2𝑥_!𝑥_! ⇒ 𝑥_!^!+ 𝑥_!^!+ 2𝑥_!𝑥_! = 45 + 4 𝑥_!+ 𝑥_! ⇒ 𝑥_!+ 𝑥_! ^! = 45 + 4 𝑥_!+ 𝑥_!

⇒ −𝑝 ^! = 45 + 4 −𝑝 ⇒ 𝑝^! + 4𝑝 − 45 = 0 ⇒ 𝑝 = −2 ± 4 + 45

⇒ 𝑝 = −2 ± 7 = 5

−9 och −4𝑝 = se uppgift 1352 = 2𝑞 ⇒ 𝑞 = −2𝑝 = −10 𝑥^!+ 5𝑥 − 10 = 0 eller 𝑥^!− 9𝑥 + 18 = 0 18

45. Kalle får 1 ± 3 med 𝑞_!"# ⇒ 𝑝_!ä!! = −2 Pelle får −1 ∓ 2 med 𝑝_!"#.

Använder vi Pelles svar för att hitta 𝑞_!ä!! fås:

4 = −2 2

!

− 𝑞_!ä!! ⇒ 𝑞_!ä!! = −3 Svar: 𝑥^!− 2𝑥 − 3 = 0