Att utveckla undervisning om tals del-helhetsrelationer

Att utveckla undervisning om tals del-helhetsrelationer

En variationsteoretisk studie i årskurs 2

KURS:Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 FÖRFATTARE: Emma Oskarsson

EXAMINATOR: Annica Otterborg TERMIN:HT21

JÖNKÖPING UNIVERSITY School of Education and Communication

Examensarbete för grundlärare f-3, 15hp Grundlärarprogrammet med inriktning mot förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3, HT21

SAMMANFATTNING

Emma Oskarsson

Att utveckla undervisning om tals del-helhetsrelationer En variationsteoretisk studie i årskurs 2

Antal sidor: 28

Inom matematik är det många elever som möter svårigheter. Något jag fastnade vid var att många elever har svårigheter med additioner som innehåller en tiotalsövergång.

Studien har inspirerats av fenomenografin och grundar sig på en learning study där två lektioner planerades och genomfördes med elever i årskurs 1. Förutom lektionerna användes ett för-och eftertest som tillsammans bidrog till studiens resultat.

Variationsteorin har varit utgångspunkt vid planering och analys av lektionerna, där fokus har riktats mot vilket lärande som möjliggörs, vilket lärande som sker och vad som kan förbättra lärande. Studien syftar till att bidra till en undervisningsdesign som erbjuder elever i årskurs 2 att urskilja tals del-helhetsrelationer och siffrors position i additioner med tiotalsövergång. I resultatet beskrivs de antaganden som görs om kritiska aspekter samt vilka variationsmönster som verkar gynnsamma i studien. Resultatet visar att det kan vara kritiskt för elever att urskilja talens del-och helhetsrelationer inom talområdet 1- 20 och att urskilja att flersiffriga tal kan delas upp i olika tiobaser. Vid undervisning kring tals del-helhetsrelationer och siffrors position i additioner med tiotalsövergång finns det flera aspekter som lärare behöver möjliggöra för elever att urskilja. Aspekterna kan synliggöras genom att använda genomtänkta variationsmönster som utvecklar elevers förståelse för tals del-helhetsrelationer och additioner med tiotalsövergång.

Sökord: matematik, taluppfattning, learning study, variationsteorin, kritiska aspekter, uppdelning av tal

JÖNKÖPING UNIVERSITY

School of Education and Communication

Degree Project for Teachers in Preschool Class and School Years 1-3, 15hp.

Teacher Education Program for Primary Education – Preschool and School Years 1-3, Autumn semester 2021

ABSTRACT

Emma Oskarsson

To develop teaching about part-whole relations of speech A variation theory study in year 2

Number of pages: 28 _______________________________________________________________________

In mathematics many students face difficulties. Something I stuck to was that many students have difficulty with additions that contain a tens transition. The study has been inspired by phenomenography and is based on a learning study where two lessons were planned and conducted with students in year 2. In addition to the lessons, a pre-and post- test was used which together contributed to the study results. The theory of variation has been the starting point for planning and analyzing the lessons, where the focus has been on what learning is made possible, what learning takes place and what can improve learning.

The study aims to contribute to a teaching design that offers students in year 2 to distinguish between part-whole relationships and the position of numbers in additions with tens transition. The results describe the assumptions made about critical aspects and which patterns of variation seem favorable in the study. The results show that it can be critical for students to distinguish the partial and complete relations of numbers within the number range 1-20 and to distinguish that multi-digit numbers can be divided into different ten bases. When teaching about part-whole relations and the position of numbers in additions with the transition of tens, there are several aspects that teachers need to enable students to discern. The aspects can be made visible by using well-thought-out variation patterns that develop students’ understanding of speech sub-whole relations and additions with tens transition.

Keywords: Mathematics, number perception, learning study, theory of variation, critical aspects, division of numbers

INLEDNING ... 1

SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 2

BAKGRUND ... 3

TALS DEL-HELHETSRELATIONER ... 3

ADDITION MED OCH UTAN TIOTALSÖVERGÅNG ... 3

VARIATIONSTEORIN ... 4

Lärandeobjekt ... 4

Kritiska aspekter ... 6

Variationsmönster ... 7

STYRDOKUMENT ... 7

METOD OCH MATERIAL ... 9

METOD OCH GENOMFÖRANDE ... 9

URVAL... 10

DATAINSAMLING OCH ANALYS ... 10

Förtest... 11

Lektioner ... 12

Eftertest... 13

TILLFÖRLITLIGHET OCH FORSKNINGSETISKA ASPEKTER ... 13

RESULTAT... 15

ANTAGANDEN OM KRITISKA ASPEKTER EFTER ANALYS AV FÖRTESTET... 15

LEKTION 1 ... 15

Antaganden om kritiska aspekter efter lektion 1 och arbetsblad ... 20

LEKTION 2 ... 21

Antaganden om kritiska aspekter efter lektion 2 och eftertest... 22

DISKUSSION ... 24

METODDISKUSSION ... 24

RESULTATDISKUSSION ... 25

VIDARE FORSKNING ... 28

REFERENSLISTA ... 29

I

Undervisningen i ämnet matematik ska leda till att elever utvecklar kunskaper för att kunna lösa problem samt reflektera över valda strategier, metoder och resultat. De ska även ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att välja lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter. I kunskapskraven för årskurs tre ska eleven ha kunskaper om naturliga tal och kunna visa det genom att beskriva talens relation samt genom att dela upp tal. De ska också kunna använda huvudräkning för att genomföra beräkningar inom helhetsområdet 0-20 (Skolverket, 2019).

Det är viktigt att kunna se talet 10 som ett riktmärke och uppleva talen i en additionsuppgift med tiotalsövergång på två sätt samtidigt. Vid en uppgift som exempelvis 8 + 5, ser man 8 + 2 + 3 där 2 är en del av en ny del, 10 men också en uppdelad del av talet 5 (Björklund et al., 2016). Dessutom har elever lättare för att generalisera sina kunskaper i högre talområden om de känner till tals del-helhetsrelationer (Cheng, 2012).

Ett av skolans viktigaste uppdrag är att ge eleverna de bästa förutsättningarna och motivera de att lyckas med skolarbetet. Det är viktigt att eleverna har förståelse för det de gör. Som lärare har man en betydelsefull roll i elevernas kunskapsutveckling och behöver anpassa undervisningen och välja passande uppgifter för att eleverna ska få så bra förutsättningar som möjligt för att nå målen. Denna studie tar sin utgångspunkt i problem förknippade med tals del-helhetsrelationer men fokuserar på vad man kan göra i undervisningen för att möjliggöra ett lärande inom samma område.

Vid genomförd VFU (verksamhetsförlagd utbildning) under min utbildning har jag uppmärksammat att matematik är ett ämne där många elever möter svårigheter. Något jag fastnade vid var att många elever har svårigheter med additioner som innehåller en tiotalsövergång. I tidigare skriven litteraturstudie valdes därför att ta reda på vad forskning säger om elevers strategier när de ska lösa additionsuppgifter med tiotalsövergång inom talområdet 0 − 20. Resultatet pekade på att det finns mer effektiva strategier som kan användas i additioner med tiotalsövergång. Det visade sig också att det finns ett samband mellan elevers förståelse för tals del-helhetsrelationer och deras förmåga att tillämpa effektivare strategier (Baroody et al., 2009; Cheng, 2012; Dowker, 2009; Neuman, 2013).

S

Syftet med studien är att bidra till en undervisningsdesign som erbjuder elever att urskilja tals del-helhetsrelationer och siffrors position i additioner med tiotalsövergång.

Detta syfte avser jag att uppfylla genom att besvara följande frågor:

- Vilka kritiska aspekter behöver eleverna urskilja för att förstå tals del- helhetsrelationer?

- Hur kan dessa kritiska aspekter behandlas i undervisningen?

- Vilka variationsmönster kan få eleverna att urskilja dessa kritiska aspekter?

