I årskurs 9 har majoriteten av eleverna en uppfattning där den obekanta kan vara ett godtyckligt tal eller ett godtyckligt tal med begränsningar dvs en variabel, dvs stadie 5 och

enligt Küchemanns klassificering.

Detta tyder på att det är möjligt för eleverna i åldrarna 13-15 att ha en uppfattning av variabebegreppet enligt Küchemanns stadie 4-6. Detta är ett motsatt resultat mot CSMS projektet och Küchemanns slutsatser som var att de flesta barn i åldrarna 12-15 inte kan klara av att uppfatta en variabel enligt stadie 4 och 5 (kapitel 2.3.2).

Både i MacGregor & Staceys och i Hunters forskning (kapitel 2.4) konstaterades att elevernas uppfattning av variabler berodde på undervisningen istället för åldern. Vid jämförelse med läromediat konstaterades att variabelbegreppet presenteras först i årskurs 9 och eleverna hade vid undersökningstillfället inte kommit dit än. Denna studie visar alltså på att elevernas förståelse inom Küchermans stadier utvecklas trots att läromediat lägger mycket lite vikt vid variabelbegreppet.

Hur kan detta komma sig?

En mycket viktig faktor är den undervisning eleverna får som inte står i läromedlet. Dessutom har eleverna på skolan generellt ett resultat på nationella prov i matematik som ligger över medel vilket får mig att att anta att relativt många av eleverna i grupperna arbetar med de mer avancerade delkapitlen som har variabelträning.

38 Det mest utmanande i denna studie har varit att klassificera vissa elevers uppfattning enligt Küchemann stadier. Speciellt de tre lägre stadierna var svåra att skilja åt. Jag ser två möjliga orsaker till detta:

1. Det var för få frågor för att kunna analysera hur eleverna uppfattar en variabel konsekvent:

I CSMS projektet studerade Küchemann om barnen konsekvent tolkade variabeln enligt en viss uppfattning, något jag inte kan bedömma med endast 11 frågor. Även MacGregor & Stacey reflekterar över att de inte vet till vilket djup eleverna förstått variabelbegreppet och detta kan inte jag heller avgöra i denna studie. Fråga 5, där 60% av eleverna i åk 9 visar på missförstånd enligt stadie 1, är ett tydligt bevis på att det behövs en större analys för att veta till vilket djup eleverna förstår variabelbegreppet. 2. Att elevernas uppfattning inte konsekvent stämmer överrens med de olika stadier som

Küchemann definierat:

I definitionen av de olika stadierna som presenteras i kaptiel 2.3 kan jag känna igen de olika exemplena från läromedel och undervisning. Samtidigt innebär stadie 1, 2 och 3 en syn på att bokstaven kan innebära felaktigheter och dessa stadier är, enligt min mening, missuppfattningar. Jag anser att konkretisering är ett viktigt hjälpmedel i undervisningen för att eleverna ska kunna ta till sig de vetenskapliga begreppen (kapitel 2.1), men jag är skeptisk till att använda konkretiseringar som kan leda till missuppfattningar. Löwing anser att man ska presentera en konkretisering för att sedan direkt släppa den och arbeta formellt. Jag anser, efter denna studie, att vissa av de konkretiseringar som används för att förklara algebra kan vara en anledning till att det är svårt att klassificera speciellt stadier 1-3 och att eleverna hoppar emellan stadierna. Eleverna har sett olika exempel och lärt sig dem men ingen av dem fungerar vid alla tillfällen eftersom de är förenklingar som hjälper till att lösa vissa uppgifter, inte att öka förståelsen för variabler.

De tre senare stadierna var mycket lättare att hitta korrelationen med Küchemanns stadier. Dessa tre har en tydligare progression och är enligt min mening inte missuppfattningar, vilket också gör de mycket mer relevanta.

39 Tre av uppgifterna är skapade för att klassificera stadie 5. En med fokus på mönster, en på funktioner och på ekvationer. Resultatet visar att eleverna har mycket större erfarenhet av ekvationer än funktioner och mönster. Enligt läroplanens centrala innehåll ska eleverna få undervisning om”Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska

uttryck, formler och ekvationer” (Skolverket, 2011). Jag tolkar detta som Küchemanns stadie

5 men i undersökningen framkom att eleverna har betydligt svårare för mönster och funktioner än för ekvationer. Det är med andra ord viktigt att vi som lärare ser till att även dessa sätta att arbeta med variabler får uppmärksamhet.

