Föreläsning 7b
3329 Längdskalan är L = 23 eller 2 : 3 som det ofta skrivs i samband med kartor. Från teorin får vi att A, areaskalan är längdskalan i kvadrat det vill säga A = L2. I denna uppgift ger det A = 232
= 49. Vidare vet vi från teorin att att volymskalan V är längdskalan i kubik, det vill säga V = L3. I denna uppgift leder det till V = 233
= 278 Svar: L = 23, A = 49 och V = 278
3330 En sida i den stora triangeln är 6 cm. Motsvarande sida i den lilla triangeln är 4.5 cm. Vi kan då teckna längdskalan:
L = 4.5
6 = 3 · 1.5 4 · 1.5 = 3
4
Då längdskalan är 34 är areaskalan 169. Vi antar att den lilla triangelns area är x cm2. Nu kan vi teckna följande ekvation
x
12 = 9 16 x = 9 · 12
16 x = 27
4 Svar:Arean hos den lilla triangeln är 6.75 cm2
3331 a) Här handlar det om volymskalan. Vi vet att volymskalan V = L3, där L är längdskalan. Längdska- lan kan vi enkelt bestämma till L = 48 = 12. Detta betyder att V = 213 = 18. Med den kunskapen kan vi nu räkna ut den större lådans volym. Antag att den större lådans volym är x cm3.
20
x = 1
8 20 · 8 = 1 · x
x = 160 Svar:Den okända volymen är 160 cm3
3331 b) Ett problem, nära på identiskt med föregående. Vi behöver inte fundera så mycket om kroppens form, så länge vi har möjlighet att bestämma längdskalan. Det har vi om två motsvarande sidor är givna i den verkliga kroppen och kroppens avbildning.
Vi bestämmer längdskalan L = 123 = 14. Det betyder att volymskalan V = 143
= 641. Med hjälp av detta kan vi ställa upp ekvationen
x
320 = 1
64 x = 320 · 1
64 x = 5 Svar:Den okända volymen är 5 cm3
3332 Den längsta sidan i en triangel motsvaras av den längsta sidan i en avbildning. Eftersom den längsta sidan i T1är 45 cm och den längsta i T2är 15 cm så förstår vi att längdskalan är L = 1545= 13. Med längdskalan 13 får vi areaskalan 19. Då den större av trianglarna har arean 756 cm2 kan vi teckna ekvationen, där den mindre antas vara x cm2:
x
756 = 1 9 x = 756 · 1
9 x = 84
3333 Om det handlar om femhörningar eller tjugofemhörningar spelar ingen roll. Huvudsaken är att vi känner längden hos en sida i den ena figuren och längden av motsvarande sida i den andra.
Då kan vi bestämma längdskalan.
L = 12 28 = 3
7 Detta leder direkt till areaskalan
A = 3 7
2
= 9 49
Nu kan vi teckna ekvationen där vi antar att den mindre femhörningen har arean x cm2. x
980 = 9
49 x = 9 · 980
49 x = 180 Svar:Den mindre av femhörningarna har arean 180 cm2 3334 Först bestämmer vi längdskalan mellan de två prismorna.
L = 9 12 = 3
4 L ger oss V genom
V = L3= 3 4
3
= 27 64 Antag att det större kärlet rymmer x liter. Vi får då
1.08
x = 27
64 64 · 1.08 = 27 · x
x = 64 · 1.08 27 x = 2.56 Svar:Det större prismat har volymen 2.56 liter
3335 Här kan vi inte bestämma längdskalan eftersom endast längden hos en sida är given. Däremot kan vi direkt bestämma areaskalan
A = 65 260 = 1
4 Vi vet ju att A = L2så då kan vi bestämma L
L2 = 1 4
√L2 = r 1 4
L = 1
2
En sida i den större parallellogrammen är dubbelt så lång som motsvarande sida i den mindre.
Alltså är den eftersökta sida 2 · 13 = 26 cm Svar: 26 cm.
3336 I denna uppgift är längden och arean inblandad. Vi har en par jeans med byxlängden 80 cm.
Om man syr ett par jeans som är 10% längre kommer dessa att få längden 80 · 1.1 = 88 cm (tillväxtfaktorn är 1.10). Nu kan vi bestämma L
L = 80 88 = 10
11 Areaskalan blir då
A = L2= 10 11
2
= 100 121
Nu vet vi att det går åt a m2för att tillverka de mindre jeansen. Antag att det går åt x m2 för de större. Vi får då följande ekvation
a
x = 100 121 a
x = 100 121 121 · a = 100 · x
x = 121 · a 100 x = 1.21a
3338 Vi har längdskalan given
L = 1 4000 då är areaskalan
A = L2=
1 4000
2
= 1
16000000 Antag att områdets area är x cm2. Vi får då
150
x = 1
16000000 150 · 16000000 = x
x = 2400000000 2400000000cm2=24000000dm2=240000m2
Svar: 240000m2
3339 Vi betraktar dels hela glaset och dels den del av glaset som innehåller vätska. Dessa två kroppar är likformiga. Längdskalan är
L =
h 2
h =
h 2 h 1
= h 2 ·
1 h = 1
2
Vilket vi förstås kunde se med en gång. Då måste volymskalan vara
V = L3= 1 2
3
= 1 8
Antag att det finns x cl vätska kvar i glaset. Vi får då den enkla ekvationen x
8 = 1
8 x = 1
Eftersom det fanns 8 cl från början och det återstår 1 cl har man drucket 7 cl Svar: 7cl
3340 Längdskalan L = 4001 och areaskalan A = 40012 = 1600001 . Tomtens area på kartan antar vi vara x m2. Vi får
x
972 = 1
160000
x = 972
160000
x = 243
40000 x = 0.006075
Arean på kartan är alltså 0.006075m2=0.6075dm2=60.75cm2. Vi känner inte längden hos någon av sidorna i rektangeln på kartan. Vi antar att sidorna är 3y respektive 4y. Då förhåller de sig
3y 4y = 3
4
Detta var ju givet. Vi kan nu teckna arean och får följande ekvation
3y · 4y = 60.75 12y2 = 60.75 y2 = 60.75 12 y = r 60.75
12 y = 2.25 Vi får nu den längsta sidan genom 4 · 2.25 = 9 cm Svar: 9cm
