II. Gör uppgifterna

(1)

TNA001

Ämnesdag 9 – Torsdag v 40

Anm: KTS1 har ett något annorlunda schema på eftermiddagen.

8-10 Kontrollskrivning 4

10-12 Föreläsning 15, Tillämpningar linjer och plan 13-14 Eget arbete med nedanstående

14-16 Lärarledd lektion

I. Viktiga exempel (vissa diskuterade på föreläsningen):

Ex 4.6

 Projektion av punkt på linje

 Avstånd mellan punkt och linje

 Spegling av punkt i linje

Ex 4.11

 Avstånd mellan punkt och plan

 Spegling av punkt i plan

Ex 4.12

 Skärning mellan linjer

Ex 4.14

 Linjes projektion på plan

Ex 4.16

 Plan på parameterform resp. normalform

Ex 4.18

 Vinkel mellan linje och plan

Ex 4.20

 Skärning mellan plan

 Avstånd mellan punkt och linje (igen)

II. Gör uppgifterna

K4: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (och sedan - fastän de inte har angetts på planeringen - 15, 16, 18, 17)

(2)

Lösningstips till K: Vektorer, linjer och plan

Rita figur där så är möjligt! En enkel skiss kan duga långt.

Observera att man ibland använder x₁

, x

₂ resp. x₃ i stället för x, y och z.

4.8 Jfr uppgift 4.4

4.9 Man får skärningslinjen genom att lösa ett visst ekvationssystem. Vilket?

4.10 Jämför med Ex 4.6 respektive Ex 4.11.

4.11 Rita figur! Du har omedelbart två vektorer i planet och en fix punkt given. Bestäm en normalvektor på samma sätt som i t.ex. uppg. 4.6 och 4.7.

4.12 Rita figur!

Låt P₀ vara en punkt i planet, och bilda vektorn

u 

P₀P. Det sökta avståndet =

u

_||_n , där n är en normalvektor till planet.

För att bestämma P:s (ortogonala) projektion, Q, i planet behöver du införa origo, O. Du får koordinaterna för Q genom att bestämma ortsvektorn till Q, t.ex. genom OQ



OP₀



P₀Q



OP₀

 u

__n.

Spegelpunkten, S, får du på motsvarande sätt via t.ex. OS



OP₀



P₀S



OP₀



P₀P

 2

QP



OP₀

 u  2 u

_||_n

4.13 Rita figur!

Det kortaste avståndet är det vinkelräta avståndet mellan punkten och linjen. Den punkt på linjen som ligger närmast )

3 , 0 , 1 (

P är alltså den ortogonala projektionen av P på linjen. Observera att origo inte ligger på linjen!

4.14 För att få skärningslinjen kan du jämföra med uppgift 4.9. Avstånd och spegelbild fås på ”sedvanligt” sätt. Glöm inte att rita figur!

4.15 Se lösningstips i facit.

4.16 Utnyttja att

 Planets normal och den givna linjens riktningsvektor är båda ortogonala mot den sökta linjens riktningsvektor.

 Planet och sökt linje innehåller skärningspunkten mellan planet och den givna linjen.

4.17 Jfr med Ex 4.24

4.18

1) Kontrollera att linjerna inte skär varandra genom att undersöka systemet

























s t

2 1 0

0 4

2 1 4 2

(Varför är det lämpligt att vi byter beteckning på parametern i en av linjerna?)

2) Normalen för det sökta planet är ortogonal mot både L :1 s och L :2 s riktningsvektorer. En punkt i planet fås lätt ur en av linjerna (vilken?).

3) Jämför med Ex 4.26.