grunderna för läran om Linier

J L & - » I B • &

T • 1

G E O M E T R I E N ,

innefattande

grunderna för läran om Linier

Ytor (Planimetri och Landtmäteri) samt

solida Figurer (Stereo metri)

utgörande

en n y bearbetning: a f C h r . W o l f f s Anfangs- griinde aller mathematischen Wissenschaften

1 T L I I A b s c h n . Utgifven

a f

C. J . L . A t M Q V I S T

R e k t o r , lärare i N y a E l e m e n t a r s k o l a n i S t o c k h o l m .

T r y c k t h o s Johan Hörberg, 1 8 5 3 .

I N N E H Å L L

Inledning, förberedande bestämningar S i d . 1 .

B O K . I . Om Linier 9 . B O K . I I . Om Ytor 6 0 . B O K . I I I . Om Solider 1 0 0 .

Tillägg. Formler 1 1 9 .

F Ö R E T A L .

eilan Direktionen öfver Nya Elementarskolan i Stockholm funnit Euclidis Elementa mindre tjen- liga alt nyttjas vid första undervisningen i Geo- metri för barn emellan tio och tretton år, så an- befalldes jag att göra en bearbetning af den be- römde C hr. JVolffs lärobok i detta ämne. Blitt arbete skiljer sig ifrån den svenska förtjenstfulla öf- versättning deraf, som förut af C. Stridsberg och N. G. af Schidtén blifvit besörjd, hufvudsakligen i början, hvilken är så litet efter f Volff , att jag snarare kunde kalla den ett eget arbete. I det ofriga torde man ock finna få ställen, som utgö- ra en blott of v ersättning. Orsaken till förändrin- garne är, utom min öfuertygelse att åtskilliga ställen fordrade förbättring, också den omstän-

tri*: befinna sig i sammanhang med lians öfriga mathematiska läroskrifter, och omedelbart efter-

författaren kunde citera åtskilligt derur, eller

anse det som kändt$ hvilket deremot icke kunde

ske i den svenska bearbetningen. — / afseende på

redaktionsformen har jag ock ansett ledande till

reda, att indela det hela i tre hujvudafdelningar

efter linier, ytor och solida figurer, så att dessa

ämnats grund-olikhet, som i geometrien är den

största, kunde inskärpas hos lärjungen genom sjelf- va föredragets form. Afven har det synts mig bättre, att låta lärostyckena fortgå i en enda oaf- brulen nummerföljd inom hvarje af delning, än att, som TVoljf, hafua olika nummerbeteckning

s ä t z e , hvaribland emellanåt Z n s ä t z c , A n m c r k u n

g e n och A u f g a b c n äfven stå med sina numrov , så att gossen, om ej ock en äldre läsare, löper fara att vid eftersökandet förbryllas. — Åtskilligt

är tillagdt och annat uteslutet. — Huruvida ar- betet vunnit genom alla dessa åtgärder, öfverlem- nas anspråkslöst åt sakkunniges benägna pröfning.

Författarens afsigl har varit att utgifva en bok, som, utan att förutsätta eller stödja sig på Euclides, inom ett inskränkt omfång skulle med- dela all den undervisning om hufvudegenskaper- ne och mätningssätten för linier, ytor och soli- da figurer, som Skolungdom behöfver, och som

äfven kunde bidraga att afhjelpa Allmänhetens

stora brist på kunskap i Mätkonstens grunder: en

kunskap, så högst nödvändig för alla stånd (sjelf-

va allmogen ej undantagen) genom den förmåga

massan af medborgare dymedelst kunde vinna, att

sjelf beräkna sin egendoms vidd, mäta sina land-

stycken , kontrollera sin rätt, och finna storleken

af hvad föremål som helst, utan att behöjva på

god tro bero af andras utsago.

G E O M E T R I .

I

Förberedande bestämningar.

JUvarje t r o p p , s o m finnes t i l l i v e r k l i g h e t e n , l i a r b å d e

längd, bredd

höjd.

tre sätt

a t t v a r a t i l l ( d i m e n s i o n e r — s t r ä c k n i n g a r ) ; så k a n n i a r r d o c k i t a n k a i n e f ö r e s t ä l l a s i g e n , t v å e l l e r a l f a t r e a f d e m b o r t a . O m m a n t ä n k e r s i g n å g o r i l i n g h a f v a e n d a s t l ä n g d o c h b r e d d , m e n

ingen höjd,

f ö l j a k t l i g e n v a r a - u l a n a l l t j o c k l e k , s å b l i r d e t b l o t t e n y t a , s å s o m t . e x . y t a n a f e n b o r d s k i f v a , d e t ö f - v e r s t a a f f ä r g t ä c k n i n g e n p å e n v ä g g o. s . v . T ä n - k e r uia-n s i g å t e r n å g o n t i n g , siom e n d a s t h å r l ä n g d , m e n

hvarken bredd eller höjd,

livarken har längd, bredd eller höjd,

1 .

Punkt

( 2 )

2 .

Linie

5 . Yta d e t , s o m a l l e n a s t h a r l ä n g d o c h b r e d d . 4.

Solid figur

kropp

l j .

Likartade,

L i n i e r äro l i k a r t a d e m e d l i n i e r ; y t o r m e d y t o r ; s o l i d a f i g u r e r m e d s o l i d a figurer.

E n d a s t sådana k u n n a jemföras m e d h v a r a n d r a i a n s e e n d e t i l l s t o r l e k e n . T . e x . Alnar ( s o m h a f v a e n d a s t längd: äro l i n i e r ) k u n n a j e m f ö r a s m e d f a m - n a r , m i l a r , t u m o. s. v . ( h v i l k a äfven äro l i n i e r ) ; så a t t m a n k a n säga hvilka a f d e m ä r o s t ö r r e , o c h hvilka m i n d r e . M e n e t t a n t a l a l n a r k u n n a i c k e så j e m f ö r a s m e d t. e x . y t a n a f e n v ä g g ; e j h e l l e r y t a n a f e n vägg m e d t. e x . s t o r l e k e n a f e n s t e n s i n n e h å l l .

6 .

Likformiga

F ö r a t t t v e n n e s k o l a v a r a l i k f o r m i g a , f o r d r a s s å - l e d e s först o c h f r ä m s t , a t t d e s k o l a v a r a l i k a r t a d e e l l e r a f s a m m a d i m e n s i o n e r .

