BASER OCH KOORDINATER

BASER OCH KOORDINATER

Vektorer i ett plan. Vektorer i rummet

1. BASER OCH KOORDINATER FÖR VEKTORER SOM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betraktar vektorer som ligger på en rät linje L ( eller är parallella med L). Låt e₁

vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn

e1

ett koordinataxel.

O P

e

x-axeln A

En vektor v

som ligger på L (eller är parallell med L) är också parallell med e₁

och därför finns det ett tal x så att

v = . xe₁ Vi säger att e₁

är en basvektor för alla vektorer som ligger på L (eller är parallella med L).

2. BASER OCH KOORDINATER FÖR VEKTORER SOM LIGGER I ETT PLAN Vi betraktar vektorer som ligger i ett givet plan som vi betecknar α .

SATS 1. Låt e₁

och e₂

vara två skilda från nollvektorn och dessutom icke-parallella vektorer som ligger i planet.

Varje vektor v

i planet kan skrivas som en linjär kombination av e₁ och e₂ v x₁e₁ x₂e₂

+

= (*) där x och ₁ x är entidigt bestämda tal. ₂ Bevis:

Vi parallellförflyttar e₁ , e₂

och v

så att de startar i samma punkt O. Vi betecknar

= OA→

e₁

,

= OB→

e₂

och

= OP→

v

( se figuren nedan). Genom punkten P drar vi linjerna parallella med e₁

och e₂

samt betecknar med M, N deras skärningspunkter med linjerna som går genom punkterna OA och OB.

O A

B

M

N P

v

e

e

Vi ser att

→

→ +

=OM ON v

Eftersom

→

OM || e₁

och ON^→ || e₂

så finns det ett tal x så att ₁ OM x₁e₁

→ =

och ett tal x så att ₂ ON x₂e₂

→ =

Därför v OM ON x₁e₁ x₂e₂ +

= +

= ^{→ →} .

Därmed har vi visat att det finns tal x och ₁ x sådana att ₂

v= x₁e₁+x₂e₂ (*) Vi har kvar att bevisa entydighet. Låt v y₁e₁ y₂e₂

+

=

en godtycklig representation av v

som en linjär kombination av e₁

och e₂ . Då har vi

2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1

1e x e ye y e (x y)e (y x )e

x     

−

=

−

⇒ +

=

+ .

Eftersom e₁ och e₂

är icke- parallella och skilda från nollvektorn är detta möjligt endast om x₁ = och y₁ x₂ = y₂.

Vi har därmed bevisat entydighet i (*).

--- Anmärkning:

I samband med baser och basvektorer använder vi följande terminologi:

• Vi säger att ovanstående e₁

och e₂

utgör en bas i planet α och att talen x och ₁ x är ₂ v

:s koordinater i basen e₁ , e₂

.

• Vektorerna x₁e₁

och x₂e₂

kallas v

:s komposanter i basen e₁ , e₂

.

• Vi säger att planet α spänns upp av vektorerna e₁

och e₂

. (Om P är en punkt i planet αdå kan motsvarande vektor

→

OP skrivas som en linjär kombination av e₁

och e₂ ,

2 2 1 1e x e x

OP^→ =  +  .)

• Vi säger också att alla vektorer som ligger i planet bildar ett tvådimensionellt vektorrum (rummet har 2 basvektorer).

Beteckning:

Vektorn OP^→ =x₁e +₁ x₂e₂, när basen e₁ , e₂

är känd, anges oftast med endast koordinater på följande sätt:

OP^→ =(x₁,x₂) Koordinatsystem i ett plan

En punkt O och två basvektorer (icke-parallella och ej nollvektorer) som ligger i planet och som vi betecknar e_x

och e_y

, definierar ett ( parallellt) koordinat system i planet med två axlar:

x-axeln går genom O och har riktningsvektor e_x och y-axeln går genom O och har riktningsvektor e_y

.

O A B

x

y P(x,y)

v

e

e

x-axeln y-axeln

Låt P vara en given punkt i planet. Vektor

→

OP, som har en entydlig framställning,

y

x ye

e x

OP^→ =  +  , kallas punktens ortvektor.

Tal (x,y) kallas punktens koordinater.

