Matematisk statistik

Tentamen TEN1 HF1012 2012-05-31

Matematisk statistik Kurskod HF1012

Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare: Armin Halilovic

Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.

Skriv namn på varje blad och använd nytt blad för varje uppgift. Rita tydliga figurer!

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.

Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.

Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.

Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.

Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.

Ett varuparti om 120 enheter innehåller 10 defekta enheter. En köpare tar på måfå och utan återläggning 6 enheter och undersöker dessa.

a) Vad är sannolikheten att exakt 3 av dessa är defekta ? b) Vad är sannolikheten att högst 2 är defekta?

c) Vad är sannolikheten att minst 4 är defekta?

( Du ska svara med binomiska koefficienter.) Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.

En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen

⎩ ⎨

⎧

<

≥

= −

⁻

0 0

0 x om ) 1

(

5

x x e

F

x

a) Bestäm täthetsfunktionen (frekvensfunktionen) f(x) till variabeln X.

b) Bestäm medianen till variabeln X.

Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.

En student gjorde 4 mätningar för en normalfördelade stokastisk variabel ^X ∈^N(μ,σ), där standardavvikelsen är känd, σ =2, och fick nedanstående resultat:

[133, 134, 135, 140]

Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet μmed 96 % konfidensgrad.

Uppgift 4. (5p)

i) En stokastisk variabel X har frekvensfunktionen

⎩ ⎨

⎧ < <

= för övrigt x x cx

f 0

1 0

) , (

10

a) (1p) Visa att parametern c har värdet c=11 . b) (1p) Beräkna sannolikheten P(0 < X < 0.2).

c) (1p) Bestäm väntevärdet (medelvärdet) till X d) (1p) Bestäm medianen till X

ii) (1p) Låt A, B vara konstanter och X en kontinuerlig s. v.

Bevisa formeln E(aX +b)=aE(X)+b.

Uppgift 5. (4p) Låt Y vara summan av 121 s.v.

121 2

1

X X

X

Y = + + L +

som har väntevärdet μ = E(X^k)= 10 och standard avvikelsen σ = D(X^k)= 2.

a) Beräkna sannolikheten P( Y ≤ 1220)

b) Beräkna sannolikheten P( 1205<Y < 1220) c) Bestäm talet x så att P( Y >x)=0.10

Uppgift 6. (4p) På ett kontor finns 5 telefoner. Antalet ankommande samtal under en vis tidsperiod av 1 timme är för respektive telefon oberoende Poisson-fördelade stokastiska variabler med respektive parametrar: 1, 0.5, 1, 2 och 1.5 Vad är sannolikheten att under tidsperioden ( 1 timme) ankommer exakt 7 samtal?

Uppgift 7. (5p) ( Linjär minstakvadratanpassning)

a) Anpassa linjen y=ax+b ( d v s bestäm a och b), enligt minsta kvadrat-metoden , till mätdata

X 0 1 2 3

Y 2 3 2 5

b) Skissera därefter grafen som innehåller linjen y=ax+b och punkterna (X,Y) från ovanstående tabell.

Uppgift 8. (5p)

Ett system har i genomsnitt 2 fel per år. Reparationstid är

exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 1 månad. Vid t=0 är systemet i funktion. Vi betecknar

)

1(t

p = sannolikheten för att system fungerar vid tidpunkten t och )

2(t

p = sannolikheten för att system inte fungerar vid tidpunkten t.

a) Rita grafen med övergångsintensiteter ( tidsenhet=1 år).

b) Bestäm Q-matrisen.

c) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn, dvs lös ekvationen r =pQ 0r. d) Bestäm den transienta sannolikhetsvektorn, dvs lös systemet

Q t p t

pr′( )= r( ) med avseende på pr(t)=(p₁(t),p₂(t))

e) Bestäm sannolikheten att systemet är i funktion vid tidsmoment t= 0.5 år.

Lycka till!

===============================

FACIT:

Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.

Ett varuparti om 120 enheter innehåller 10 defekta enheter. En köpare tar på måfå och utan återläggning 6 enheter och undersöker dessa.

a) Vad är sannolikheten att exakt 3 av dessa är defekta ? b) Vad är sannolikheten att högst 2 är defekta?

c) Vad är sannolikheten att minst 4 är defekta?