M a n h a r t. e. t v e n n e t i n g A o c h B , o c h b e t r a k - t a r d e t e n a e f t e r d e t a n d r a . M a n a n m ä r k e r a l l t , l i v a d m a n i a n s e e n d e t i l l figuren v a r s e b l i f v e r h o s A : m a n gör s e d a n d e t s a m m a m e d B . O m m a n n u v i d j e m f ö r e l s e n d e m e m e l l a n f i n n e r a l l a f o r m e r l i k a (så a t t b l o t t storleken ej k o m m e r i b e t r a k t a n - d e , h v i l k e n k a n v a r a o l i k a ) , så k a l l a s A o c h B l i k - f o r m i g a .

( 3 }

A l l t s å t u n n s ' l i k f o r m i g a t i n g ej å t s k i l j a s frän b v a r - a n n u t a n g e n o m s t o r l c k c m O c h d e n n a åtäkillnad k a n e j b e s t ä m m a s u t a n d e r i g c n o m , a l t mun j e m f ö r d e m b e g g e m e d ett tredje. E t t s å d a n t t r e d j e k a l l a s Mått. A n t a g t. c- a t t t v e n n e T a f l o r ä r o l i k f o r m i g a , m e n e j l i k a s t o r a . M a n m ä t e r d e m då m e d e n a l n , o c b finner J e n e n a v a r a i a l n b r e d o c h i ^ a l n l å n g ; m e n d e n a n d r a 2 a l n a r b r e d o c h 3 a l n a r l å n g . S å finner m a n d e r a s å t s k i l l n a d b e s t ä m d t . A l n e n v a r h ä r mättet, h v a r i g e n o m m a n å t s k i l d e d e m .

7 .

Lika stora

F ö r a t t t v e n n e s k o l a v a r a l i k a s t o r a , f o r d r a s o c k a t t d e s k o l a v a r a l i k a r t a d e e l l e r a f s a m m a d i m e n - s i o n e r .

A n t a g f. e. t v e n n e B a n d . M a n m ä t e r d e t e n a o c h f i n n e r d e t v a r a IO a l n a r , d . v. s. i a l n i n n e h å l l e s d e r i io gånger. M a n m ä t e r n u d e t a n d r a , o c h fin- n e r d e t äfven v a r a l o a l n a r . D å ä r o d e b e g g c b a n - d e n t i l l längden * ) lika stora ( d . 5. l i k a l å n g a } , t y alnen i n n e h ö l l s i k v a r d e r a f l i k a många gånger.

M å t t e t s j e l f m å s t e a l l t i d v a r a l i k a r t a d t ( a f s a m - m a d i m e n s i o n e r ) m e d d e m , s o m s k o l a m ä t a s ; m a n k a n i c k e a n n a r s f i n n a , h u r u måttet d e r i s k a l l i n n e - h å l l a s . F ö r a t t mäta l i n i e r ( d , ä. l ä n g d e r ) , måste mättet s j e l f v a r a e n v i s s b e s t ä m d l ä n g d t. e. e n a l n , e n fot. F ö r a t t m ä t a y t o r , , m å s t e mättet v a r a e n v i s s b e s t ä m d y t a ; o c h f o r a t t m ä t a s o l i d a figarer, jnåste m å t t e t v a r a e n v i s s b e s t ä m d s o l i d f i g u r , F r a m -

* ) B a n d e n s iredd t a l a s nu icke o m , u t a n m a n b e t r a k - t a r d e m a l l e n a s t s o m l ä n g d e r .

( 4 J

d c l e s s k a l l o m l a l a s l i u r n de y t o r o c h s o l i d a figurer äro b e s k a f f a d e , s o m n y t t j a s t i l l mått för y t o r o c h s o l i d a figorer.

M e n , u t o m g e n o m m ä t n i n g , k a n m a n på flera a n - d r a s a t t upptäcka o c h m e d säkerhet i n s e , a t t t v e n - n e ä r o l i k a s t o r a ; d . v . s. m a n k a n i n s e , a t t s a m m a s l a g s m å t t i d e m begge måste i n n e h å l l a s l i k a m å n - ga g å n g e r , e h u r u m a n i c k e g e n o m m ä t n i n g u t r ö n e r d e t . D e t t a inträffar i s y n n e r h e t , o m d e begge äro l i k f o r m i g a .

K ä r m a n v i l l b e t e c k n a , a t t t v e n n e äro l i k a s t o r a , så s k r i f v e r m a n d e m e m e l l a n t e c k n e t = ; t. e. 8 = 8 {läs: " 8 är l i k a m e d 8 " ) .

8 .

Förhållande

O m m a n t. e. j e m f ö r 8 a l n a r m e d så säger m a n a t t de inbördes f ö r h å l l a s i g s å , a t t det förra är dubbelt så m y c k e t s o m det sednare,

Samma förhållande

T . c d e n inbördes s t o r l e k e n e m e l l a n 8 a l n a r och, 4 är s å d a n , a t t d e n förra är dubbel e m o t d e n s e d - n a r e . H a r m a n n u o c k t v e n n e a n d r a , n e m l i g e n 12 a l n a r o c h 6 , så är d e r a s i n b ö r d r s s t o r l e k äfven så- d a n , a t t d e n f ö r r a är dubbel e m o t d e n s e d n a r e . D å säger m a n , a t t 8 h a r samma förhållande t i l l 4 , s o m

12 t i l l 6 ; t y de utgöra begge d u b b e l t . L i k a l e d e s b a r 3 s a m m a f ö r h å l l a n d e t i l l i , s o m 6 t i l l 2; t y d e utgöra begge t r e gånger så m y c k e t . N ä r m a n v i l l

( 5 )

t e c k n a s a m m a f ö r h å l l a n d e , så s k r i f v e r m a n 8 : 4

= 1 2 : 6 {läs: " 8 h a r s a m m a f ö r h å l l a n d e t i l l 4 , s o m 12 t i l l 6 " , e l l e r k o r t a r e : " 8 är t i l l 4 , s o m 12 t i l l 6 " ) ; 3 : 1 = 6 : 2 ; äfven 5 : 10 = 12 : 24.

9 . Geometri (Mätkonst) k a l l a s v e t t e n s k a p e n o m L i m e r s , Y t o r s o c h S o l i d e r s *) e g e n s k a p e r i a n s e e n - de t i l l det r u m de u t v i s a .

G e o m e t r i e n består således a f t r e d e l a r ; 1. o m L i n i e r .

2. o m Y t o r . 3. o m S o l i d e r .

o c h a f h a n d l a r d e i h v a r j e d e l f ö r e k o m m a n d e t i n g s å v ä l l i v a r f ö r s i g , s o m j e m f ö r d e m e d h v a r a n n , t i l l likartighet, likformighet, lika storhet o c h i n b ö r d e s förhållanden; s a m t sätten a t t m ä t a d e m .

