DIAGONALISERING AV EN MATRIS
Definition ( Diagonaliserbar matris )
Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n× . Matrisen A är n
diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris D så att P−1AP=D ( *)
Anmärkning 1. P−1AP=D⇔AP=PD⇔A=PDP−1
Anmärkning 2. Ofta vill man använda sambandet A= PDP−1som vi får ur (*) genom att lösa ut A. Med "diagonalisera en matris (om möjligt )" menar vi att skriva, om möjligt, matrisen A på formen
−1
= PDP
A
där D är en diagonal matris.
I vår kurs betraktar vi diagonalisering över reella tal med andra ord kräver vi att både P och D har reella element. När vi skriver diagonaliserbar matris menar vi i den här kursen att matrisen är diagonaliserbar över reella tal.
Här har vi den viktigaste satsen om diagonalisering av en kvadratisk matris.
Sats 1. Satsen om diagonaliserbara matriser och linjärt oberoende egenvektorer.
Låt A vara en kvadratisk matris av typ n× . Matrisen A är diagonaliserbar om och n endast om matrisen har en uppsättning av n st linjärt oberoende egenvektorer.
Bevis:
(⇒ ) Anta att v1,v2,vn är matrisens linjärt oberoende egenvektorer som hör till egenvärden λ1,λ2λn. Låt P vara den matris vars kolonner är v1,v2,vn dvs
] [v1 v2 vn
P= . Matrisen P är inverterbar eftersom kolonnerna v1,v2,vnär linjärt oberoende. Då gäller
] [
] [
]
[v1v2 vn Av1 Av2 Avn 1v1 2v2 nvn A
AP= = = λ λ λ
] [
0 0
0 0
0 0
]
[ 2 1 1 2 2
1
2
1 n n
n
n v v v
v v v
PD
λ λ λ
λ λ
λ
=
=
(där D=diag(λ1,λ2λn)).
Alltså AP=PD.
Från AP=PD har vi P−1AP=D dvs A är en diagonaliserbar matris.
(⇐ ) Anta nu att matrisen A är diagonaliserbar dvs att det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris D så att P−1AP=D. Från P−1AP=D har vi AP=PD. Om vi betecknar kolonner i P som v v vn
2
1 och diagonal element i D som λ1,λ2λn , då gäller
Sida 1 av 6
⇒ AP= PD
=
n n
n v v v
v v v A
λ λ
λ
0 0
0 0
0 0
] [
]
[ 2
1
2 1 2
1
n n n n
n
n v v v Av v Av v Av v
v A v A v
A = λ λ λ ⇒ =λ =λ =λ
⇒[ 1 2 ] [ 1 1 2 2 ] 1 1 1, 2 2 2, ,
Med andra ord v v vn
2
1 är egenvektorer. de är oberoende eftersom P är inverterbar, enligt antagande. Därmed har vi bevisat satsen.
======================================================
Anmärkning: Eftersom n st linjäroberoende vektorer bildar en bas i Rn kan vi uttrycka Sats 1. på följande sätt:
Sats 1'. Låt A vara en kvadratisk matris av typ n× . Matrisen A är diagonaliserbar om n och endast om Rn har en bas av matrisens egenvektorer.
Definition. Låt A vara en kvadratisk matris av typ n× . Om det finns en bas B till Rn n som består av matrisens egenvektorer v v vn
2
1 då säger vi att B=(v1v2vn) är egenbas till matrisen A.
Om vi har n linjärt oberoende egenvektorer då bestämmer vi D och P i uttrycket (*) enligt följande:
Matrisen P bygger vi upp genom att skriva egenvektorer v1,v2,vn som kolonner i P.
