Numerické metody pro modelován´ı aktivn´ıch akustických metapovrch˚u

(1)

Numerick´ e metody pro modelov´ an´ı aktivn´ıch akustick´ ych metapovrch˚ u

Bakal´ aˇ rsk´ a pr´ ace

Studijn´ı program: P3901 – Aplikované vˇedy v inˇzenýrstv´ı Studijn´ı obor: 3901V055 – Aplikované vˇedy v inˇzenýrstv´ı Autor práce: V´ıt Kosina

Vedouc´ı pr´ace: prof. Ing. Pavel Mokr´y, Ph.D.

(2)

Numerical methods for modeling of active acoustic metasurfaces

Bachelor thesis

Study programme: P3901 – Applied Sciences in Engineering Study branch: 3901V055 – Applied Sciences in Engineering

Author: V´ıt Kosina

Supervisor: prof. Ing. Pavel Mokr´y, Ph.D.

(3)

Zadání bakalářské práce

Numerické metody pro modelování aktivních akustických metapovrchů

Jméno a příjmení: Vít Kosina Osobní číslo: M17000100

Studijní program: B3901 Aplikované vědy v inženýrství Studijní obor: Aplikované vědy v inženýrství

Zadávající katedra: Ústav mechatroniky a technické informatiky Akademický rok: 2019/2020

Zásady pro vypracování:

1. Seznamte se základními principy interakce chvějících se povrchů pružných těles s akustickým polem a se základními principy šíření zvuku ve vzduchu, seznamte se se základními

materiálovými vlastnostmi piezoelektrických materiálů, seznamte se s definicí základních akustických parametrů akustických soustav [1, 2].

2. Seznamte se základními principy formulování fyzikálních problémů jako okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice, seznamte se se základní představou o okrajových podmínkách pro parciální diferenciální rovnice [3].

3. Seznamte se se základními principy numerického řešení okrajových úloh pomocí

metody konečných prvků [4]. Seznamte se s vhodným softwarovým nástrojem pro numerické řešení okrajových úloh pomocí metody konečných prvků.

4. Navrhněte jednoduchý akusto-mechanický systém, ve kterém mechanická struktura interaguje s akustickým polem.

5. Implementujte navržený systém ve zvoleném softwarovém nástroji pro numerické modelování pomocí metody konečných prvků.

6. Pomocí vytvořeného numerického modelu akusto-mechanického systému proveďte analýzu základních akustických parametrů navrženého systému.

(4)

Rozsah grafických prací: dle potřeby dokumentace Rozsah pracovní zprávy: 30–40 stran

Forma zpracování práce: tištěná/elektronická

Jazyk práce: Čeština

Seznam odborné literatury:

[1] ŠKVOR, Zdeněk. Akustika a elektroakustika. Prague: Academia, 2001. ISBN 80-200-0461-0.

[2] ERHART, Jiří, Martin PUSTKA a Petr PŮLPÁN, ed. Aplikace piezoelektrických prvků v mechanických a akustických soustavách. Liberec: VÚTS, a.s., 2015.

[3] MÍKA, Stanislav a Alois KUFNER. Parciální diferenciální rovnice I – Stacionární rovnice. Praha:

SNTL, 1983.

[4] REKTORYS, Karel. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. Vyd. 6., opravené. české 2. Praha: Academia, 1999. Česká matice technická, Roč. 104, 1999, Čís. spisu 472. ISBN 978-80-200-0714-8.

Vedoucí práce: prof. Ing. Pavel Mokrý, Ph.D.

Ústav mechatroniky a technické informatiky

Datum zadání práce: 10. října 2019 Předpokládaný termín odevzdání: 18. května 2020

prof. Ing. Zdeněk Plíva, Ph.D.

děkan

L.S.

doc. Ing. Milan Kolář, CSc.

vedoucí ústavu

(5)

Prohlášení

Prohlašuji, že svou bakalářskou práci jsem vypracoval samostatně jako pů- vodní dílo s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedou- cím mé bakalářské práce a konzultantem.

Jsem si vědom toho, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.

Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci nezasahuje do mých au- torských práv užitím mé bakalářské práce pro vnitřní potřebu Technické univerzity v Liberci.

Užiji-li bakalářskou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti Technickou univerzi- tu v Liberci; v tomto případě má Technická univerzita v Liberci právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.

Současně čestně prohlašuji, že text elektronické podoby práce vložený do IS/STAG se shoduje s textem tištěné podoby práce.

Beru na vědomí, že má bakalářská práce bude zveřejněna Technickou uni- verzitou v Liberci v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozdějších předpisů.

Jsem si vědom následků, které podle zákona o vysokých školách mohou vyplývat z porušení tohoto prohlášení.

28. května 2020 Vít Kosina

(6)

Abstrakt

Vyuˇzit´ı metamateriál˚u a metapovrch˚u v akustice je nesm´ırnˇe zaj´ımavé. Tyto materiály mohou neoˇcekávaným zp˚usobem ovlivˇnovat ˇs´ıˇren´ı akustického vlnˇen´ı, coˇz lze vyuˇz´ıt napˇr´ıklad k potlaˇcován´ı hluku nebo k vytváˇren´ı ultrazvukových filtr˚u. Meta- povrch lze vytvoˇrit napˇr´ıklad pomoc´ı piezoelektrické vrstvy, která je pˇripojena k elektrickému obvodu. C´ılem práce je nauˇcit se nu- mericky simulovat akustické metapovrchy a snaˇzit se pˇredpov´ıdat jejich fyzikáln´ı vlastnosti za r˚uzných elektrických okrajových podm´ınek. Tato práce popisuje postup pˇri modelován´ı jedno- duchých akustických systém˚u. Popisuje základy akustiky, piezo- elektˇriny, princip vyuˇzit´ı numerických metod a zamˇeˇruje se na pouˇzit´ı programu OnScale. Porovnává výsledky simulac´ı bez pouˇzit´ı piezoelektrické vrstvy proti výsledk˚um, kdy byla piezoelektrická vrstva pˇripojena k modelu. Poté porovnává systémy, ve kterých byla piezoelektrická vrstva uzemnˇena, a systémy, ve kterých ne- byla.

Kl´ıˇcov´a slova: akustika, piezoelektˇrina, metapovrch, numerick´e metody, OnScale

Abstract

Use of metamaterials and metasurfaces in acoustics is very inte- resting. These materials can unexpectedly change transmission of acoustic waves, which can be used for noise supression or for cre- ation of ultrasound filters. A metasurface can be created by piezoelectric layer, which is connected to electrical circuit. The goal of this Thesis is to learn how to numerically simulate acoustic metasurfaces and try to predict their physical properties in different elecrical boundary conditions. This Thesis describes a process of modeling simple acoustic systems. It describes the basics of acoustics, piezoelectricity, principle of using numerical methods and is focused on the use of OnScale software. It compares the results of simulations without the use of piezoelectric layer against results, in which the layer was used. This Thesis then compares systems, in which was the piezoelectric layer grounded, and systems, in which it was not.

Keywords: acoustic, piezoelectricity, metasurface, numerical methods, OnScale

(7)

Podˇ ekov´ an´ı

T´ımto dˇekuji prof. Ing. Pavlu Mokrému, Ph.D. za jeho ochotu, cenné pˇripom´ınky a ˇcas vˇenovaný veden´ı této práce.

(8)

Obsah

Abstrakt 5

Podˇekov´an´ı 6

Seznam obr´azk˚u 8

Seznam tabulek 11

1 Uvod´ 12

2 Principy 13

2.1 Akustika . . . 13

2.1.1 Z´akladn´ı informace . . . 13

2.1.2 Akustick´e pole v plynech a kapalin´ach . . . 13

2.1.3 Akustické pole v pevných látkách . . . 14

2.2 Metamateri´aly. . . 14

2.2.2 Typy metamateri´al˚u . . . 14

2.3 Piezoelektrick´e materi´aly . . . 15

2.3.1 Fyzikáln´ı vlastnosti piezoelektrických materiál˚u . . . 15

2.3.2 Druhy piezoelektrick´ych materi´al˚u. . . 16

2.4 Vyuˇzit´ı piezoelektrick´ych prvk˚u k potlaˇcen´ı vibrac´ı . . . 16

2.4.1 ˇS´ıˇren´ı hluku a bˇeˇzn´e metody k jeho zamezen´ı. . . 16

2.4.2 Specifick´a akustick´a impedance . . . 17

2.4.3 Akustická pˇrenosová ztráta . . . 18

(9)

3 Metody 19

3.1 Formulace fyzikáln´ıho problému jako okrajové úlohy . . . 19

3.1.1 Formulace fyzikáln´ıch jev˚u pomoc´ı parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic . . . 19

3.1.2 Stanoven´ı okrajov´ych podm´ınek . . . 20

3.2 Numerické ˇreˇsen´ı okrajové úlohy pomoc´ı metody koneˇcných prvk˚u . . 21

3.3 OnScale . . . 21

3.3.2 Vytv´aˇren´ı model˚u v Designer . . . 22

3.3.3 Zkoum´an´ı v´ysledk˚u simulace v Post Processoru . . . 24

4 Výsledky 26 4.1 Statická simulace jednoduchého nosn´ıku . . . 26

4.1.1 Nosn´ık vetknutý na obou stranách, bodová s´ıla uprostˇred . . . 27

4.1.2 Nosn´ık vetknutý na jedné stranˇe, bodová s´ıla uprostˇred . . . . 28

4.1.3 Nosn´ık vetknutý na jedné stranˇe, bodová s´ıla na volném konci 29 4.2 Statická simulace piezoelektrického unimorfu . . . 30

4.2.1 Nosn´ık unimorf vetknutý na jedné stranˇe, bodová s´ıla na volném konci . . . 31

4.2.2 Nosn´ık unimorf vetknutý na obou stranách, bodová s´ıla uprostˇred . . . 32

4.3 Simulace dynamick´e odezvy . . . 33

4.3.1 Jednoduchý nosn´ık vetknutý na obou stranách s dynamickou bodovou silou p˚usob´ıc´ı uprostˇred . . . 37

4.3.2 Nosn´ık unimorf vetknutý na obou stranách s dynamickou bodovou silou p˚usob´ıc´ı uprostˇred bez pˇripojených elektrod a s pˇripojenými elektrodami . . . 39