1 0 . Framställningssättet i G e o m e t r i e n fortgår i e n k e d j a a f s a t t s e r , stödjande o c h u p p l y s a n d e h v a r a n n i ordning, d , v . s. s å , a t t g r u n d e n för h v a r j e satts (såvida d e n behöfver någon g r u n d ) fin- nes framställd före sattsen * * ) , D e s s a s a t t s e r äro a f f l e r a s l a g , n e m l i g e n ;

* ) F ö r a t t u n d v i k a d u b b e l - o r d e t solida figurer n y t t j a r j a g h ä d a n e f t e r Solider såsom s a k o r d ; på s a m m a sätt s o m m a n i l a t i n e t k a n säga Solidum, Solida, de So- lidis o. s.v. substantivé. — D å m a n n u sällan hör t a l a s o m Superficier, u t a n s v e n s k a o r d e t Ytor g j o r t s i g a l l - m ä n t g ä l l a n d e , v o r e d e t v ä l l i k a n a t u r l i g t , a t t i s t ä l l e t f ö r S o l i d e r b e g a g n a någon s v e n s k b e n ä m n i n g . M e n så länge e n god sådan s a k n a s , är d e t bäst a t t n y t t j a S o l i d u m m e d s v e n s k ä n d e l s e , i l i k h e t m e d så m å n - ga a n d r a u p p t a g n a o r d t . e x . l i n i e r , d e f i n i t i o n e r o. s. v .

* * ) E h u r u d e t t a f r a m s t ä l l n i n g s s ä t t företrädesvis b r u k a s i G e o m e t r i e n , t i l l h ö r d e t likväl e j d e n n a v e t t e n s k a p e n s a m t , u t a n är f a s t m e r i a l l a a n d r a äfvenså angeläget.

J

( 6 )

I . Definitioner.- k o r t a , m e n tillräckliga b e s k r i f n i n - g a r pä t i n g , innehållande d e kännetecken, h v a r i -

g e n o m l i n g e n åtskiljas ifrån h v a r a n n .

T e. b e s i r i f n i n g e n p å p u n k t e n , "'att d e n h a r i n - ga d e l a r " k a l l a s Definition pä punkten, e m e d a n i n - g e n t i n g a n n a t ä r s å d a n t , a t t d e t h a r i n g a d e l a r .

I I . Axiomet-; påståenden, h v i l k a s s a n n i n g anses så k l a r o c h allmänt b e g r i p l i g , a t t d e n i n t e t b e v i s f o r d r a r .

T . c. p å s t å e n d e t : " d e , s o m ä r o t i k a s t o r a m e d e t t o c h s a m m a , äro s i n s e m e l l a n l i k a s t o r a , " a n s e s v a r a a f e n så k l a r o c h a l l m ä n t b e g r i p l i g s a n n i n g , a t t d e n e j b c h ö f v e r b e v i s a s .

I I I . Theoremer; påståenden, h v i l k a s s a n n i n g måste b e v i s a s , e m e d a n d e n i c k e a n s e s så k l a r o c h a l l - mänt beg ' ' i p h g , a t t d e n i n t e t b e v i s f o r d r a r .

T . e. d e t t a p å s t å e n d e : ''OEI t v e n n e s i d o r o c h m e l l a n l i g g a n d e v i n k e l n i e n t r i a n g e l ä r o l i k a s t o r a m e d t v e n - n e s i d o r o c h m e l l a n l i g g a n d e v i n k e l n i e n a n n a n t r i a n g e l , så ä r o begge t r i a n g l a r n e t i l l a l l a d e l a r l i - k a s t o r a " — ä r v i s s e r l i g e n i s i g s j e l f s a n t , o c h ä f v e n k l a r t f ö r dem, s o m b e g r i p a d e t ; m e n a n s e s i Geo-<

m e t r i e n behöfva b e v i s a s , e m e d a n d e t e j på f ö r h a n d k a n a n t a g a s k l a r t f ö r a l l a , e l l e r a l l m ä n t b e g r i p l i g t ; h e l s t v i n k e l o c h t r i a n g e l e j c n gång t i l l n a m n e t k u n n a v a r a Lända för a l l a .

M a n finner, a t t e m e l l a n Axiom o c h Theorem är i n g e n väsendtiig s k i l l n a d . F ö r d e n fullkomligt kun- nige ä r o alla s a n n a påståenden axiomer, e m e d a n d e l i g g a k l a r a för h a n s i u s i g t ; d e behöfva e n d a s t n ä m - n a s e l l e r visas ( m o n s t r e r a s ) , så förslär h a n d e m

«

( 7 )

. s t r a x t . M e n för; d e n fullkomligt okunnige ( o m n å - g o n sådan f u n n e s ) s k u l l e alla p å s t å e n d e n v a r a Theo- remer , e m e d a n i n g e n s a n n i n g på f ö r h a n d l ä g e för h o n o m så k l a r , a t t d e n i c k e först måste bevisas ( d e - m o n s t r e r a s ) . D e n s k i l l n a d , s o m i G e o m e t r i e n göres e m e l l a n a x i o m e r o c h t h e o r e m e r b e r o r således på a n - t a g a n d e t a f e n v i s s g r a d på f ö r h a n d b e f i n t l i g k l a r h e t h o s d e p e r s o n e r , s o m u n d e r v i s a s . H vra r j e p å s t å e n - d e , s o m a f den k a n f a t t a s , f å r v a r a a x i o m ; d e t öfriga b l i r t h e o r e m e r . U t a n a t t få a n t a g a n å g o t e n d a a x i o m , s k u l l e v e t t e n s k a p e n e j k u n n a b ö r j a , s å l e d e s e j h e l l e r fortgå. A l l m ä n t a t t t a l a : v o r e e n m e n n i - s k a u t a n a l l u r s p r n n g l i g e l l e r på f ö r h a n d b e f i n t l i g k l a r h e t , s k u l l e h o n o m i n g e n t i n g k u n n a u n d e r v i s a s .

I V .

Postulater;

T . e. a t t d r a g a e t t s r e c k .

V .

Problemer,

T . e. a t t göra e n l i k s i d i g figur.

E m e l l a n Postulat o c h Problem är l i k a l i t e n v ä - s e n d t l i g s k i l l n a d , s o m e m e l l a n a x i o m o c h t h e o r e m D e t b e r o r på d e n f ö r m å g a a t t v e r k s t ä l l a s a k e r , s o m m a n förutsätter h o s p e r s o n e r . S k u l l e d e n n a v a r a a l l - d e l e s i n g e n , så b l e f v e a l l a v e r k s t ä l l n i n g a r problemerj m e n o m d e n k u n d e r e d a n i a l l t a n s e s f u l l k o m l i g , så b l e f v e d e a l l a postulater.