Jag anser att det är viktigt att uppmärksamma vilka uppfattningar eleverna har för att kunna utmana dem och stödja dem att ta ett steg frammåt. Men även att undvika konkretiseringar som kan leda till missuppfattningar. Därför är jag väldigt nyfiken på de metoder som nämns i kapitel 2.4.3 där man inte tar omvägen via över de tre lägre stadierna och äpplen och päron, dvs objekt i för att förstå variabler.

Ett exempel på fortsatt forskning är att ställa frågan: Påverkas elevernas uppfattning av

variabler enligt Küchemanns stadier positivt, negativ eller inte alls av att man börjar med att presentera obekanta som godtyckliga tal i årskurs 7? Jag tänker mig årskurs 7 eftersom

eleverna då har en ganska liten erfarenhet av obekanta. Givetvis kan inte presentationen av variablerna vara för abstrakta för då riskerar man att hamna utanför den närmaste utvecklingszonen och skapa frustration. Med mönster, grafer, geometri och enkel programering tror jag att man kan studera hur obekanta varierar öka förståelsen för variabler.

40

6 Referenser

Bloor, M & Wood, F (2006). Keywords in Qualitative Methods. A Volcabulary of Research

Concepts. London: SAGE Publications Ltd

Boaler, Jo (2011). En elefant i klassrummet. Stockholm: Liber

Dysthe, Olga (1996). Det flerstämmiga klassrummet. Lund: Studentlitteratur.

Illeris, Knud (2007). Lärande. Lund: Studentlitteratur

Küchemann, Dietmar (1978). Mathematics in School , Vol 7 No 4. The Mathematical Association.

Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare kan hantera

lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur

Löwing, Madeleine (2008). Grundläggande aritmetik : matematikdidaktik för lärare. Lund: Studentlitteratur.

Graham, A. & Thomas, M. (2000). Building a versatile understanding of algebraic variables with a graphing calculator. Educational Studies in Mathematics, 41, 265

Hart, K.M. (1982). Childrens’s Understanding of Mathematics: 11-16. London: John Murray Ltd

Noss Richard, (1986). Constructing a conceptual framework for elementary algebra through

Logo programming. Educational Studies in Mathematics. D. Reidel Publishing Company.

Hunter, Jodie. (2010). You Might Say You're 9 Years Old but You're Actually 'B' Years Old Because You're Always Getting Older": Facilitating Young Students' Understanding of Variables, Mathematics Education Research Group of Australasia, New Zealand

41 Häggström, J. (1996). Förstå algebra. Nämnaren nr 1, 1996 sid 38-44

Häggström, J. (1995). Tidiga algebran. Nämnaren nr 5, 1995 sid 17-22

MacGregor, Millie & Stacey, Kaye (1997). STUDENTS' UNDERSTANDING OF

ALGEBRAIC NOTATION: 11-15. Educational Studies in Mathematics Vol 33 No1. Springer

Persson, Per-Eskil (2005). Bokstavliga svårigheter. Faktorer som påverkar gymnasieelevers

algebralärande. Institutionen för matematik. Luleå tekniska universitet

Siris. Statistik från Svenska skolan. http://siris.skolverket.se

Skolverket (2008). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007. En djupanalys av hur

eleverna förstår centrala matematiska begrepp och tillämpar beräkningsprocedurer. Rapport

323. 2008

Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. PDF- fil skolverket.se

Svensk författningssamling (2010). Lag om ändring i skollagen (2010:800) SFS 2010:2022

Wass, Göran (2008). Redovisning av matematikprojektet i gymnasieskolan Dnr 2006:649 /

MSU. Tibro. PDF-fil

http://ncm.gu.se/media/mattebron/gymnasieskolor/Sfagelviksgymnasiet.pdf Sökdatum 2012- 08-27