4.4 Akustick´e simulace . . . 40

4.4.1 Jednoduchý nosn´ık vetknutý na obou stranách se vzduˇsným okol´ım . . . 43

4.4.2 Nosn´ık unimorf vetknutý na obou stranách se vzduˇsným okol´ım s elektrodami a bez elektrod . . . 44

5 Z´avˇer 52

(10)

Seznam obr´ azk˚ u

4.1 Model nosn´ıku vetknutého na obou stranách s bodovou silou uprostˇred 27 4.2 Výpoˇcet výchylky nosn´ıku vetknutého na obou stranách . . . 27 4.3 Zdeformovaný model nosn´ıku vetknutého na obou stranách . . . 28 4.4 Model nosn´ıku vetknutého na jedné stranˇe s bodovou silou uprostˇred 28 4.5 Zdeformovaný model nosn´ıku vetknutého na levé stranˇe s bodovou

silou uprostˇred . . . 29 4.6 Model nosn´ıku vetknutého na jedné stranˇe s bodovou silou na volném

konci . . . 29 4.7 Zdeformovaný model nosn´ıku vetknutého na jedné stranˇe s bodovou

silou na volném konci . . . 30 4.8 2D model nosn´ıku typu unimorf . . . 31 4.9 Model nosn´ıku unimorf vetknutý na jedné stranˇe s bodovou silou na

volném konci . . . 31 4.10 Zdeformovaný model nosn´ıku unimorf vetknutého na jedné stranˇe s

bodovou silou na volném konci . . . 32 4.11 Model nosn´ıku unimorf vetknutý na obou stranách s bodovou silou

uprostˇred . . . 32 4.12 Zdeformovaný model nosn´ıku unimorf vetknutého na obou stranách

s bodovou silou uprostˇred . . . 33 4.13 Závislost amplitudy funkce chirp na ˇcase - krátký ˇcasový úsek . . . . 35 4.14 Závislost amplitudy funkce chirp na frekvenci . . . 35 4.15 Závislost amplitudy funkce Ricker Wavelet na ˇcase . . . 36 4.16 Závislost amplitudy funkce Ricker Wavelet na frekvenci . . . 36 4.17 Jednoduchý nosn´ık vetknutý na obou stranách s dynamickou bodovou

silou p˚usob´ıc´ı uprostˇred . . . 36 4.18 Frekvenˇcn´ı z´avislost v´ychylky v bodˇe zat´ıˇzen´ı bodovou silou funkce

chirp a Ricker Wavelet pro jednoduch´y nosn´ık . . . 37

(11)

4.19 Zobrazen´ı vibraˇcn´ıho módu jenoduchého nosn´ıku pro rezonanˇcn´ı frekvenci 3045Hz . . . 38 4.20 Zobrazen´ı vibraˇcn´ıho módu jenoduchého nosn´ıku pro rezonanˇcn´ı frek-

venci 16428Hz . . . 38 4.21 Nosn´ık unimorf vetknut´y na obou stran´ach s bodovou silou p˚usob´ıc´ı

uprostˇred se zobrazenými pˇripojenými elektrodami . . . 39 4.22 Porovnán´ı frekvenˇcn´ı závislosti výchylky nosn´ıku unimorf s elektro-

dami a bez nich . . . 40 4.23 ˇCasová závislost náboje na elektrodách na nosn´ıku unimorf . . . 41 4.24 Frekvenˇcn´ı závislost náboje na elektrodˇe . . . 41 4.25 Porovnán´ı frekvenˇcn´ı závislosti náboje a frekvenˇcn´ı závislosti výchylky 42 4.26 Zobrazen´ı vibraˇcn´ıho módu nosn´ıku unimorf s elektrodami pro rezo-

nanˇcn´ı frekvenci 3819Hz . . . 42 4.27 Zobrazen´ı vibraˇcn´ıho m´odu nosn´ıku unimorf s elektrodami pro rezo-

nanˇcn´ı frekvenci 19 493 Hz . . . 43 4.28 Model nosn´ıku vetknutého na obou stranách se vzduˇsným okol´ım a

akustickým tlakem p˚usob´ıc´ım po celé délce vzduchu nahoˇre . . . 43 4.29 Frekvenˇcn´ı závislost rychlosti bodu uprostˇred nosn´ıku pro jednoduchý

nosn´ık se vzduˇsným okol´ım. . . 44 4.30 Frekvenˇcn´ı závislost akustického tlaku ve vzduchu nad jednoduchým

nosn´ıkem. . . 45 4.31 Frekvenˇcn´ı závislost akustického tlaku ve vzduchu pod jednoduchým

nosn´ıkem. . . 45 4.32 Model nosn´ıku unimorf vetknutého na obou stranách se vzduˇsným

okol´ım a akustickým tlakem p˚usob´ıc´ım po celé délce vzduchu nahoˇre) 45 4.33 Porovnán´ı frekvenˇcn´ı závislost rychlosti bodu uprostˇred nosn´ıku uni-

morf s a bez elektrod . . . 46 4.34 Frekvenˇcn´ı závislost náboje na elektrodˇe . . . 47 4.35 Porovnán´ı frekvenˇcn´ı závislost akustického tlaku ve vzduchu nad jed-

noduchým nosn´ıkem a nad nosn´ıkem unimorf. . . 47 4.36 Porovnán´ı frekvenˇcn´ı závislost akustického tlaku ve vzduchu nad

nosn´ıkem unimorf s elektrodami a bez nich . . . 48 4.37 Porovnán´ı frekvenˇcn´ı závislost akustického tlaku ve vzduchu pod

nosn´ıkem unimorf s elektrodami a bez nich . . . 48 4.38 Srovnán´ı ˇcasové závislosti akustického tlaku ve vzduchu pod jedno-

duch´ym nosn´ıkem, nosn´ıkem unimorf s elektrodami a nosn´ıkem unimorf bez elektrod . . . 49

(12)

4.39 Srovnán´ı frekvenˇcn´ı závislosti specifické akustické impedance jedno- duchého nosn´ıku, nosn´ıku unimorf s elektrodami a nosn´ıku unimorf bez elektrod . . . 50 4.40 Srovnán´ı frekvenˇcn´ı závislosti pˇrenosové ztráty jednoduchého nosn´ıku,

nosn´ıku unimorf s elektrodami a nosn´ıku unimorf bez elektrod . . . . 51

Seznam tabulek

3.1 Vlastnosti pouˇzitých materiál˚u. . . 24 3.2 Vlastnosti PZT polarizovaného podél osy y . . . 25

(13)

1 Uvod ´

Jedn´ım z velkých problém˚u souˇcasného svˇeta je enormn´ı hluk, který má velké ne- gativn´ı dopady na zdrav´ı lid´ı. Tento hluk je ve mˇestech generován pˇredevˇs´ım auto- mobilovou dopravou a samotnou pˇr´ıtomnost´ı obrovského mnoˇzstv´ı lid´ı na jednom m´ıstˇe a ˇcasto nen´ı moˇzné jeho vzniku zabránit. Je proto d˚uleˇzité zabraˇnovat jeho následnému ˇs´ıˇren´ı, na coˇz existuje ˇrada bˇeˇznˇe pouˇz´ıvaných metod a nˇekteré (pro- zat´ım) ménˇe bˇeˇzné, jako tˇreba pouˇz´ıván´ı piezoelektrických metamateriál˚u.

Tato bakaláˇrská práce je zamˇeˇrena na modelován´ı a simulace jednoduchých akus- tických soustav, ke kterým je pˇripojována tenká vrstviˇcka z piezoelektrického ma- teriálu, a následné zkoumán´ı vlastnost´ı takovýchto systém˚u. Základn´ım smyslem této práce bylo, pomoc´ı numerických metod, pochopit d˚usledek komplikovaných dˇej˚u, které v tˇechto akustických soustavách prob´ıhaj´ı a nauˇcit se je simulovat s vyuˇzit´ım dostupných program˚u.

V prvn´ı ˇcásti této práce jsou popsány základn´ı principy akustiky, metamateriál˚u, piezoelektˇriny a jejich vyuˇzit´ı pro tlumen´ı zvuku. V druhé ˇcásti je struˇcnˇe popsán zkoumaný fyzikáln´ı systém, metoda koneˇcných prvk˚u pouˇzitá k numerické simulaci jeho fyzikáln´ıch vlastnost´ı a samotný program OnScale, ve kterém se vˇse modelovalo a simulovalo. Samotné simulované modely a výsledky z´ıskané z jejich simulac´ı jsou popsány v závˇereˇcné kapitole.

(14)

2 Principy

2.1 Akustika

2.1.1 Z´ akladn´ı informace

Akustika je vˇeda zabývaj´ıc´ı se jevy, které souvis´ı se zvukem, tedy jeho vznikem, ˇs´ıˇren´ım, pˇrenosem v prostoru, prostˇred´ı a na hranic´ıch mezi r˚uznými prostˇred´ımi a jeho vn´ımán´ım lidmi a ostatn´ımi ˇzivými tvory. Z fyzikáln´ıho hlediska je zvuk mechanické vlnˇen´ı spojené s kmitán´ım ˇcástic pevných látek, kapalin ˇci plyn˚u. Z toho také plyne, ˇze pro svou existenci potˇrebuje médium ve kterém se bude ˇs´ıˇrit a nem˚uˇze existovat ve vakuu.

Pojmem zvuk se vˇetˇsinou mysl´ı mechanická vlna ˇs´ıˇr´ıc´ı se vzduchem, kterou jsou lidé schopni smyslovˇe vn´ımat. Jde tedy o frekvence akustického tlaku mezi 16Hz a 20kHz. Z hlediska amplitud je omezen prahem slyˇsitelnosti (20 µPa) a prahem bolesti (60 Pa). Samozˇrejmˇe v tomto pˇr´ıpadˇe jde pouze o mechanické vlny vn´ımané lidmi pomoc´ı sluchových orgán˚u a je tedy limitován vlastnostmi sluchové soustavy. Oblast slyˇsitelných frekvenc´ı se nazývá audiofrekvenˇcn´ı pásmo, na stranˇe n´ızkých frekvenc´ı pˇrecház´ı do infrazvukového pásma a na stranˇe vysokých frekvenc´ı do ultrazvukového pásma.Skvor Zdenˇˇ ek (2001)

2.1.2 Akustick´ e pole v plynech a kapalin´ ach

V tekutinách se zvuková vlna ˇs´ıˇr´ı jako zmˇena statického tlaku. Ve vzduchu jde o nepatrný a velice krátký pokles ˇci nár˚ust atmosférického tlaku který se ˇs´ıˇr´ı urˇcitým smˇerem. Tlaková vlna, jak se toto ˇs´ıˇren´ı zmˇeny atmosférického tlaku nazývá, se ˇs´ıˇr´ı jako podélné vlnˇen´ı. Podélné vlnˇen´ı je takové vlnˇen´ı, pˇri kterém je amplituda kmit˚u rovnobˇeˇzná se smˇerem ˇs´ıˇren´ı vlny, tedy docház´ı k postupnému zhuˇst’ován´ı a zˇred’ován´ı prostˇred´ı kterým vlna procház´ı, pˇriˇcemˇz nedocház´ı k pˇresunu hmoty (ˇcástice plynu ˇci kapaliny), ale pouze energie. Pˇresnˇeji ˇreˇceno procházej´ıc´ı tlaková vlna nepatrnˇe pohne ˇcásticemi, aby je zhustila ˇci zˇredila, ale po jej´ım pr˚uchodu se ˇcástice vrát´ı na p˚uvodn´ı m´ısto.

