1 av 3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Determinanter och inversa matriser
DETERMINANTER OCH INVERSA MATRISER
En kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om
⋅
≠ 0 ) det( A
Eftersom matrisen A är inverterbar om och endast om rang(A)= n har vi följande sats:
0 )
det(A ≠ ⇔ (A är inverterbar) ⇔ (rang(A)= n) ⇔ (A har n oberoende rader)
⇔ (A har n oberoende kolonner)
Ovanstående påstående kan användes för att bestämma om n vektorer i Rn är linjärt beroende eller oberoende. Man kan skriva vektorerna som rader (eller kolonner) och bilda en kvadratisk matris A av typn×n . Då är raderna är oberoende om och endast om
0 ) det(A ≠ . Uppgift 1.
För vilka värden på den reella parametern a är matrisen A inverterbar om
i)
−
= −
a A a
2
3 i)
= −
a A a
2
1 iii )
=
2 3 4
1 2
1 1 a a A
Lösning: i) det(A)= a2 −6.
Härav det(A)=0⇔a2 −6=0⇔a=± 6 . Matrisen är inverterbar om a≠± 6 .
ii) det(A)= a2 +2.
Härav det(A)=0⇔a2 +2=0saknar reella lösningar Matrisen är inverterbar för alla reella a.
iii) det(A)= 2a2 − a7 +6. 0
)
det(A = ⇔ a =2 eller a =3 /2 .
Matrisen är inverterbar om a≠2 och a≠3 /2 . Uppgift 2.
För vilka värden på den reella parametern a är vektorerna )
2 , 2 ,
(a , ( a3, ,2), (5,5,6) beroende.
Lösning: Vi bildar matrisen A av typ3×3
=
6 5 5
2 3
2 2 a a
A .
det(A)= 6a2 − a20 +14,
det(A)=0 ⇔ om a =1 eller a =7/3 .
Svar: vektorerna beroende om a=1 eller a=7/3 .
2 av 3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Determinanter och inversa matriser
Beräkning av inversen för en
n×nmatris med hjälp av "kofaktor -matrisen".
Låt A vara en inverterbar kvadratisk matris ( det A≠0) av typ n×n
och D= det(A) tillhörande determinant
Låt vidare Dij vara den subdeterminanten som fås då rad i och kolonn j stryks ur D Determinanten Cij = (−1)i+j Dij kallas kofaktorn till elementet aij ( eller kofaktorn till platsen i,j )
Låt C vara en matris som består av alla kofaktorer dvs
C =
nn n
n
n n
C C
C
C C
C
C C
C
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Då gäller
C
TA A
) det(
1
= 1
−
( där C betecknar transponatet till C) T Uppgift 3.
Beräkna inversen till
=
5 0 0
0 2 0
1 2 3
A .
Lösning:
Eftersom det(A)= 30 ≠ 0 är matrisen inverterbar.
Först beräknar vi alla kofaktorer dvs subdeterminanter med motsvarande tecken.
5 10 0
0 2
11 =+ =
C 0
5 0
0 0
12 =− =
C 0
0 0
2 0
13 =+ =
C
5 10 0
1 2
21 =− =−
C 15
5 0
1 3
22 =+ =
C 0
0 0
2 3
32 =− =
C
0 2 2
1 2
31 =+ =−
C 0
0 0
1 3
32 =− =
C 6
2 0
2 3
33 =+ =
C Nu bildar vi en "kofaktor - matris"
−
−
=
=
6 0 2
0 15 10
0 0 10
33 32 31
23 22 21
13 12 11
C C C
C C C
C C C C
Härav
− −
=
6 0 0
0 15 0
2 10 10 CT
Till slut
3 av 3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Determinanter och inversa matriser
− −
=
− −
=
=
−
5 / 1 0
0
0 2
/ 1 0
15 / 1 3 / 1 3 / 1
6 0 0
0 15 0
2 10 10 30
1 )
det(
1 1 T
A C A
Anmärkning: Matrisen C i ovanstående formel betecknas oftast med T adj(A)=CT. Med denna beteckning kan vi formeln CT
A A
) det(
1 = 1
− som
( ) )
det(
1 1
A A adj
A− = (självklart, om det(A)≠0).
