Fourieranalys, F2/Kf MVE030 (TMA132) T

Full text

(1)Fourieranalys, F2/Kf MVE030 (TMA132) T ENTAKIT. Datum Tenta Lösning Svar 2006-01-14 X X 2005-08-25 X X 2005-03-12 X X 2005-01-15 X 2004-08-26 X X 2004-03-06 2004-01-17 X X 2003-04-?? 2003-03-08 X X 2003-01-18 X X 2002-08-28 X X 2002-03-09 X X 2002-01-19 X X 2001-08-30 X X 2001-03-09 X X. 24 februari 2006.

(2) Hjälpmedel: Beta, Standard math. tabels, typgodkänd räknedosa Telefon: 20060114 kl. 08.3013.30 MATEMATIK TMA132 Chalmers tekniska högskola. Fourieranalys F2/Kf2, 5 poäng. OBS! Ange namn, personnummer samt linje och inskrivningsår.. 1. En lång cylinder har från början temperaturen 0 . Efter tiden t = 0 hålls mantelytan vid en periodiskt varierande temperatur. Bestäm temperaturutvecklingen i cylinderns inre. Den beskrivs av följande ekvationer:. 1 ut = (rur )r , 0 < r < b, t > 0, r u(r, t) begränsad u(r, 0) = 0, u(b, t) = sin t, t > 0. (led: sök lösningen som en serie i Besselfunktioner.) R5 R∞ 2. Låt F (ξ) = 1 arctan(x3 )e−iξx dx. Beräkna −∞ F (ξ) cos ξdξ . 3. Med hjälp av konforma avbildningar hitta den elektrostatiska potentialen u i området. (x, y) ∈ R2 , x > 0, 0 < y < x, x2 + y 2 < 1 som är lika med 0 på x-axeln y = 0, lika med 1 på cirkelbågen x2 + y 2 = 1, lika med −1 på linjen y = x, 0 < x < 1. 4. Hitta lösningen till randvärdeproblemet. uxx + uyy = 1, 0 < x < π, 0 < y < π, u(0, y) = 0, u(π, y) = sin y, u(x, 0) = u(x, π) = 0. 5. Bestäm samtliga egenvärden och tillhörande egenfunktioner till SturmLiouvilleproblemet. e−2x. d 2x 0 (e u (x)) + λu(x) = 0, u(0) = 0, u(1) + u0 (1) = 0. dx. Beskriv egenskaper av egenfunktioner. Utveckla funktionen f (x) = ex i Fourierserie m.a.p. det systemet. 6. Utveckla funktionen f (θ) = sin(θ/2)+1 i en komplex Fourierserie på intervallet (−π, π). Vilka formler ger serien för θ = 0, π/2, −π/2, −π, π ? Vilka Fourierutvecklingar får man med integrering av serien?? Med derivering av serien?? Formulera motsvarande regler. 7. Formulera och bevisa Besselolikheten för Fourierserier. I vilket fall gäller ekvation i stället för Besselolikheten. 8. Ortogonala och ortonormala funktionssystem i Hibertrum. Hur transformerar man ett icke-ortogonalt system funktioner till ett ortonormalt system? Vad betyder att ett system är en bas? Varje uppgift kan ge max. 8 p. Skrivningen beräknas färdigrättas måndagen, den 28. jan. Lösningsförslag publiceras på kursens webbsida 16.jan. G.Rozenblioum. 1.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18) Hjälpmedel: Beta, Standard math. tabels, typgodkänd räknedosa Telefon: 0762186654 MATEMATIK 20050312 kl. 08.4513.45 Chalmers tekniska högskola TMA132 Fourieranalys F2/Kf2, 5 poäng OBS! Ange namn, personnummer samt linje och inskrivningsår.. 1. Med hjälp av utveckling i Fourier-Bessel serie hitta en radial lösning. u(r, t). av randvärdeproblem för värmeekvationen. ut = ∆u − u r < 2 med begynnelsevillkoret u(r, 0) = 4 − r2 , 1 ≤ r ≤ 2, u(r, 0) = 3, r < 1 och randvillkoret u(r, t) = 0 för r = 2. R2 Hitta andragradpolynomet P (x) som minimerar 1 |x3 − P (x)|2 x−1 dx. i cirkelskivan. 2.. 3. Med hjälp av konforma avbildningar hitta den elektrostatiska potentialen. u. i området. (x, y) ∈ R2 , x, y > 0, x2 + y 2 < 1 0 på y -axeln x = 0, lika med 1 på cirkelbågen x2 + y 2 = 1, 1 1 lika med −1 på intervallet 0 < x < 2 på x-axeln, och lika med 0 för x > 2 på x-axeln. som är lika med. f (x) har Fouriertransformen fˆ(ξ) där fˆ(ξ) = 1 på 3 intervall < x < 2n+1 , n = 1, 3, 5, fˆ(ξ) = −1 på 3 intervall 2n < x < 2n+1 , n = 2, 4, 6, och fˆ(ξ) = 0 utanför dessa 6 intervall. Hitta f ∗f ∗f , f ∗f ∗f ∗f , R∞ f ∗ f ∗ f ∗ f ∗ f f ∗ f ∗ f ∗ f ∗ f ∗ f och −∞ |f ∗ g|2 dx, g(x) = sin(5x) x .. 4. Funktionen. 2n. 5. Lös med hjälp av utvecklingen i Fourier serie i egenfunktioner av ett passande Sturm-Liouville problem vågekvationen. utt = uxx + ux , 0 < x < π, t > 0 med randvillkoren lkoren. u(0, t) = 0, 2ux (π, t) + u(π, t) = 3 och begynnelsevilu(x, 0) = x, ut (x, 0) = sin(x). (Tips: skriv uxx +ux som e−x (ex ux )x. för att få S-L problemet och bestäma viktfunktionen.) 6. Utveckla funktionen vallet. (−π, π).. f (θ) = exp(−θ). i en komplex Fourierserie på inter-. Vilka formler ger serien för. θ = 0, π/2, −π/2, −π, π ?. Vilka. Fourierutvecklingar får man med integrering av serien?? Med derivering av serien?? Formulera motsvarande regler. 7. Låt. {φn }∞ n=1. vara ett ortonormalt system i. L2 (a, b).. Ange tre villkor som. alla var för sig är ekvivalent med att {φn }∞ n=1 ar ett fullständigt system 2 (en bas) i L (a, b) (Sats 3.4). Beviset krävs. 8. Berätta så mycket du kan om linjära system, deras egenskaper, karakteristiker och Fouriertransformationsbaserade analysmetoder. Ge exempel. Varje uppgift kan ge max. 8 p. Skrivningen beräknas färdigrättas måndagen, den 28. mars. Lösningsförslag publiceras på kursens webbsida 15.mars. G.Rozenblioum. GR.