Alltså, punkten P och punktens ortvektorn

→

OP har samma koordinater.

Beteckning:

Att punkten P har koordinater (x,y) skrivs i kursböcker på följande två sätt:

P=(x,y) eller P(x,y) ---

Koordinater för en vektor mellan två givna punkter.

Om A= (x1,y1) och B= (x2,y2) är två punkter i planet A

B

O då gäller

y x

y x y

x y e xe ye x x e y y e

e x OA OB OB AO

AB      

) (

) (

) (

)

( ₂ + ₂ − ₁ + ₁ = ₂ − ₁ + ₂ − ₁

=

−

= +

= ^{→ → → →}

→

Alltså

→

AB= x x e_x y y e_y ) (

)

( ₂− ₁ + ₂− ₁ eller kortare

) ,

(x₂ x₁ y₂ y₁

AB^→ = − − [ alltså, ändpunktens koordinater – startpunktens kordinater]

Exempel: A=(1,3), B=(–1,2) ⇒ AB^→ =(−2,−1)

3. BASER OCH KOORDINATER FÖR GEOMETRISKA VEKTORER I 3D-RUMMET

För att bilda en bas i 3D-rummet ( tre-dimensionella rummet) behöver vi tre vektorer ex

, e_y , e_z

som är skilda från

→

0 och som inte är parallella med ett gemensamt plan ( man säger ofta de ”inte ligger i samma plan” ) .

Då kan varje v

skrivas på exakt ett sätt som en linjär kombination av e_x , e_y

och e_z ( se nedanstående figur).

O

Q P

v

ex

ey

y-axeln

x-axeln

z-axeln

e_z

R

Vi ser detta om vi parallell förflyttar e_x , e_y

, e_z och v

så att de har en gemensam start punkt O. Den rätta linje genom P (v

:s ändpunkt) som är parallell med e_z

måste skära planet Oe_x

ey

( xy-planet) i en punkt Q ( eftersom e_x , e_y

, e_z

är ej parallella med något gemensamt plan). Linjen genom Q, parallell med e_y

, skär x axeln i punkten R.

Då gäller

→

→

→ + +

=OR RQ QP

v

. Men eftersom OR e_x

||

→

, RQ e_y

||

→

, QP e_z

||

→

finns det tal x, y , z så att ex

x OR 

→ =

, RQ ye_y

→ =

ez

z

QP 

→ =

. Därför

z y

x ye ze

e x

v    + +

=

( Entydighet bevisas som i 2D fallet.)

Koordinatsystem i 3D-rummet

En punkt O och tre basvektorer (icke-parallella med något gemensamt plan och skilda från

→

0) e_x , e_y

, e_z

definierar ett (parallellt) koordinat system i planet med tre axlar:

x-axeln går genom O och har riktningsvektor e_x , y-axeln går genom O och har riktningsvektor e_y

och z-axeln går genom O och har riktningsvektor e_z

.

Koordinater för en punkt P definieras som koordinater med vektorn

→

OP (punktens ortvektor).

Alltså OP^→ = xe_x+ye_y+ze_z ⇔ P=(x,y,z)

Koordinater för en vektor mellan två givna punkter.

B

O A

Om A= (x1,y1, z1) och B= (x2,y2, z2) är två punkter i rummet då gäller ) (

)

(x₂e_x y₂e_y z₂e_z x₁e_x y₁e_y z₁e_z OA

OB OB AO

AB^→ = ^→ + ^→ = ^→ − ^→=  +  +  −  +  + 

z y

x y y e z z e

e x

x   

) (

) (

)

( ₂− ₁ + ₂− ₁ + ₂− ₁

= Alltså

→

AB = x x e_x y y e_y z z e_z ) (

) (

)

( ₂− ₁ + ₂− ₁ + ₂− ₁ eller kortare

) ,

,

(x₂ x₁ y₂ y₁ z₂ z₁

AB^→ = − − −

Exempel: A=(1,2,3), B=(4,2,2) ⇒ AB^→ =(3,0,−1).

ÖVNINGAR:

Uppgift 1. Uttryck u , v

och −v i nedanstående figur som linjära kombinationer av basvektorer e₁

och e₂

och bestäm deras koordinater.