Säljö, Roger (2010). Lärande och kulturella redskap. Om lärprocesser och det kollektiva

minnet. Norstedts

Trost, Jan (2012). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur

Undvall, L et al (2006). Matematikboken X Stockholm: Liber

42 Undvall, L et al (2012). Matematikboken Y Stockholm: Liber

Undvall, L et al (2007). Matematikboken Y Grön Stockholm: Liber

Undvall, L et al (2007). Matematikboken Y Röd Stockholm: Liber

Undvall, L et al (2008). Matematikboken Z Röd Stockholm: Liber

Vetenskapsrådet. Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. ISBN:91-7307-008-4

43

Bilaga A Diagnos Variabelbegreppet

Namn: Klass:

Hjälpmedel: inga Använd baksidan om du behöver mer plats.

1. Beräkna x, då x + 5 = 9, förklara hur du tänker.

2. Vad är 2b, om b = 8, förklara hur du tänker.

3. Vilket alternativ motsvarar 4x – x + 7y – 2y? a. 9

b. 9xy c. 4+5y d. 3x+5y

4. Daniel är 10 cm längre än Per. Pers längd är L cm. Vad kan du säga om Daniels längd?

44 6. Lisa är x cm kortare än Anna. Anna är 150 cm lång. Vad kan du säga om Lisas längd?

7. Skriv ett uttryck för eller förklara med ord: addera 5 till n, multiplicera sen med 4

8. Tänk dig att du formar en stege med tändstickor. I bilden ser vi att du behöver 11 tändstickor till en stege med 3 stegpinnar. Hur många tändstickor behöver du till en stege med:

a. 5 stegpinnar b. 10 stegpinnar c. n stegpinnar Förklara hur du tänker.

45 9. Tabellen nedan visar ett samband mellan x och y.

Vilken av följande ekvationer uttrycker detta samband? b. y = x + 4

c. y = x + 1 d. y = 2x - 1 e. y = 3x - 2

10. Vad kan du säga om c, om c + d = 10, och c är mindre än d?

11. Vilket är störst 2n eller n + 2? Förklara.

Svaren kommer att användas som data till mitt examensarbete på Malmö Högskola där jag undersöker hur elevers uppfattning av variabelbegreppet utvecklas från årskurs 7 till 9. All information kommer att behandlas konfidentiellt, dvs ingen kommer att vet vem som svarat vad eller vilken skola som varit med och svarat. Om du INTE vill att dina svar ska vara med i mitt arbete kryssa då i den här rutan.

Tack för din medverkan! /Carolin

x 1 2 3 4 5

46

Bilaga B Läromedelsanalys

X upplaga 2011

Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Matematikboken X, Liber Stockholm 2011

Varibler i kapitel 3 längd, tid och samband, i form av tabeller och diagram (128) ”När det man undersöker kan variera kallas det en variabel och betecknas ofta med bokstaven x. ” Exempel och uppgifter fokuerar på eleverna ska bekanta sig med tabeller och diagram för att sedan gå vidare till medelvärde, median och typvärde. Sist i kapitlet finns dock problemlösning med variabelträning ex hitta mönster och stadie 4 träning. Ett tal multipliseras med 4. Om vi sedan adderar med 17 så får vi 53. Vilket är talet?

Igen kaptiel 4 Algebraiska uttryck. “Arean av en rektangel är lika med basen gånger höjden och kan tecknas b*h. Detta är exempel på ett algebrasikt uttryck med två variabler, b och h. Genom att sätta in tal istället för b och h kan vi räkna ut arean av vilken rektangel som helst. Vi säger då att vi beräknar uttryckets värde.”

Exempel där x bara kan ersättas med en siffra för enkla atimetriska uträkningar tex 2*h eller 50*x. Förkortningar b resultat av den blå tärningen, r resultat av den röda tärningen. I uppgifterna och exemplen går det hela tiden bara att ersätta variabeln med ett tal. Detta tal varierar inte.

X upplaga 2006

Lennart Undvall, Karl-Gerhard Olofsson, Svante Forsberg, Kristina Johnsson, Matematikboken X Liber Stockholm 2006

Kapitel och tid, tabeller och diagram (s101) Vid genomgång av frekvenstabell ”Det man undersöker kallas variabel och brukar kallas x.” Uppgifter för att bekanta sig med tabeller och diagram för att senare beräkna median och medelvärde. Probelmlösningen i slutet av kapitlet har som i upplagan 2011 variabelträning fast det är färre tal.