B

T

-

Tals del-helhetsrelationer är lika avgörande för aritmetikförståelse som avkodning är avgörande för läsförståelse (Neuman, 1987, 2013). Tal kan delas upp i delar och helheter och har olika relationer. Talen upp till 10 består av 25 olika kombinationer och kan kombineras på olika sätt som bygger på tals del-helhetsrelationer mellan två delar och en helhet. Talet 5 har exempelvis två olika kombinationer 4|1|5 och 3|2|5. Eleverna kan se helheten och delarna simultant när de fått en förståelse för de 25 kombinationerna och kan då genom att använda sig av de två andra talen i kombinationen hitta en okänd komponent i en kombination (Neuman, 1987, 2013). Genom att se kombinationernas kommutativa egenskaper och kunna använda sig av sambandet mellan addition och subtraktion kan elever lättare lösa olika uppgifter. Känner elever exempelvis till kombinationen 5|2|𝟕 väl kan de också lösa uppgifter som _ + 5 = 7, 7 − _ = 5 och 2 + _ = 7 på ett enkelt sätt (Neuman, 1987, 2013).

Uppgifter kan lösas mer effektivt om eleven kan se en uppgift som ett del-helhetsproblem, snarare än ett aritmetiskt problem (Marton et al., 2004). Utan förståelse för tals del- helhetsrelationer kommer elever använda sig av tidsödande processer som kan leda till många fel och det aritmetiska tänkandet kommer inte utvecklas. Förståelse för del- helhetsrelationer är av stor vikt (Neuman, 2013).

A

Addition är ett räknesätt som innebär att ett eller flera tal läggs ihop. Beräkningar med addition innebär att två eller fler termer tillsammans bildar en summa, ett exempel är 4 + 4 = 8. Kommutativitet och associativitet är egenskaper som gäller inom addition som innebär att det inte spelar någon roll i vilken ordning som talen adderas. Summan av additionen kommer inte att påverkas (Löwing, 2017). Det går exempelvis snabbare att lägga till 2 till 7 (7 + 2) än att lägga till 7 till 2 (2 + 7) som innebär att den kommutativa egenskapen används. I en annan addition 5 + 8 + 2 är det enklare att börja med att lägga till 2 till 8 (8 + 2) och sedan addera 5 med 10 (10 + 5) som istället berör den associativa egenskapen (McIntosh, 2008).

Termen tiotalsövergång används när en addition innehåller två eller fler termer som tillsammans passerar ett tiotal, exempelvis som i additionen 6 + 8. Vid en addition med

tiotalsövergång behöver eleven förstå att tio ental växlas till ett tiotal och resterande mängd är ental (Löwing, 2017). Talen som ingår i en addition med tiotalsövergång kan delas upp och sättas samman. Vid en uppgift som 6 + 8 innebär det att talet 6 kan ses som två delar, 2 och 4. Uppgiften kan sedan lösas genom att eleven delar upp och sätter samman talen på följande sätt: 8 + 2 + 4 som är 14 (Neuman, 2013). Här används den kommutativa och associativa lagen som hjälp för att förenkla en beräkning utan att summan förändras (Löwing, 2017). Vid en förståelse för tals del-helhetsrelationer kan eleven se relationen mellan de delar som ingår i en addition och på så sätt lösa uppgiften på ett effektivare sätt (Neuman, 2013).

V

Den teori som används som utgångspunkt och analysverktyg i detta arbete är variationsteorin. Först kommer en kort redogörelse för vad variationsteorin är presenteras som sedan följs av en beskrivning med centrala begrepp inom teorin som lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster.

Fenomenografin är en forskningsmetod som studerar de olika sätt människor erfar världen på och det är ur denna metod variationsteorin har sitt ursprung ur (Runesson, 1999).

Variationsteorin bygger på idén att lärande av något särskilt sker när något som skiljer sig från mängden kan uppfattas. För att exempelvis förstå vad begreppet frukt innebär måste olika frukter urskiljas. Särskilda aspekter kan bli synliga genom variation och det är urskiljandet av de aspekterna som leder till lärande. Teorin ses även som ett redskap som underlättar för lärare att planera och genomföra undervisning med fokus på vad som ska läras. Det gör det även lättare för lärare att utvärdera sin undervisning för att analysera vad som varit möjligt att lära under den genomförda undervisningen (Marton et al., 2004).

I en studie (Kullberg et al., 2016) där variationsteorin användes som verktyg deltog flera lärare vars undervisning utvecklades genom att kontraster ställdes mot varandra för att visa på variation och relationer. Under lektionen behandlades begreppen och principerna i förhållande till varandra och inte en åt gången. Därigenom fick de fram skillnaderna mellan det de behandlade och eleverna uppfattade vad det var som skulle urskiljas. I studiens resultat konstaterades att variation och jämförelser är något som ökar lärandemöjligheten (Kullberg et al., 2016).

LÄRANDEOBJEKT

Något som är centralt inom variationsteorin är lärandeobjekt. Ett lärandeobjekt avser den kunskap eller förmåga som avses utvecklas hos eleverna under en eller flera lektioner (Marton & Pang, 2006). Lärandeobjektet är en utgångspunkt för vad elever ska lära sig och inte ett mål för undervisningen. Ett lärandeobjekt är dynamiskt. Det innebär att lärandeobjektet kan förändras efter vad som upptäcks i tester och under lektionerna. Det kan hända att lärandeobjektet är för otydligt och behöver preciseras mer. Det lärandeobjekt som läraren planerar och avser att eleverna ska lära sig kallas det intentionella eller det planerade lärandeobjektet. Läraren synliggör sen olika aspekter av lärandeobjektet som är det eleverna har möjlighet att lära under lektionen. Detta kallas för det iscensatta lärandeobjektet. De lärande eleverna har utvecklat i det utvalda lärandeobjektet kallas det erfarna (levda) lärandeobjektet. Oftast beskrivs detta först när resultatet i studien har analyserats. (Marton et al., 2004; Wernberg, 2009). Relationen mellan dessa tre lärandeobjekt kan beskrivas med hjälp av tre cirklar (se figur 1). I varje cirkel ryms olika aspekter av respektive lärandeobjekt. Figuren illustrerar att det man planerar inte alltid blir möjligt för eleverna att lära under en lektion och därför blir heller inte elevernas lärande exakt det som är planerat. Vad som är eftersträvansvärt är att få till undervisning där de tre dimensionerna överlappar varandra så mycket som möjligt. En del aspekter av det intentionella lärandeobjektet kommer att finnas med i det iscensatta lärandeobjektet, andra inte. Likadant är det med det erfarna lärandeobjektet. Vissa elever kommer uppleva några aspekter medan andra inte upplever någon. Det man som lärare strävar efter är att det område i mitten där alla tre cirklar möts ska vara så stort som möjligt. Detta för att det område visar när aspekter av det intentionella lärandeobjekt är både iscensatt och erfaret.

Figur 1. Relationen mellan lärandeobjektets tre dimensioner (Tagen ur Häggström, 2008).

KRITISKA ASPEKTER

Även kritiska aspekter är centrala inom variationsteorin. Dessa ska identifieras och planeras i ett utvalt lärandeobjekt för hur de kan synliggöras för elever under en lektion.

Marton et al., (2004) lyfter fram betydelsen av hur ett specifikt ämnesinnehåll, det vill säga lärandeobjektet, behandlas under en lektion och hur detta möjliggör att ett lärande utvecklas hos eleverna. Wernberg (2009) argumenterar kring vikten av lärarens förmåga att kunna strukturera upp ett lektionsinnehåll kring ett lärandeobjekt för att eleverna ska få de bästa förutsättningarna till att urskilja de kritiska aspekterna. Det kan vara det som avgör om elever förstår innehållet eller inte. Därmed behöver läraren ha förmågan att kunna fokusera på vad det är för förmågor, kunnande och förhållningssätt de vill att eleverna ska utveckla (Wernberg, 2009). Syftet med att identifiera kritiska aspekter är att hitta det som är avgörande för att den aktuella elevgruppen ska kunna utveckla förståelse inom ett särskilt lärandeobjekt (Kullberg, 2010). För att upptäcka och använda kritiska aspekter i utvecklandet av elevers lärande redogör Kullberg (2010) för följande

frågeställningar:

• Vilka förmågor ska utvecklas?