O

-v

e

e

u

Svar:

2

2e1 e u   +

−

= , koordinater x₁ =−2, x₂ =1

2

1 2

5 .

1 e e

v =  +  , koordinater x₁ =1.5, x₂ =2

2

1 2

5 .

1 e e

v  

−

−

=

− , koordinater x₁=−1.5, x₂ =−2 Uppgift 2. Uttryck v

i nedanstående figur som en linjär kombination av basvektorer e₁ och e2

och bestäm vektorns koordinater.

O

e

e

v

Lösning:

Vi parallell förflyttar vektorn v

så att startpunkt hamnar i punkten O:

O

e

e

v

Nu har vi

2 1 1.5 5 .

1 e e

v =  −  , koordinater x₁ =1.5, x₂ =−1.5 Uppgift 3. Bestäm koordinater för w v u

2 10 −

= i basen e₁

och e₂ om v

:s koordinater är 2 och 1 samt u

:s koordinater är 1.5 och -2.5 i samma bas.

Lösning: v 2e₁ e₂ +

= , u 1.5e₁ 2.5e₂

−

=

2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

15 17

5 3 10 20

) 5 . 2 5 . 1 ( 2 ) 2 ( 10 2 10

e e

e e e e

e e

e e u

v w



























+

=

+

− +

=

−

− +

=

−

=

Därmed är w

: s koordinater i basen e₁

och e₂

x₁=17, x₂ =15. Uppgift 4. Bestäm p och q så att u (p 1)e₁ 2e₂

+ +

= och v 3e₁ (q 5)e₂

− +

= blir lika

vektorer.

Lösning: ( Vi använder att koordinater är entydigt bestämda för en given bas)

7 ,

2 }

5 2

och 3 1

{ + = = − ⇔ = =

⇔

=v p q p q

u 

Svar: p =2, q=7

Uppgift 5.

Avgör om u

och v

är parallella där

a) u=2e₁+e₂, v=2e₁+2e₂ b) u=2e₁+e₂, v=8e₁+4e₂ Lösning:

a) u

och v

är parallella om det finns ett tal k så att v

= ku .

v

= ku

⇔ 2e₁+2e₂ =k(2e₁+e₂)⇔{2=2k och 2=k}

där båda ekvationer måste satisfieras.

Men, första ekvationen ger k=1 som är motsägelse med k=2 i andra ekvationen och därmed finns inget k som satisfierar v

= ku

. Detta medför att u

och v

är inte parallella

b) v

= ku

⇔ 8e₁+4e₂ =k(2e₁+e₂)⇔{8=2k och 4=k}⇔k =4 . Alltså v

= 4u

dvs är parallella vektorer.

Svar a) nej, b) ja

Uppgift 6. Låt v e_x e_y e_z

− +

= 2 , u e_x e_y e_z +

−

= 2 vara två vektorer i 3D rummet med basene_x

, e_y , e_z

. Bestäm w v u 3 10 +

= .

Lösning: w e_x e_y e_z e_x e_y e_z e_x e_y e_z 7 4 23 ) 2

( 3 ) 2

(

10 + − + − + = + −

=

Uppgift 7. Låt u =(1,2,3)

, v=(1,1,1)

vara två vektorer i 3D rummet (i någon bas t ex e_x , ey

, e_z

). Bestäm a) u +v, b) u −v c) u

5 d) v

−10 e) u v 10 5 − Svar: a) u+ v =(2,3,4)

b) u− v=(0,1,2)

c) 5u =(5,10,15)

, d) − v10=(−10,−10,−10) e) 5u−10v =5u+(−10v)=(−5,0,5)

Uppgift 8. Bestäm p och q om möjligt så att u

och v

(definierade nedan med koordinater i en given bas) blir lika vektorer om .

a) u =( p,3,3)

och v=(3,q+1,p) b) u =( p,3,2)

och v =(3,q+1,p) Lösning:

a) Systemet med tre ekvationer







=

=

=

3 2 3 p q p

har exakt enlösning p= 3 och q= 2. ( Då blir u = v

= (3,3,3)

b) Systemet med tre ekvationer







=

=

=

2 2 3 p q p

saknar lösning, eftersom p=3 (den första ekvationen) och p=2 (den tredje ekv. ) är en motsägelse.