Vzdálenost mezi dvˇema po sobˇe následuj´ıc´ımi oblastmi s nejvˇetˇs´ım zhuˇstˇen´ım (zˇredˇen´ım) je vlnová délka.V pˇr´ıpadˇe izotropn´ıho a homogen´ıho prostˇred´ı se tlaková vlna ˇs´ıˇr´ı stálou rychlost´ı, tedy rychlost´ı zvuku v daném prostˇred´ı. Rychlost zvuku

(15)

je vzdálenost, kterou tlaková vlna uraz´ı za urˇcený ˇcas v daném prostˇred´ı za daných podm´ınek. Rychlost zvuku je závislá na typu prostˇred´ı, pˇredevˇs´ım na jeho tuhosti a hustotˇe, ménˇe pak na teplotˇe prostˇred´ı, okoln´ım tlaku a frekvenci daného zvuku.

Pˇri 20°C ve vzduchu za bˇeˇzného atmosférického tlaku je to zhruba 343 m/s, pˇriˇcemˇz vzduch (a plyny obecnˇe) je jedn´ım z nejhorˇs´ıch moˇzných prostˇred´ı pro ˇs´ıˇren´ı zvuku.

V kapalin´ach je rychlost zvuku mnohem vyˇsˇs´ı, ve vodˇe dosahuje (pˇri 20°C) rychlosti 1481 m/s. ˇSkvor Zdenˇek (2001)

2.1.3 Akustick´ e pole v pevn´ ych l´ atk´ ach

V pevných látkách se zvuk ˇs´ıˇr´ı jeˇstˇe mnohem vyˇsˇs´ı fázovou rychlost´ı v ˇzeleze napˇr´ıklad jde o 5120 m/s. V nejtvrdˇs´ıch materiálech (jako je napˇr´ıklad diamant) se m˚uˇze zvuková vlna ˇs´ıˇrit aˇz rychlost´ı 12000 m/s. Na rozd´ıl od plyn˚u a kapalin (kromˇe kapalin s velmi vysokou viskozitou jako je asfalt), kde se zvuk m˚uˇze ˇs´ıˇrit pouze jako podélná vlna, tak v pevných látkách se ˇs´ıˇr´ı nav´ıc jako vlna pˇr´ıˇcná, coˇz znamená, ˇze ˇcástice se pohybuj´ı v kolmém smˇeru vzhledem k pohybu vlnˇen´ı.

V bˇeˇzných kapalinách a plynech k tomuto nem˚uˇze doj´ıt, protoˇze nejdou schopny elastické deformace. V materiálu kterým vlnˇen´ı procház´ı se proto projevuje smy- kové tˇren´ı. Obecnˇe se podélné a pˇr´ıˇcné zvukové vlny v pevných látkách ˇs´ıˇr´ı r˚uznou rychlost´ı, protoˇze rychlost ˇs´ıˇren´ı podélných vln je ovlivnˇena stlaˇcitelnost´ı, modelem pruˇznosti ve smyku a hustotou daného materiálu, zat´ımco rychlost pˇr´ıˇcných vln je ovlivnˇena pouze modelem pruˇznosti ve smyku a hustotou.Skvor Zdenˇˇ ek (2001)

2.2 Metamateri´ aly

2.2.1 Z´ akladn´ı informace

Metamateriál je jakýkoli materiál vytvoˇrený ˇclovˇekem, který má vlastnosti nevysky- tuj´ıc´ı se u ˇzádného pˇr´ırodn´ıho materiálu. ˇCasto jde o kompozitn´ı materiály kombi- nuj´ıc´ı r˚uznorodé látky napˇr. kovy a plasty. Vlastnosti metamateriál˚u jsou závislé na jejich vytvoˇrené struktuˇre, pˇriˇcemˇz strukturou je myˇslena pˇresná geometrie, tvar, velikost, natoˇcen´ı a pˇresné rozm´ıstˇen´ı element˚u na rozmˇerových ˇskálách, které jsou menˇs´ı neˇz vlnová délka vlnˇen´ı, jehoˇz ˇs´ıˇren´ı maj´ı ovlivˇnovat.

Metamateriály maj´ı obrovské mnoˇzstv´ı potenciálnˇe moˇzných vyuˇzit´ı od op- tických a ultrazvukových filtr˚u pˇres ovládán´ı solárn´ıch panel˚u a lékaˇrských pˇr´ıstroj˚u aˇz po ochranu budov pˇred zemˇetˇresen´ım nebo výrobu ˇcoˇcek, které jsou schopné fungovat pod difrakˇcn´ım limitem. Erhart et al.(2015)

2.2.2 Typy metamateri´ al˚ u

Metamateriály se daj´ı rozdˇelit podle druhu stavových veliˇcin (tj. elektrické pole, magnetické pole, akustický tlak, akustická rychlost, mechanické napˇet´ı, s´ıla, posu-

(16)

nut´ı, deformace, apod.) a zp˚usobu jakým jejich struktura ovlivˇnuje podm´ınky pro ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı v daném prostˇred´ı, které metamateriály spoluvytváˇrej´ı.

• Elektromagnetick´e metamateri´aly

Tyto materiály ovlivˇnuj´ı elektromagnetické vlnˇen´ı interakc´ı s jejich strukturou, ve které jsou rozmˇery základn´ıch jednotek metamateriálu menˇs´ı neˇz velikost vlnové délky elektromagnetického vlnˇen´ı, se kterým interaguj´ı. Pro interakci s mikrovlným záˇren´ım mus´ı být jejich struktura v ˇrádu milimetr˚u, pro manipulaci s viditelným svˇetlem v ˇrádu nanometr˚u.

• Mechanick´e metamateri´aly

Tyto materiály se pouˇz´ıvaj´ı k ovlivˇnován´ı mechanických vln, tedy vln elastických, seismických a akustických. Toho je dosaˇzeno ovlivˇnován´ım kompresibility, hustoty a chirality daného materiálu, coˇz mˇen´ı výslednou tuhost.

2.3 Piezoelektrick´ e materi´ aly

2.3.1 Fyzik´ aln´ı vlastnosti piezoelektrick´ ych materi´ al˚ u

Piezoelektˇrina je fyzikáln´ı jev, pˇri kterém nastává akumulace elektrického náboje na povrchu nˇekterých pevných látek (urˇcité druhy krystal˚u, keramiky a nˇekteré or- ganické látky napˇr. kost nebo DNA) v reakci na mechanické napˇet´ı. Piezoelektrický efekt je d˚usledkem elektromechanické interakce mezi mechanickým a elektrickým stavem v krystalických látkách bez stˇredové symetrie. Vzniklý elektrický náboj je pˇr´ımo úmˇerný p˚usob´ıc´ımu mechanickému tlaku. Pˇr´ımo úmˇerná mechanickému tlaku je také vzniklá polarizace krystalu. Základn´ı charakteristiky piezoelektrického jevu jsou:

• Elektrické náboje vznikaj´ı na plochách kolmých k polárn´ım osám symetrie krystalu.

• Elektrický náboj vzniklý mechanickým tlakem je tomuto tlaku pˇr´ımo úmˇerný, vzniká s jeho p˚usoben´ı, zaniká s jeho zánikem a je má opaˇcný náboj na opaˇcných konc´ıch krystalu.

• Nez´avis´ı na tlouˇst’ce krystalu, ale pouze na velikosti ploch.

U vˇsech materiál˚u u kterých se vyskytuje piezoelektrický jev se také projevuje inverzn´ı piezoelektrický jev, pˇri kterém aplikované extern´ı elektrické pole zp˚usobuje mechanickou deformaci materiálu. Erhart et al.(2015)

(17)

2.3.2 Druhy piezoelektrick´ ych materi´ al˚ u

Piezoelektrické materiály se daj´ı rozdˇelit na následuj´ıc´ı skupiny:

• Piezoelektrick´e krystaly

Mezi které patˇr´ı pˇr´ırodn´ı krystaly, jako je turmal´ın a kˇremen, který se dnes vyrob´ı v masovém mˇeˇr´ıtku jako monokrystaly, právˇe pro své piezoelektrické vlastnosti, a také nˇekteré krystaly ze skupiny hydrogenfosforeˇcnan˚u a v´ınan˚u, které se jiˇz pˇrestali pouˇz´ıvat.

• Piezoelektrick´a keramika

Keramiky, pˇresnˇeji polykrystaly, tvoˇrené malými zrnky feroelektrických materiál˚u o rozmˇerech obvykle 1-10 mikrometru. Bez dalˇs´ıch úprav by polykrystal vykazoval izotropn´ı vlastnosti, proto se v nˇem s pouˇzit´ım silného vnˇejˇs´ıho elektrického pole (tzv. polarizace) vytváˇr´ı makroskopická anizotropie.

Za teploty pod Curieovou teplotou takové pole srovná smˇery dipólových moment˚u jednotlivých zrnek a keramika se stane piezoelektrickou. Takto vyrobená keramika m˚uˇze m´ıt dostateˇcné piezoelektrické vlastnosti, ale vˇzdy niˇzˇs´ı neˇz u krystal˚u ze stejného materiálu. Nejv´ıce se vyráb´ı takzvaná keramika PZT, coˇz jesystém tuhého roztoku PbTiO3 a PbZrO3.

