P  mmmm  24 P P   mmmm P m MASSCENTRUM

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Masscentrum

1 av 5

MASSCENTRUM

Låt P₁, P₂,...,P_n vara punkter med motsvarande massor m₁, m₂,...,m_n. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller

) 1(

2 2

1OP1 m OP mnOPn

m m OT



    (*)

där mm₁m₂m_n.

Anmärkning: Uttrycket 1( )

2 2

1OP1 m OP mnOPn

m m



   kallas viktade medelvärdet av

positionsvektorerna OP OP OPn



 1, 2, .

===========================================================

ÖVNINGAR

Uppgift 1. Anta att massorna 5 kg 10 kg 3 kg 4 kg och 2 kg är belägna i punkterna P1=(1,0,0), P₂=(1,2,1), P₃=(2,2,1), P₄=(1,2,3) respektive P₅=(3,3,3)

(längdenhet=meter). Bestäm masscentrum.

Lösning: Först mm₁m₂ m₅ 24

 

(31,40,31) 24

1

) 3 , 3 , 3 ( 2 ) 3 , 2 , 1 ( 4 ) 1 , 2 , 2 ( 3 ) 1 , 2 , 1 ( 10 ) 0 , 0 , 1 ( 24 5

1

) 1(

5 5 2 2

1 1

























 ^ ^ ^



OP m OP

m OP m m

OT 

Svar: Masscentrum är punkten (31,40,31) (1.2917, 1.6667, 1.2917) 24

1 

Uppgift 2. Anta att massorna 4 kg 5 kg 6 kg och 10 kg är belägna i punkterna P1=(1,1,1), P₂=(1,2,1), P₃=(2,2,3) respektive P₄=(1,2,3) (längdenhet=meter). Bestäm masscentrum.

Svar: Masscentrum är punkten (31,46,57) (1.24, 1.84, 2.28) 25

1 

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

(2)

2 av 5

Masscentrum för sammansatta kroppar:

Låt K vara en kropp som är sammansatt av enkla kroppar K1, K2,..., Kn vars delkropparnas masscentra är kända och ligger i punkternaP₁, P₂,...,P_n. Anta vidare att delkropparnas massor är m₁, m₂,...,m_n. Då kan vi betrakta delkroppar som punktmassor belägna i

punkterna P₁, P₂,...,P_noch använda formeln (*) för att bestämma masscentrum T för hela kroppen K . Därmed blir

) 1(

2 2

1OP1 m OP mnOPn

m m OT



    .

Uppgift 3. En kropp K består av två delar K1 och K2. Delkroppen K1 är en homogen kub med densiteten  4000kg/m³. Kubens kant har längden 2m. Delkroppen K2 är ett homogent klot med radien 1m och densiteten  2000kg/m³. Klotet är placerat på kuben enligt nedanstående figur. Inför ett koordinatsystem med origo som ligger i ett av kubens hörn och bestäm masscentrum till kroppen K.

Lösning:

Kubens masscentrum ligger i P₁=(1,1,1). Kubens massa är m₁2³400032000kg.

Klotets masscentrum ligger i P₂=(1,1,3). Klotets massa är   3 2000 8000 3 1

4 3

1    

m kg.

Masscentrum får vi ur

) 1 (

2 2 1 1



  m OP m OP

OT m



 



  



 (1,1,3)

3 ) 8000 1 , 1 , 1 ( 32000 3

32000 8000

1 



) 41496 . 1 , 1 , 1 ( 12 )

3 ,12 1 , 1 ( 8000 ) 96000

24000 96000

, 1 , 1

( 



 



 



(3)

3 av 5 Svar: T= ) (1, 1, 1.41496)

12 3 ,12 1 , 1

( 





 .

Uppgift 4. En tunn skiva är gjord av homogent material (densitet  = konstant). Ett hörn är placerat i origo. (Se nedanstående figur där längdenhet=meter).

Anta att den tunna skivan har tjockleken h=0.02m. Bestäm skivans masscentrum.