( Du ska svara med binomiska koefficienter.) Svar:

a) P(exakt 3 av dessa är defekta)=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

6 120

3 110 3

10

b) P(högst 2 är defekta)=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

6 120

4 110 2

10

6 120

5 110 1

10

6 120

6 110 0

10

c) P(minst 4 defekta) =

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

6 120

0 110 6

10

6 120

1 110 5

10

6 120

2 110 4

10

Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.

En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen

⎩ ⎨

⎧

<

≥

= −

⁻

0 0

0 x om ) 1

(

5

x x e

F

x

a) Bestäm täthetsfunktionen (frekvensfunktionen) f(x) till variabeln X.

b) Bestäm medianen till variabeln X.

a)

⎩ ⎨ ⎧

<

= ≥

= ′

⁻

0 0

0 x om ) 5

( )

(

5

x x e

F x f

x

b) Medianen bestäms ur ekvationen

0.1386 5

2 ln 5

) 2 / 1 ln(

5 ) 5 . 0 ln(

) 5 . 0 ln(

5 5

. 0 5

. 0 1

5 . 0 )

(

^{5 5}

=

=

⇔

−

=

⇔

−

=

⇔

=

−

⇔

=

⇔

=

−

⇔

=

^{− −}

x x

x

x e

e x

F

^{x x}

Svar : a)

⎩⎨

⎧

<

= ⁻ ≥

0 0

0 x om ) 5

(

5

x x e

f

x

b) Medianen 0.1386 5

2 ln =

=

Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.

En student gjorde 4 mätningar för en normalfördelade stokastisk variabel ^X ∈^N(μ,σ), där standardavvikelsen är känd, σ =2, och fick nedanstående resultat:

[133, 134, 135, 140]

Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet μmed 96 % konfidensgrad.

Lösning:

Eftersom x= 135.5, σ^=2, λα/2^{= 2,0537,}

har vi

) 137.55 ,

133.45 (

) ,

( −

_/2

+

_/2

=

x n

x λ

_α

σ n λ

_α

σ

Svar (133.45, 137.55) Uppgift 4. (5p)

i) En stokastisk variabel X har frekvensfunktionen

⎩ ⎨

⎧ < <

= för övrigt x x cx

f 0

1 0

) , (

10

a) (1p) Visa att parametern c har värdet c=11 . b) (1p) Beräkna sannolikheten P(0 < X < 0.2).

c) (1p) Bestäm väntevärdet (medelvärdet) till X d) (1p) Bestäm medianen till X

ii) (1p) Låt A, B vara konstanter och X en kontinuerlig s. v.

Bevisa formeln E(aX +b)=aE(X)+b. Lösning:

a)

1 11

1 11 1 11

) (

1

0 1 11

0 10 1

0

=

⇔

=

⇔

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⇔ ⎡

=

⇔ ∫

∫ ^{f x dx cx dx cx c c}

b) P(0 < X < 0.2)= ^0.2

[ ]

^{11 11 8}

0

10 0.2 2.048 10

0 2 .

11 = 0 = = ⋅ ⁻

∫

^{x dx x}

c) E(X)=

12 11 0 1 12 11 11

) (

1 12

0 11 1

0

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

=

∫

∫

^{xf x dx x dx x}

d) medianen till X är lösningen till ekvationen F(x)=0.5 som är ekvivalent med att lösa på x ekvationen

[ ]

₀ ^{0.5 0.5 0.5 0.93893}

5 . 0 11

5 . 0 )

( ^{11 11 1/11}

0 0

10 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =

⇔

∫

^{x f t dt}=

∫

^{x t dt t x x x}

e) ^∞

∫ ∫

∞

−

∞

∞

−

= +

= +

=

+b ax b f x dx axf x bf x dx aX

E( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

∫

∫

^∞

∞

−

∞

∞

−

+b f x dx dx

x xf

a ( ) ( ) ( notera att ^∞

∫

∞

−

dx x

xf( ) =E(X) och att ^∞

∫

( ) =1

∞

−

dx x

f )

= aE(X)+b V.S.B.