• Vad innebär det att kunna detta?

• Vad är det man måste få syn på då?

• Vilka aspekter av innehållet kan vara kritiska för elevernas förståelse?

• Hur kan man möjliggöra urskiljandet av aspekterna för eleverna?

Runesson (1999) beskriver att möjligheter till lärande skapas när eleverna får möjlighet att urskilja de kritiska aspekterna. Desto fler kritiska aspekter som en elev kan urskilja desto mer ökar chansen att eleven kan utveckla kunskaper i relation till lärandeobjektet (Runesson, 1999). Det som är kritiskt för en grupp elever behöver nödvändigtvis inte vara det för en annan (Lo, 2012). Desto fler kritiska aspekter som har urskilts ju mer fördjupad och breddad förståelse har man. För att det ska bli möjligt att kunna urskilja de kritiska aspekterna är det viktigt att olika exempel visas samtidigt. När det går att jämföra med något annat kan aspekterna synliggöras genom att titta på likheter och skillnader (Runesson, 1999). Eleven behöver behärska förmågan att urskilja olika aspekter samtidigt som dessa aspekter finns i elevens medvetande för att eleven ska uppfatta helheten. Det innebär att eleven behöver kunna koppla det urskilda till tidigare

erfarenheter och kunskaper (Marton et al., 2004). De kritiska aspekterna identifieras både före undervisningen, under och efter undervisningen. Ett lärandeobjekt har valts ut till denna studie vilket blev följande: Beräkna additionsuppgifter med tiotalsövergång med hjälp av sin kunskap kring tals del-helhetsrelationer och positionssystemet. Utifrån de

frågeställningar som Kullberg (2010) redogör för har följande kritiska aspekter antagits för en förståelse av lärandeobjektet. Eleverna behöver:

• Urskilja talens del- och helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7= 3+4 eller 15= 7+8.

• Urskilja att de två delarna tillsammans är lika mycket som helheten.

• Urskilja att ta hjälp av två tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet.

• Urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal.

• Urskilja att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare.

VARIATIONSMÖNSTER

Det krävs någon form av variation för att urskilja de kritiska aspekterna. Det som fastställer vad som kan urskiljas beror på vad som varierar och vad som är invariant och vilket lärande som görs möjligt. Det finns tre olika variationsmönster som variationen kan ske genom, kontrastering, generalisering och fusion. När något av det kritiska varierar, och jämförs med något det inte är görs en kontrast. Först då blir det möjligt att urskilja. Ett exempel på en kontrast är när delarna till talet 8 urskiljs av två passande delar, 5 och 3, som jämförs med två opassande delar, 3 och 6. När en generalisering sker visas fler exempel på samma fenomen. Det blir svårare att urskilja om det är för många aspekter som varieras samtidigt.

Genom att visa flera olika delar som tillsammans är 7, exempelvis 3 och 4, 5 och 2, 1 och 6 görs en generalisering. Helheten är konstant medan delarna varierar. Slutligen finns begreppet fusion där flera kritiska aspekter visas och behöver urskiljas samtidigt (Marton et al., 2004).

S

I skolan är syftet med matematikundervisningen att elever utvecklar kunskap om

strategier och metoder för beräkningar. Undervisningen i ämnet matematik ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att kunna formulera och lösa olika problem samt även reflektera över och värdera deras valda strategier, metoder och resultat. De ska även utveckla kunskaper som att kunna tolka matematiska och vardagliga situationer och kunna beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer (Skolverket, 2019). Det finns även beskrivet under det centrala innehållet för

undervisningen i ämnet matematik för årskurs 1-3 hur elever ska utveckla kunskaper om taluppfattning och tals användning. Det kan exempelvis handla om tals inbördes

relationer, hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning. I kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årkurs 3 beskrivs att eleven ska kunna lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda en strategi som är anpassad till problemets karaktär. Eleven ska ha grundläggande kunskaper om naturliga tal och kunna visa det genom att beskriva tals inbördes relation och genom att dela upp tal (Skolverket, 2019). Vidare beskrivs att eleverna behöver utveckla förståelse för positionssystemet samt att en siffras värde är beroende av vilken plats den har i det skrivna talet. Eleverna ska få undervisning om hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal, om talsystemets uppbyggnad samt kunskaper om talet 0 och nollans funktion (Skolverket, 2017).

Skolans styrdokument beskriver således vad undervisningen ska leda till och vad eleverna ska utveckla för förmågor och kunskaper. Men det är minst lika relevant för lärare att reflektera över hur undervisningen kan bidra till följande vilket är en av anledningarna till att denna studie genomförs.

M

I följande avsnitt presenteras valet av undersökningens metod och lärandeobjekt. Sedan görs en redogörelse för urvalet och undersökningens delar utifrån planering, genomförande och analys. Sist presenteras en redogörelse för undervisningens tillförlitlighet och forskningsetiska aspekter.

M

Studiens design bygger på interventioner som har vissa likheter med learning study (Kullberg, 2010). Då detta är en studie som genomförs under 10 veckor och är ett självständigt arbete fanns inte möjligheten att genomföra en learning study fullt ut.

Learning study är en modell som oftast är teoretiskt grundad i variationsteorin där lärare sätter elevens lärande i centrum samtidigt som de utvecklar sin kompetens och sin undervisning (Göteborgs Universitet, u.å). Vanligtvis genomförs en learning study av en grupp lärare som tillsammans arbetar med planering, genomförande, utvärdering och revidering men denna undersökning genomfördes endast av en person (Marton & Pang, 2006). Alla steg i metoden följdes däremot enligt följande: I det första steget valdes ett lärandeobjekt ut, vilket blev att beräkna additionsuppgifter med tiotalsövergång med hjälp av sin kunskap kring tals del-helhetsrelationer och positionssystemet (Figur 2, steg 1). I nästa steg (figur 2, steg 2) gjordes antaganden utifrån relevant matematikdidaktisk forskning (Cheng, 2012; Dowker, 2009; Ekdahl, 2019) kring tänkbara kritiska aspekter.

Ett förtest designades (bilaga 1) för att undersöka om de antagande som gjorts stämmer eller om de måste justeras. Resultatet av förtestet analyserades där de aspekter som antogs vara mest kritiska lades som grund för vad den första lektionen skulle vara baserad på. Det tredje steget (figur 2, steg 3) innebar att lektionssekvenser på 20-30 minuter planerades och genomfördes. Dessa spelades in på telefon för att ha ett underlag för analys av hur de kritiska aspekterna iscensattes. I en learning study undersöks lektioner men i denna studie har det undersökts hur kritiska aspekter kan iscensättas. Eleverna fick även fylla i ett arbetsblad (bilaga 2) under lektionen som användes som underlag för analys. Baserat på den analys som gjordes av den första lektionen planerades och reviderades lektionen inför en andra (figur 2, steg 6). Slutligen (figur 2, steg 5) efter de båda lektionerna fick eleverna genomföra ett eftertest (bilaga 3) som påminde om förtestet (bilaga 1). Det viktigaste målet med en learning study är att elevernas inlärning förbättras samt ta reda på vad som krävs för att lära sig något särskilt (Kullberg, 2010).

Figur 2. Learning Study cykeln (Tagen ur Runesson, 2008).

U

I studien ingick 39 elever i åldrarna 8-9 år. Eleverna gick i årskurs 2 i en skola på en större tätort i Sverige. Urvalet är ett bekvämlighetsurval (Bryman, 2018) vilket innebär att urvalsgruppen och skolan är bekant för undersökaren sedan tidigare. Klasslärarna kontaktades genom mejl. Klassen bestod av 42 elever men endast 39 deltog i studien. Ett val av lärandeobjekt har också gjorts. Detta innehåll valdes då undersökaren i sin tidigare litteraturstudie studerat ämnesdidaktisk forskning om tals del- helhetsrelationer. Förståelse för tals del-helhetsrelationer är en förutsättning för vidare progression inom matematikämnet men också något som underlättar vid additioner med tiotalsövergång (Cheng, 2012; Marton et al., 2004; Neuman, 1989, 2013). Av den anledningen anses tals del-helhetsrelationer vara en förmåga eleverna behöver utveckla. Utifrån resultatet av förtestet kunde ett lärandeobjekt väljas som blev följande: Att beräkna additionsuppgifter med tiotalsövergång med hjälp av sin kunskap kring tals del-helhetsrelationer och positionssystemet.