Matrisen D bygger vi upp av motsvarande egenvärden λ1,λ2λn. T ex i fallet 3 × 3, om matrisen A har tre oberoende egenvektorer
𝑣𝑣⃗1 = �𝑎𝑎1 𝑏𝑏1
𝑐𝑐1� , 𝑣𝑣⃗2 = �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
𝑐𝑐2� , 𝑣𝑣⃗3 = �𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3�,
med motsvarande egenvärden 𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2, 𝜆𝜆3 då är 𝑃𝑃 = �𝑎𝑎1
𝑏𝑏1 𝑐𝑐1
𝑎𝑎2
𝑏𝑏2 𝑐𝑐2
𝑎𝑎3
𝑏𝑏3 𝑐𝑐3
� 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝐷𝐷 = �𝜆𝜆1 0 0 0 𝜆𝜆2 0 0 0 𝜆𝜆3� .
Som sagt, betraktar vi ( i denna kurs) endast reella egenvärden och egenvektorer.
Följande sats visar vi i stecilen om egenrummet.
(Matrisen A har minst ett komplext egenvärde) ⇒ (A är INTE diagonaliserbar över reella tal )
Sats 2. Satsen om skilda egenvärden och linjärt oberoende egenvektorer Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n× . n
Egenvektorer som hör till skilda egenvärden är linjärt oberoende.
Vi bevisar satsen för fallet då vi har två olika egenvärden 𝜆𝜆1 ≠ 𝜆𝜆2 med motsvarande egenvektorer 𝑣𝑣⃗1 och 𝑣𝑣⃗2.
Vi ska visa att 𝑎𝑎𝑣𝑣⃗1+ 𝑏𝑏𝑣𝑣⃗2 = 0 ⇒ 𝑎𝑎 = 0 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝑏𝑏 = 0.
Sida 2 av 6
Låt
𝑎𝑎𝑣𝑣⃗1+ 𝑏𝑏𝑣𝑣⃗2 = 0�⃗ ( 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑣𝑣1) Multiplikation med A ger
𝐴𝐴(𝑎𝑎𝑣𝑣⃗1+ 𝑏𝑏𝑣𝑣⃗2) = 𝐴𝐴0�⃗ ⇒ 𝑎𝑎𝐴𝐴𝑣𝑣⃗1+ 𝑏𝑏𝐴𝐴𝑣𝑣⃗2 = 0�⃗
⇒ 𝑎𝑎𝜆𝜆1𝑣𝑣⃗1+ 𝑏𝑏𝜆𝜆2𝑣𝑣⃗2 = 0�⃗ (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑣𝑣2)
Om vi från ekv2 subtraherar 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑣𝑣1 multiplicerad med 𝜆𝜆2 får vi 𝑎𝑎(𝜆𝜆1− 𝜆𝜆2)𝑣𝑣⃗1 = 0�⃗
Eftersom 𝜆𝜆1 ≠ 𝜆𝜆2 och 𝑣𝑣⃗1 ≠ 0�⃗ ( egenvektor är skild från 0�⃗) måste 𝑎𝑎 = 0.
Substitution i ekv1, och samma resonemang, ger 𝑏𝑏 = 0.
Alltså
𝑎𝑎𝑣𝑣⃗1 + 𝑏𝑏𝑣𝑣⃗2 = 0�⃗ ⇒ 𝑎𝑎 = 0 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝑏𝑏 = 0
Därmed har vi visat att 𝑣𝑣⃗1 och 𝑣𝑣⃗2 är linjärt oberoende. På liknande sätt visar vi satsen om vi har 3, 4 eller k st skilda egenvärden.
Som en direkt påföljd har vi följande användbara sats.
Sats 3. Satsen om egenvärden och diagonaliserbara matriser Låt A vara en kvadratisk matris av typ n× . n
Om matrisen A har n st olika (reella) egenvärden så har matrisen n st linjärt oberoende egenvektorer och därmed är A diagonaliserbar (över reella tal).
Anmärkning: Upprepar att vi ( i denna kurs) betraktar diagonalisering över reella tal.