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28) Hjälpmedel: Beta, Standard math. tabels, typgodkänd räknedosa(icke-programmerbar) MATEMATIK Telefon: 0762186654 Chalmers tekniska högskola 20050115 kl. 08.3013.30 TMA132 Fourieranalys F2/Kf2, 5 poäng, LÖSNIGAR : OBS! Ange namn, personnummer samt linje och inskrivningsår.. OBS! Skriv namn och personnummer på samtliga inlämnade papper. 1. Utveckla funktionen f (x) = x3 , 1 < x < 2, f (x) = 0, 0 < x < 1 i serie P ck J3 (µk x/2) på intervallet (0, 2) där µk är positiva nollställen av J30 . 2. Ett ringformigt membran 1 ≤ r ≤ 3 i polära koordinater har innre randen r = 1 xerad, medan den yttre randen r = 3 vibrerar med vinkelfrekvensen ω och samma amplituden 2 för alla punkter på den yttre randen. Membranets rotationssymmetriska vibrationer beskrivs av ekvationerna ∂2u 1 ∂ ∂u + c2 (r ), 1 < r < 3, t > 0, u(1, t) = 0, u(3, t) = 2 sin(ωt). (1) 2 ∂t r ∂r ∂r. Bestäm den stationära rotationssymmetriska svängningsrörelsen, dvs. en lösning på formen u(r, t) = v(r) sin ωt. För vilka ω nns en sådon lösning?? 3. Med hjälp av konforma avbildningen till det övre halvplanet hitta en harmonisk funktion u(x, y) i enhetsdisken x2 + y 2 < 1 som har på cirkeln x2 + y 2 = 1, eller r = 1 i polära koordinater r, θ, gränsvärdena u = 1 på cirkelbågen 0 < θ < π/4 och u = 0 på resten av cirkeln. 4. Funktionen f (t) har Fouriertransformen ω 2 θ(ω) 2 fˆ(ω) = ) (1 + ω 2. där θ(ω) är Heavisides funktion. Beräkna 5. Lös Laplaceekvationen. R∞ −∞. f (t)e−|t| sgnt dt. ∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y. i rektangeln 0 < x < π, 0 < y < 1 med gränsvilkoren u(0, y) = 0, ux (π, y) = 0, u(x, 0) = u(x, 1) = sin(x/2).. 6. Lös problemet . uxx = ut + u, 0 < x < π/2, t > 0, u(0, t) = 1, u(π/2, t) = 0, u(x, 0) = cos(x). 7. a) Ortogonala och ortonormala funktionssystem. Hur transformerar man ett ortogonalt system till ett ortonormalt system? Fullständiga system. b) Konformavbildningar och ström. Nivåkurvor. 8. Härleda formeln för genererande funktion för Besselfunktioner. Varje uppgift kan ge max. 8 p. Skrivningen beräknas färdigrättas fredagen 28.jan. G.Rozenblioum GR.

(29) njirpmed€L Bd4srndardnaih hhers,Irpsodrdiddk!€ddi(i.rc,pDFmEdbd) M,TTSMATI( Tele6n: A,na Nysi6n, 07397ru263 cldhen relnbrd hdglkora 2004{3 26 kt.03.{5 13.45. TMA132 Fouie.ud]B. F2lKt,. 5 po6ng. hn d. iEHnhsar.. 1. utEHa funkrionen J{r) = l,' < t, J(r) = 0,1 <. < 3iBede p[ c*J,(rr!,/3) ibteNnnet(0,3) dnr 4 $r positiQ nolktiillen av Ji. D H , ' d a ' & d s r ? d p yo' o m e - P ' r r s n n t d a q d. !;Nt-F|r),r,ir. 3 . (o$lruera en konlom avbildning sdm aabildd omrAdet 0 < rgz tr/4, zl < 2 p[ dd iiEe ba]rTldnet. Mlh problem i poiedialho nu l6Banod nj p aa den ovltldnilgeDi !u. tion€n J(t) hd rotrida'sfdnm. < lci. j(u) der. -tut-t,d >3 ti@)t=o,t <2,ti(o)=1,2<dt<3,if(u) Fiir a > 0 nDkdonen ec(i) deiDiddsn eo(r)=:+.. Betan tuhk-. liolenh(a)= J t(edrtxrl rai. 5 . L6s, ned hjiilp 6v rouidmslomaiion w:vs. i ,,led, begtnnersevildepob-. 4 t .+ e t ,t > q d. <a<e. 4.,0J: t@),Je L\i e Ll u(,, t') besd.saddar + 6. 0) (r) (s). {. Fllation Delm €selElrpdt. av nrliion€n ochd€nm F-loe6de.td.. IIu nA4a sram o.h be$de]*vill<dr t}?a paiiello dift rentialetBtioDer? 3. FJrleda dtffMtial€trtion Vdje uppsiii lc! se D*.. nrl1e nd. stiiua 6r oli]a. itr LlgendElolrndnor 3 p. Sbnin8a. bdihs. fdrdisratta hedaseb,.

(30) 6,t:. rr'.rAli?. | (Lt, /. Fi.,.'-n:L.-.14,,,,1p Fz./r !2. , ,o"u "" ,". i-,,-Q 5,3 6, S' ai , {''3, ? '"', iLr B'444(*eko*.''. s*lu.. 1. (it,x7z1.{',.(n),r ' "2, t$1"i". "-. ,'. p.A, i.,,lz,rutL/t/e.l rt'.t). d/'. */. l*!!zt"1y1'/"1lyet t' Ele' urlx/' x r''l'ta. ,i;;U ':Lti !' J, ,r,^l' (t'1 'n ". hLLr .'414. . . 1,. ,. ,,1/t. ,u. [.-.*c,- Aea*( ;*{+'.,* gy I:,.'. {. wt d. .-. lt'r&l. î*kf:.2^ \. ./\ rx /:. J , rJ " { t " " n t t r - ( 1 , .. =. (i)o. ,1," (r''+, "=t1 '. X'J,(y). \. ?. 1. ( + ). ). -. \(t'J,r,l+ Lt,'t. J , ( 4,.). c,t .. \'.ttc. 1 q"\. . --l. 1\^rxl{'"r tdk r ( a '. f,. 2". J"(V")-. v.' G'*- Sci,'nlla'r{opu -L:o+;,-v " u'^'/i"J'" Fbnt 2 /x). x- F". (, htt f * as'/14flt1'*:1 \ " ( , ) + z t t ) r, {, {c, t\. '"id. , ' t tt L ' v - } L. j , . ' + , , 9 n . 5 n- ($i. e, )9.,. ^. l. t-s"l'. l]{"ri ll. ilr .. ll. X ' ;. , 42,9.7. 9 1' r 1 c. - l. ' \t(i"' ; , 11 9..11. l. li'. Jr'. (. 4 \. ll0 rr". +">. / l. L. glll'. t. !. \ t ! , \\. (-i. z. L 4" , t (r''4 J. x . g 4-. \x,." /'4. '. )|. v1. -. r ! \ r ,^. to ; '. ,J4. 3a). d& : 0. 11tr.

(31) , ll,7 [a'/a. wu, +)"t:4t aartx,.*L'u.atn-htd'ffft-\,;44 \'Aafn-lt^x '4'1A P .. (.1,. C,; c.t7 -. 3. I. '. 4 -_ -. ttl-U'. \'.' \1"4. Ût", tk?,/,s. F-,'7. n. -;p7*,,,^,&"t. a!.!"q!. Lqa. 2r'7". I tlq l*k. 'r D-. //,r//,, v' klt crte. w =Z u - / ,. x ,{7. '1".. o,6f. ,. /. w-.ylar-- ^* *r''* 1,4. D. r. L ttcl,r(1gz. fulv/a"'<*.