( 8 )

M e n en s l a g s s k i l l n a d m e l l a n p o s t u l a t o c h p r o - b l e m u p p k o m m e r g e n o m o l i k h e t e n a f s t ä l l e t h v a r e s t s a k e r n a s k o l a v e r k s t u l l a s . T . e a t t d r a g a e n r ä t l i n i a på p a p p e r m e d l i n i a l är så l ä t t , a t t d e t k a n k a l l a s p o s t u l a t ; äfvenså a t t m e d c i r k e l - i n s t r u m e n t t a g a h v a d p u n k t på p a p p e r e t s o m b e h a g a s m t i l l e d e l - p u n k t , o c h r i t a e n e i r k e l - p e r e f c r i g e n o m h v a d a n - n a n p n n k t , m a n v i l l . M e n a t t d r a g a e n rät l i n i e e l l e r r i t a e n e i r k e l p e r e f e r i u t e på f ä l t e t , b l i r e t t p r o b l e m .

S«är m a n b e t r a k t a r föregående f e m ä m n e n , så fin- n e r m a n , a t t F ö r c s a t t s e r n a a t t göra ( p o s t u l a t e r o c h p r o b l e m c r ) angå m e n n i s k a n s förmåga a t t v e r k s t ä l l a j s a k e r ( s . \.praktiska e l l e r utförs-förmåga); m e n P å - ståendena o m v i s s a s a n n i n g a r ( a x i o m e r o c h t h e o r e - m i e r ) , ä f v e n s o m d e e n k l a förutgående B e s k r i f n i n g a r n e ( d e f i n i t i o n e r n a ) angå m e n n i s k a n s förmåga a t t h a f v a i n s i g t e r o c h b e g r e p p o m s a k e r ( s . k . theoretiska e l l e r iasigts-förmåga).

( 9 )

F Ö R S T A B O R E N .

Om Linier.

1. D E F i i f i T i o i f . Rät linie kallas den, hvars alla delar äro likformiga mpd det hela.

M a n k a n o c k säga: "en fät linie är d e n , s o m l i g g e r j e m t e m e l l a n s i n a ändpunkter" — e l l e r ; " e n rät linie är k o r t a s t e vägen e m e l l a n t v e n n e p u n k t e r .

När m a n v i l l b e t e c k n a e n l i n i e , sätter m a n en b o k s t a f v i d h v a r j e ända, t. e. A o c h B . L i n i e n Fig. t.

A B är rät, äfvenså C D .

2 . P R O B L E M . Att draga en rät linie emellan tvenne gifna punkter.

På papper e l l e r tafla k a n det verkställas a n t i n - gen efter ö g o n m å t t , såsom i L i n e a r t e c k n i n g e n är v i s a d t , e l l e r m e d linial.

På fältet, o m frågan är a t t d r a g a en rät l i n i e e m e l l a n t v e n n e ställen A o c h B , så sättas r a k a s t ö - r a r på dessa ställen, o c h e t t snöre e l l e r en k e d j a spännes e m e l l a n störarne, h v a r e f t e r l i n i e n dragés efter snöret på m a r k e n . — Är afståndet m e l l a n A o c h B så s t o r t , a t t snöret i c k e räcker t i l l , så u t - s t a k a s d e n räta l i n i e n d e r i g e n o m , att e m e l l a n A o c h B sättas a n d r a störar så j e m t , a t t , när m a n ställer sig i A o c h derifrån s i g t a r t i l l B , s y n a s de m e l l a n s a t t e störarne jemte stören i B t i l l s a m m a n s så- som en enda. D å utmärkes d e n räta l i n i e n a f de

( ' i o )

m e l l a n s a t t e störarne, o e h m a n k a n uppsätta sådana så många o c h så tätt m a n b e h a g a r . K a n m a n i c k e k o m m a t i l l ställena A o c h B , m e n likväl önskar v e t a h v a r e s t d e n räta l i n i e n d e m e m e l l a n går f r a m , så k a n d e t verkställas på följande sätt. T v e n n e p e r s o n e r , m e d ögonen vända m o t h v a r a n n , ställa

sig på något afstånd ifrån h v a r a n n £mellan de b e g - ge ställena. D e s s a t v e n n e p e r s o n e r s k o l a n u j e m k a sig så, a t t när d e n e n a sigtar åt A , s e r h a n s i n motståndare i h o p m e d A ; o c h när d e n a n d r e pä.

samma gäng s i g t a r étt B , s e r h a n äfven s i n motstån-

d a r e i h o p m e d B . D å går d e n räta l i n i e n e m e l l a n dessa b e g g e p e r s o n e r .

35. D E F I N I T I O N . Parallela (jemnlöpande) hal- las de linier, som Bfverallt äro på lika afstånd ifrån hvarann.

Fig. i . L i n i e r n e A B o c h C D äro p a r a l l e l a m e d h v a r a n n .

4. D E F I N I T I O N . Krokig linia kallas den, hvars alla delar icke äro likformige med det hela.

L i n i e n C D är Jcrokig.

Tig. 2. K r o k l i n i e r k u n n a v a r a Öppna, såsom C D o c h slutna, såsom E F .

5 . D E F I N I T I O N . Cirkel kallas en sluten Krok-

linie, som är sådan, att alla räta linier, dragne

ifrån en viss punkt inom densamma till omkretsen,

äro lika stora.

( ' I )

H e l a figuren k a l l a s Cirkel/ — o m k r e t s e n en-,

s a m h e t e r Periferi, o c h h v a r j e d e l a f p e r i f e r i e n Bä- Ö ge,- — den p u n k t , hvarifrån a l l a de l i k a stora räta

h n i e r n a k u n n a d r a g a s t i l l o m k r e t s e n , Medelpunkt ( c e n t r u m ) ; — de l i k a s t o r a räta l i n i e r n a , gående från m e d e l p u n k t e n t i l l p e r i f e r i e n , Radier (strål-li- n i e r j ; — h v a r j e rät l i n i e , gående g e n o m m e d e l - p u n k t e n å ömse sidor ända t i l l p e r i f e r i e n , Tvärlinie ( d i a m e t e r , d u b b e l - r a d i e ) , h v i l k e n således d e l a r c i r k e l n n i i d t i t u , o c h h a r en h a l f c i r k e l på h v a r j e s i d a o m s i g ; — o c h h v a r j e annan rät l i n i e , s o m i c k e går g e - n o m m e d e l p u n k t e n , m e n m e d begge ändarne träffar p e r i f e r i e n , Chorda (sträng-linie). Alltså är h e l a fi-

g u r e n 3 e n c i r k e l , A E G F D dess p e r i f e r i , D A en b å - F i g . 3.

g e , C c i r k e l n s m e d e l p u n k t , C A en a f dess r a d i e r , D E en a f dess tvärlinier, o c h F G en c h o r d a d e r i . — K l a r t är, a t t s o m h v a r j e c i r k e l s v i d d utgöres a f p e r i f e r i - ens afstånd från m e d e l p u n k t e n , o c h d e t t a afstånd

bestämmes a f r a d i e r n a , så äro alla cirklar, som hafva lika slora radier, sinsemellan lika storas o c h alla cirk- lar, som Hro liha stora, hafva lika stora radier.