• Piezoelektrick´e polymery

Piezoelektˇrina se vyskytuje také u organických látek, ˇcasto pouˇz´ıvaný je pˇredevˇs´ım polyvinidilenedifluoride (PVDF). Anizotropie vzniká d´ıky krystalické fázi polymeru, která je polárn´ı. PVDF patˇr´ı mezi feroelektrické polymery a proto ho lze polarizovat stejným zp˚usobem jako piezoelektrickou keramiku. Pˇri kopolymeraci s trifluoretyle- nem (tzv. PVDF-TrFE) lze zvˇetˇsit pod´ıl krystalické fáze a t´ım zlepˇsit piezoelektrické vlastnosti.Erhart et al. (2015)

2.4 Vyuˇ zit´ı piezoelektrick´ ych prvk˚ u k potlaˇ cen´ı vib- rac´ı

2.4.1 S´ıˇ ˇ ren´ı hluku a bˇ eˇ zn´ e metody k jeho zamezen´ı

Hlukem oznaˇcujeme nadmˇernˇe hlasitý a nechtˇený zvuk. Hluk je zp˚usoben mnoha zdroji, mezi nejobvyklejˇs´ı patˇr´ı automobilová doprava, tento hluk se do vnitˇrn´ıch prostor obvykle ˇs´ıˇr´ı pˇres sklenˇená okna. Okno je v tomto pˇr´ıpadˇe pˇredstavuje ploˇsnou strukturu od které se ˇcást zvukové vlny odraz´ı a ˇcást se pˇrenese na druhou stranu.

K pˇrenesen´ı energie dojde v d˚usledku proniknut´ı tlakové vlny do skla a jeho následné rozvibrován´ı, vibrace skla projdou skrz materiál a poté stejným zp˚usobem

(18)

rozvibruj´ı vzduch na druhé stranˇe. Tento pˇrenos energie je umoˇznˇen relativnˇe malou tlouˇst’kou oken, která zp˚usobuje n´ızkou tuhost proti ohybu a uchycen´ım v rámu.

• Pasivn´ı odhluˇcˇnovac´ı prvky

U sklenˇených desek jde nejˇcastˇeji o laminátové technologie s r˚uznými ˇs´ıˇrkami me- zivrstev, ˇci dvojitá skla se vzduchovou mezerou. Takto se ovlivˇnuje výsledná re- zonanˇcn´ı frekvence, která je závislá na mechanických vlastnostech výplnˇe a jej´ı tlouˇst’kou. Tyto metody jsou vˇsak normálnˇe zcela neúˇcinné v pásmu pod 1 kHz (pˇriˇcemˇz ˇclovˇek slyˇs´ı v pásmu 16 Hz aˇz 20 kHz). Aby pasivn´ı prvky potlaˇcovaly zvuk o niˇzˇs´ıch frekvenc´ıch je nutné znaˇcnˇe navýˇsit hmotnost tˇechto pasivn´ıch prvk˚u, coˇz pˇrináˇs´ı ˇradu komplikac´ı a ˇcasto je naprosto nemoˇzné.

• Metoda aktivn´ıho potlaˇcen´ı hluku

Princip metody spoˇc´ıvá v interferenci pˇricházej´ıc´ı akustické vlny s akustickou vlnou s opaˇcnou fáz´ı která je vytvoˇrena pro tento úˇcel. Metoda se pouˇz´ıvá pro zabránˇen´ı pr˚uchodu zvuku skrze r˚uzné ploˇsné materiály (napˇr. sklo, hlin´ık, ocel, laminát).

Podobná metoda spoˇc´ıvá v pˇr´ımém potlaˇcován´ı hluku zp˚usobeného vibracemi urˇcité struktury, spoˇc´ıvá v sniˇzován´ı amplitud vibrac´ı a jejich restrukturalizac´ı v urˇcitých módech. U metody se dá vyuˇz´ıt piezoelektrických aktuátor˚u.

Obˇe tyto metody jsou realizovány pomoc´ı mikrofonu, který sn´ımá pˇricházej´ıc´ı akustický tlak a zvuková vlna s opaˇcnou fáz´ı je vytvoˇrena pomoc´ı soustavy reproduktor˚u pˇripojených pˇres zpˇetnou vazbu. Tyto systému pro svou správnou funkci potˇrebuj´ı nároˇcné výpoˇcetn´ı algoritmy bˇeˇz´ıc´ı v reálném ˇcase a tedy znaˇcnˇe výkonnou ˇr´ıd´ıc´ı elektroniku, která je drahá a má vysokou spotˇrebu energie. Prvn´ı metoda také vyˇzaduje naprosto pˇresné rozm´ıstˇen´ı mikrofon˚u a reproduktor˚u a druhá zase doko- nalé porozumˇen´ı akusticko-strukturáln´ı interakci daného systému.

• Semi-aktivn´ı metody

Jedna z tˇechto metod pouˇz´ıvá optimálnˇe ladˇené Helmoltzovy rezonátory, které zvyˇsuj´ı izolaˇcn´ı schopnost systém˚u vytvoˇrených ze dvou ploˇsných desek. Dalˇs´ım pˇr´ıkladem je takzvané Piezoelectric Shunt Dumping (PSD), pˇri kterém se piezo- elektrické materiály pouˇz´ıvaj´ı jako elektroakustické pˇrevodn´ıky, které se pˇripoj´ı k elektronickému obvodu. Tento pˇrevodn´ık ˇr´ıd´ı akustické parametry rozhran´ı, aby potlaˇcil ˇs´ıˇren´ı zvuku. Erhart et al. (2015)

2.4.2 Specifick´ a akustick´ a impedance

Pˇrenos hluku a vibrace, které zp˚usobuje jsou tokem akustické a mechanické energie.

Pˇri pˇrenosu na rozhran´ı dvou prostˇred´ı docház´ı ˇcásteˇcnˇe k odrazu vlny o rozhran´ı a ˇcásteˇcnˇe k pr˚uchodu skrze nˇej. Specifická akustická impedance je fyzikáln´ı veliˇcina ovlivˇnuj´ıc´ı m´ıru odrazu a pr˚uchodu akustické energie. Jej´ı hodnota je závislá na vlastnostech rozhran´ı.

(19)

Pˇredpokladem je, ˇze rozhran´ı je ploˇsná struktura, jej´ıˇz ˇs´ıˇrka je mnohem menˇs´ı, neˇz obvyklá vlnová délka akustických vln v obou okoln´ıch prostˇred´ıch. Specifická akustická impedance má jednotku Pa·s/m a je závislá na frekvenci zvuku. Je defi- nována jako pod´ıl akustického tlaku p p˚usob´ıc´ıho na ploˇsnou strukturu a akustické rychlosti v ˇcástic v daném prostˇred´ı (obvykle vzduchu):

z_m = p/v. (2.1)

Erhart et al.(2015)

2.4.3 Akustick´ a pˇ renosov´ a ztr´ ata

V praxi se pro mˇeˇren´ı pˇrenosu energie pouˇz´ıvá akustická pˇrenosová ztráta (anglicky Transmission Loss - TL), která mˇeˇr´ı schopnost rozhran´ı sniˇzovat energii pˇreneseného zvuku. Akustický tlak pˇricházej´ıc´ı vlny je oznaˇcován p_i a pˇri nárazu na rozhran´ı zp˚usob´ı vibrace, pˇriˇcemˇz ˇcást pˇricházej´ıc´ıho akustického tlaku se od rozhran´ı odraz´ı zpˇet (akustický tlak p_r) a ˇcást se pˇrenese na druhou stranu skrze rozhran´ı (akustický tlak p_t).

Akustická pˇrenosová ztráta je pak definována jako pomˇer dopadaj´ıc´ıho akus- tického tlaku p_i a pˇreneseného p_t vyjádˇrená v decibelech:

TL = 20 log₁₀|p_i/p_t| . (2.2)

Akustická pˇrenosová ztráta je také závislá na frekvenci pˇricházej´ıc´ıho zvuku a tuto závislost lze vyjádˇrit pomoc´ı specifické akustické impedance z_m (která je také frek- venˇcnˇe závislá) prostˇred´ı v nˇemˇz se akustická vlna pˇrenáˇs´ı a specifické akustické impedance rozhran´ı:

TL(ω) = 20 log₁₀

1 + z_m(ω) 2za

, (2.3)

kde z_a je specifická akustická impedance prostˇred´ı a z_m(ω) je specifická akustická impedance rozhran´ı jako funkce frekvence akustické vlny:

z_m(ω) = ∆p(ω)

v(ω) , (2.4)

kde v je normálová sloˇzka rychlosti vibrac´ı rozhran´ı a ∆p = (p_i+ p_r) − p_t je rozd´ıl akustických tlak˚u pˇred a za rozhran´ım. Z výˇse uvedených rovnic je patrné, ˇze vysoká hodnota akustické pˇrenosové ztráty odpov´ıdá vysokým hodnotám specifické akus- tické impedance. Bˇeˇzným zp˚usobem zvyˇsován´ı akustické impedance je zvyˇsován´ı hmotnosti rozhran´ı, coˇz v mnoha pˇr´ıpadech nen´ı pouˇzitelné ˇreˇsen´ı. Erhart et al.

(2015)

(20)

3 Metody

3.1 Formulace fyzik´ aln´ıho probl´ emu jako okrajov´ e

´ ulohy

3.1.1 Formulace fyzik´ aln´ıch jev˚ u pomoc´ı parci´ aln´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic

Pro zjiˇstˇen´ı vlastnost´ı výˇse popsaného systému pro potlaˇcován´ı hluku je nutné vyˇreˇsit rovnice, které popisuj´ı druhý Newton˚uv pohybový zákon v materiálu, který je lokálnˇe vystaven vnˇejˇs´ım a vnitˇrn´ım silám:

ρ∂²u

∂t² − ∇ · T = 0, (3.1)

kde ρ je hustota materiálu, u je vektor výchylky, t je ˇcas a T je tenzor mechanického napˇet´ı. Symbol ∇ oznaˇcuje operátor vektoru gradientu, tj. ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z).

