FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal
Christin Rhen och Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige
Sep 16, 2016
Uppgift 2.14 (Cederwalls kompendium)
Ett kroklinjigt koordinatsystem u, v, w ges av sambanden u = r(1 − cos θ),
v = r(1 + cos θ), (1)
w = ϕ,
där r, θ, ϕ är sfäriska koordinater. Visa att systemet är ortogonalt och beräkna dess skalfaktorer. Hur ser gradientoperatorn ∇ och ortvektorn ~r ut i u, v, w- systemet?
Answer. Skalfaktorer:
hu=1 2
r u + v u hv =1
2
r u + v v hw=√
uv Gradient:
∇ = 2
√u + v
√ uˆu ∂
∂u+√ vˆv ∂
∂v
+ 1
√uvwˆ ∂
∂w Ortsvektor:
~r =
√u + v 2 (√
uˆu +√ vˆv)
Solution.
Enhetsvektorer. Enhetsvektorer ges av (långt upp på sida 12 i Cederwall)
~ei= hi∇ui. (2)
Här är u, v, w en funktion av sfäriska koordinater, så vi använder den sfäriska gradienten (Cederwall ekvation 2.14):
ˆ
u ∝ ∇u =
ˆ r∂
∂r+ ˆθ1 r
∂
∂θ+ ˆϕ 1 r sin θ
∂
∂ϕ
u
= (1 − cos θ)ˆr + sin θ ˆθ, (3) ˆ
v ∝ ∇v = (1 + cos θ)ˆr − sin θ ˆθ, (4) ˆ
w ∝ ∇w = ˆϕ 1
r sin θ. (5)
Ortogonalitet. Det är lättast att kontrollera om ett nytt system är ortogonalt om vi har dess basvektorer uttryckta i ett annat, mer välkänt, system. Därför låter vi här ˆu, ˆv, ˆw fortsätta vara en funktion av sfäriska koordinater och basvektorer, och räknar ut skalärprodukterna mellan dem. Vi ser direkt att ˆu · ˆw = ˆv · ˆw = 0.
För ˆu och ˆv:
ˆ
u · ˆv ∝ (1 − cos θ)(1 + cos θ) − sin2θ
= 1 − cos2θ − sin2θ = 0. (6)
Alltså är u, v, w-systemet ortogonalt.
Skalfaktorer och enhetsvektorer. Från ekvation (2) inser vi att skalfaktor- erna hi är inversen av |∇ui|. För enkelhetens skull fortsätter vi räkna i termer av sfäriska koordinater, och översätter till u, v, w i slutet. Notera att u + v = 2r.
Vi får
hu= (1 − cos θ)2+ sin2θ−1/2
= (2 − 2 cos θ)−1/2
=r u + v
4u , (7)
hv = (1 + cos θ)2+ sin2θ−1/2
= (2 + 2 cos θ)−1/2
=r u + v
4v , (8)
hw=p
r2sin2θ =p
r2(1 − cos2θ) =√
uv. (9)
Kombinerar vi skalfaktorerna (i sfäriska koordinater) och de onormerade enhetvektorerna uträknade ovan så får vi
ˆ
u = 1 − cos θ
√2 − 2 cos θr +ˆ sin θ
√2 − 2 cos θ
θ,ˆ (10)
ˆ
v = 1 + cos θ
√2 + 2 cos θr −ˆ sin θ
√2 + 2 cos θ
θ,ˆ (11)
ˆ
w = ˆϕ. (12)
2
Gradientoperator. För ortogonala koordinatsystem gäller att (Cederwall ekvation 2.13)
∇φ =X
i
~ei1 hi
∂φ
∂ui
, (13)
där φ är ett godtyckligt skalärfält. I vårt u, v, w-system blir detta
∇φ = ˆu 1 hu
∂φ
∂u + ˆv 1 hv
∂φ
∂v + ˆw 1 hw
∂φ
∂w. (14)
Sätter vi in skalfaktorerna vi beräknat ovan är det lätt att identifiera gradient- operatorn
∇ = ˆu r 4u
u + v
∂
∂u + ˆv r 4v
u + v
∂
∂v+ ˆw 1
√uv
∂
∂w. (15)
Notera att den inversa skalfaktorn alltid kommer före partialderivatan! Skriver man dem i fel ordning ska plötsligt även skalfaktorn deriveras, och det blir fel.
Ortsvektor. I sfäriska koordinater är ortsvektorn
~r = rˆr. (16)
Vi har redan noterat att r = (u + v)/2; vi behöver nu också uttrycka ˆr som en funktion av ˆu, ˆv, ˆw.
En smart linjärkombination av enhetsvektorerna (12):
√
2 − 2 cos θ ˆu +√
2 + 2 cos θˆv = 2ˆr, (17) som översatt till nya koordinater betyder att
ˆ r = 1
2
1 hu
ˆ u + 1
hv
ˆ v
=
r u
u + vu +ˆ
r v
u + vv.ˆ (18) Vi får alltså ortsvektorn
~ r = rˆr
= u + v 2
r u
u + vu +ˆ
r v
u + vvˆ
= 12√
u + v √ uˆu +√
vˆv . (19)
3