D

Data samlades in genom den beskrivna processen ovan och består av ett förtest (bilaga 1), där fem uppgifter är kopplade till additioner med tiotalsövergång och tals del-

1. Välj ett lärandeobjekt

2. Förtest för att ta reda på elevernas förkunskaper

6. Analysera och revidera lektionen 5. Eftertest

4. Genomföra lektionen 3. Planera lektionen

helhetsrelationer och positionssystemet. Två ljudfiler från lektionssekvenserna som transkriberades, ett arbetsblad (bilaga 2) samt ett eftertest (bilaga 3).

FÖRTEST

Ett förtest utformades relativt tidigt under arbetets gång (bilaga 1). Förtestets uppgifter skulle pröva elevernas förförståelse kring additioner med tiotalsövergång, tals del- helhetsrelationer och positionssystemet. Förtestet innehöll totalt fem uppgifter som testade olika kritiska aspekter (figur 3). Uppgifterna i förtestet med tillhörande kritiska aspekter grundade sig i vad som hittats i den forskningslitteratur (Cheng, 2012; Marton et al., 2004;

Neuman, 1987, 2013) som användes i studien.

Figur 3. Visar vilka kritiska aspekter som främst testas i respektive uppgift i förtestet.

En analys gjordes av förtestet med fokus på att förstå elevernas förståelse för att kunna få mer kunskap om vad som verkligen var kritiskt. Analysen gjordes i olika steg.

• Steg 1. Rättning av uppgifter för att hitta ytterligare eventuella kritiska aspekter.

Elevernas svar och lösningar sammanställdes i en tabell (figur 4) för att göra det tydligt vilka kritiska aspekter eleverna ännu inte urskilt.

• Steg 2. En fördjupad analys gjordes där de uppgifter med störst procentuell andel elever hade fel på analyserades. Vad har de urskilt, vad har de inte urskilt? Varför?

• Steg 3. Hur kan dessa kritiska aspekter förtydligas ännu mer och hur kan de behandlas i undervisningen för att fler elever ska kunna urskilja de?

Uppgift 1 testade kritisk aspekt: Urskilja talens del- och helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7 = 3 + 4 eller 15 = 7 + 8.

Uppgift 2 testade kritisk aspekt: Urskilja att de två delarna tillsammans är lika mycket som helheten.

Uppgift 3 testade kritisk aspekt: Urskilja att kunna ta hjälp av två tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet.

Uppgift 4 testade kritisk aspekt: Urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal.

Uppgift 5 testade kritisk aspekt: Urskilja att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare.

Efter upptäckten av vilka uppgifter störst andel elever hade fel på gjordes antagandet att det var dessa kritiska aspekter eleverna ännu inte urskilt. Dessa aspekter låg till grund för vad som skulle behandlas och iscensättas under lektion 1. De kritiska aspekter som kunde fastställas efter förtestet var:

• Urskilja talens del- och helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7 = 3 + 4 eller 15 = 7 + 8.

• Urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal.

• Urskilja att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare.

LEKTIONER

Lektionerna som genomfördes under studien planerades utifrån vad som antogs vara kritiska aspekter för eleverna.

Uppgift: Andel fel: Kritisk aspekt som testades:

1 30 % Urskilja talens del- och

helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7 = 3 + 4 eller 15 = 7 + 8.

2 11 % Urskilja att de två delarna

tillsammans är lika mycket som helheten.

3 8 % Urskilja att kunna ta hjälp av två

tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet.

4 38 % Urskilja att siffrans position

avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal.

5 68 % Urskilja att tal inte delas upp i

enbart givna ental, tiotal och så

vidare.

Figur 4. Visar hur stor procentuell andel elever som svarat fel på respektive uppgift i förtestet.

Den första lektionen planerades att behandla de tre kritiska aspekter som framkom i förtestet. Lektionen innehöll tre olika moment där respektive aspekt skulle urskiljas.

Lektion 1 varade i cirka 30 minuter där 37 av 39 elever deltog. Vid analysen av lektion 1 tittades på om det gavs möjlighet för eleverna att urskilja de kritiska aspekterna? Verkade variationsmönstren vara effektiva eller behövde de revideras? En typ av formativ

bedömning gjordes. Läraren behöver få insikt om vad som behöver göras i

undervisningen framöver och ge eleven råd till förbättringar och fortsatt lärande. En formativ undervisning beskriver vad lärare och elev ska fokusera på för att eleven ska ta sitt lärande till nästa nivå (Wretman, 2008).

En andra lektion planerades sedan utifrån den analys av de material som samlades in under lektion 1. Det var ljudinspelning och arbetsblad (bilaga 2). Lektion 2 genomfördes fem dagar efter lektion 1 där alla 39 elever deltog. Lektion 2 analyserades likt den första med hjälp av ljudinspelning samt ett eftertest (bilaga 3). Vissa delar av

ljudinspelningarna har transkriberats för att ta reda på vilka kritiska aspekter eleverna behövde urskilja samt hur undervisning kan utformas kring tals del-helhetsrelationer och positionssystemet.

EFTERTEST

Efter de två lektioner som hållits med eleverna kunde ett eftertest (bilaga 3) utformas för att ta reda på vad eleverna erfarit under lektionerna. Eftertestet bestod endast av tre uppgifter men som likt förtestet behandlade följande kritiska aspekter: Urskilja talens del- och helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7=3+4 eller 15= 7+8, urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal samt urskilja att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare. Syftet med eftertestet var att få indikationer på huruvida variationsmönstren och innehållet som behandlades gav eleverna möjligheter att urskilja de kritiska aspekterna. En jämförelse gjordes sedan av eftertestet med uppgifterna från förtestet. På det viset kunde en upptäckt ske om lösningsmetoderna av additioner med tiotalsövergångar hade utvecklats och om förståelsen för användandet av tals del-helhetsrelationer i additionsuppgifter med tiotalsövergång hade förbättrats.

T

Vid en kvalitativ undersökning som denna används begreppet tillförlitlighet för att säkerställa kvalitén i undersökningen. På liknande vis används begreppet reliabilitet vanligtvis i undersökningar som är kvantitativa (Bryman, 2018). Bryman (2018) beskriver fyra delkriterier för tillförlitlighet i undersökningar. Trovärdighet, som är det första kriteriet, innebär att en undersökning görs enligt de regler som finns för undersökningen och att de verksamma inom undersökningsområdet får rapporter om resultatet för att säkerhetsställa att området är beskrivet på rätt sätt. Överförbarhet, kriterium nummer två, handlar om hur överförbart resultatet är från undersökningen till andra undersökningsområden. Kriterium nummer tre är pålitlighet, vilket innefattar att processen är tydligt dokumenterad. Slutligen, kriteriet möjligheten att styrka och konfirmera, innebär att undersökningsprocessen och dess slutsats, inte är påverkad eller styrs av några

personliga värderingar eller teoretiska inriktningar (Bryman, 2018). Vidare följer undersökningen de etiska principer som måste tas i hänsyn till innan studien fick genomföras (Bryman, 2018; Vetenskapsrådet, 2017).

Informationskravet handlar om att undersökaren ska informera elever och vårdnadshavare om undersökningens syfte och upplägg. Deltagarna får även information om vilka villkor som gäller för de. Detta gjordes genom att en samtyckesblankett (bilaga 4) delades ut till alla elever innan studien genomfördes.

Samtyckeskravet innebär att deltagarna i studien ska ha rätt att själva bestämma över sin medverkan. Därför ska alltid en samtyckesblankett (bilaga 4) erbjudas och skrivas under där deltagarna även informeras om att deltagandet är frivilligt och att de kan avbryta sitt deltagande när som helst utan att ange skäl. Deltagarna i studien var under 15 år vilket innebar att även vårdnadshavarnas samtycke krävdes.