Rovnice (3.1) popisuje dynamickou odezvu materiál˚u pod úˇcinky vnˇejˇs´ıch sil. V pˇr´ıpadˇe piezoelektrických systém˚u je potˇreba nav´ıc spoˇc´ıtat jeˇstˇe Maxwellovu rovnici kontinuity vektoru elektrické indukce:

∇ · D = 0, (3.2)

kde D je vektor elektrické indukce. Aby bylo moˇzné z výˇse uvedených rovnic z´ıskat informace o prostorovém rozloˇzen´ı deformace a elektrostatického potenciálu, zp˚usobených vektorem výchylky, je potˇreba poˇc´ıtat s tenzorem elastické deformace S, který se pro anizotropn´ı piezoelektrické materiály vypoˇc´ıtá jako:

D = [d] E + [s] [T], (3.3)

kde E je intenzita p˚usob´ıc´ıho elektrického pole, Symboly v hranatých závorkách [·] oznaˇcuj´ı fyzikáln´ı veliˇciny v tzv. Voigtovˇe notaci, která umoˇzˇnuje zjednoduˇsit reprezentaci symetrického tenzoru redukc´ı jeho ˇrádu. Symboly [d] a [s] oznaˇcuj´ı matici piezoelektrických koeficient˚u a matici elastických poddajnosti daného materiálu.

(21)

Matice tuhosti [c] pro daný materiál m˚uˇze být vyjádˇrena pomoc´ı jako (3.4):

[c] =







c11 c12 c13 0 0 0 c₂₁ c₂₂ c₂₃ 0 0 0 c₃₁ c₃₂ c₃₃ 0 0 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0 c₅₅ 0

0 0 0 0 0 c₆₆







, (3.4)

pˇriˇcemˇz inverzn´ı matice k tenzoru tuhosti je matice tenzoru poddajnosti (3.5):

[s] = [c⁻¹] =







s₁₁ s₁₂ s₁₃ 0 0 0 s₂₁ s₂₂ s₂₃ 0 0 0 s₃₁ s₃₂ s₃₃ 0 0 0

0 0 0 s₄₄ 0 0

0 0 0 0 s₅₅ 0

0 0 0 0 0 s₆₆







. (3.5)

Pro izotropn´ı nepiezoelektrick´e materi´aly se zjednoduˇs´ı na:

[S] = [s][T]. (3.6)

Elektrická indukce D se v piezoelektrickém materiálu vypoˇc´ıtá jako:

D = · E + [d][T], (3.7)

kde je tenzor permitivity. U nepiezoelektrick´ych materi´al˚u se rovnice zjednoduˇs´ı na:

D = · E. (3.8)

3.1.2 Stanoven´ı okrajov´ ych podm´ınek

Pro popis fyzikáln´ıho problému jako okrajové úlohy je samozˇrejmˇe jeˇstˇe nutné po- psat okrajové podm´ınky a to jak elektrické, tak mechanické. V simulac´ıch, které jsou popsány v této práci, byly pouˇz´ıvány dvˇe mechanické okrajové podm´ınky. Okrajová podm´ınka fixed znamená, ˇze se elementy nemohou pohybovat, tedy tuhost c je ne- koneˇcná a veˇskerá pˇr´ıchoz´ı energie je perfektnˇe odraˇzena zpˇet. Okrajová podm´ınka free naopak popisuje situaci, kdy se elementy mohou pohybovat zcela volnˇe, tedy tuhost c je nulová a veˇskerá energie projde.

Pouˇzité elektrické okrajové podm´ınky také odpov´ıdaj´ı extrémn´ım situac´ım.

Prvn´ı z nich, v této práci oznaˇcovaná jako bez elektrod, popisuje situaci kdy je povrch elektricky izolován a tedy nemá ˇzádný volný náboj. Oproti tomu druhá pouˇzitá podm´ınka, popisovaná jako s elektrodami, odpov´ıdá situaci, kdy je povrch elektricky uzemnˇen, tedy m˚uˇze pohltit nekoneˇcné mnoˇzstv´ı volného náboje.ons (2019)Steiger and Mokrý (2015)

(22)

3.2 Numerick´ e ˇ reˇ sen´ı okrajov´ e ´ ulohy pomoc´ı metody koneˇ cn´ ych prvk˚ u

Výˇse zformulovaný fyzikáln´ı problém je popsán soustavou parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic, které obecnˇe nelze analyticky vyˇreˇsit, proto je pro jejich ˇreˇsen´ı nutné pouˇz´ıt numerických metod. Z tˇechto metod je nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı metoda koneˇcných prvk˚u (MKP), jej´ıˇz pˇresný popis je nad rámec této bakaláˇrské práce, ale základn´ı myˇslenka je zde popsána. Pˇri MKP se nejprve oblast prostoru, ve které ˇreˇs´ıme daný fyzikáln´ı problém, diskretizuje, tedy urˇc´ı se v nˇem koneˇcný poˇcet bod˚u, ze kterých se sestav´ı tzv. koneˇcné prvky.

V nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadˇe se body rozm´ıst´ı rovnomˇernˇe v celém prostoru a vy- tvoˇr´ı se z nich soustava trojúheln´ık˚u, které maj´ı bud’ spoleˇcnou stranu, vrchol nebo jsou zcela disjunktn´ı, tento krok se nazývá zes´ıt’ován´ı (meshing). Koneˇcný prvek pˇredstavuje po ˇcástech lineárn´ı funkci, která je definována na omezené malé oblasti dané pouze tˇemi trojúheln´ıky, které

”sd´ılej´ı“ spoleˇcný uzlový bod. Kaˇzdému uzlu je pˇriˇrazen tzv. uzlový parametr, tedy ˇc´ıslo, které znaˇc´ı hodnotu ˇreˇsen´ı v daném bodˇe.

Hledané ˇreˇsen´ı parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice se hledá ve tvaru lineárn´ı kombinace koneˇcných element˚u. T´ımto zp˚usobem je moˇzné pˇrevést ˇreˇsen´ı parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice na ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch algebraických rovnic.

Mezi hlavn´ı výhody této metody patˇr´ı moˇznost pouˇz´ıvat r˚uzné velikosti a tvary koneˇcných prvk˚u i v rámci jedné simulace, coˇz umoˇzˇnuje zpˇresnit ˇreˇsen´ı v potˇrebných oblastech (zakˇrivené povrchy, tenké vrstvy apod.), aniˇz by to zásadnˇe ovlivnilo výpoˇcetn´ı nároˇcnost simulace. MKP ze stejného d˚uvodu také umoˇzˇnuje relativnˇe jednoduchou simulaci komplexn´ıch geometri´ı. M´ıka and Kufner (1983)

V souˇcasnosti existuje mnoho nástroj˚u, které umoˇzˇnuj´ı ˇreˇsit komplikované fy- zikáln´ı problémy pomoc´ı metody koneˇcných prvk˚u, aniˇz by bylo nutné znát vˇsechny detaily jej´ı implementace. Jedn´ım z takových nástroj˚u je OnScale.

3.3 OnScale

3.3.1 Z´ akladn´ı informace

OnScale je online platforma, která umoˇzˇnuje ˇreˇsit fyzikáln´ı problémy pomoc´ı ˇreˇsiˇce pouˇz´ıvaj´ıc´ı metodu koneˇcných prvk˚u. OnScale je cloudová sluˇzbˇe, kdy simulace a výpoˇcty prob´ıhaj´ı na serverech Onscale. Uˇzivatel si stáhne program ve kterém vytváˇr´ı modely a po proveden´ı simulace zobrazuje a zpracovává výsledky.

V základn´ı verzi je OnScale zdarma, pˇriˇcemˇz základn´ı verze obsahuje vˇsechny nástroje a moˇznosti, jediným omezen´ım je omezen´ı výpoˇcetn´ıho ˇcasu na 10 hodin mˇes´ıˇcnˇe. Výpoˇcetn´ı ˇcas je poˇc´ıtán na Core-Hours, coˇz je ˇcas vynásobený poˇctem pouˇzitých CPU. Tedy pouˇz´ıván´ı jednoho CPU po dobu jedné hodiny je jedna Core-Hour, pouˇz´ıván´ı osmi CPU jednu hodinu je osm Core-Hours. ˇCas strávený vytváˇren´ım model˚u a povýpoˇctovým zpracován´ım nen´ı nijak omezen.

(23)

OnScale má dva moduly pro vytváˇren´ı model˚u. Prvn´ı z nich je Designer, který má grafické rozhran´ı a druhý je Analyst, který obsahuje programovatelný skript.

V této práci byl pouˇzit témˇeˇr výhradnˇe Designer, pˇriˇcemˇz Analyst byl pouˇz´ıván k odhalován´ı chyb v modelu.Allison et al. (2020) Gray (2020)

3.3.2 Vytv´ aˇ ren´ı model˚ u v Designer

Jako prvn´ı se vytvoˇr´ı nový projekt, pro který je nutné nastavit typ analýzy, na výbˇer je mechanická statická a mechanická dynamická, a typ modelu. Moˇzné typy model˚u jsou 3D model, 2D model a osovˇe symetrický 2D model. Také je zde moˇzné nastavit dále pouˇz´ıvané fyzikáln´ı jednotky. Toto nastaven´ı bohuˇzel nen´ı moc uˇziteˇcné, protoˇze urˇcité ˇcásti programu, jako napˇr´ıklad tabulka s parametry a koneˇcný Postprocessing tato nastaven´ı nereflektuj´ı a z˚ustávaj´ı v metrech a sekundách.

V samotném projektu se potom mus´ı zadat materiály, které budou v modelu pouˇzity. OnScale obsahuje databázi nˇekterých bˇeˇzných materiál˚u a tyto materiály je moˇzné upravovat nebo vytvoˇrit vlastn´ı nové materiály. Vˇsechny materiály maj´ı urˇcené mechanické vlastnosti, tedy hustotu, smykovou rychlost (shear velocity) a stˇredn´ı pr˚uˇrezovou rychlost (bulk velocity). Protoˇze smyková rychlost a stˇredn´ı pr˚uˇrezová rychlost nejsou bˇeˇznˇe pouˇz´ıvané materiálové konstanty obsahuje OnS- cale nástroj, který je pˇrepoˇc´ıtá z bˇeˇznˇeji pouˇz´ıvaných materiálových konstant jako je Poissonovo ˇc´ıslo a Young˚uv modul pruˇznosti.

Stˇredn´ı pr˚uˇrezová rychlost (bulk velocity) je pr˚umˇerná rychlost ˇs´ıˇren´ı podélného vlnˇen´ı v materiálu, pro dostateˇcnˇe velký vzorek (alespoˇn 5x vˇetˇs´ı neˇz vlnová délka p˚usob´ıc´ıho vlnˇen´ı) je definována jako:

C_l = s

E ρ

1 − ν

(1 + ν)(1 − 2ν)

, (3.9)

kde E je Young˚uv modul pruˇznosti, ρ je hustota materi´alu a ν je Poissonovo ˇc´ıslo.