Uppgift 5. (4p) Låt Y vara summan av 121 s.v.

121 2

1

X X

X

Y = + + L +

som har väntevärdet μ = E(X^k)= 10 och standard avvikelsen σ = D(X^k)= 2.

a) Beräkna sannolikheten P( Y ≤ 1220)

b) Beräkna sannolikheten P( 1205<Y < 1220) c) Bestäm talet x så att P( Y >x)=0.10

Lösning:

För

Y = X

₁

+ X

₂

+ L + X

₁₂₁^.

har vi n=121 , μ = E(X^k)= 10 och σ = D(X^k)= 2.

Då gäller: Y är approximativt N(n⋅m, σ n)=N(1210,22) (formelblad, centrala gränsvärdessatsen).

a) Därför P( Y ≤ 1220)= F(1220) = Φ − )= 22

1210

(1220 Φ(0.4545) ≈ 0.67

b) P( 1205<Y < 1220) = F(1220) – F(1205)

= Φ(0.4545)– Φ(0.2272)= 0.67–0.41=0.26

c) P( Y >x)=0.10 ⇒ P( Y _≤ x)=0.90 ⇒ ) 0.90 22

( −1210 = Φ x

⇒ 1,2816

221210 =

− x

⇒x=1210+22⋅1,2816 ⇒x= 1238

Svar: a) P( Y ≤ 1220)^{= 0.67 b)} P( 1205<Y < 1220) =0.26 c) x= 1238

Uppgift 6. (4p) På ett kontor finns 5 telefoner. Antalet ankommande samtal under en vis tidsperiod av 1 timme är för respektive telefon oberoende Poisson-fördelade

stokastiska variabler med respektive parametrar: 1, 0.5, 1, 2 och 1.5 Vad är sannolikheten att under tidsperioden ( 1 timme) ankommer exakt 7 samtal?

Lösning:

Till kontoret ankommer i genomsnitt totalt 1+ 0.5 + 1 + 2 + 1.5=6 samtal per en timme (Poisson-fördelat) . För Poisson fördelning är parameter λ lika med väntevärdet μ. Alltså λ=μ=6.

Enligt formelblad har vi

0,13768

! 7 6

! ) 7 7

(

⁶

7 7

=

=

=

= e

⁻

e

⁻

X

P λ

^λ

Svar: P(X =7)=0,13768

Uppgift 7. (5p) ( Linjär minstakvadratanpassning)

a) Anpassa linjen y=ax+b ( d v s bestäm a och b), enligt minsta kvadrat-metoden , till mätdata

X 0 1 2 3

Y 2 3 2 5

b) Skissera därefter grafen som innehåller linjen y=ax+b och punkterna (X,Y) från ovanstående tabell.

Lösning:

Vi substituerar ( X ,Y) i linjens ekvation y=ax+b och får följande ( oläsbara ) system:

0a+b=2 1a+b=3 2a+b=2 3a+b=5

Systemet skriver vi på matrisform

Y b A a ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

:

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

5 2 3 2

1 3

1 2

1 1

1 0

b a

Vi multiplicerar systemet från vänster med A^T

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

5 2 3 2

1 1 1 1

3 2 1 0

1 3

1 2

1 1

1 0

1 1 1 1

3 2 1 0

b a

,

och får följande lösbara ”normalsystem ”:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥ ⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

12 22 4

6 6 14

b a

(*)

Vi kan lösa matrisekvationen (*) med hjälp av inversmatrisen eller genom att skriva (*) igen som ett ekvationssystem:

14a +6b=22 6 a +4b=12 .

Vi förenklar ovanstående system och får 7 a +3b=11

3 a +2b=6 .

Vi multiplicerar första ekv. med 2 och andra med (– 3):

14 a +6b=22 –9 a –6b=–18 .

Addition av ovanstående ekv. ger en ekv med en obekant 5 a =4

Härav a =4/5.

Insättning i t ex 3 a +2b=6 ger b= 9/5 Grafen:

Svar: a =4/5, b= 9/5.