Konfidentialitetskravet innebär att deltagarna ska ges konfidentialitet så obehöriga inte ska kunna spåra någons identitet. För att säkerställa deras anonymitet fingerades namn på personer och platser.

Nyttjandekravet säkerställer att det insamlade materialet endast användes för studiens syfte (Bryman, 2018). För att säkerställa detta krav förvarades det insamlade materialet oåtkomligt för obehöriga och de inspelningar som gjordes användes enbart för undersökningsarbetet.

RESULTAT

I detta avsnitt presenteras resultatet först med en beskrivning av de kritiska aspekter från förtestet. Sedan presenteras lektion 1 och 2 för sig och slutligen jämförs elevernas resultat på förtestet med deras resultat på eftertestet för att få insikt om innehållet har behandlats effektivt.

A

K

Efter en analys av förtestet kunde ett lärandeobjekt avgränsas med tillhörande kritiska aspekter. De aspekter som förföll vara mest kritiska efter analys av förtestet var:

• Urskilja talens del- och helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7=3+4 eller 15= 7+8.

• Urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal.

• Urskilja att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare.

Det som gjorde att dessa tre aspekter antogs vara mest kritiska efter analysen av förtestet var att det var dessa tre aspekter med störst procentuell andel felsvar. Två aspekter ansågs därmed inte längre vara kritiska. Utifrån testet förföll det redan som att eleverna hade urskilt att de två delarna tillsammans är lika mycket som helheten samt urskilt att kunna ta hjälp av två tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet. Det som var grund för att dessa aspekter inte längre ansågs vara kritiska berodde på att det totalt endast var sju av de 37 elever som deltog i förtestet som svarade fel på de uppgifter som behandlade dessa aspekter. Procentuellt blev det en liten andel och resterande elever antogs redan ha urskilt dessa aspekter.

En uppgift som en majoritet av eleverna inte klarade handlade om att förstå värdet i en siffra (bilaga 1, uppgift 4). Eleverna skulle svara på vad siffrorna i olika tal hade för värde, exempelvis vad siffran 5 i talet 5 är värd. De fick tre olika svarsalternativ, att den var värd 5, 50 eller 0. Många av eleverna hade ingen metod för att lösa uppgiften och gissade istället.

L

1

Lektion 1 innehöll tre olika moment. Anledningen till att dessa tre moment hade valts ut och skulle undervisas om var baserat på resultatet ifrån förtestet. De tre aspekter som antogs vara kritiska efter analysen av förtestet var utgångspunkt för lektion 1. Lektionen

inleddes med att synliggöra den första kritiska aspekten ”Urskilja talens del- och helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7 = 3 + 4". En gemensam diskussion fördes med eleverna i halvklass med olika lösningsmetoder till

additionsuppgifter med tiotalsövergång. Lektionen startade med att uppgiften 7 + 9 skrevs på tavlan och frågan ställdes om någon visste vad svaret var. Majoriteten av eleverna kom fram till att svaret var 16.

Läraren: Kan någon förklara hur ni kom fram till det?

Elev A: Jag räknade 10 + 6.

Läraren: Okej, vad fick du talet 10 ifrån?

Elev A: Jag ändrade och lade till 1 till 9 och jag tog bort 1 från 7.

Läraren: Okej, så du delade upp 7 i delarna 1 och 6? Sedan lade du till delen 1 med 9 som är 10. Sen hade du delen 6 kvar av 7, som du adderade med talet 10?

Läraren förtydligade elevens uppdelning av talen och skrev upp på tavlan att talet 7 delades upp i 1 och 6 för att kunna addera 9 med något som är 10, nämligen 1. Talet 10 adderades sedan med 6 som fanns kvar av delen 7 (Figur 5).

Figur 5. En förklaring till hur talen i additionen delades upp

Efter elevens beskrivning ställdes frågan om det var fler elever som hade tänkt på liknande sätt och flera händer räcktes upp i klassrummet. För att göra det möjligt för eleverna att urskilja tals del-helhetsrelationer varierades uppdelningen av talet 9 och en generalisering gjordes på följande vis:

Läraren sökte efter den del som tillsammans med talet 7 bildade 10 och delade därmed upp talet 9 i 3 och 6. Talet 3 adderades sedan med 7 som är 10 och slutligen adderades 10 med 6 (Figur 6).

Figur 6: Variationsmönstret generalisering används genom att talet 9 delas upp

Denna procedur genomfördes på liknande sätt med fler additionsuppgifter, exempelvis 5 + 8. Även här användes variationsmönstret generalisering för att tydligare få fram det som skulle urskiljas, genom att båda talen i additionen delades upp. Vid

additionsuppgiften 7 + 6 fick eleverna även möta variationsmönstret kontrast. Läraren delade upp talen i additionen i inkorrekta delar som inte fick plats i helheten. Läraren frågade om den inkorrekta delningen fick plats i helheten och eleverna uppmanades istället att komma fram till korrekta delningar (figur 7).

Figur 7: Variationsmönstret kontrast används genom en inkorrekt delning i additionen 7+6

Den andra kritiska aspekten, eleverna förstår att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal handlar om att eleverna är medvetna om att den placering en siffra har i

ett flersiffrigt tal bestämmer vad siffran har för värde. Denna aspekt fick eleverna urskilja genom att en tabell skrevs upp på tavlan med hundratal, tiotal och ental i tre staplar (figur 8). Läraren gick igenom att ett hundratal alltid har tre siffror i talet, tiotal två siffror och ental har en siffra. Olika tal skrevs vid sidan som eleverna skulle sätta in på rätt plats i tabellen. Exempelvis skulle eleverna placera ut hundratalen, tiotalen och entalen i talet 365. Eleverna fick en och en komma fram och skriva ut siffrorna i talen på tavlan. En elev skrev siffran 1 på hundratalspositionen, tiotalspositionen och entalspositionen.

Figur 8: Tabell med ental, tiotal hundratal.

Läraren: Vill du förklara hur du tänkte?

Elev B: Jag tänkte att det finns ett hundratal i talet 365 [pekar på siffran tre].

Läraren: Det stämmer att det finns ett hundratal i talet, eftersom talet har tre siffror. Det finns ett tiotal och ett ental. Men om jag istället frågar hur många hundratal finns det?

Vad tror du då?

Elev B: Det vet jag nog inte.

Läraren: Vilken plats har hundratalet? Är det först, i mitten eller sist? [Läraren pekar på de olika positionerna i tabellen].

Elev B: Den är först.

Läraren: Hur många hundratal ser du på den positionen i talet 365?

Elev B: Tre. Finns det tre hundratal i 365?

I elevens beskrivning kan det konstateras att hen har urskilt den kritiska aspekten till viss del men frågan har missuppfattats och behöver förtydligas av läraren. När eleven får frågan hur många hundratal det finns i talet kan hen urskilja hundratalspositionen och

svarar tre. Momentet fortsatte med att två till hundratal presenterades där eleverna skulle svara på vilket tal som var störst och värt mest. Det påpekades att det viktigaste är att titta på vilket tal som har flest hundratal, eftersom hundratalsplatsen är den som är värd mest.

Är hundratalen lika mycket värda gäller det att titta på tiotalsplatsen och se vilket tal som har flest tiotal och så vidare. En generalisering användes som ett variationsmönster där vissa siffror i talen är konstanta och en siffra i talet varierar. Olika tal representerades, exempelvis 322, 370, 67 och 20.

Elev C: Jag vet att den första siffran alltid är hundratal, så då finns det tre hundratal eftersom tre är den första siffran [Talet 322].

Läraren: Om vi skulle ta talet 67 då? Är 6 hundratalet då?

Elev C: Nej, det finns inga hundratal i 67.

Läraren: Hur vet du det?

Elev C: Hundra blir det när det finns tre siffror, här har vi bara 6 och 7, två siffror. Då är det ett tiotal [Eleven pekar på tiotalsspalten på tavlan].