(32) - l. S.r-l'rwrorai|ttr+ *.r'. J. V= - -. .. - LS- = - (. /. ^. r. Lq.-)'. 4. 4\?. , -. /. -. '. ( . " ". ; ). 4. z ; ' - ). r\r. \ zq rat"-. z - 2J,. u) u'l o4 a.n oq l",i'.f"4 a '&^,,,i,-4u, t q *' *o *k:,'. *- ' " ' l , u;)i .i. t,,,, 9,,,r*t#'Yt. n' u c * ; D , ' ' = f 7 &7 v a 4 * o. ki F Fr'!*1i V+L Uu/' iz)^c**au.,." - (l 1 ' d '< rr a ? t * " f u " a),/ t* r' f .J,. d\' - ' q : " t t ( * r i . r \ ' a l 1 , . , . I \ r 9^ i ) ; \\ t:.'i c' ' t t ' u " ' , l i r , ; & it,ir-. u . . . , , , t u" .= * ". n ; . ) * ttJ';i. /: :) . k . o . i 1 , " )+. i r " ' n l ; " ' - ' i ' ua. n* " o')o'L ^" *'i*-"9 q., f +t G) V' t ".l . z 1 ' * *C^r,?+'C ^ , ) =\)',5. ,t t I { o * t , r = 1 1 ' - + r, g a){ gr""rt" -*-'l*. o.tt'"i.' u t;,stu*u. ,. -tL. i , t s t l = A l r l l t ' L e t t t B / t ) ' . " ' '6" ' t-w!4: ,. , r.^qro']a'l '^' 1-t ac x {1-.*;'i+ V, qzi''"t'/1"+-*' 6 /ti'+(el g [';i' q) t-tl";'a'#fEil".

(33) A1|d.,. ,t)r o .3 (.,1. Li1r;J =. . , ( r , { l- , . . r r j . ' 1 5n ' e t. i t t l , , t u r t ,,",,,4*- *k e .Aa t,L,,-r\q _t a*/ ( €'"Ly+ @ t. 1:a-[.2. 141a <:. 1,fi,t-).''F f(x't) r+ J ;, , F1, ,/ , o , , t , , . r v o,, A l*i,lr""t k"' ulawq' lt. ' ^' yf;,i,|(i., tt^:;f,, ;,* *Wi " ' i" 'o ''#;1 t''l',1,,,i urYr' J .',,,t'. -), , w ( x , t 1 ' ' w . ' 1 t , t 1 . , i " * J*L'"' y:;,Y.'*,,,,. tui"-. lre'r'''lt"^"r" -. , ,- ,t V /.1=Y(,tl ' o,. *:b:).'Xt"t:l,l'L'" y" =K X r,_*;':,'::J"1: r',.) n, t!. | . \r. il,.,.i \'. A,;. ". ^. n {,",11'o",^^l, l::^;,\J1,tr". [-r\L_6.:. :. .",,. y r ^ i , , , ,i . r ,. 't''-"4<" *'-'"'" ri' ^' .l;lr"' 'fr )'.u ". ' t^ "i ,ql - l-ll^,: :?"7. _,-, ";fr,;-';."i j''! *'i*,. 1izt-d ' x -r: ->. co'la 1 '. '-,-u \. '. -i.. "+ i-tt. 'n=o't. e7e*"' 'J^f *1"1+^"L+.

(34) a. l luS*-1 . &et \ ijrr,-a, _ v. v. v\tt= ;. I. &V V crr4. W Pr'5&'1a&1 aLitr. 5Vt4. 4-u ilrl€. e ,{ r I Y , G l. SL'W )i',.*Â(ao'2t.''. 2r','{t)X'&}rf*e''oX'^ 7* e,(+1): Xr.,(^l= { ot"1 'ul' t*k;Y-. w'{ fd'^.[A'$-e:ur-. L-. -. (. e n ( / )^ ,. ;. 2-. \{-rt-X. , L. = llz ). l'. =. , nt. i n" ,. (. \ / , .r! - "Ll o _ +, I('vL /. ( o )= o. {'t -. -.-.---.-_-. )u' ry'. )ire^r. *'^'f*"1*tt'. d*&{nw r-}. n -* lLo &. - i1"1"i{. -U)r)Ll. K+ Z-?+\l- eutr,{l= ia: (i. )u-+4. ). /. \'. \-, ,. ae'/t'. \. \ ' t ' ) d a '\ ' L . ' - i o-'':;^;"). ,rlju.ar*. t. '.. /. V' {rilr r. ;"^. ,^*4*a-&a. klia. '{i't<rtnt'4r'. h = v'. I. 5 t r ^l , X. ("kl. llra'-e-/.

(35) Hjiilpmedel: Beta, Standard math. tabels, typgodkiind rd'knedosa Telefon: Erik Broma n, 0740 -459022, Tobias Gebiik, 0 740-350646. MATEMATIK tekniskahdgskola Chalmers. 3.45 2004-0r-t7k]. 8.45-1. .1. TMA132 Fourieranalys F2/Kf2, 5 poiing OBSI Ange namn, personnummersamt linje och inskrivningsAr. l. Eit linjiirt tidsinvariant kausalt system har stegsvaret/(t) (dvs. /(t) [r utsignalendA,insignaleniir d(t))'. :. e-tq(t),. a) Bertikna utsignalendA insignalen* t?(t)' av b) En sinusformad insignal ger en utsignal, vars amplitud iir hiilften insignalens. Beriikna vinkelfrekvensen'. 2 . Besld,m clet polynom P(r) av hogst andra graden som minimerar roo. - P(")l'"-" d''' J"-uo J.. a) Los Laplacesdifferentialekvation 0<r<2, l i m s - + "uo( r , Y ) : 0 ,. ( urr*urr:0, | " ( 0 ,y ) : u r ( Z , A ): 0 ,. l rr.o):{. U)0'. o'o(r<1'. [*,*,"r_\1, I<r<2.. b) Ge nflgonfysikalisktolkning av problemeti uppgift (a)' 4.. Bestiimen losningtill Problemet, ( ut:'l-Laa *'t1'a1. -oo. (. r 1@''. t ). 0'. - oo ( r ( oo' t '(t' 0 ) :'2 " -" ' i r-led' Ledning:Fouriertransformera : f (r +2kn)' 5. Let / varaen funktioni ,1(R'). DefinieraF(n) tP-* a) Visa att F iir 2n Periodisk' och /:s Fourierb) Hiirled ett sambandmellan F:s Fourierkoefftcienter transform. c) Bevisa(under I[mpliga fcirutslitningar) Poissonssummationsfotme]:. n=-6. k=-oO. en'tL: u(r,t) i klotet' : 1/F + y'TZ temperatur 6, Bestd,m. ( *:y2u:**(r,*), t ,l ft, t) +u ,(l ,ti : o,- '. < 1' da. t. l)0, o<r<1, u( r ,0): f ( r ) , u begr dnsad'. i,. Formuleraoch bevisasamplingsteoremet'. funktionsfomel: 8 . Jrr(r) iir Besselfunktionan orning n' Visa genercrande. it-ri*. i". I. i,rr*^):* i i@).. 7. I. : "ti-l), Yzt' o' Vc' MA.