H v a r j e c i r k e l s p e r i f e r i h a r m a n i n d e l a t i 3 6 o l i k a s t o r a b å g a r , h v i l k a k a l l a s Gradar. ( O m c i r k e l n s j e l f är s t o r e l l e r l i t e n , så i n d e l a s d o c k p e r i f e r i e n a l l t i d i såda- n a 36o l i k a s t o r a bågar). H v a r j e g r a d i n d e l a s i 6 0 l i k a s t o r a d e l a r , k a l l a d e Minuter,och h v a r j e m i n u t i 6 0 l i - k a s t o r a d e l a r , k a l l a d e Sekunder. — G r a d e r b e t e c k n a s m e d ( ° ) , m i n u t e r m e d ('), o c h s e k u n d e r m e d ("). — E f t e r h v a r j e hel p e r i f e r i består a f 3 6 o ° , så följer, att h v a r j e half p e r i f e r i ( h a l f e i r k e l n s o m k r e t s ) är

( I * )

i 8 o ° , o c h h v a r j e fjerdedels p e r i f e r i g o ° . Alltså är bågen E A D 1 8 0 ° , o c h A E 9 00.

6 . P R O B L E M . Att upprita, en cirkel med gif-

ven medelpunkt och radie *).

P å papper e l l e r tafla k a n d e t verkställas a n t i n g e n efter ö g o n m å t t , såsom i L i n e a r t e c k n i n g e n är v i s a d t , e l - ler m e d ett i n s t r u m e n t k a l l a d t C i r k e l , h v a r s e n a f o t sättes i d e n g i f n a m e d e l p u n k t e n , o c h d e n a n d r a u t - sträckes s å , a t t dess afstånd från den förra foten b l i r l i k a långt m e d d e n g i f n a r a d i e n . D e r e f t e r vändes i n - s t r u m e n t e t o m k r i n g s å , a t t d e n förra foten i m e d e l - p u n k t e n i c k e flyttas, m e n d e n a n d r a röres o m k r i n g tills d e n återkommer på s i n första p l a t s , s a m t u n d e r d e n n a rörelse gör e t t spår i taflan e l l e r på p a p p e r e t . D e l t a s p å r a r d e n åstundade c i r k e l - p e r i f e r i e n ; t y a l l a räta l i n i e r , d r a g n e från m e d e l p u n k t e n t i l l o m k r e t s e n , m å - ste här v a r a l i k a s t o r a , n e m l i g e n så s t o r a s o m a f - ståndet e m e l l a n c i r k e l - i n s t r u m e n t e t s b e g g e fötter;

o c h figuren är då en c i r k e l ( I — 5 ) , ) På fältet tages e t t snöre e l l e r e n k e d j a a f s a m m a

längd s o m d e n g i f n a r a d i e n , o c h fästes m e d e n a ändan v i d en stör, ställd i m e d e l p u n k t e n . Snörets a n d r a ända föres n u r u n d t o m k r i n g så, a t t d e n l e m n a r spår efter sig (medelst en i d e n n a ända fästad h v a s s k ä p p ) , da d e n åstundade c i r k e l n - p e r i f e r i e n u p p k o m m e r .

7. D E F I N I T I O N , finkel kallas öppningen emel- lan tvenne räta linier, som sta tillsammans i en punkt.

* ) Säges också: A t t taga h v a d p u n k t m a n v i l l t i l l m e - d e l p u n k t , o c h r i t a e n c i r k e l g e n o m l i v a d p u n k t m a n v i l l .

( i 3 )

När m a n v i l l benämna e n v i n k e l , sätter m a n a n t i n g e n en b o k s t a f v i d d e n p u n k t , d e r de b e g g e räta l i n i e r n a s a m m a n k o m m a ( h v i l k e n p u n k t k a l l a s vvnkjelspets); e l l e r o c k m e d trenne bokstäfver, en v i d v i n k e l s p e t s e n , o c h d e två a n d r a v i d h v a r sin.

ända a f d e begge l i n i e r n a ( h v i l k a k a l l a s v i n k e l n s ben e l l e r gränslinier). T . e . A , e l l e r o c k B A G , är en v i n k e l . F i g . 4.

V i n k l a r s s t o r l e k mäles med Cirkelbågar på d e t sätt, a t t en c i r k e l anses h a f v a sjelfva v i n k e l s p e t s e n t i l l m e d e l p u n k t , o c h p e r i f e r i e n gående öfver v i n - k e l b e n e n . N u säges v i n k e l n v a r a så s t o r , s o m d e n a f v i n k e l b e n e n o m f a t t a d e bågen h a r g r a d e r ; h v a r a f följer, a t t de v i n k l a r , s o m h a f v a l i k a bågar o c h g r a d t a l , äro l i k a s t o r a . M a n finner, a t t här i c k e f r å - gan är o m dessa bågars s t o r l e k , u t a n o m d e r a s g r a d - t a l d . ä. för hållande t i l l h v a r sin c i r k e l - o m k r e t s , o c h huru stor del d e utgöra' a f d e n . T . e. V i n k e l n B A C F i g . &

mätes a f bågen E F ; d e n raätes likaså a f bågarne G H e l l e r I K ; o c h d e t är för v i n k e l n l i k g i l t i g t h v i l k e n - d e r a bågen m a n t a g e r t i l l måttet a f v i n k e l n s s t o r - l e k , t y d e utgöra a l l a t r e lika stora delar a f s i n a c i r k l a r d . v. s. l i k a många g r a d e r , e h u r u d e t i l l v i d d e n sins e m e l l a n äro o l i k a .

8 . D E F I N I T I O N . Når en rät linie står på ett

annan rät linie, så att vinklarne på ömse sidor äro lika stora, så kallas hvardera af dessa vinklar en rät * ) , och den förstndmde^ linien kallas vinkelfät

emot den andra.

*) H e l v i n k e l , rätt v i n k e l .

( i 4 )

V i n k l a r n e A E C o c h A B D k a l l a s räta -vinklar, F i g . 6, o c h l i n i e n A B säges v a r a vinkelrät e m o t C D .

9 . D E F I N I T I o tr. Hvarje vinkel, som är större än en rät, kallas trubbig vinkel; och den, som är mindre än en rät, kallas spetsig.