Svar a) p= 3 och q= 2 b) Det finns inte sådana p,q att u

och v

blir lika.

Uppgift 9. Bestäm p om möjligt så att u

och v

(definierade nedan med koordinater i en given bas) blir parallella.

a) u =( p,3,3)

och v=(8,4,4) b) u =( p,3,2)

och v =(8,4,3) Lösning:

a) ( u

och v

parallella) ⇒ det finns k så att och ^{(p,3,3)=k(8,4,4)} . Härav system :

 ⇒







=

=

=

k k k p

4 3

4 3

8

k=3/4 och därför p= 6.

Då blir u=(6,3,3)

uppenbart parallell (proportionella koordinater) med v =(8,4,4) b) Den här gånger från (p,3,3)=k(8,4,3)får vi systemet







=

=

=

k k k p

3 4 3

8

som saknar lösning.

Svar: a) u

och v

är parallella om p= 6.

b) Det finns inte någon p så att u

och v

blir parallella vektorer.

Uppgift 10. Låt A=(1,1,1), B=(2,4,8) vara två punkter i rummet (där koordinater är givna i ett koordinatsystem O,e_x

,e_y ,e_z

). Bestäm koordinater för punkten P som ligger på sträckan AB och delar AB i förhållandet 2:3.

Lösning:

O

A P B

Lägg märke till att en punkt och tillhörande ortvektor har samma koordinater.

Vi har

→

→

→

→

→

→

→

→ =OA+ AB=OA+ OB−OA = OA+ OB

OP 5

2 5 ) 3 5(

2 5

2

Därför (7,11,19)

5 ) 1 8 , 4 , 2 5( ) 2 1 , 1 , 1 5(

3 + =

→ =

OP ,

P har samma koordinater som

→

OP.

Alltså )

5 ,19 5 ,11 5 (7

=

P .

Uppgift 10. Låt A= (x1,y1, z1) och B= (x2,y2, z2) vara två punkter i rummet och S mittpunkten på sträckan AB. (Koordinater är givna i ett koordinatsystem O,e_x

,e_y ,e_z

)

Visa att mittpunkten ges av )

, 2 , 2

(x¹ 2x² y¹ y² z¹ z²

S = + + + .

Lösning:

Vi har

→

→

→

→

→

→

→

→ =OA+ AB=OA+ OB−OA = OA+ OB

OS 2

1 2 ) 1 2(

1 2

1

2 ) 2 ,

2 , ( ) , , 2( ) 1 , , 2(

1 _{1 2 1 2 1 2}

2 2 2 1

1 1

z z y y x z x

y x z

y

x + = + + +

= ,

och därmed )

, 2 , 2

(x¹ 2x² y¹ y² z¹ z²

S + + +

= vad skulle bevisas.

Uppgift 10. Låt A= (x1,y1, z1) , B= (x2,y2, z2) C= (x3,y3, z3) och vara tre punkter i rummet och T tyngdpunkten för triangeln ABC. (Koordinater är givna i ett koordinatsystem O,e_x

,e_y ,e_z

)

Visa att tyngdpunkten ges av )

, 3 , 3

(x¹ x3² x³ y¹ y² y³ z¹ z² z³

T = + + + + + + .

Lösning:

B A1

T

A

C

O

) 3(

2 3

2

1 1

→

→

→

→

→

→

→

→ =OA+AT =OA+ AA =OA+ AO+OA OT

)]

2( [ 1

3

2 ^{→ → →}

→ + − + +

=OA OA OB OC

→

→

→ + +

= OA OB OC

3 1 3 1 3

1 = ( )

3 ) 1 3(

) 1 3(

1

3 2 1 3

2 1 3

2

1 x x y y y z z z

x + + + + + + + +

= )

, 3 , 3

(x¹+x3² +x³ y¹+y²+y³ z¹+z²+z³

Alltså )

, 3 , 3

(x¹ x3² x³ y¹ y² y³ z¹ z² z³

T + + + + + +

= vad skulle bevisas.

O

A S B