(36) ,. -1. t FzH+,. Lornrn<iar,, TNA t_lh, t!:T!. -+ #rsl --$. a). e&) A nLep) *'l. saiv. L a re14, U/t) . t/y'-*,,- 'LaH) S 5. ftr> : != un"2 /.. e. (-. t+):. - L. / :Js s-r-/. I s. s (ct-1). r. t*; r"ot) A. r. :. 4sq A;(aL+V) /. _%:L l/l+ t">. l*. On". _ l s+/. 2U. ^. l l t s/ ). e&. j. f. l7u. LfDy-ot-/ 7. tu:L+f) +. e. | =QuJ-. *+. ?. e<-/. * i;. ^k,,r-*r ,{nr*1 d7"--,-.v. & . /l ,, S I 2/* *:/-.fg. 4g"(g +a7 lr(Q +%,ila-(4 7r): * LL; '2, Hn'*rJ^ u-*'d* -/ [,*t +. Ez'-'nitn'Q. 2. Ce. /ro-.o. co -. en :. "/o'. ,[). ;;,i" H, ,*) = 3 \ ,. flo (k) : l) &. ,",. II. I l'. :YkL-z-. H*k). -. i'. Hn rr1 ;r-J*. -M. z--M. ^. L f,;" | -- t e = lfr: - lh| , * / u * * - / * : ? f ,o * . - n r , = ,/i. ." ,lrc ,tr ( k/'h. q| : /: J*,*t- a,x. "-"'.r* :o .zffi a* = Jco L. ô€. tln. o. -. eo. #. =. =hfF'{"-J: *#I**.o'i*: +-? = k _+. ,. I. G. ?r*l ' l. -y>,. " ( /xy //rL-u) o-', - = +- If k3--'/. "o. g,lfr ! u'. l. tnL7.o^'F). i. l. - ' l ' - zt : *-!., | +' ;-:-- (', vx / Y fF tl T r /. /. r , .. ,. :. L. I.

(37) Ty 3 , 9 Q Q t Q v y* % n : o (W,1 ; q,r(ot!): o. %,-. . /t. I n v E g c 4 vQr4 -h ^z/r \_/ )'.,' ('.o .) )- L Q. +). l^ /. = A. 7rS. qL )' n:ott)?r,,,. %(h"*). 2_. dnb. A. Yr(r) = /fnt. dn=0.r+. L^(o,*- "t.Lf -aA1e+4 '. 1 ,rt t q). 4 :. q.do. .frp*oo*''h'6 / //. 'tt(Ftr) :. X ' r r ) = -- Y l y -. 2. k ) : * t ( n + +t )7 ' - - { - -. J. ,. '. :o. ;. X"=)x, xrol: X'e): e. X (k) -. (otwu,*\dC. "l'/l. uk, c)- X*, /u,. 6:. 1n-L/ea: lr"uar&''e .r* )bcl(h. 4^. F"pr-t ,;k. X h 7rl) +\tt t f -. /1r-<?. (fzu v) t. t . / //9):u, ,. -r.r.. t./. =/< O , 6 < k < l .. ktrrro)-lr/. Ll,. /as-ntnn /. 2t// +?vz-,. Ds*. . .t. (Pvs) :. @tlz) , a'.( z,!) = o. b.fz-L/e>-:. O*3<u'. o_<sGz1. +=^. Yt L4n< , n r ? *. g.;4"\. a,rffi,r"- DE+Rvt*?u:Rlq Tnfuth dnt 1,, : o, ,1,( q/u)) :- 7. *. 8,. 9,a-,. <ac. a'4,*. | /' ' Llo*.. (4,k). DardtVtrfi1lufu. h'=o -k go'd,x) = O? -r4-7 =T-_,8, L | ( arz) , 1,"t Gu=) .. \. En=. lr=fO,=lT-4r,.:1, tn;(4,g4x: {,Ls,r(d,k) I f* t; nt. n. a b. J'ra ^, \. (ntll T. 4{rx,g) : 4: h--: t. ,. r. GsKn. e*L) T. r ' o r n - . ^ " t . . ' Fo u " ' , o. L). /07^J'!'i5. ,-. 31r'ir.; -1,7k, k=o ry^ ',{ ,l:f kof '*t -. tc*<.rJ , bto^ A'-'-. ,,!. f. 4n:0,{)T. .{,5 n* dnk) , ot{1b'. Shh'o'Z'. k =c)t. -- 6o<?< , glan. x =L. do , 6r. h llrh; J , fnTt,-/+r- ,D. -hallon ..

(38) '/y. a^.. =k** * k * , fa+ -)< I- u ,r, ot = k r, a - ^. Y'. .. ?. *&. <'J<<6o. =. (. T*n',-l>o-,/o,*.. 4-o. , _. lrol. .. Y-/'*2. Tf''*,*rJ. &o t = ( r ' € ) ' i ' * ( G )=t G ? ' * ' ' t ) l t(E,t) =c te, .'!*4-*''g)L a. /. l. l. a. 6 - t € , "4) , < ( t r ) : J t e ). .-*' j. a ; t7'7 x;rg, * G ;eh= F r:u7 L. '. 7. L. tT=i,r, ( ; {,*t: ^';*'g, dS+ /-+ ;i/r)=E g t) " \ '/' / fn. J E+ : l.tt,t): 5 (r *) :=h . r ' E ',+ t= z =L\ -l+"#)E€= J.lL/t-3-) e *-'.-''-/* yâ-\--* 3 L -^-..--'".-Y/vA. t. L:| A=r*l ;. t. g. -. F. -45. ?_. e. hrcA. q,.w@-. i. \.. -,. L 5r;A:,' /r- .'*-/''a7 / dr,,m. I. /. ++ ;"'/rn. Fe/'t'.-- +. ('r--t"z' ry "no.L +:|ur= J--*-(t,.4/. 5. ? r X* l.c. e ' r '. 't+ E r. ' . L \ - A E -t 7. ('- +)'. - L.2- L. ,. /. - ! p,e./ t - x , i l [r a+^' ,16A t(/ - z Yt-)?;"7v++1 t,?(-f I VFr/ /) (# E--t. tm; = .2-t( v|+t' -. w rr, t). r. ( k+92. i '1v+-rt1t/.'. .-f/&(+/) e. .. a. - V ' / - t' A t f /-'\. . L : _y /rA.

(39) ((/ d<. _t. ...-i-. f,rl. .1- rr) t {x r. Z -&^. frx)=. 6-. &. (x*z-n). F. =. = {, **',q**,) r.-). I. <rz. ). -l. =\(r+z hr) : T*1.. *A'. Tf. 62. q. ( tG ). r. -n. = *I. /. ZIT. <). L. '! lf{*.zLrr)e. 6a. b5--.,. I. -ts-. G. * 1. 4n''. [ t l(. aJ.. t 4. '). L- f(zt 11 -tb. tr. (. (L=+T(,"#)t \. 6 < z t) 4 , u ,. 72 lo, r(',,4) /'*T-;"-*9. I. ar,,+1I ?r/ r,17--o. \ tn{r, o) =}r.1 l/. ho,. fi--. u= Yq 4 o l-"r * (rXr -_o%4r aft \;-t. ,/o'. :. (nr(o,{)=^l(t,+1. \r(r,11:\fnTirl. ? /rLo-< ) - / rT' 7 A/. Lr.. f(+m'va. 6 L. #('u)'. e-(-vo h. 'o *. o. t r ( r r o ) =r f q. /. t. i. t. I. "--- t. t ' r / . h n v ' 7 c a q a ' A v a h A u t" ) ' ' -. K" ,2 P , 72to1={q = o 4. lt+.. P,, +'=. 7z. 8, =?rrq= t>,;(a,{l zrr. A"*7 7'= -)^T g 7=-Tr,+/* q .-)-4. 4r(rrl= t 4 * q t n n n , o n b T , ? r f t q = * w ' ( w L y r = {trl. [* (n,*/*,]: 4 -lnzj. /e-nn^ cp, L/,) /'o1*. t. F. lrFtatn-gt+. |. 4,r(\t )= t. Z<";(nno/. -. *J.,.gr*gor. b '. t.