Lösning:

Vi delar skivan i två delar:

Del 1 har en kvadratisk bas med sidan 1m och masscentrum i punkten P₁=(0.5, 1.5, 0.01)

Del 2 har en rektangulär bas vars sidor är 1m och 3m och masscentrum i punkten P2=(1.5, 0.5, 0.01)

Del 1 har massan m₁volymen1 arean1h1²h Del 2 har massan m₂ volymen2 arean2h 13h

Vi ersätter del 1 med punktmassan i punkten P1 och del2 med massan i punkten P2 och bestämmer masscentrum för de två punktmassorna:

) 3

1 )( 3 1 (

1

2 1



 

  h OP h OP

h

OT h  



 ( vi bryter ut och förkortar ^h)



¹ ⁽⁰^.⁵^, ¹^.⁵^, ⁰^.⁰¹⁾ ³ ⁽¹^.⁵^, ⁰^.⁵^, ⁰^.⁰¹⁾



4

1   

 

OT

 

OT (1.25, 0.75, 0.01)

Svar: Masscentrum är punkten (1.25, 0.75, 0.01).

(4)

4 av 5

Masscentrum för tunna homogena skivor:

Låt K vara en homogen tunn skiva med höjden h som är gjord av homogent material (densitet  = konstant) som är sammansatt av delskivor K1, K2,..., Kn vars masscentra är kända. Beteckna basareor till delskivor med A1, A2,..., An . (Höjden av varje delskiva är h.) Då är massan av delskivan Kj lika med m_j  A_jh. Den totala massan av skivan K är



^

 m_j h A_j

m  .

Vi kan substituera detta i formeln för



OT och förkorta h

eller

) 1(

2 2

1OP1 A OP AnOPn

A A OT



   

där ^A^



^A^j är den totalarean av skivans basyta.

Anmärkning. Eftersom z‐koordinaten för masscentrum T är h/2 (om nedre basen ligger i xy planet) kan vi även betrakta problemet som "tvådimensionellt" och bestämma centrums x‐

och y‐koordinat med

) 1(

2 2

1OQ1 A OQ AnOQn

A A OS



    (**)

där S=(x0,y0) betecknar första två koordinater till masscentrum T och Q_j betecknar x,y koordinater till masscentra P_j,

Uppgift 5. En tunn skiva är gjord av homogent material (densitet  = konstant). Ett hörn är placerat i origo. Skivans basyta visas i nedanstående figur ( där längdenhet=meter).

) 1 (

) 1(

2 2 1 1

2 2

1 1 n n

j

n n A h OP A h OP A h OP

A OP h

m OP

m OP m m

OT



              



^ ^ ^

 ^



(5)

5 av 5 Bestäm skivans masscentrum.

Tips: En triangel med hörn i punkterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3,y3) har centrum i punkten 3 )

3 2 , 1

3 3 2

(x1 x x y y y

S      .

Lösning:

Eftersom z‐koordinaten för masscentrum T är h/2 har vi kvar att bestämma centrums x‐ och y‐ koordinat. Vi betraktar problemet som tvådimensionellt och använder formeln (**).

Först delar vi skivans bas i två delar med kända centra:

i) Del1 är rektangeln ABCE med arean A1= 4∙1= 4 m² och centrum i Q1= ) 2 ,1 2

(

ii) Del2 är triangeln CDE med arean A1= 4∙1/2= 2 m² Triangelns centrum ligger i punkten

Q2= )

3 ,4 3 (5 3 )

3 2 , 1

3 3 2

(x1x x y  y y 

.

Basens centrum ges av



 







 



  

 







 ^ ^



9 ,7 9 ) 17 3 ,4 3 (5 2 2) ,1 2 ( 2 4 4 ) 1 1(

2 2 1

1 OQ A OQ

A A

OS

Skivans masscentrum är _



 





,2 9 ,7 9

17 h

T .

Svar: _



 





,2 9 ,7 9

17 h

T