Smyková rychlost (shear velocity) je pr˚umˇerná rychlost ˇs´ıˇren´ı pˇr´ıˇcného vlnˇen´ı v materiálu. Definice:

C_s = s

G

ρ, (3.10)

kde ρ je hustota materi´alu a G je modul pruˇznosti ve smyku. Modul pruˇznosti ve smyku lze pro izotropn´ı materi´aly vypoˇc´ıtat podle:

G = E

2(1 + ν), (3.11)

kde E je Young˚uv modul pruˇznosti a ν je Poissonovo ˇc´ıslo. Brown (1995)

Piezoelektrické materiály maj´ı své mechanické vlastnosti urˇcené hustotou a ma- tic´ı tuhosti (stiffness), piezoelektrické vlastnosti pomoc´ı matice piezoelektrických

(24)

koeficient˚u mechanického napˇet´ı (piezoelectric stress constant) a poling, který defi- nuje základn´ı osu anizotropie materiálu. Materiálové vlastnosti vzduchu, hlin´ıku a PZT jsou zobrazeny v tabulkách 3.1 a 3.2.

Dále je potˇreba vybrat bud´ıc´ı funkci nebo definovat vlastn´ı a nastavit u n´ı parametry. Je moˇzné pouˇz´ıt v´ıce bud´ıc´ıch funkc´ı. V pˇr´ıpadˇe statického modelu je moˇzné urˇcit pouze velikost s´ıly.

Dále je zde moˇznost nakonfigurovat si ze základn´ıch elektrických souˇcástek elek- trický obvod, který se dá poté v modelu pouˇz´ıt jako okrajová elektrická podm´ınka v numerickém modelu systému..

Dalˇs´ım d˚uleˇzit´ym krokem je vytvoˇren´ı samotn´e geometrie modelu a to bud’

nahrán´ım geometrie pˇredem vytvoˇrené v CAD programu nebo vytvoˇren´ım geometrie z primitivn´ıch tvar˚u. Pro 2D model jsou primitivn´ı tvary napˇr´ıklad obdéln´ık, kruh a mnohoúheln´ık. Kaˇzdému vytvoˇrenému objektu je potˇreba pˇriˇradit materiál, jeho rozmˇery a tzv. pˇrednost. Pˇrednost objektu ˇreˇs´ı situace, kdy se dva objekty pˇrekrývaj´ı na stejné pozici, objektu s vyˇsˇs´ı pˇrednost´ı je pozice pˇriˇrazena a objekt s niˇzˇs´ı je na této pozici ignorován. Rozmˇery se objekt˚um daj´ı pˇriˇradit dvˇema zp˚usoby, bud’ jako konkrétn´ı ˇc´ıslo nebo jako parametr. Parametry se ukládaj´ı do tabulky na parametry (parameter table) a mus´ı být vˇzdy v základn´ıch jednotkách SI.

Dalˇs´ım krokem je zas´ıt’ován´ı (mesh) modelu, které je bud’ moˇzné urˇcit v závislosti na zkoumané vlnové délce (wavelength-based), vybrat rozliˇsen´ı s´ıtˇe (od velmi hrubého (very coarse) po velmi jemné (very fine)) nebo ruˇcnˇe nastavit velikost jednotlivých element˚u. Tento krok je kl´ıˇcovým krokem metody koneˇcných prvk˚u, která je zaloˇzená na tom, ˇze hledaná funkce (parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice) se hledá ve tvaru po ˇcástech lineárn´ı funkce, která vznikne jako souˇcet lineárn´ıch funkc´ı, které jsou definovány na omezených oblastech (tedy na koneˇcných elementech). Detaily metody koneˇcných prvk˚u jdou nad rámec této bakaláˇrské práce a tato metoda je pouˇzita jako nástroj pro studium interakce kmitaj´ıc´ıho nosn´ıku a vzduchového pole.

Rektorys(1999)

OnScale v základn´ım nastaven´ı pouˇz´ıvá elementy ve tvaru obdéln´ıku (ve 3D kvádru) a pouˇzit´ı jiného tvaru element˚u v Designeru nejde nastavit. Je moˇzné ale nastavit key-pointy, tedy význaˇcné body, podle kterých se uprav´ı s´ıt’ tak, aby napˇr´ıklad kaˇzdý element patˇril pouze jednomu materiálu a nedocházelo tak k poruˇsován´ı geometrie. Poté je samozˇrejmˇe nutné nastavit okraje s´ıtˇe, nejjednoduˇsˇs´ım zp˚usobem je zvolit okraje s´ıtˇe stejné, jako okraje geometrie systému.

Poté je potˇreba urˇcit p˚usob´ıc´ı zátˇeˇz, na výbˇer jsou dvˇe moˇznosti, bud’ vybrat hranu na kterou má s´ıla p˚usobit nebo geometrické rozhran´ı (napˇr. rozhran´ı objektu z PZT a xmax, tedy pravá hranice geometrie) a poté urˇcit druh zátˇeˇze. Moˇzné druhy zátˇeˇze jsou: s´ıla, tlak, elektrické napˇet´ı, rychlost a vetknut´ı. U s´ıly, rychlosti a tlaku je potˇreba jeˇstˇe urˇcit smˇer p˚usoben´ı a bud´ıc´ı funkci. U elektrického napˇet´ı lze nav´ıc jeˇstˇe urˇcit pˇr´ıpadný obvod a ukonˇcen´ı (termination) na výbˇer je volné ukonˇcen´ı, uzemnˇen´ı nebo bud´ıc´ı funkce.

U okrajov´ych podm´ınek existuj´ı tyto moˇznosti:

• volné (free) - volný pohyb element˚u a ˇzádné p˚usob´ıc´ı vnˇejˇs´ı s´ıly

(25)

Tabulka 3.1: Vlastnosti pouˇzit´ych materi´al˚u

materiálová konstanta hlin´ık vzduch PZT hustota(kg/m³) 2690 1,24 7500 stˇredn´ı pr˚uˇrezová rychlost(m/s) 6306 343 -

smykov´a rychlost(m/s) 3114 0 -

• vetknut´ı (fixed) - elementy jsou fixovan´e, nemohou se pohybovat, energie je perfektnˇe odraˇzena

• absorbuj´ıc´ı (absorbing) - energie pokraˇcuje pˇres okraj bez jak´ehokoli odraˇzen´ı

• symetrie - na druhé stranˇe se dˇeje pˇresnˇe to samé, co na této stranˇe

Dále je potˇreba nastavit typ ˇreˇsiˇce pro implicitn´ı nebo explicitn´ı metodu ˇreˇsen´ı simulace. Nastavit délku simulace v sekundách, nastavit numerickou pˇresnost (single ˇci double).

Nakonec je potˇreba nastavit výstup ze simulace, tedy jaké údaje chceme zjis- tit. Lze zjiˇst’ovat ˇcasovou historii v konkrétn´ım bodˇe, pr˚umˇernou ˇcasovou historii pro urˇcenou oblast, ploˇsná data o celé simulaci za celou dobu simulace (maximum, minimum), ploˇsná data z celé simulace pro konkrétn´ı ˇcas, data o tvaru a extrapolo- vaná data za okrajem simulace. Z veliˇcin je moˇzné zjiˇst’ovat akustický tlak, odchylku (displacement), rychlost (velocity), mechanické napˇet´ı (stress), s´ılu a mechanickou deformaci (strain).

Po dokonˇcen´ı modelu se na lokáln´ım poˇc´ıtaˇci provede odhad ˇcasové nároˇcnosti a potˇrebných Core-Hours pro proveden´ı simulace. Poté se jeˇstˇe m˚uˇze zvolit poˇcet CPU na kterých se má model paralelnˇe simulovat (coˇz ovlivˇnuje ˇcas simulace a pouˇzité Core-Hours) a poté se model odeˇsle na servery OnScale, kde se vˇse spoˇc´ıtá a poté lze stáhnout výsledky k prozkoumán´ı v Post Processoru. Allison et al. (2020)Gray (2020)

3.3.3 Zkoum´ an´ı v´ ysledk˚ u simulace v Post Processoru

Výsledky simulace je potˇreba nahrát do prostˇred´ı Post Processoru, lze nahrát výsledky nˇekolika simulac´ı najednou, aby se dali porovnávat. ˇCasové historie a po- dobné výsledky se zobrazuj´ı jako grafy, ploˇsná data jako barevné modely (barva urˇcuje velikost veliˇcin). Pro tuto práci je nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı moˇznost pouˇzit´ı FFT (rychlá Fourierova transformace) k pˇreveden´ı ˇcasové historie (tedy závislost napˇr. akus- tického tlaku na ˇcase) na frekvenˇcn´ı závislost.

(26)

Tabulka 3.2: Vlastnosti PZT polarizovan´eho pod´el osy y

materi´alov´a konstanta hodnota jednotka

tuhost 10¹⁰N/m²

c₁₁ = c₂₂ 14,7

c₃₃ 13,2

c₁₂= c₁₃ = c₂₃ 8,11

c₄₄ = c₅₅ 3,13

c₆₆ 3,06

piezoelektrick´e koeficienty C/m²

e₃₁ = e₃₂ -3

e₃₃ 16,7

e₂₄ = e₁₅ 11,4

relativn´ı permitivita 8, 854 · 10⁻¹²F/m

₁₁ = ₂₂ 730

₃₃ 635

(27)

4 V´ ysledky

4.1 Statick´ a simulace jednoduch´ eho nosn´ıku

Nejprve bylo nutné se seznámit s výpoˇcetn´ımi principy a pˇresným významem nume- rických výsledk˚u, které jsou výstupem programu OnScale. Za t´ımto úˇcelem bylo pro- vedeno nˇekolik numerických simulac´ı základn´ıch mechanických systém˚u, které jsou dobˇre popsány známými analytickými modely. Numerické pˇredpovˇedi analytických model˚u byly porovnány s numerickými výsledky z OnScale a byl ovˇeˇren význam numerických výsledk˚u vypoˇc´ıtaných hodnot z OnScale. Byly testovány celkem tˇri r˚uzné pˇr´ıpady:

• nosn´ık vetknutý na obou stranách a bodová s´ıla p˚usob´ıc´ı uprostˇred

• nosn´ık vetknutý na jedné stranˇe a bodová s´ıla p˚usob´ıc´ı uprostˇred

• nosn´ık vetknutý na jedné stranˇe a bodová s´ıla p˚usob´ıc´ı na volném konci

Pro vˇsechny pˇr´ıpady byl pouˇzit stejný 2D model zobrazený na obrázku 4.1. Je to hlin´ıkový nosn´ık o délce 2 cm a ˇs´ıˇrce 0.25 mm. P˚usob´ıc´ı bodová s´ıla je vˇzdy 10 N.