Uppgift 1. Avgör om A är en diagonaliserbar matris och bestäm D och P om detta är fallet.
a) 𝐴𝐴 = �4 −21 1 � b ) A= �−1 3−1 3� c) A= � 1 3
−1 1�
d) 𝐴𝐴 = � 0 1 −2
−2 3 2
0 0 4 � e) 𝐴𝐴 = �1 −2 0
2 1 0
0 0 3� Lösning a)
Matrisen (2x2) har egenvärden är 𝜆𝜆1 = 2, 𝜆𝜆2 = 3 ( se Uppgift 1 i stencilen ”Egenvärden och egenvektorer”) med motsvarande egenrum Eλ1 =span(
1 1 ).
2 =
Eλ span(
1
2 ). Vi grupperar basvektorer från egenrum E och λ1 E och får två linjärt λ2
oberoende egenvektorer v1
=
1
1 och v2
=
1 2 . v1
och v2
är lin. oberoende eftersom de hör till olika egenrum ( men vi kan även direkt undersöka detta).
Sida 3 av 6
För en 2x2 matris har vi därmed funnit 2 linjärt oberoende egenvektorer. Därmed är matrisen diagonaliserbar med
𝑃𝑃 = �1 21 1� 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝐷𝐷 = �2 0 och D= P–1AP eller ekvivalent A=PD P–1 0 3�
Kontroll
Vi kan kontrollera om t ex A=PD P–1 Eftersom 𝑃𝑃−1 =−11 � 1 −2
−1 1 � = �−1 2
1 −1� då har vi 𝑃𝑃𝐷𝐷𝑃𝑃−1= �1 21 1� �2 0
0 3� �−1 2
1 −1� = �2 6
2 3� �−1 2
1 −1� = �4 −2
1 1 � = 𝐴𝐴 Alltså PD P–1 = A
b) Ja. 𝜆𝜆1 = 2 , 𝑣𝑣⃗1 = �11� ; 𝜆𝜆2 = 0 , 𝑣𝑣⃗2 = �31� och därmed 𝑃𝑃 = �1 31 1� 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝐷𝐷 = �2 0
c) Nej. Matrisen har inga reella egenvärde (och därmed ingen reell egen vektor). 0 0�
d) Ja. Eftersom
𝜆𝜆1 = 1, Eλ1 =span( �1
10� ) ; 𝜆𝜆2 = 2 , Eλ2 =span( �1
20� ) ; 𝜆𝜆3 = 4 , Eλ3 =span( �0 21� ) har matrisen tre oberoende vektorer och därför kan diagonaliseras med
𝑃𝑃 = �1 10
1 2 0
0 2
1� 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝐷𝐷 = �1 0 0 0 2 0 0 0 4�
e) Nej. Endast ett egenvärde 𝜆𝜆1 = 3 med endimensionell egenrumEλ1=span( �0 01� ) . Uppgift 2 . Visa att följande matris är diagonaliserbar
𝐴𝐴 = �−2 2 0
−4 4 0 0 0 3�
Lösning: Matrisen är av typ 3x3 och har tre skilda reella egenvärden 𝜆𝜆1 = 0 , 𝜆𝜆2 = 2, 𝜆𝜆3 = 3 (kontrollera själv) och därmed, enligt Sats 3, är matrisen diagonaliserbar (över reella tal).
Anmärkning: Om matrisen A av typ n× inte har n skilda egenvärden då båda fall, n diagonaliserbar/ icke diagonaliserbar matris, kan förekomma:
Vi ser detta i följande exempel:
Uppgift 3 Avgör om följande matriser är diagonaliserbara
𝑎𝑎) 𝐴𝐴 = �2 10 2� 𝑏𝑏) 𝐴𝐴 = �3 00 3� c) 𝐴𝐴 = �−2 2 0
−4 4 0 0 0 2� Lösning:
a) 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆) = 0 ⇒ �(2 − 𝜆𝜆) 1
0 (2 − 𝜆𝜆)� = 0
⇒ (2 − 𝜆𝜆)2 = 0 ⇒ 𝜆𝜆1,2 = 2 (dubbelrot) .