(40) }~w !_f>8 L<L)!)Lu

(41) UNL"bf !&)(ff !_f('L . ()U L()U#<#<'')

(42) !"#$

(43) !%'&')(' ')#f)u)>!! <uL_! < ,* +.-0/2143658749 :<;>=:<?A@ ?ABDC8EF5G3IH2J0KL3NMPORQS7UTA@ V WXY!Z<[ \']_^\<`bac\d'ef^g hji_\<\k'acac^LgNh àml8npop\bqr^siutwvop\<hjxug opy\<op\<]bh zg|{ fG ¡u¢|£¤<¥§¦¨¡#£G©Nª«¬®Aª¥°¯F±>²N³c´µF¶A·¸!¢|£$´<®A¦2¹´º¸f¹´¦¨¡#®»¢ ª¥¼¥¾½®¨½¥¡#¹´<¹ ¿ÁÀ ¯Ê±>²³wËDÌu² ²Î ÂÄÃÆÅÇAÈÉ ÅfÇAÈsÍ Ï2ÑÐ½¸f®U´<«¡#®0²±>Ò ³bÓ Ò ¶U´<¹GØAªÙ¨¹|½¡#¹|£|¹´<®A¢Újª¹|¥¡#®Ü²Û ±>Ým³¦A¤<¹ É$ÔÖÕ Õ×Ô Ó Új·¹ Þ Ý Þ ã Ó Æ á ä â ã Þ ²Û ±>Ým³ Þ!ß à åÓ Új·¹»å Õ Þ Ý Þ Ó Õçæ è2Ó Ú|Æ·¨ Õ éê £ÑëíìÁèªî ¶»¢b¤<£|£ðïAñ8±>Ò ³ ßóò>ôÆõ÷ ö ñö Ó Ò S ø¡u¢ £¤<¥ùÚ>Ù¨®¨ú£|½ª®A¡#® Ñ É Ö Ô Õ ç Õ Ô û ±jë³ ß ¿ À ±jï ñþý ²N³#±>Ò ³ Ì Ò_Ó À.ü üü Í ªî¶0¹|½£´º¦¨¡u¢ ¢çf¹´'Ú| Ç üü ü ß ±>² ¨³ ±>² ¨³_P ¡u¢|£¤<¥§¡#®0«·f¢|®¨½®¨¸£|½««8¡#úµf´<£|½ª®A¡#® ÿ2 éê £ ±>²N³ .

(44) É ß ö|É Ó ² Ó Òcì è2Ó Èu±>² È Ó è³ ß È ±>²N³bÓ ÉÑÔ Õ ² ÕçÔ Ó ¦A¤<¹ ¤<¹ð¡#® ¹ ¡u¡#««8©U´<¹´<¥¡#£ ¡#¹$ªî¶Fì×è¨ÉÑ Ô Õ ÕçÔ G ¡u¢|£¤<¥¼¦¨¡#®0¡#«¡#ú£|¹ ªf¢|£´<£|½¢ ú´©Nª£ ¡#®£|½D´<«¡#®0½ª¥¾¹ ê ¦¨¡#£GÙ¨£´<®2Új·¹£|µ ê £´<®¨¸!¡#¹´<®A¦¨¡ î#¬«½®A¦2¹´<¹ ¥¡u¦î#½¹|úÙ¨«D¤<¹ć£|µf¤<¹ ¢|®¨½£|£ Þ 4 Þ ã ªî ¶ Ì Þ å Þ ã åðªî ¶ ¥¡u¦¥ª£ ¢|µf´<¹´<®A¦¨¡G¹´<®A¦2µf¤<¹ ¦¨¡#®U´¯S© ê Þ 4Þ!ß ã ¹ ¡u¢|©8¯ Ì © ê ÉÞ æ å Þß ã å2 É æ . 2 ð®£´<¸ ´<£|£! ì è¨G ¡u¢|£¤<¥ ¡#®»«·f¢ ®¨½®¨¸#r" ¢|©U¤<®¨®¨½®¨¸!¡#® ±>² Ó|Ò|³G«D¤<®¨¸!¢¡#® ¡#«úf´%$I¡#« ¥¡u¦ ú!ª®A¢|£´<®£G©Iª«¢ ©U¤<®¨®¨½®¨¸'&)ß ( è+ø* £|½««¡#úµ´<£|½ª®A¡#® ß öö Ó Òøì è2Ó è ² ãÓ á âà ±rè2Ó|Ò ³ ,.ß - & Ó. ß ± | Ó | Ò / ³ å ± | Ó Ò ³ 2 è Ó Ò ì Õ è2Ó Õ Èu±>² È Ó è³ ß è2Ó öÈ ±>²ã Ó è³ ß è2Ó ã è ² Î. Õ. Õ ã Ì Óðè 354 ¶ ê ««¢ºµ½¦í£ ¡#¥< £ ¡#¥¾©¨Ù¨¹´<£|Ù¨¹ ¡#®. 02G ¡u¢|£¤<¥§¦¨¡#®»¢|£´<£|½ª®U¤<¹´º£ ¡#¥¾©N¡#¹´<£|Ù¨¹ ¡#®»½8î#¬«½®A¦¨¡#¹|®0² Ì 21 Ì ¦ ê ¦¨¡#®6¨$ Ù¨ú£|½¸´ ¬£´<® ² Ì 71 Ì ß Ì ªî ¶ 8 £ ª©¨©N¡#®8:9 ß;4 ©I¡#¹´<£|Ù¨¹ ¡#®>Ê = ¥¡u¦A´<®?8@I$ ª£|£ ¡#®8:9 ß è ¤<¹Ñ© ê ¡#®A 8 ©¨«D´<£|£´B8¥¡u¦ û ±D'C Ó ³ø¦A¤<¹ û ±EU Ó ³ ß è Úr·¹ 6 ÉF F G û ¤<¹Ñå < ©I¡#¹|½ª¦2½¢|ú ªî¶»¢|£¬îúµ½¢IH © êKJ ¥¡u¦ML < ú!ª¡OÊ N î#½¡#®£ ¡#¹PRQITSÑ½¢b´¾´<£|£ F U V RQ Q%Y Î ã \ û ± ³^ û ± %_ ³a`¨Ó ¦ ê6b ] å c É Z Ô U ÅXW É[Z Ç. Ç. d2GØAª¹|¥Ù¨«¡#¹´Êªî¶e$N¡#µ½¢´ºØUªÙ¨¹|½¡#¹ ¢G½®µ!¡#¹ ¢ ½ª®A¢ ¢´<£ ¢f"rªg$A¢ihsµ´<«"Úr¹|½£|£cµ!¡#¹ ¢|½ª®[*_. .

(45)

(46) !