I elevens resonemang och beskrivning går det upptäcka att hen har urskilt den kritiska aspekten. Eleven visar i sin förklaring att hen är medveten om att beroende på vilken plats en siffra har i ett tal, är siffrans värde olika.

Den tredje och sista aspekten urskilja att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare innebär att eleverna förstår att ett tal kan benämnas och bestå endast av ental men också kunna delas upp i övriga tiobaser, som tiotal och hundratal. Denna aspekt planerades att genomföras med hjälp av entalskuber som skulle presentera olika tal. Till att börja med lades 36 stycken entalskuber framför eleverna och de skulle svara på vilket tal det var. Läraren frågade om någon visste vilket tal det är. Ingen elev hann räkna alla entalskuber innan läraren gick vidare. Läraren lade nu fram 122 stycken entalskuber och ställde samma fråga. Två elever ropade ut ”entusenmiljon” och ”tvåhundranittionio”.

Läraren förklarade att hon istället skulle presentera samma tal men nu med hjälp av hundratalsbrickor, tiotalstavar och entalskuber. Läraren lade fram tre tiobasstavar och sex stycken entalskuber (talet 36) och en hundratalsbricka, två tiobasstavar och två

entalskuber (talet 122).

Läraren: Är det någon som vet vilket tal det är nu?

En majoritet av eleverna räckte nu upp sina händer i luften.

Elev D: Det talet som du inte har så mycket grejer till, det är 36 tror jag.

Läraren: Det stämmer bra! Är det någon annan som vet vilket det andra talet är?

Elev D: Jag vet! Det är 122.

Läraren: Vårat ögat kan inte uppfatta entalskuberna snabbt nog och därför är det lättare för oss att uppfatta talet när det är indelat i grupper som representerar olika tiobaser, som

ental, tiotal och hundratal.

Fusion var det variationsmönster som representerades i denna genomgång.

ANTAGANDEN OM KRITISKA ASPEKTER EFTER LEKTION 1 OCH ARBETSBLAD

Efter analysen av lektion 1, arbetsbladet samt ljudinspelningen som genomförts framkom att eleverna inte kunde urskilja två aspekter, urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal samt urskilja att tal inte enbart delas upp i givna ental, tiotal och så vidare. För att aspekterna skulle kunna urskiljas behövde dessa delar revideras inför en nästa lektion. De aspekter som kan urskiljas i lektion 1 kan alltså behandlas på det sätt som beskrivits. Den aspekt som eleverna kunde urskilja i lektion 1, vilken var att urskilja talens del-och helhetsrelationer inom talområdet 1-20 exempelvis 7=3+4, eller 15=7+8 behålls således som den var till kommande lektion. Det erfarna, planerade och det iscensatta lärandeobjektet var efter lektion 1 överlappande i låg utsträckning. En majoritet av eleverna har fortfarande inte efter lektion 1 urskilt den kritiska aspekten att tal inte enbart delas upp i givna ental, tiotal och så vidare. I arbetsbladet (bilaga 2) där denna kritiska aspekt behandlas och eleverna skulle svara på hur många ental det finns i ett flersiffrigt tal, ser ett elevsvar ut på följande vis (figur 9):

Figur 9.

Eleven har svarat att det finns så många ental i talet som det står på entalspositionen i ett flersiffrigt tal. Den tolkning som gjordes av analysen av elevsvar likt detta var att dessa elever endast har förståelse för ental på entalspositionen i ett flersiffrigt tal men visar ingen förståelse för vad siffran får för betydelse när den hamnar bland flera siffror i ett

tal. Detta ansågs därför fortfarande vara en kritisk aspekt som eleverna inte urskilt och därmed behövde revideras inför lektion 2.

L

2

De kritiska aspekter vilka antagits eleverna fortfarande inte urskilt efter lektion 1

planerades att behandlas i lektion 2. De kritiska aspekterna urskilja att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare och urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal skulle därmed behandlas. För att få eleverna att urskilja dessa två aspekter genomfördes ett moment som liknade det som genomfördes under lektion 1.

Lektion 2 inleddes med att behandla aspekten att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal genom att en tabell likt den i lektion 1 (figur 8) skrevs upp på tavlan.

Läraren beskrev att beroende på vilken plats eller position en siffra har i ett tal är den värd olika mycket. Ett ental är tillexempel inte lika mycket värt som ett hundratal. Under lektionen gjordes övningar där eleverna fick använda sig av tiobasmaterial och skulle representera talen 57, 27 och 35 med hjälp av detta.

Läraren: Då lägger jag fram ett tal och undrar om någon vet vilket tal det är? [Läraren placerar ut fem stycken tiotalsstavar och sju stycken entalskuber på bänken framför

eleverna].

Elev E: Jag vet! Det är 57.

Läraren: Hur kan du vara säker på det?

Elev E: Du har fem tiostavar, då räknar man 10 för en, 20 för två, 30 för tre, 40 för fyra och 50 för fem. Sen får man plussa på de små bitarna och då blir det 56… eller 57

stycken.

Läraren: Det stämmer, det är talet 57.

I nästa skede säger läraren att hon ska representera talet 27. Läraren lägger då fram sju tiotalsstavar och två entalskuber och använder sig av kontrast som ett variationsmönster.

Läraren: Nu har jag lagt fram talet 27.

Elev F: Nej, du har fel! Det är inte 27 du har lagt fram.

Läraren: Vad tror du kan ha gått fel?

Elev F: Du har nog blandat ihop entalen och tiotalen.

Syftet här var att påvisa betydelsen för ental och tiotal genom att visa vad det är i relation med vad det inte är. Eleverna fick även möta två olika hundratal där läraren frågade

vilket som var störst respektive minst. Det som skulle synliggöras här var förståelsen för att eleverna behöver granska tiotalen i ett hundratal där hundratalen är lika mycket värda.

Vid nästa skede skulle den kritiska aspekten att tal inte enbart delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare behandlas. Läraren placerade ut 35 stycken entalskuber

framför sig och talet representerades enbart med ental. Det är smidigare och går snabbare att representera talet med hjälp av både tiotal och ental. Det förklarades med hjälp av konkret material att talet 35 kan representeras i enbart ental. Läraren visade samma tal men nu genom att byta ut de 35 entalskuber som låg framme till tre tiotalstavar och lät fem entalskuber ligga kvar. Här användes variationsmönstret fusion.

ANTAGANDEN OM KRITISKA ASPEKTER EFTER LEKTION 2 OCH EFTERTEST

Två av de tre kritiska aspekter som låg till grund för lektion 1 följde med in i lektion 2 för att förtydliga ytterligare för eleverna och förhoppningsvis få ett bättre resultat på

eftertestet. För att pröva de kunskaper eleverna fått under de två lektionerna gjordes ett eftertest. Den första uppgiften i både för-och eftertestet handlade om att beskriva hur man löste en additionsuppgift med tiotalsövergång. Här var det 30 % av eleverna som hade fel under förtestet medan 28 % av eleverna hade fel på eftertestet (tabell 1).

Kritisk aspekt som testas: Förtest

Andel elever med felsvar

Eftertest

Urskilja talens del-och helhetsrelationer inom tal- området 1–20, exempelvis 7 =3+4.

30 % 28%

Urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal

38% 15%

Urskilja att tal inte enbart delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare

68% 23%

Tabell 1: Jämförelse av resultat på uppgiftsnivå.

Genom den jämförelse av förtestet och eftertestet som görs i tabellen kan en förbättring påvisas kring dessa kritiska aspekter. Det är färre elever med andel felsvar i eftertestet än i förtestet. Detta tolkas som att de lektionsmoment som berört respektive aspekt i lektion 2 verkar varit gynnsamma eftersom andelen felsvar har minskat i eftertestet. Den kritiska aspekten att urskilja att siffrans position avgör siffrans värde i ett flersiffrigt tal har högst procentuell skillnad. De två andra kritiska aspekterna, urskilja talens del- och helhets-

relationer inom tal- området 1–20, exempelvis 7 =3+4 och urskilja att tal inte enbart delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare har något lägre procentuell andel minskning i eftertestet. En tanke kring varför dessa aspekter inte förbättrats lika mycket är om eleverna inte erbjudits tillräckligt med mönster av variation till aspekterna. En aspekt valdes att behållas som den var antagen från början, urskilja talens del- och helhetsrelationer inom talområdet 1–20, exempelvis 7 =3+4. De två andra aspekterna uppfattades på ett annat vis och ansågs behöva preciseras ytterligare. Istället skulle de bli:

urskilja att flersiffriga tal kan delas upp i olika tiobaser och urskilja att siffrans plats definierar talets storlek.