Uppgift 8. (5p)

Ett system har i genomsnitt 2 fel per år. Reparationstid är exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 1 månad. Vid t=0 är systemet i funktion. Vi betecknar

)

1(t

p = sannolikheten för att system fungerar vid tidpunkten t och )

2(t

p = sannolikheten för att system inte fungerar vid tidpunkten t.

a) Rita grafen med övergångsintensiteter ( tidsenhet=1 år).

b) Bestäm Q-matrisen.

c) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn, dvs lös ekvationen r =pQ 0r.

d) Bestäm den transienta sannolikhetsvektorn, dvs lös systemet pr′(t)= pr(t)Q med avseende på pr(t)=(p₁(t),p₂(t))

e) Bestäm sannolikheten att systemet är i funktion vid tidsmoment t= 0.5 år.

Lösning:

a) Reparationstid är i genomsnitt 1 månad medför att reparationsintensitet är 12 reparationer per år.

Grafen med övergångsintensiteter :

b) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

12 12

2 Q 2

c) Låt pr =(x,y)vara den stationära sannolikhetsvektorn d v s den sannolikhetsvektor som satisfierar pr =Q 0r.

Då gäller

i) x+ y=1

(detta gäller eftersom pr =(x,y) är en sannolikhetsvektor) , och

ii) (0,0)

12 12

2 ) 2

,

( ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− y −

x

Vi får systemet:

x+ y=1 (ekv 1) 0

12

2 + =

− x y (ekv 2) 2x− y12 =0 (ekv 3)

Ekvation tre är proportionell med ekv 2 och därför bestämmer vi x, y från de första två ekvationer:

=1 + y

x (ekv 1) 0

6 = +

−x y (ekv 2 /2)

Addition av ovanstående ekv ger 1

7y= dvs 7

= 1 y

7 1− =6

= y

x

Svar c) Den stationära vektorn är pr =(6/7, 1/7) d) Vi substituerar pr(t)=(p₁(t),p₂(t))

i ekvationen pr′(t)= pr(t)Qoch får

⎥⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

′

′ 12 12

2 )) 2

( ), ( ( )) ( ), (

(p₁ t p₂ t p₁ t p₂ t ) ( 12 ) ( 2 )

( _{1 2}

1 t p t p t

p′ =− + (ekv a) )

( 12 ) ( 2 )

( _{1 2}

2 t p t p t

p′ = − (ekv b) samt

1 ) ( )

( ₂

1 t + p t =

p ( ekv c)

(ekv c gäller eftersom (p₁(t),p₂(t) är en sannolikhetsvektor.) Från ekv c får vi

) ( 1 )

( ₁

2 t p t

p = −

som vi substituerar i (ekv a) för att få en differencial ekvation med 1 obekant funktion p₁(t):

)) ( 1 ( 12 ) ( 2 )

( _{1 1}

1 t p t p t

p′ =− + −

Efter förenkling har vi följande ekvation med konstanta koefficienter:

12 ) ( 14 )

( ₁

1′ t + p t =

p (*)

Motsvarande karakteristiska ekvationen till homogena delen är 14

0

14= ⇒ =−

+ r

r

och därmed är

t

h Ce

Y = ⁻¹⁴ den allmänna lösningen till det homogena delen.

En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen

A

y_p = ( eftersom högerledet i (*) är 12, dvs en konstant)

Substitutionen av y_p =A i (*) gör 7 / 6 14 / 12 12

14

0+ A= ⇐ A= =

Alltså yp =6/7

Därför

7 / 6 )

( ¹⁴

1 t =Yh+ yp =Ce^{− t}+ p

Begynnelsevillkoret: Enligt antagande är systemet i funktion vid t=0.

Därför p₁(0)=1.

Alltså Ce^0t +6/7=1⇒C=1/7 och

7 6 7

) 1

( ¹⁴

1 t = e^{− t} + p

För att få p₂(t) använder vi p₂(t)=1− p₁(t) och får p₂ t e ^14t 7 1 7 ) 1

( = − ⁻

Svar d) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

= p t p t e^{− t} e^{− t}

p _{1 2} ^{14 14}

7 1 7 , 1 7 1 7 )) 6 ( ), ( r (

Svar e) p₁(0.5)=0.857