Pro teoretické výpoˇcty jsou potˇrebné jeˇstˇe Young˚uv model pruˇznosti E, který se pro tento konkrétn´ı simulovaný hlin´ık rovná 71 GPa a kvadratický moment pr˚uˇrezu I, který závis´ı na tvaru nosn´ıku, v tomto konkrétn´ım pˇr´ıpadˇe jde o vzorec pro obdéln´ıkový tvar:

I = (bh³)/12, (4.1)

ve kterém se h rovná výˇsce nosn´ıku (0.25 mm) a b jeho ˇs´ıˇrce, která je jednotková (1 m), z d˚uvodu pouˇzit´ı 2D modelu. Ve vˇsech následuj´ıc´ıch výpoˇctech se tedy I = 1, 30208 · 10⁻¹² m⁴.

Pouˇzitý 2D model pouˇz´ıvá elementy ve tvaru ˇctverce a jejich velikost je 6, 25 · 10⁻⁵ m. Pˇri statické simulaci nosn´ıku jsem z´ıskával dvˇe fyzikáln´ı veliˇciny: výchylku v ˇcase pro jeden konkrétn´ı bod a výslednou výchylku pro vˇsechny bodu v nosn´ıku.

Výchylka je rozd´ıl mezi p˚uvodn´ı a souˇcasnou polohou. ˇCas pro statické simulace znamená poˇcet iterac´ı pˇri konvergenci výsledku.

Pro vˇsechny následuj´ıc´ı grafy a modely plat´ı, ˇze o_y je výchylka ve smˇeru osy y, pˇriˇcemˇz plat´ı, ˇze kladná výchylka je smˇerem nahoru a záporná smˇerem dol˚u. Vˇsechny

(28)

Obrázek 4.1: Model nosn´ıku vetknutého na obou stranách s bodovou silou uprostˇred

Obrázek 4.2: Výpoˇcet výchylky nosn´ıku vetknutého na obou stranách

s´ıly, které na modely p˚usob´ı, p˚usob´ı smˇerem shora dol˚u, proto je hodnota o_y vˇzdy záporná. Zdeformované modely jsou orientaˇcn´ı a zobrazované deformace znaˇcnˇe nad- sazené (zobrazovaná osa y neodpov´ıdá reálnému zdeformován´ı a má pouze ilustraˇcn´ı smysl), reálná velikost výchylky v daném bodˇe je urˇcena barvou podle stupnice o_y vpravo.

4.1.1 Nosn´ık vetknut´ y na obou stran´ ach, bodov´ a s´ıla uprostˇ red

Pouˇzitý model je zobrazen na obrázku 4.1. Na obrázku 4.2 je zobrazen pr˚ubˇeh výpoˇctu výchylky uprostˇred nosn´ıku ve statickém pˇr´ıpadˇe a je na nˇem jasnˇe pozoro- vatelná postupná konvergence ˇreˇsen´ı. Výsledná výchylka je 4, 10 · 10⁻⁶ m a výsledný zdeformovaný model je pro ilustraci na obrázku4.3.

Vzorec pro v´ypoˇcet v´ychylky pro tento typ nosn´ıku v bodˇe zat´ıˇzen´ı jeeng(2004):

δ = F a³b³

3L³EI, (4.2)

kde F je p˚usob´ıc´ı s´ıla (10 N), a je vzdálenost bodu p˚usoben´ı s´ıly od poˇcátku nosn´ıku (0,01 m), b je vzdálenost bodu p˚usoben´ı s´ıly od konce nosn´ıku (0,01 m), E je Young˚uv

(29)

Obrázek 4.3: Zdeformovaný model nosn´ıku vetknutého na obou stranách

Obrázek 4.4: Model nosn´ıku vetknutého na jedné stranˇe s bodovou silou uprostˇred

model pruˇznosti, I je kvadratický moment pr˚uˇrezu a L je délka nosn´ıku. ˇC´ıselná hodnota výchylky volného konce je rovna:

δ = 10 · 0, 01³ · 0, 01³

3 · 0, 02³ · 71 · 10⁹· 1, 30208 · 10⁻¹²m, (4.3)

= 4, 51 · 10⁻⁶m. (4.4)

Kdyˇz porovnáme výsledek z´ıskaný analyticky s výsledkem z´ıskaným ze simulace (4, 51 · 10⁻⁶ m oproti 4, 10 · 10⁻⁶ m), tak si odpov´ıdaj´ı s relativn´ı chybou zhruba 9%).

4.1.2 Nosn´ık vetknut´ y na jedn´ e stranˇ e, bodov´ a s´ıla uprostˇ red

Pouˇzit´y model je zobrazen na obr´azku4.4.

Výsledná výchylka v bodˇe zat´ıˇzen´ı je 3, 43·10⁻⁵m a na volném konci 8, 61·10⁻⁵m.

Výsledná deformace modelu je ukázána na obrázku4.5. Vzorec pro výpoˇcet výchylky pro tento typ nosn´ıku na volném konci, tedy v m´ıstˇe s maximáln´ı výchylkou, jeeng (2013):

δ = F a²

6EI(3L − a), (4.5)

(30)

Obrázek 4.5: Zdeformovaný model nosn´ıku vetknutého na levé stranˇe s bodovou silou uprostˇred

Obrázek 4.6: Model nosn´ıku vetknutého na jedné stranˇe s bodovou silou na volném konci

kde F je p˚usob´ıc´ı s´ıla (10 N), a je vzdálenost bodu p˚usoben´ı s´ıly od poˇcátku nosn´ıku (0,01 m), E je Young˚uv model pruˇznosti, I je kvadratický moment pr˚uˇrezu a L je délka nosn´ıku. ˇC´ıselná hodnota výchylky volného konce je rovna:

δ = 10 · 0, 01²

6 · 71 · 10⁹· 1, 30208 · 10⁻¹² · (3 · 0, 02 − 0, 01) m (4.6)

= 9, 01 · 10⁻⁵m, (4.7)

coˇz odpov´ıdá výsledku z´ıskanému ze simulace δ = 8.61 · 10⁻⁵m s relativn´ı chybou zhruba 4,4%). Pro výchylku v jiném bodˇe lze pouˇz´ıt podobný vzorec eng (2013):

δ = F a²

6EI(3x − a), (4.8)

kde pro tento pˇr´ıpad je x vzd´alenost bodu p˚usoben´ı s´ıly od poˇc´atku nosn´ıku.

Výsledkem je, ˇze δ = 3.61 · 10⁻⁵m, coˇz také pˇribliˇznˇe odpov´ıdá výsledk˚um simulace δ = 3.43 · 10⁻⁵m s relativn´ı chyba zhruba 5%.

4.1.3 Nosn´ık vetknut´ y na jedn´ e stranˇ e, bodov´ a s´ıla na voln´ em konci

Pouˇzitý model je zobrazen na obrázku 4.6. Výsledná výchylka v bodˇe uprostˇred je 8, 66 · 10⁻⁵m a na volném konci 2, 75 · 10⁻⁴m a výsledná deformace nosn´ıku je

(31)

Obrázek 4.7: Zdeformovaný model nosn´ıku vetknutého na jedné stranˇe s bodovou silou na volném konci

ukázána na obrázku 4.7.

Vzorec pro výpoˇcet maximáln´ı výchylky, kterou lze namˇeˇrit pˇri tomto zp˚usobu upevnˇen´ı nosn´ıku na jeho volném konci, je eng (2013):

δ = F L³

3EI (4.9)

= 10 · 0, 02³

3 · 71 · 10⁹· 1, 30208 · 10⁻¹² m, (4.10)

= 2, 88 · 10⁻⁴m, (4.11)

coˇz odpov´ıd´a v´ysledku ze simulace δ = 2, 75·10⁻⁴m s relativn´ı chybou zhruba 4,5%).

A vzorec pro výchylku v jiném bodˇe, který se pouˇzije na stˇred nosn´ıku:

δ = F x²

6EI(3L − x) (4.12)

= 9, 01 · 10⁻⁵m, (4.13)

kde x je vzdálenost poˇc´ıtaného bodu od poˇcátku nosn´ıku (0.01 m) a kde výsledek také zhruba odpov´ıdá výsledku simulace δ = 8, 66 · 10⁻⁵m s relativn´ı chybou zhruba 3,8%.

4.2 Statick´ a simulace piezoelektrick´ eho unimorfu

Unimorf je nosn´ık, který je sloˇzený ze dvou ˇcást´ı, aktivn´ı a neaktivn´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe je sloˇzen z neaktivn´ıho hlin´ıku a aktivn´ı PZT, coˇz je druh piezoelektrické keramiky. 2D model systému je zobrazen na obrázku4.8, ve kterém je hlin´ık znázornˇen modˇre a PZT keramika je zobrazena ˇcervenˇe. Délka nosn´ıku je 0,02 m, jeho celková

(32)

Obr´azek 4.8: 2D model nosn´ıku typu unimorf

Obrázek 4.9: Model nosn´ıku unimorf vetknutý na jedné stranˇe s bodovou silou na volném konci

ˇs´ıˇrka je 0,3 mm, pˇriˇcemˇz z toho 0,25 mm hlin´ıku a 0,05 mm PZT. Ve statickém proveden´ı se neprojev´ı speciáln´ı vlastnosti PZT, ale projev´ı se zmˇena ˇs´ıˇrky nosn´ıku, která má vliv na kvadratický moment pr˚uˇrezu I a zmˇen´ı se jeho Young˚uv modul pruˇznosti podle vztahu Erhart et al. (2015):

E_ef = E_Alh_Al+ E_PZTh_PZT

h_Al+ h_PZT , (4.14)

kde E_ef je efektivn´ı model pruˇznosti výsledné smˇesi, E_Al je model pruˇznosti hlin´ıku, E_PZT model pruˇznosti PZT, h_Al je ˇs´ıˇrka vrstvy hlin´ıku a h_PZTˇs´ıˇrka vrstvy PZT. Po výpoˇctu vycház´ı E_ef = 69, 7 GPa. A pro následuj´ıc´ı výpoˇcty se kvadratický moment pr˚uˇrezu I = 2, 25 · 10⁻¹²m⁴.