F i g . 7 . V i n k e l n E B C k a l l a s trubbig, e m e d a n h a n är större än räta v i n k e l n A B C ; m e n v i n k e l n D B C k a l - l a s spetsig, såsom m i n d r e än A B C .

A f D e f i n i t i o n e r n a 7', 8, g s y n e s n u h v a d s o m förstås m e d vinklar, o c h d e t r e s l a g e n d e r a f : räta, trubbiga och. spetsiga. I n s t r u m e n t e r ^ s o m n y t t j a s f ö r a t t m ä - t a v i n k l a r , ä r o : i. Transportör e l l e r Gradsldfva, e n H a l f c i r k e l a f t r ä d , m e t a l l e l l e r h o r n , u p p d e l a d i g r a d e r o c h m i n u t e r m . m . ; 2. Astrolabium, ä f v e n e n g r a d e r a d c i r k e l - o m k r e t s , m e n s o m v i d d i a m e t e r n s ändar h a r t v e n n e sigthål ( d i o p t r a r ) , o c h v i d m e d e l - p u n k t e n e n r ö r l i g d i o p t e r l i n i a l ; 3. Quadrant, e n f j e r - d e d e l s c i r k e l - p e r i f e r i , l i k a l e d e s f ö r d e l a d i g r a d e r o c h m i n u t e r , m e d flere i n r ä t t n i n g a r l i k n a n d e e t t astro—

l a b i u m . 4- Vinkelhake, u t m ä r k a n d e j e m t e n r ä t v i n k e l .

Fig. 8. äO. T H E o E E m. Hvarje rät vinkel ar go grader.

L å t A C D v a r a e n rät v i n k e l . O m m a n n u t a - g e r v i n k e l s p e t s e n C t i l l m e d e l p u n k t , o c h r i t a r e n c i r k e l ( I — 6 ) öfver v i n l e l b e n e n C A o c h C D , m e d h u r u lång r a d i e s o m h e l s t , så s e r m a n a t t d e n r ä - t a v i n k e l n A C D u p p t a g e r fjerdedelen a f c i r k e l n s p e - r i f e r i . M e n f j e r d e d e l s - p e r i f e r i e n utgör g o ° ( I — 5 ) ; alltså u p p t a g e r d e n räta v i n k e l n 9 00, e l l e r är 9 00.

( i 5 ) Häraf ser m a n v i d a r e :

i:o A t t två räta v i n k l a r , (t. e. B C A o c h A C D ) t i l l - s a m m a n s u p p t a g a hal/va c i r k e l n , alltså äro 1 8 0 ° . 2 : 0 A t t fyra räta v i n k l a r u p p t a g a hela c i r k e l n , o c h

äro 36o ° .

3:o A t t h v a r j e t r u b b i g v i n k e l (t. e. E C D ) är m e r än 9 00, m e n m i n d r e äa 1 8 00.

4:0 A t t h v a r j e spetsig v i n k e l (t. e. F C D ) är m i n d r e än 9 0 ° .

1 1 . P R O B L E M .

Att vid en gifven punkt på en

gifven råt linie göra en vinkel af ett visst gradtal.

L å t A v a r a d e n g i f n a p u n k t e n o c h A B d e n g i f n a räta l i n i e n . D e t begäres a t t v i d p u n k t e n A p å l i n i e n A B , göra e n v i n k e l a f e t t visst g r a d t a l . T a g transportören e l l e r g r a d s k i f v a n o c h lägg dess d i a m e t e r utefter A B , så a t t m e d e l p u n k t e n k o m m e r v i d A . Afsätt n u på g r a d s k i f v a n så många g r a d e r , s o m m a n v i l l a t t v i n k e l n s k a l l h a f v a , o c h d r a g e n l i n i e ifrån A t i l l den p u n k t e n C , s o m på i n s t r u m e n - t e t utmärker d e t ifrågavarande g r a d t a l e t . D å är B A C d e n begärda v i n k e l n .

V i l l m a n göra en rät v i n k e l , så är d e t d e t s a m - m a s o m a t t på g r a d s k i f v a n afsätta 9 00 ( e n l . I — 1 0 ) .

Så verkställes p r o b l e m e t på papper e l l e r t a f l a . S k a l l d e t utföras på fältet, så nedsätter m a n först en stör på det stället, d e r v i n k e l s p e t s e n A s k a l l v a r a , o c h derefter e n a n n a n stör så, a t t d e n u t - märker r i k t n i n g e n a f d e n g i f n a l i n ien A B . N a t a g e r

( tå )

man a s t r o l a b i u m o c h sätter dess m e d e l p u n k t rätt öfver d e n första stören i A , läggande i n s t r u m e n t e t s r a n d e l l e r d i a m e t e r n u t e f t e r d e n l i n i e A B , s o m går t i l l den a n d r a stören. N u v r i d e r m a n d i o p t e r l i n i a l e n t i l l det ifrågavarande g r a d - t a l e t , o c h s i g t a r ifrån m e - d e l p u n k t e n g e n o m sigthålen, s a m t utsätter e n t r e d j e stör för G på h v a d afstånd m a n b e h a g a r , m e n s å , a t t den s y n e s , när m a n s e r g e n o m sigthålen. —•

D e t s." k . Landtmätar-bredet begagnas v a n l i g e n här- v i d på d e t sättet, a t t m a n ställer d e t s a m m a rätt öfver d e n p u n k t på m a r k e n , d e r v i n k e l s p e t s e n s k a l l v a r a , o c h s e d a n på b r e d e t gör v i n k e l n m e d t i l l - h j e l p a f g r a d s k i f v a e l l e r a s t r o l a b i u m ( l i k s o m förut är nämdt på p a p p e r ) , hvarpå m a n sigtar längs efter de på brädet r i t a d e v i n k e l b e n e n o c h utsätter störar efter s i g t n i n g e n , Störarne G A B utgöra v i n k e l n , s o m begäres.

K g ; jMt 1 2 . D E F I N I T I O N . Triangel (tresiding) kallat\en figur, innesluten af tre rata linier.

F i g u r e n A B C är en t r i a n g e l .

Såsom h v a r j e t r i a n g e l e g e r t r e l i n i e r t i l l s i d o r o c h t r e v i n k l a r e m e l l a n d e m , så k u n n a flere s l a g d e r a f finnas, efter s i d o r n a s o c h v i n k l a r n e s o l i k a beskaffenheter. A l l t s å :

F i g . I I . i . Liksidig t r i a n g e l k a l l a s d e n , h v a r s a l l a t r e s i d o r äro l i k a s t o r a ; t. e. A B C .