(47) "$#%

(48) & '! '(*)+,-/.10324/6587:9'! !;<==1>=:>=:? @BADC%EGF&C'HJIK&LGM'NPOQORN8ST"UWVC'T"XZY[T"X\F&O]T"OQ^RT"L_T"CK&U`Sacb d1egfih,XkjlK1j S+jmEnWo^4p M C o^QnqT"C'NPCJrsb$th8uvtwGx'y j t wGx'yGiT[ z{C%^RNPLGO[K&UqNPC}| UWnWO~XnWC nWX,K&UT"X,b$t/h~uc" /+ { b$t/hH'F&O - { b$t/h~u y"{ F&O { Ry ¡'T"M OQnqNPOQo_TN¢,PnqNPC%^RNPO~K£E3w x'y n|K"Y[NPC¥¤ *{ b$t/h§¦¨X©N£H«ªWª *{ ªWª u¬ {{ u¬ u { umb$®°¯²±§h³ ± ± t+x w£y ¸ w x'y { b$t/h{tw x'y¸ tku w x'y ¸ t { w x'y tw x'y<¸ t u ° ® ¯c±µ´· ¶ ®,¯c±D´· ¶ ®<¹ t ¸ ± u w x'y ¸ t w x'y ¸ t]uº§»j¼zj'C3L%a&C L_NPO£½ ®<¹b$®°¯c±§h´ ¶ t { ± u t w x y¸ t]uº¾¿u²À&t!½ b$®°¯c±§hg¹´· ¶ { ± ¾ { w x:Â ¸ ¾ù Ã b$®°¯iÀ_h u ± u b$®°¯c±§hg¹ÁÀ ´· ¶ b$®°¯c±§hg¹ÁÀ À /Ä È |'YRNPOQE_NPO[K©K&^Q^ { b$t/hum±"e *{ b$t/h6u²À`ÉÊt T[ *{ b$t/h6u bÌË`É«Ë&t©¯}t hjADUWUW^RY[asEn K&OµK&^Q^ Í EGK&OÎ³ ,b$thu ± *{ b$th+¯ ± *{ b$th¯ ± { b$thu ± ¯ ± bÌÀ`ÉÊt/h!¯ ± ± bÌË`É«Ë&t©¯}t h Ï ±ÎË Ï Ð ±ÎË]Ñ À Ð ± ± ± ± ± u ¯ ¯ÓÒ ÉÔb ¯ÓÒ h{t©¯ t u bÌÀGÀ`Éi±£d"t©¯}t h Ï Ï ±ÎË À À Ð ±ÎË Ä Ò Ò /@¡ M C o^QnqT"C'NPC¨Ö×+b$ØQh<uBÙ*Ú¼Û Ü "× Ü K&O-¡'T"M OQnqNPOQ^QO[K&C'Y4pÌT"OQX©NPC Ý ÖÞ ×+b$ßàhuâá d1±"ee. ª ßDªãÔä6e ª ßDªåÔä Ä. ç¿n K&O]Þt b$ßàhNPC UWnWLG^µè'LGM ORNPC+³. 2. 1. -3. -2. -1. 1. 2. é. 3. Å4Æ§Ç. ÅÌÕ_Ç. ÅÌæ_Ç.

(49) <C UWnWLG^µ»<UK&C'[ 'NPORNPU K&OµEn!K&^Q^. bÌähu · ´ x¶ u ± ¶ À ´ EnWUWo_NP^-L_NPO. bÌÖ'×t/hPb$ØRh ¸ Øu ± À × Þt b$ßàh ¸ ß u ± × ´ x × . d,ãÔä ±

(50) ± Ô. ä À À Ô. ä Ò Ôä«ãJf. Ò. bÌäh<u Ý × bÌäh<u Ý bÌäh<u Ý bÌäh<u Ý . ¸ß ¸ß ¸ß ¸ß. ÖÞ ×b$ßàh_Þt b$ßàh ¸ ß Þt b$¶ ßàh ¸ ße . ´·x ¶. u × u Ý ¯ Ý × Ï ¸ } ß u × x Ý

(51). ¯ Ï ¸ ß} u Ý Ý Ý Ä. ¨N£HkK_u äÊ| UWnWOLGO[Kp NPC¨K£E bÌäh³. 5a. a. 1. 2. 3. ADUWUW^RY[aF&O Í EGK&OÎ³. ×Ý e. bÌähu ! ". Õ. Ý. e Ý × x e eÝ. dãÔä# ±

(52) ± Ô# ä ÔÀ À Ô# ä Ò Ôä}ã Òf Ä. ÅÇ.

(53) @ ç¿n K&OµH NPC3^QnqH YQ|/NPORTNPC'H N~o_T"C%E_NPo^QnqT"CH1nM'YQnqT"C8NPoE"K&^QnqT"C'NPC+³ ¯ y u Üe ÉDf ãit ã J f e á y£b$t!y eR % d 6 h u. b$thge D É f i ã t ã f e J . Ø åid1e. H'F&O-|VLGVC C'NPUqYRN£H'K&^[K&C

(54) %b$t/h K&Oµ¡'T"M OQnqNPOQ^QO[K&C'Y4pÌT"OQX©NPC+³. w x4y ¸ t3u²À ´ x. Ä ADUW^RNPOQCK&^QnWE&@ ¨N£H3¡'T"M OQnqNPOµnWCE_NPORYQnqT"C'Y4pÌT"OQX©NPU Å nt UqN£H Ç &K O-En ³ Þ. b$t/hu. ± b $teQØQhu À ´ x ¶ Þ b eQØRh4w z{C'Y[F&^Q^QC nWC L©n+H1nNPORNPC%^QnK&UqNPoE"K&^QnqT"C'NPC¨L_NPODK&^Q^ ¶ b4É ¯ h_ Þ u Þ ÜQe Øåid1e "!# %. u $ Þ b eRd%h6u À Ù*Ú¼Û e . . "!#. . Ü¸ . Ä. Þ b eQØRhu²À &' w x( * )+ Ü Ä . . x . w x ( Ü10 u 2 Ü w x 3+(4 e-ØåÔd ¡ K&UW^QC nWC L_YRY[K&^RY[NPCkL_NPOµH'a ç¿n K&ODK&^Q^-, y/ Ä Ý. @ >=3+? 4 ± t°É < ¦]u ± Ü 7 93+48;: ( ¸=< uâ¤¾ u x , x À 5' w x( 0 u w w x:ÂA( ¸ ¾ y . / 6 Ï /Ø ´. 6 ÏGØ 6 ´ Ä 9 ? x @ 3+4 ¨N£B H !TR 3^QO[K&C'YQUK&^QnqT"CpÌa&OEn ³ !B#. >E@ D 3+4 4>E? Í E"K&OÎ³ b$t!eQØRh6uC, y x . À w x ( Ü w *)+ Ü 0 u 6 ± w x:Â ( ¸ ¾ ¨´ >ED 4 9? Ä @ +3 4 ADUW^RNPOQCK&^QnWEF&@ Í &F ^Q^ b$t!eQØRhH u G/b$tI ¯ ØeQØQhK j J a pÌa"Y G"ÜQe É f\ã·t ã c D f e á GG£y $b ty eRuH d%h6uH b$thge D É f\ã·t ã f. Ä. Í K&XX,K oGK&UWoVUqNPO-YRT"XT§E"K&C Å X©N£HL-ucd Ç _L NPO GÞ b . eQØRhu²À w x ( Ü e . Í T"X K&O-nWCE_NPORY-^QO[K&C'Y4pÌT"OQX©NPC+³ G/b$t!eQØRh6u. ADUWUW^RY[asEn K&OµnWL_NPC. Ø åid1e. 6. ±. @ >E3+? 4. ´ @ M? w x:Â ( ¸ ¾ Ä 3+4. >=@ D 3+4 4>E? Í EGK&OÎ³ b$teQØQh6u 6 ± ´ >=@ D 4 9? w x:Â ( ¸ ¾ Ä 3+4 æ.