Matrisen har inte två olika egenvärden utan endast 𝜆𝜆 = 2 . Vi bestämmer egenvektorer:
Sida 4 av 6
�(2 − 𝜆𝜆) 1 0 (2 − 𝜆𝜆)� �𝑥𝑥
𝑦𝑦� = �0
0� ⇒ (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ä𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 𝜆𝜆 = 2)
�(2 − 2) 1 0 (2 − 2)� �𝑥𝑥
𝑦𝑦� = �0 0� ⇒
�0 10 0� �
𝑥𝑥𝑦𝑦� = �0
0� ⇒ 𝑦𝑦 = 0, 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑
Därmed får vi tillhörande egenvektorer 𝑣𝑣⃗ = 𝑑𝑑 �10� ( 𝑑𝑑 ≠ 0).
Motsvarande egenrummet är span( �10� ) och har dimension 1.
Med andra ord: Vi kan INTE bilda en bas av n=2 linjärt oberoende egenvektorer och därför är matrisen INTE diagonaliserbar.
b) Matrisen har inte två olika egenvärden utan endast 𝜆𝜆 = 3 men i det här fallet är matrisen uppenbart diagonaliserbar ( den är redan en diagonal matris).
Egenvektorer:
�(3 − 3) 0
0 (3 − 3)� �𝑥𝑥 𝑦𝑦� = �0
0� ⇒
�0 00 0� �𝑥𝑥 𝑦𝑦� = �0
0� ⇒ 0 = 0, 0 = 0, sant för alla x,y.
Vi kan ta x=t, y=s och motsvarande egenvektorer:
𝑣𝑣⃗ = 𝑑𝑑 �10� + 𝑖𝑖 �0
1� , ( 𝑖𝑖, 𝑑𝑑) ≠ (0,0) . Därmed är egenrummet Eλ1 = span(�10�,�0
1�), och har dimension 2.
(2x2 matrisen har 2 lin oberoende egen vektorer) ⇒ (matrisen är diagonaliserbar).
c) Matrisen av typ 3 × 3 har endast 2 olika egenvärden 𝜆𝜆1 = 0 och dubbelrot 𝜆𝜆2,3 = 2.
(kontrollera själv) Egenvektorer:
i) För 𝜆𝜆1 = 0 har vi motsvarande egenvektorer 𝑑𝑑 �1
10� ( 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑑𝑑 ≠ 0)
och egenrummet Eλ1 = span(�1 10�).
ii) För λ = 2 får vi
(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑣𝑣⃗ = 0�⃗ ⇒ �−4 2 0
−4 2 0 0 0 0� �𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑧𝑧� = �0
00� ⇒ �−4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0
−4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 0 = 0
�−4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 0 = 0
0 = 0 (𝑑𝑑𝑣𝑣å 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑟𝑟𝑖𝑖𝑎𝑎𝑏𝑏𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟)
⇒ 𝑣𝑣⃗ = �𝑖𝑖/2
𝑖𝑖𝑑𝑑 � = 𝑖𝑖 �1/2
10 � + 𝑑𝑑 �0
01�, , ( 𝑖𝑖, 𝑑𝑑) ≠ (0,0)
Därmed är egenrummetEλ2 = span(�1/2 10 � , �0
01�) = span(�1 20� , �0
01�) och har dimension 2.
Sida 5 av 6
Från i) och ii) har vi total tre linjärt oberoende egenvektorer ( vi kan bilda inverterbar matris P av typ 3 × 3) och därmed är matrisen A av typ 3 × 3 diagonaliserbar med
=
1 0 0
0 2 1
0 1 1
P och
=
2 0 0
0 2 0
0 0 0
D .
Sida 6 av 6