4.2.1 Nosn´ık unimorf vetknut´ y na jedn´ e stranˇ e, bodov´ a s´ıla na voln´ em konci

Pouˇzitý model je zobrazen na obrázku 4.9. Výsledná výchylka v bodˇe uprostˇred je 4, 78·10⁻⁵m a na volném konci je 1.54·10⁻⁴m. Výsledná deformace nosn´ıku unimorf je zobrazena na obrázku 4.10.

Vzorec pro výpoˇcet výchylky pro tento typ nosn´ıku na volném konci je eng (2013):

δ = F L³

3E_efI, (4.15)

= 10 · 0, 02³

3 · 69, 7 · 10⁹· 2, 25 · 10⁻¹²m, (4.16)

= 1, 70 · 10⁻⁴m, (4.17)

coˇz odpov´ıd´a v´ysledku ze simulace δ = 1, 54 · 10⁻⁴m s relativn´ı chybou zhruba 9,4%.

(33)

Obrázek 4.10: Zdeformovaný model nosn´ıku unimorf vetknutého na jedné stranˇe s bodovou silou na volném konci

Obrázek 4.11: Model nosn´ıku unimorf vetknutý na obou stranách s bodovou silou uprostˇred

A vzorec pro výchylku v jiném bodˇe, který je pouˇzit na stˇred nosn´ıku eng (2013):

δ = F x²

6E_efI(3L − x), (4.18)

= 5, 31 · 10⁻⁵m, (4.19)

kde x je vzdálenost poˇc´ıtaného bodu od poˇcátku nosn´ıku (0,01 m) a kde výsledná výchylka také odpov´ıdá výsledku ze simulace δ = 4, 78 · 10⁻⁵m s relativn´ı chybou zhruba 10%.

4.2.2 Nosn´ık unimorf vetknut´ y na obou stran´ ach, bodov´ a s´ıla uprostˇ red

Pouˇzitý model je zobrazen na obrázku 4.11. Výsledná výchylka je 2, 37 · 10⁻⁶m a model nosn´ıku po konvergenci simulace je zobrazen na obrázku 4.12. Vzorec pro výpoˇcet výchylky pro tento typ nosn´ıku v bodˇe zat´ıˇzen´ı je eng (2004):

δ = F a³b³

3L³E_efI, (4.20)

(34)

Obrázek 4.12: Zdeformovaný model nosn´ıku unimorf vetknutého na obou stranách s bodovou silou uprostˇred

kde F je p˚usob´ıc´ı s´ıla (10 N), a je vzdálenost bodu p˚usoben´ı s´ıly od poˇcátku nosn´ıku (0,01 m), b je vzdálenost bodu p˚usoben´ı s´ıly od konce nosn´ıku (0,01 m), E_ef je efektivn´ı Young˚uv model pruˇznosti, I je kvadratický moment pr˚uˇrezu a L je délka nosn´ıku.

δ = 10 · 0, 01³· 0, 01³

3 · 0, 02³ · 69, 7 · 10⁹· 2, 25 · 10⁻¹²m, (4.21)

= 2, 66 · 10⁻⁶m. (4.22)

Tato výchylka zhruba odpov´ıdá výchylce z´ıskané pomoc´ı simulace (δ = 2, 37 · 10⁻⁶m s relativn´ı chybou zhruba 11%).

4.3 Simulace dynamick´ e odezvy

V dalˇs´ı fázi bylo nutné se seznámit s výpoˇcetn´ımi principy programu OnScale v pˇr´ıpadech, kdy jsou s´ıly promˇenné v ˇcase, tedy dynamické. Byly testovány tˇri základn´ı modely:

• jednoduchý nosn´ık vetknutý na obou stranách a dynamická bodová s´ıla p˚usob´ıc´ı uprostˇred

• nosn´ık typu unimorf vetknutý na obou stranách a dynamická bodová s´ıla p˚usob´ıc´ı uprostˇred bez pˇripojen´ı elektrod

• nosn´ık typu unimorf vetknutý na obou stranách a dynamická bodová s´ıla p˚usob´ıc´ı uprostˇred s pˇripojenými elektrodami nad a pod PZT

V této ˇcásti byly pouˇz´ıvány dvˇe r˚uzné bud´ıc´ı funkce:

(35)

• Chirp (ˇcesky Cvrlikán´ı nebo ˇCerp) Obecný chirp má tvar:

x(t) = a(t)e^iφ(t), (4.23)

kde a(t) je pozitivn´ı hladká n´ızkofrekvenˇcn´ı funkce, jej´ıˇz zmˇena je pomalá oproti zmˇenˇe fáze φ(t). Lineárn´ı chirp je definován jako chirp, ve kterém je:

a(t) = e^−πγt², (4.24)

φ(t) = 2π αt² 2 + βt

, (4.25)

kde α a β jsou reálná ˇc´ısla a γ je nezáporné ˇc´ıslo. V této funkci (lineárn´ı Chirp) se okamˇzitá frekvence mˇen´ı lineárnˇe s ˇcasem, kde okamˇzitá frekvence:

f (t) = ct + f₀, (4.26)

kde f₀ je poˇc´ateˇcn´ı frekvence (v ˇcase t₀) a c je konstanta chirpu:

c = f1− f0

T , (4.27)

kde f₁ je koneˇcná frekvence a T je doba za kterou se f₀ zmˇen´ı na f₁. Graf zobrazuj´ıc´ı chován´ı funkce je na obrázku4.13 a na obrázku 4.14 je zobrazena jej´ı závislost na frekvenci.Flandrin(2001) Pouˇzitá funkce chirp má následuj´ıc´ı vlastnosti:

– d´elka trv´an´ı: 0.05 s

– zaˇc´ın´a na frekvenci 20 Hz a konˇc´ı na 20000 Hz – amplituda peak-peak je 10 N

• Ricker Wavelet (ˇcesky tzv. Mexický klobouk) je druhá derivace Gaussovy funkce. V ˇcasové oblasti je definována jako:

r(t) =

1 −1

2ω²_pt²

e⁻¹⁴^ω^p²^t², (4.28)

kde ωp je hlavn´ı frekvence a t je ˇcas. Na obrázku 4.15 je zobrazena ˇcasová závislost amplitudy této funkce na frekvenci a obrázku4.16frekvenˇcn´ı závislost.

Wang(2015) Pouˇzit´a funkce Ricklet Wavelet m´a tyto vlastnosti:

– frekvence kladn´eho maxima je 10000 Hz – m´a 4 subwavelety

– amplituda kladn´eho maxima je 10 N

Výsledky simulace se poté srovnávaj´ı s analytickými vzorci a porovnávaj´ı se z´ıskané rezonanˇcn´ı frekvence.

(36)

Obrázek 4.13: Závislost amplitudy funkce chirp na ˇcase - krátký ˇcasový úsek

Obr´azek 4.14: Z´avislost amplitudy funkce chirp na frekvenci

(37)

Obr´azek 4.15: Z´avislost amplitudy funkce Ricker Wavelet na ˇcase

Obr´azek 4.16: Z´avislost amplitudy funkce Ricker Wavelet na frekvenci

Obrázek 4.17: Jednoduchý nosn´ık vetknutý na obou stranách s dynamickou bodovou silou p˚usob´ıc´ı uprostˇred

(38)

Obrázek 4.18: Frekvenˇcn´ı závislost výchylky v bodˇe zat´ıˇzen´ı bodovou silou funkce chirp a Ricker Wavelet pro jednoduchý nosn´ık

4.3.1 Jednoduch´ y nosn´ık vetknut´ y na obou stran´ ach s dynamic- kou bodovou silou p˚ usob´ıc´ı uprostˇ red

Pouˇzitý model je zobrazen na obrázku4.17. Pouˇzité zes´ıt’ován´ı mˇelo tvar obdéln´ıku s rozmˇery 8, 22·10⁻⁵m a 10, 47·10⁻⁵m a s ˇcasovým krokem 1, 3354·10⁻⁸s. Frekvenˇcn´ı závislost výchylky v bodˇe zat´ıˇzen´ı pro funkci chirp a Ricker Wavelet je zobrazena na obrázku 4.18. Obˇe pouˇzité funkce urˇcuj´ı rezonanˇcn´ı frekvence nosn´ıku pˇresnˇe shodnˇe a to na 3 045 Hz a 16 428 Hz. Z frekvenˇcn´ı závislosti lze také vyˇc´ıst antirezo- nanˇcn´ı frekvenci, která je na 12 239 Hz. Vibraˇcn´ı mód nosn´ıku v rezonanˇcn´ı frekvenci 3 045 Hz je zobrazen na obrázku 4.19 a pro frekvenci 16 428 Hz na obrázku 4.20. V tˇechto zobrazen´ıch je osa y pouze orientaˇcn´ı a reálné hodnoty výchylky jsou urˇceny barvou podle ˇskály. Je zjevné, ˇze amplituda vibrac´ı v antirezonanci je 100x menˇs´ı neˇz na frekvenci rezonanˇcn´ı.

Analytický vzorec pro prvn´ı rezonanˇcn´ı frekvenci nosn´ıku vetknutého na obou stranách eng (2017):

f = 3.56 s

EI

qL⁴, (4.29)

= 3 299 Hz, (4.30)

kde E je Young˚uv model pruˇznosti (E=71 · 10⁹Pa), I kvadratický moment pr˚uˇrezu, q je hmotnost nosn´ıku dˇelená jeho délkou (q = 0.672 5 kg) a L délka nosn´ıku a jehoˇz výsledek zhruba odpov´ıdá výsledku z´ıskanému simulac´ı touto simulac´ı f = 3 045 Hz, s relativn´ı chybou 7,6%, ale jeˇstˇe v´ıce odpov´ıdá výsledk˚um z akustické simulace provedené na stejném jednoduchém nosn´ıku se vzduˇsným okol´ım zobrazených na obrázku 4.38, kde prvn´ı rezonanˇcn´ı frekvence je 3 287 Hz s relativn´ı chybou 0,36%.