D

Nedan presenteras först en diskussion av studiens metod följt av resultatdiskussion utifrån studiens frågeställningar. Avslutningsvis skrivs det om didaktiska implikationer samt ges förslag på vidare forskning.

M

Studien byggde på lektionsmoment kombinerat med ljudinspelningar samt arbetsblad och ett för- och eftertest. Metoden gav lämpligt material för att syftet med studien skulle kunna uppnås och var därmed passande till denna typ av studie. Det skulle däremot finnas andra metoder som också hade varit till fördel att använda i denna typ av studie.

En specifik skola valdes ut som skulle ingå i studien. Ett bekvämlighetsurval gjordes då den aktuella skolan som valdes ut var bekant för författaren sedan tidigare (Bryman, 2018). Eftersom undersökningen fokuserade på undervisning kunde relationen mellan undersökaren och elevgruppen spela roll. Denna urvalsmetod prioriterades då det var viktigt att eleverna kände sig trygga med undersökaren och vågade uttrycka sig hur de tänkte när de löste uppgifterna.

Antalet medverkande klasser i studien kan även diskuteras. Däremot är tanken med studien inte att göra anspråk på en generell sanning vilket gör att antalet fungerar. Det kan däremot tänkas att utfallet möjligtvis hade blivit mer nyanserat om fler klasser hade deltagit. Studiens trovärdighet hade dessutom varit större om två skolor hade fått ingå för en ytterligare variation av elevsvar. Skulle studien haft två skolor som referens till

studiens resultat hade en annan fördel också varit att resultatdelen haft ett bredare material där lektionerna hade observerats med influenser av två olika gruppdynamiker.

Ytterligare aspekter hade kanske synliggjorts och ett annat resultat hade framkommit i studien. Att observera fler lektioner med den aktuella klassen som behandlade

lärandeobjektet är en ytterligare aspekt som hade kunnat bidra till ett bredare material och annat resultat. Perioden då studien genomfördes kan också ha en avgörande betydelse, då studien är genomförd under vårterminen i årkurs 2 och klassen inte hade arbetat särskilt mycket med framförallt positionssystemet. Resultatet hade möjligtvis sett annorlunda ut om eleverna var mer bekanta med det området och studien hade gjorts i samband med att eleverna arbetade med det. Kritiska aspekter är dessutom dynamiska och relaterade till elevgruppen i viss mån. De antaganden som gjorts utifrån relevant matematikdidaktisk forskning (Cheng, 2012; Dowker, 2009; Ekdahl, 2019) kring tänkbara kritiska aspekter i denna studie kan användas i liknande grupper men med

medvetenheten om att det kan finnas andra kritiska aspekter än de som identifierats i denna studie.

Studien genomfördes endast av en person, som agerade både forskare och lärare. Metod och genomförande av studien kunde diskuteras i handledningsgruppen men analysen av lektionsmomenten och ljudfilerna har endast analyserats av författaren till detta arbete.

Skulle studien gjorts av flera personer hade en djupare diskussion kunnat ske i varje steg, vilket dessutom ofta är fallet med den typen av metod som använts i studien (Marton &

Pang, 2006). Skulle något göras annorlunda hade studien genomförts i samarbete med en annan person för att få möjlighet till diskussion kring planering och analys av

lektionerna. Tack vare valet av att göra ljudinspelningar av lektionerna som sedan transkriberades minimerades risken för att uppfatta elevens svar fel och komma med felaktiga upplysningar i resultatet och detta kan ses som en styrka i den valda metoden.

Uppgifterna i förtestet och eftertestet hade inte stora skillnader vilket gjorde det mer okomplicerat i jämförelsen av resultatet av testen. Eftertestet gjordes i anslutning till den sista lektionen vilket innebar att kunskaperna var färska i elevernas minnen. Skulle eftertestet genomförts några dagar senare efter den sista lektionen hade resultatet kunnat se annorlunda ut. Det ska dessutom nämnas att det är svårt att med säkerhet säga vad eleverna har lärt sig genom analys av eftertestet. Eftertestet har används för att ge

indikationer på vad som är kritiska aspekter och vilka variationsmönster som verkar varit gynnsamma. Lektionerna som genomförts har också försökt att återges med så många detaljer som möjligt för att det ska vara möjligt för andra att replika studien.

Tolkningen av det insamlade materialet kan ha påverkats av mina egna erfarenheter och kunskaper eftersom det vid kvalitativa studier nästan är omöjligt att låta det hända.

Risken finns att elevernas svar eller kroppsspråk kan ha tolkats på ett sätt som de

egentligen inte menade. Jag var noga med att ställa följdfrågor som klargjorde elevernas resonemang för att minimera mitt eget tolkningsutrymme så mycket som möjligt.

R

Syftet med studien är att bidra med en undervisningsdesign som erbjuder elever att urskilja tals del-helhetsrelationer och siffrors position i additioner med tiotalsövergång.

Det har visat sig att användandet av variationsmönster som generalisering, kontrast och fusion i undervisningen är viktigt för att elever ska kunna urskilja de kritiska aspekterna.

Det har också visat sig att lektionsmomenten har varit olika gynnsamma. De lektions- moment som varit mer gynnsamma har innehållit fler än ett variationsmönster för att eleverna ska urskilja den kritiska aspekten. Det har visat sig vara viktigt att det finns en samtidighet i de exempel som visas. I studiens resultat framkommer att alla former av variationsmönster inte påvisades till alla kritiska aspekter. Efter analys av elevernas beskrivningar och svar i för- och eftertestet funderar jag på om det kan vara så att alla elever inte urskilt de kritiska aspekterna fullt ut eftersom de inte fått möta alla

variationsmönster till dessa kritiska aspekter i undervisningen? Utifrån Marton och Booth (2000) kan detta vara en möjlig orsak till att alla elever inte urskilt aspekterna med full förståelse. Det kan tänkas att undervisning i framtiden med ytterligare variationsmönster kommer bidra till att de elever som ännu inte urskilt de kritiska aspekterna i denna studie kommer få full förståelse för dem vid ett senare tillfälle. För att kunna urskilja en kritisk aspekt behöver eleverna få chans att möta alla olika variationsmönster (Marton & Booth, 2000; Marton et al., 2004). Ytterligare en anledning till att inte alla elever urskilt

aspekterna kan bero på att olika människor urskiljer och fokuserar på olika aspekter samtidigt. Vi människor urskiljer olika aspekter eftersom vi erfar samma situation på olika sätt. Eftersom vi har olika intresse och förkunskaper i ämnet urskiljer vi olika aspekter av samma sak (Thorndike, 1914).

Läraren som undervisade eleverna hade heller ingen tidigare erfarenhet av att dessa kritiska aspekter var svåra för eleverna att urskilja och var inte tillräckligt påläst på hur man skulle undervisa för att de skulle lyckas urskilja de kritiska aspekterna. Inom

variationsteorin är en förutsättning som krävs att den undervisande läraren tar reda på vad som gör att elever inte kan urskilja en viss aspekt, och utsätter eleverna för just den aspekten med olika variationsmönster (Marton & Booth, 2000). Skulle läraren ha en större förmåga att skapa ett mönster av variation i synliggörandet av de kritiska

aspekterna kan det hända att resultatet hade blivit annorlunda. Vid analysen av elevernas beskrivningar kring de kritiska aspekterna antogs aspekterna urskilts med varierad förståelse.