(55) @r uZ± ¥KÎE| nWUqH'K&O]H NP^ K&o^QM'NPUWUKYRC nW^Q^RNP^Z^QnWUWUDT"XO[a"H NP^ X©NPUWUK&CcNPC 'NP^RYRPnWOQo_NPUWCmª r ª ± T[ ª r ÉJ± "À'ª m± "À1j Í N£H'K&CÊK£E| nWUqH'K&O r u e ^QnWUWU|K& C'H NP^¿X©NPUWUK&CÖRN£NPUWUKF{K NPUWC8T R G]u gj PnWOQo_NPUWCÔ Ò J NPCŸgK&XX, K&C'Y[K&^Q^[K]K£E| nWUqH1C nWC L_NPCÊrâK£E| nWUqH'K&O O[K&C'H NPx OQ CK8ª ª' u± TR Ôª sÉ "À'ªuB± "À°Sa©ORN£NPUWUKF{K NPUWC+³ Ò ORN£YQS/NPo^QnWE_N G©u ànr S UK&C'NP^Îj Ò v1. y z=x+iy w 1= 1/ z P1. P1 P2 1. -1. P2 2. u. 1. -1. x. 1. D1 D. v w +1 1 1 - w1. w=i. P. 3i. 2. D2. u. P1.

(56)

(57)

(58) !"$#&%('*) %+",-.

(59) /'&) 0&

(60) 1%+235467'&

(61) ."$%+8 9;:=<?>A@CB < EGF B@,IR>ASUTB;< EGF BPQIV>ASXWB " ]-1) "$%+" < EGF B-H&IV>ASUT_^ [&\ & ^ s7H T oUu(g, F T t 4. D EGF -B H&IKJMLON E @CBPQIB L Z D YF JMK. E S`WabSUT+Ic d -1fe%+g0 #$h#Cji%+%+",-.

(62) 1%+],k-1) "l),mn #C"$#$CoKpq-g4 Tr>. ^ F T ^ts7H T E ^ >AsQv >ws v a F T t ^ s7H T v. W W ^ s7H T I E a F T ^ys7H T I a F T z a H T azs|{H T F T x vW >wsQv Z W W ^ H W ^ H T E a F T I x E a F T I x T v v }.

(63) J¿EY-ST"^RNPC^QnK&U+S ORT"| UqNPX©NP^µnr. S UK&C'NP^- K&OµUGYQC nWC L_NPC É ±-É É G ±É b ¯G h b e G h<uc ¯ u Ñ b4±-É h ¯ G À Ä ±¯²b ¯ G hÉ« Ò y ÉI H1E1Y u y G u É T [ ç¿nqH'K&ORN©L%F&UWUqNPO~p"Or u ± e C ¯ G u u y y( ( y( ( y( ( y( ( ¯IG u y j<ADUW UW^RY[asU GYQC nWC L_ NPC¨F&O ( ( ±-É É t ¯ Éi± y(( Í E"K&OÎ³ àb$te h6uc ¯ É uc ¯ Ñ t ¯ ¯ Ä Ñ ±6¯ ¯·À Ò Ò Ò y(( y( (

(64) -AµUW^RNPOQCK&^QnWE^µoM C'H N~En!H1nWORNPo^DK£E| nWUqH'K ^QnWUWU!|K&C'H NP^ n!r S UK&C'NP^ÎL_NPC'T"X K&^Q^DK£E| nWUqH'K u ±~S a r u fcj£j£j£j 5/@ J` a uc d~ K&OàEn:nWC 'T"X©T"L_NPC nW^RNP^Îj6ADC'Y[F&^Q^ b$t!eQØRhub$th1¯ Gb$t!eQØRh6T[ ,EGF&U b$t/hY[aK&^Q^H NPC Y[K&^QnqYQèNPO[K&O |a"H'KH1nNPORNP^QnK&UqNPoEGK&^QnqT"C'NPC TR O[K&C'H1EnWUWUWo_T"ORNPC+ ³ b$thucd1e. -b d%h6u,e. . Ìb4±§h+¯·Àb4±§hàucd. . . ç¿n/pÌa&Ob$thu b4±-É t/hjKJ as K&OµEn. Ä. . b$t!eQØRh6u b4±-É À /t h!¯Gb$teQØQh Ä Ò z{C'Y[F&^Q^QC nWC L©n ³¼Y-S ORT"| UqNPXL_NPOG:³ S ORT"| UqNPX©NP^Î³ . ( G d1ÜWÜ e e ! " GG/£y b d1y eQu ØQhà) uJ. Øåid1e d©ã·t ã "± e G y b4±"eQØRh+¯·ÀMG/b4±"eQØQhucd1eØåid1e G/b$t!eRd%h6u°b t Éi±§hge G&ÜRb$teRd%h6ucd1e d©ã·t ã ± Ä ADC'Y[F&^Q^Gb$teQØQhàu}b$thsb$ØQh uc d j<ç¿n/pÌa&O . . u . ç¿n/pÌa&O p"U QK&C'H NNPL_NPC%EGF&ORH N£YQS ORT"| UqNPXp"O"}b$th³ . . b$t/hu!#}b$thge. ±. . . . u!b4ãid%h. ¥b d%hucd1e . . Ä. b4±§h¯·À$}b4±§hàucd Ä. Í F&^Q^%!8u ÉDä pÌa"Y&¥b$t/hDu(' ä!t°¯ )+*-, ä+tj}b d%h¿u 1d egu%$.)u d T[ / 4b ±§h¯ÔÀ$¥b4±§h umd u $ ä%*-, ä3¯¥À0' äÊucd j J NP^Q^[K F&O-M S S1p VUWUW^ X©N£H1'2uc dT"X T [ NPC'H'K"YQ^-T"X '. . 5. J. 354. . äÊu Éµä"À Ä. NPC CKNPoE"K&^QnqT"Ck K&O-T_F&C'H1UWnWL°X,a&C L%K S/TGYQnW^QnWE"KsO5"^Q^RNPO¿ä ä ãÔä ãÔä ã e Ä£Ä£Ä 6.

(65) YRT"X YQEGK&O[K&O X©T"^ YRo"F&OQC nWC L_YQS M C o^RNPOX©NPUWUK&C3oM OQE"K&C © u ^QnWUWU!NPL_NPCE"F"H NPOQS ORT"| UqNPX©NP^Dp "O" F&OC%M. 354. . ä6eDä}åid T[ ]UWnWC04NPC © u Éµä"À1j <L_NPC UGYQC nWC L. ® u ±"e[Àe e y u 5 ä t!e Ò £Ä Ä£Ä&Ä nWUWUW #"O[K&C'H N~^QnqH YQp$M C o^QnqT"C'NPOµY[K&^QnqY4èNPO[K&ODH1n/NPORNPC^QnK&UqNPoEGK&^QnqT"C'NPC+³ . . b$ØQh6u É ä b$ØQhge . X©N£HK&UWUWX,F&C CK©UGYQC nWC L_NPC . Í M S/NPOQSTGYQnW^QnqT"CL_NPO Gb$t!eQØRhu. b$ØQh6u' . ¶. . '. *-,. *-,. . ä Ø+¯+) ä Ø Ä. ä Ø!¯+) ä Ø 0 ä t & Ä. G c u © d © X N£H' K&C À Gb$teRd%h6 u b t°ÉÔ±§hu ¶ ' ä t!e d©ã·t ã ± Ä Ò G <L_NPC1p M C oVnqT"C'NPOQCK ä te® u ±"e[Àe | nWUqH'K&OàNP^Q^àp$M UWUqYR^[F&C'H1nWLG^T"OQ^RT"L_T"CK&UqYQV1YQ^RNPXnnWC^RNPOQE"K&UWUqNP^`b d1eÎ±§hàT[ Ä£Ä£Ä ' F&Oµ¡'T"M OQnqNPOQo_TN¢,PnqNPC%^RNPO ± À ' u ´ °b t°Éi±§h 5 ä t ¸ t!e Ò X©N£H3C'T"OQX,K&UWnqYRNPOQnWC L_YQpÌK&o^RT"ORNPO u ´ ä t ¸ t3u Ñ£Ñ£Ñ u À± ¯ Ï¿¯·± ä Ä J`F&OQX©N£H Å X©N£1 H ' NPC UWnWLG^DTÎEGK&C Ç K&OEnU GYRC nWC L_NPC+³ Í E"K&OÎ³ b$t!eQØRhu b4±-É À t/h!¯ ¶ ' *-, ä Ø ä t 5 Ä Ò " @ ç¿n K&O-O[K&C'H1EGF&ORH N£YQS ORT"| UqNPX©NP^Î³ ç¿nWUWUWo_T"ORNP^ G"Ü[b$t!eRd%h6u²du%$. ). (