Fig. 12. 2 . Likbent e l l e r tvåliksidig d e n , s o m h a r tvenne s i - d o r l i k a s t o r a ; t. e. D E F .

( 1 7 )

3. OKksidig d e n , h v a r i i n g e n sida är l i k a s t o r m e d F i g . i 3 . en a n n a n ; t . ex. G I H .

4. Rätvinklig t r i a n g e l k a l l a s d e n , s o m h a r någon F i g . 14.

a f sina v i n k l a r r ä t ; t . e x . K L M .

5. Trubbvinkiig d e n , s o m h a r någon af. sina v i n k l a r F i g . i 5 . t r u b b i g ; t. ex. K O P . , 6 . Spetsvinklig d e n , s o m h a r a l l a t r e v i n k l a r n e F i g . 16.

s p e t s i g a ; t . ex. Q B . S .

När m a n i e n t r i a n g e l t a l a r särskildt o m t v e n - ne s i d o r , så k a l l a s d e n t r e d j e bas ( g r u n d s i d a ) .

1 5 . D E F I N I T I O N . Fyrsiding kallas en figur, innesluten af fyra räta linier.

F i g u r e n A B C D är en f y r s i d i n g . F i g . 17.

Såsom h v a r j e sådan e g e r f y r a l i n i e r t i l l s i d o r o c h f y r a v i n k l a r m e l l a n d e m , så k u n n a flera s l a g d e r a f f i n n a s , e f t e r s i d o r n a s o c h v i n k l a r n e s o l i k a beskaffenhet. A l l t s å :

1. Parallelogram ( R u t a ) k a l l a s i allmänhet h v a r -

je f y r s i d i g figur, s o m h a r de motstående s i d o r n a p a r a l l e l a * ) . E n sådan är a n t i n g e n rätvinklig e l l e r

snedvinklig.

a. D e rätvinkliga äro a f två s l a g :

1. Qvadrat_, s o m h a r a l l a v i n k l a r n e räta o c h F i g . 18.

a l l a f y r a s i d o r n a l i k a s t o r a .

2 . Rektangel, s o m h a r a l l a v i n k l a r n e räta, m e n F i g . 19.

e n d a s t de motstående s i d o r n a l i k a s t o r a .

*) Här inträffar a l l t i d , att de motstående vinklarne äro lika stora. 1;. . • : r * -

t 1 8 )

b. De snedvinkliga äro ock a f två slag:

Fig. 20. Rombj som h a r b l o t t de motstående v i n k - larne l i k a s t o r a , men alla f y r a sidorna l i k a stora.

F i g . 21. 2 . Romboid, som har b l o t t de motstående v i n k - larne o c h sidorna l i k a stora.

Fig. 22. 2. Trapezium kallas hvarje annan rätlinig fyrsidig figur.

Fig. a3. 1 4 . D E F I N I T I O N . Figurer, som hafva mer än fyra sidor, kallas i allmänhet Mångsidingari eller

ock, om man vill utmärka sido-antalet, Femsidingar, Sexsidingar o. s. v .

Emedan a l l a slutna figurer hafva l i k a många vinklar o c h hörn, som de hafva sidor, kan man äfven k a l l a dessa figurer: Månghorningar, e l l e r : Femhörningar, Sexhörningar o. s. v .

Sådana figurer kallas reguliera (regelbundna), om a l l a deras sidor o c h v i n k l a r äro l i k a stora, a n - nars irreguliera (oregelbundna).

Fig. 24. l ä - A X I O M . Emellan tvenne punkter kan alle- nast en rät linie dragas.

Derföre kunna två räta linier ej innesluta något r u m , emedan de i sina begge yttersta p u n k t e r då borde sammanstöta; m e n , o m de det gjorde, så blefve de allenast en linie.

Häraf följer o c k , a t t om tvenne räta liniers

ändpunkter inträffa med h v a r a n n , så inträffasjelfva

( i 9 )

linierna med h v a r a n n , och utgöra b l o t t en l i n i e , (äro alldeles l i k a ) .

1 6 . A X I O M . När räta linier och vinklar all- deles inträffa med hvarann eller kunna täcka hvar- ann, sä äro de lika stora; och när de äro lika sto- ra, så kunna de täcka hvarann.

Med "täcka h v a r a n n " menas detsamma som att de inträffa med h v a r a n d r a eller passa t i l l h o p a , om den ena skulle tagas och läggas på den andra.

Sålunda är linien A B l i k a stor med C D , och v i n - a5.

k e l n E l i k a stor med F .

17. A X I O M . Figurer, som alldeles inträffa med hvarann, eller kunna täcka hvarann, om deläggas på hvarann, äro lika stora och likformiga; och de j som äro lika stora och likformiga, kunna täcka hvarandra.

1 8 . A X I O M . När tvenne linier eller figurer på p i g ,

6 . samma sätt göras, och det, hvarigenom de göras, är hos dem begge likformigt, sä äro dessa linier eller figurer likformiga.

Så äro t. ex. alla cirklar l i k f o r m i g a ; alla lik- sidiga trianglar l i k f o r m i g a ; alla qvadrater likfor- miga o. s. v .

1 9 . A X I O M . Hvar och en rät linie kan betrak- tas som en diameter, och en halfcirkel uppritas på hvardera sidan derom.

2*

( 20 )

F i g . 27. O m d e n räta l i n i e n A B anses h a f v a p u n k t e n C på s i n m i d t , så k a n C tagas t i l l m e d e l p u n k t öch e n c i r k e l r i t a s ( I — 6 ) , m e d den g i f n a r a d i e n C A . D e n n a c i r k e l måste då gå både g e n o m A o c h B , efter C B är l i k a 'stor m e d C A . Så u p p k o m m e r h e l a c i r k e l n A D B E , s o m h a r e n halj"cirkel på h v a r - d e r a s i d a n o m A B .

20. T H E o R E M . När en Tat linie faller på en annan rät linie och gör vinklar på båda sidor om sig j så är o dessa begge vinklar tillsammans 18 o°

eller tvenne räta.

F i g . 28«. L å t räta l i n i e n A C f a l l a på räta l i n i e n B D i p u n k t e n C , o c h göra v i n k l a r n e B C A o c h D C A på båda sidor o m s i g , så säger j a g att v i n k l a r n e B C A o c h D C A t i l l s a m m a n s s k o l a utgöra så m y c k e t s o m 1 8 0⁰ e l l e r t v e n n e räta v i n k l a r .