Eleverna gavs möjligheten att urskilja aspekten talens del-och helhetsrelationer inom talområdet 1-20 vid en genomgång under lektionsmoment 1. Här användes

variationsmönster som generalisering och kontrast. En generalisering gjordes genom en uppdelning av talet 9 på fler sätt än ett. Elev A beskrev istället sin uppdelning av talet 7 och visade därmed att hen kunde använda sig av sin förståelse för tals del-

helhetsrelationer och lösa en additionsuppgift på ett mer effektivt sätt genom att se uppgiften som ett del-helhetsproblem. Det framkom även att elevernas uppfattningar varierade och det var olika för hur långt varje elev hade kommit i sin förståelse kring tals del-helhetsrelationer. Detta kan kopplas till vad Neuman (2013) beskriver om att elever kan se helheten och delarna simultant när de fått en förståelse för de 25 kombinationerna och kan då använda sig av de två andra talen i kombinationen för att hitta en okänd komponent i en kombination (Neuman, 1987, 2013). Vidare under genomgången gjordes en kontrast genom inkorrekta uppdelningar av talet 9. Eleverna kom istället med korrekta indelningar och flera elever visade på god förståelse för tals del-helhetsrelationer.

Resultatet i studien visar således att det finns likheter mellan vad som framkommer i denna learning study och vad forskarna (Neuman, 1986, 2013; Marton et al., 2004) påpekar är av vikt vid förståelse för tals del-helhetsrelationer och siffrors position i additioner med tiotalsövergång. Neuman (1986, 2013) nämner vikten av förståelse för tals del-helhetsrelationer och att tal kan delas upp i delar och helheter och har olika relationer. Det framkommer även i denna studie likt Kullberg et al., (2016) att variationsteorin är ett användbart verktyg som ökar lärandemöjligheten hos eleverna genom att variation och jämförelser ställs mot varandra. Vid den jämförelse som görs av förtestet och eftertestet i studiens resultatdel (tabell 1) kan det konstateras att eleverna har en förbättring på eftertestet jämfört med förtestet. Även detta kan kopplas till vad

Kullberg (2010) beskriver att syftet med en learning study är.

Till vissa kritiska aspekter under lektionsmomenten valdes laborativt material att användas, i form av tiobasmaterial. Eleverna var väl bekanta med materialet och det framgick att de förstod vilken funktion de respektive materialen representerade. Något som dock är värt att tänka på är inte bara vikten av användandet av laborativt material utan även på vilket sätt det används. Eleverna som deltog i studien kanske är vana vid att använda laborativt material, men inte på det sätt som läraren i studien använde det på.

Detta kan också ha bidragit till att studiens resultat förföll som det gjorde. Att ta hjälp av och använda laborativt material i övningen under lektionsmoment 2 till den kritiska aspekten att tal inte delas upp i enbart givna ental, tiotal och så vidare anser jag var en bra hjälp för att öka förståelsen hos eleverna. Eleverna kände till materialet sedan tidigare och förstod vilken funktion de respektive materialen representerade. Det är möjligt att förståelsen hos vissa elever inte hade varit lika stor om konkret material inte hade använts. Vissa elever hade lättare för att urskilja aspekterna när ett konkret arbetssätt

användes under lektionsmomenten. Det kan därför tänkas att flera av eleverna möjligtvis hade klarat vissa uppgifter i eftertestet bättre om de fått ta hjälp av konkret material.

Det jag kan se som positivt och betydelsefullt i resultatet inför min kommande yrkesroll är att få erfara elevernas tankar och uppfattningar inom detta område. Det som studiens resultat också kan tänkas bidra till är att lärare på fältet kan använda sig av

variationsteorin som en god teoretisk utgångspunkt i sitt vardagliga arbete med elever, lektionsinnehåll och metoder.

V

Under studien har jag fått träffa och ta del av elever i årskurs 2:s möjligheter att skapa sig en uppfattning om tals del-helhetsrelationer och siffrors position och hur de kan använda den kunskapen i additioner med tiotalsövergång. Det resultat som synliggjordes är dock endast baserat på en elevgrupp på en skola. Det skulle därför vara intressant att kunna studera och jämföra förståelse och möjligheter hos ytterligare en elevgrupp på en annan skola. Det skulle också vara intressant att genomföra en liknande studie men under en längre tidsperiod, exempelvis över en termin som en learning study vanligtvis genomförs under. En annan intressant aspekt hade varit att studera en skola som arbetar med

variationsteorin som grund och jämföra elevers möjligheter att lära om tals del- helhetsrelationer.

R

Bardoody, A. J., Bajwa N., Priya., & Eiland, M. (2009). Why can't Johnny remember the basic facts? Developmental Disabilities Research Reviews 15 (1), s. 69-79

https://doi.org/10.1002/ddrr.45

Björklund, C., Marton, F., & Runesson Kempe, U. (2016, 25th August). Learning to subitize the first ten numbers as a necessary condition for the development of arithmetic skills [Paper presentation]. EARLI SIG 9 Phenomenography and Variation Theory, University of Gothenburg.

Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga perspektiv och metoder. Liber.

Cheng, Z.-J. (2012). Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study. The Journal of Mathematical Behavior,31(1), 29- 47. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2011.09.002

Doig, B., & Groves, S. (2011). Japanese Lesson Study: Teacher Professional Development through Communities of Inquiry. Mathematics Teacher Education and Development, 13(1),77-93.

Dowker, A (2009). Use of derived fact strategies by children with mathematical difficulties. Cognitive Development, 24 (4), 401-410.

https://doi.org/10.1016/j.cogdev.2009.09.005

Ekdahl, A. (2019). Teaching for the learning of additive part-whole relations: The power of variation and connections (Doctoral thesis, Jönköping: Jönköping University, School of Education and Communication)

Göteborgs Universitet (u.å) Institutionen för didaktik och pedagogisk profession.

http://ls.idpp.gu.se

Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn? (Göteborg Studies in Educational Sciences, 262). Göteborg:

Acta Universitatis Gothoburgensis.

Kullberg, A. (2010). What is taught and what is learned: Professional insights gained and shared by teachers of mathematics (Doktorsavhandling, Institutionen för didaktik och pedagogisk profession).

Kullberg, A., Runesson, U., Marton, F., Vikström, A., Nilsson, P., Mårtensson, P. & Hägg- ström, J. (2016). Teaching one thing at a time or several things together? – teachers changing their way of handling the object of learning by being engaged in a theory-based professional learning community in mathematics and science. Teachers and teaching:

theory and practice, 22(6), 1-15. https://doi.org/10.1080/13540602.2016.1158957

Laski, E. V., Ermakova, A,. & Vasilyeva, M. (2014). Early use of decomposition for addition and its relation to base-10 knowledge. Journal of Applied Developmental Psychology,35(5), 444-454. https://doi.org/10.1016/j.appdev.2014.07.002

Lo, M. L. (2012). Variation theory and the improvement of teaching and learning. Acta Universitatis Gothoburgensis.

Löwing, M. (2017). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare. (Andra upplagan). Studentlitteratur.

Marton, F., & Booth, S. (2000). Om Lärande. Lund: Studentlitteratur

Marton, F., Runesson, U., & Tsui, A. B. M. (2004). The Space of Learning. I F. Marton &

A. B. M. Tsui (Red.), Classroom discourse and the space of learning (s. 3-40). Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum.

Marton, F. & Pang, M. F. (2006). On Some Necessary Conditions of Learning. The Journal of the Learning Sciences, 15(2), 193–220. https://doi.org/10.1207/s15327809jls1502_2

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal: en handbok. (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NCM), Göteborgs universitet.

Neuman, D. (1987). The origin ofarithmetic skills: a phenomenographic approach (Doktorsavhandling, Göteborg universitet, Pedagogiska intuitionen).

Neuman, D. (2013). Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande Aritmetikundervisningen (Changing the culture and ways of working in early arithmetic teaching).Nordic Studies in Mathematics Education, 18(2), 3-46.

http://ncm.gu.se/media/nomad/18_2_003046_neuman.pdf

Runesson, U. (1999). Variationens pedagogik: skilda sätt att behandla ett matematiskt innehåll (Doktorsavhandling, Göteborg universitet, Pedagogiska intuitionen).