(66) ¯

(67)

(68) ¯

(69) ( ¯ ( ucd1e d ã e É e d©ã ©ãe ( É e d e ! b ( e e6h ucd1e ( ( d ã e É e " b&e e£h6uJd1e b &e eRd%hàu behge d ã e É e 'H F&O b eh u d1e É < jÔç6K&OQnK&|NPUqY[NPSK&O[K&^QnqT"C'NPC be'eh]u©b%hb h! bh udÊL_NPOp "U RK&C'H N H1nNPORNPC%^QnK&UNPoEGK&^QnqT"C'NPOp "O"#mT[ $! ³. . % ¯ & . . ÉÔb ! ( ¯ 'h u²d1e ( ¯ ') u²d1e ! ¯ !*!Ju²d. +. Ä. . .

(70) F&OµF&O. . NPoE"K&^QnqT"C'NPC À8S/NPOQnqTH1nqYQo TR K&OUGYQC nWC L_Y4pÌT"OQX©NPC+³. ©b h<u X©N£H'K&CNPoE"K&^QnqT"C'NPCkp "O ! F&O !. '. *-,. . ® µ ¯+). ® ' eÓp"O. . '. uJ® e. ® ucd1eÎ±"e[Àe. Ä£Ä£Ä. e. < b Ébhge p "O ! u É < e < åid bhu 5 Ä DMp"O!EGK&O 4Nà® F&O<NPoE"K&^QnqT"C'NPC p "O NPC N£YRY[NPUqYH1nNPORNPC%^QnK&UqNPoE"K&^QnqT"C,KÎET"ORH1C nWC L ® j J NP^Q^[K1"X©N£H O[K&C'H1EnWUWUWo_T"O Å TR ! u É < Ç L_NPO¿K&^Q^" F&ODK£E°p T"OQX©NPC. b %hu. b < %hge H'F&O F&O N£YRYRNPU/p M C o^QnqT"CKÎE°p"ORYQ^[K YQUK&L_NP^Îj DK&C'H1EnWUWUWo_T"ORNP^ b e ehu²d %u $ ©b <h ucd j ¿ J E1Y b < h6ucd Ä < J`F&O4p "OÎp "OEGK&O 4N¿®1T"X d©ãÔä ã ä ã Ñ£Ñ£Ñ ãÔä

(71) ã Ñ£Ñ£Ñ F&OC'T"UWUqYQ^[F&UWUqNPOQCK,K£E Y[a F&O

(72) u²ä

(73) j J NP^Q^[K L_NPODK&^Q^ b %h<u bÌä

(74) h Ä ¨N£H3YQM S SNPOQS/TGYQnW^QnqT"C3p a"Y Í EGK&OÎ³ b&e ehàu. ¶ ¶. ä

(75) . . . <b

(76) . ä

(77) b Ébh e ® µ ¯

(78) ® h 5 . *-,. " /

(79) H'F&O

(80) TR

(81) F&O6o_T"C'YQ^[K&C^RNPOÎj Í UWM ^QUWnWL_NPC°L_NPC'T"X K&^Q^K&CE"F&C'H'KO[K&C'H1EnWUWUWo_T"ORNPC TR H1M | | UKT"OQ^RT"L_T"CK&U/YQV1Y R^ NPX nWCE_T"UWE_NPO[K&C'H N|a"H N N£YRY[NPUqYp$M C o^QnqT"C'NPOµTR k^QOQnWL_T"C'T"X©NP^QOQnqYQoGK p M C o^QnqT"C'NPOpÌa&OEn/p O[K&X o_TN¢,PnqNPC^RNPOQCK1³. ±. Ý. b eh bÌä

(82) h bÌä

(83) h ´ ´ 5 p"O u ±"e[Àe e T[ 3p "O®<e um±"e[Àe e p a"Y Ò Ä£Ä£Ä Ò Ä£Ä£Ä. Ý be h × u.

(84) Ý ( Ù*Ú¼Û × >1 × (

(85) u Ý ( Ù*Ú¼Û × × ( Ý b&eh × > ! " Ä u

(86). . #. ä

(87) . .

(88). .

(89) . ¸ ¸ e. $b ® h ¸ ¸ e b$® h ¸ ¸ & Ä /*-,. .

(90) t. l Hjiilpmedel|Beia, Standardmath. tabels,typgodkAndr?iknedosa Telefon:GeorgiosFoufas,0740-459022 2003-01-18kl. 8.45-13.45. MATEMATIK Chalmerstekniskahdgskola. TMA132 FourieranalysF2lKf2, 5 poeng OBSI Anse nann, personnunmersant linje och inskrivningser.. 1. Best5mdet polynomP(r) av hdgst aodragradensom minimerar r l -. a,. | 1^/t- "2 - e1"112. J_ r -. 2. Bestiim en ldsningtill ekvationen. I yi-*#. \ ,ir.O;: ". - o o< " . < c o . r > 0 .. '.. l i m , - @r , ( - ! " . =t ) 0. 3 . Betrakta difierentia,lekvationen l r t t= u 6. oo<c<oo'. '>0. Visa aii om u(c, r) ar pedodisksom funktion av z med perioden2n, s6, t t. /. t l. u(r,0)dr-0---. -. J ". - t t. lutr.tll' dt!p-'t I. |. J-t. J-". l d ( r , 0 ) fd ! ,. ' >0.. Antag0 < a <-Lochc>0. Ldsehvationen ( ,,,-\",,, t>0, 0<r<I, : \ u(o,t\ u(L,t): 0, f >0, a@,A):6(r-a), 0<s<L. I u ( c , o=) 6 , till problemet 5 . Bestamsamtligaegenvijrden ochegenfunktioner -i(rHY:^R, 0<r<a, | -+ 0, R (a) = 0. I .R(r)begriirsaddl r U.veckla frnklionpn 12 i Fouri"rsori"m.a.p. egenlun\lionerna. Ledning: Man kan fi anviirdning av fijljande formler: r. -; .2 - ri(,)] ,.1 / t,t'r) - .rpJo-1trt. tvt,a, lro' ("r nlf J 6 . Unders<ikhur avbildningentr, : , o-aavbildar omredet O : {z : lz i,l < 1, Rez > 0). Anv2indresultatet f6r att bestammaen funktion g(x,g), (z : x + i11)som :ir harmoniski O och hax ra-ndvexdena I P.. llr'Yl-t o.. o'nl?-t-1,. r>0.. o-nr-0.. o<9r2.. d5,J € -L2. 7 . Formuleraoch bevisasamplingsteoremet 8.. visaait ,(r) = tf,. '. niffir;(iJ. \ 2f-'. satisnerarBesselsdiflP_en-. tialekvation x 2 u "+ x l t ' + ( a 2 - u 2 ) a : o ..

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

No results found