T y , o m C tages t i l l m e d e l p u n k t o c h en c i r - k e l r i t a s m e d r a d i e n C A ( I — 6 ) , så k a n (I—19) E F b e t r a k t a s s o m en d i a m e t e r o c h E A F v a r a en h a l f - c i r k e l , u p p r i t a d på d e n s i d a n o m E F , d e r A G l i g g e r . M e n h a l f c i r k e l n E A F mäter j e m t de begge v i n k l a r n e E C A o c h F C A , h v i l k a äro d e s a m m a , s o m v i n k l a r n e B C A o c h D C A . O c h h v a r j e h a l f -

c i r k e l innehåller 1 8 0⁰ ( I — 5 ) . Således innehålla v i n k l a r n e B C A o c h D C A t i l l a m m a n s så m y c k e t som

1 8 0 ° , h v i l k e t v i l l säga två räta v i n k l a r ( I — 1 0 ) . Häraf ser m a n o c k , "att flere v i n k l a r , h u - r u många som h e l s t , som k u n n a stå o m k r i n g en

p u n k t på e n a s i d a n o m en rät l i n i e , utgöra t i l l - s a m m a n s i S o ° e l l e r l i k a m y c k e t m e d två räta v i n k - l a r . " T y de u p p t a g a a l l a t i l l s a m m a n s e n h a l f c i r -

k e l - p e r i f e r i , mätas således a f d e n , o c h utgöra i 8 o ° . F i g . s8b.

2 1 . D E F I N I T I O N . När en rät linie rakar en

annan råt linie och gör. vinklar på bada sidor om sig, så kallas hvardera af dessa två vinklar supple-

Således är v i n k e l n B G A s u p p l e m e n t åt v i n k e l n F i g . 29.

D C A , o c h äfvenså v i n k e l n D C A s u p p l e m e n t åt B C Ä . Såsom de b e g g e t i l l s a m m a n s utgöra 180° ( I — 2 0 ) , så är det k l a r t , a t t o m m a n v e t h u r u många g r a - d e r d e n e n a innehåller, så måste d e n a n d r a i n n e - hålla f y i l n a d e n , e l l e r a l l t s o m återstår i 180°.

22. A X I O M . De, som äro lika stora med ett

och samma eller lika stora, äro sinsemellan lika stora.

O m l i n i e n A B är l i k a s t o r m e d E F , o c h C D F i g . 3 o . äfven är l i k a s t o r m e d E F ; så äro d e b e g g e l i n i e r -

n a A B o c h C D s i n s e m e l l a n l i k a s t o r a .

L i k a l e d e s : De, som äro 2 gånger, 3 gånger, /f.

gånger o. s. v. så stora som ett och samma eller lika sto-

ra, äro ock sinsemellan lika stora. — L i k a l e d e s : De,

som äro hälften, tredjedelen, Jjerdedelen 0. s. v. af ett

och samma eller lika stora, äro

sinsemellan lika

stora.

( 2 * )

2 5 . A X I O M . Om man lägger lika stora till lika stora, sä blifva de hela lika stora; men om man lägger lika sä mycket till större som till mindre, sä blir det hela i förra fallet större än i det sednare fallet.

F i g . 3 i a. O m A B = C D , o c h E F = G U , så är d e t k l a r t a t t A B + E F = C D + G B . — O m d e r e m o t A B = C D , m e n F i g . 3 i J . E F > G H * ) ; så är d e t k l a r t a t t A B + E F > C D + G U .

2 4 . A X I O M . Om man tager lika stora ifrån lika, stora, så blifva de återstående lika stora; men om nian tager lika så mycket ifrån större som ifrån mindre, så blir det hela i förra fallet större än i det sednare fallet;

F i g . ' 3 a a . O m S R = P O o c h S T = P N , så måste, om, m a n t a r S T ifrån S R o c h P N ifrån P O , d e n återstående T R = N O . — O m d e r e m o t S R > P O , m e n S T — F i g . 3 j J . P N , så b l i r också d e n återstående T R > N O .

• ~ ~ *

2 3 . T H E O K E M . Om tvenne räta linier skära hvarandra, så äro de vinklar, som stå midt emot hvarann, lika stora.

F i g . 3 3 . L ä t A B o c h C D skära h v a r a n d r a i E . J a g sä- ger a t t v i n k l a r n e A E G o c h B E D , s o m stå m i d t e m o t h v a r a n n , äro l i k a s t o r a ; o c h äfven a t t v i n k - l a r n e C E B o c h A E D äro l i k a s t o r a .

T y v. A E C + v. C E B = i 8 o ° , äfvenså äro v.

C E B + B E D _ 180° ( I — 2 0 ) . Följaktligen äro v.

A E C + v. C E B = v. C E B + v. B E D , e m e d a n de

* ) T e c k n e t > b e t y d e r , att. h v a d s o m stär v e n s t e r d e r o r a Ur större än h v a d som står höger d e r o m . Alltså E F > G H b e t y d e r : E F är större än G H . T e c k n e t ^ b e t y d e r t v c r t o n i .

( 2 3 )

äro l i k a s t o r a m e d e t t o c h s a m m a , n e m l i g e n i 8 o "

( I — 2 2 ) . O m m a n då t a r b o r t v i n k e l n C E B , s o m finnes på begge ställen, så är d e n återstående v.

A E C = v. B E D (1—34). H v i l k e t v a r d e t e n a . P å s a m m a sätt b e v i s e s , a t t v. A E D = i > . C E B . T y efter v. C E B - f v. B E D = 1 8 0⁰; o c h äfvenledes

v.

v.

1 8 0

;

v.

v.

= v. B E D + v. A E D ( I — 2 2 ) . O m då v. B E D , som finnes på begge ställen, b o r t t a g e s ; så b l i r d e n återstående v. C E B = v. A E D ( I — 2 4 ) . H v i l k e t var d e t a n d r a .

Sådana m o t h v a r a n n stående v i n k l a r k a l l a s

vertikal-vinklar.

2 6 . T H E O R E M . Alla vinklar, som kunna sta.

omkring en punkt, utgöra tillsammans så mycket som fyra rata vinklar, eller 36o".

T y , lät h u r u många v i n k l a r s o m h e l s t : B A C , Fig- C A D , D A E , E A F , F A G , G A B , stå o m k r i n g e n p u n k t A , så mätas de a l l a t i l l s a m m a n s a f en h e l c i r k e l p e r i f e r i . M e n h v a r j e h e l c i r k e l - p e r i f e r i u t - gör 3 6 o ° ( I — 5 ) , o c h f y r a räta v i n k l a r äro äf- v e n 3 6 o ° ( I — 1 0 — 2 ) . Alltså utgöra a l l a v i n k l a r t i l l s a m m a n s , s o m k u n n a stå o m k r i n g en p u n k t , så m y c k e t s o m f y r a räta v i n k l a r , e l l e r 3 6 o ° .

27. P R O B L E M . Att mäta en gifven vinkel. F i g .