Matematikboken Y

Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Matematikboken Y. Liber Stockholm 2012 Kaptiel 3 Algebra och mönster 3.1 uttryck med variabel. Variabeln beskrivs som ett godtyckligt tal. “…Variabeln x kan stå för vilket tal som helst, det vill säga vilken sträcka

47

som helst.“ I del ett och två behandlas bokstaven som ett tal, stadie 4. I del tre finns det några

tal där bokstaven kan ha mer än ett värde. Ex 1. n är ett udda tal. Teckna ett uttryck för de två

följande udda talen. Del fyra många tal stadie 4 men även stadie 5.

Nästa kapitel 3.2 mönster. Genomgången nämner inte ordet variabel men redan i del två ska man beskriva de n:te mönstret. Mönster är ett nytt kapitel som inte fanns med i de två tidigare upplagorna.

Kapitel 3.5 Multiplikation av parenteser. Går igenom mulitplikation med variabler. En tabell areor av olika rektanglar b*h sammanfattas med hjälp av variabler som x*y = xy. Kapitlet visar hur man kan utgå från givna tal och ersätta dessa med variabler för att sedan matematiska operation med dessa. Stadie 4.

Matematikboken Y röd

Lennart Undvall, Svante Forsberg, Karl-Gerhard Olofsson, Kristina Johnsson Liber Stockholm 2007

Uppgifterna i boken har tre nivåer A, B och C. Kapitel 2 Variabler och uttryck (s 42)

Här presenteras variabler som. ”Bokstaven x är här ett exempel på en variabel och (50 + 15 *

x) är ett uttryck med en variabel.” På Nivå A ser vi uppgifter som där vi kan tänka oss

bokstaven som en representat för ett objekt, stadie 3. Ex Johan köper x tröjor. Nivå B hittar vi även tal där bokstaven kan ha olika värde tex Ex 1. n är ett udda tal. Teckna ett uttryck för de

två följande udda talen. I del C hittar vi tal med mönster som i den nyare upplagan har blivit

ett eget kapitel. I den senaste upplagan förväntas med andra ord alla elever få undervisning om mönster medan i upplagan från 2007 bara förväntade sig att man undervisar mönster till de elever som gjorde uppgifter i del C i röd bok vilket troligtvis bara kommer att räknas av de elever som har högre kapacitet i matematik. Kapitlet fortsätter med att lägga in mer aritmetik i ekvationerna vilket kräver att eleverna går mot stadie 4. Även här tas terminologin variabler upp i introduktionen om multiplikation av parenteser på ett liknande sätt som i upplagan från 2011.

Matematikboken Y grön

Lennart Undvall, Svante Forsberg, Karl-Gerhard Olofsson, Kristina Johnsson Liber Stockholm 2007

48 De gröna och röda böckerna har ett mycket likt upplägg. Skillanden i kapitlet om variabler och uttryck är den typen av uppgifter som presenteras i del A i röd bok återfinns i del B i grön bok. Och uppgifter från del B i röd bok hamnar här i del C. Del A har mindre abstrakta uppgifter där bokstaven kan representeras av ett objekt. Uppgifter med mönster, dvs del C i röd bok återfinns inte alls.

Matematikboken Y röd

Lennart Undvall, Karl-Gerhard Olofsson, Svante Forsberg, 2002, Liber Stockholm

Ordiningen på kapitlen är ganska annorlunda och variabler kommer först i kapitel 5 negativa tal, variabler och uttryck.

5.2 Uttryck med varaibel (s209) Bokstaven x är här ett exempel på en variabel och 60x är ett uttryck med en variabel. En markant skillnad här med upplagan från 2007 är att man inte alls i samma utsträckning använder objekt för att representera bokstaven ex 1kg bananer kostar 12 kr. Exemplen är istället mer abstrakta och av typen Ida är x år. Eva är 2 år yngre. Teckna ett uttryck för hur gammal Ida är. Det är även mer textbaserade uppgifter med få bilder. I övrigt följer delarna A, B och C ungefär samma stadier som i röd bok upplaga 2007. Mönster uppgifterna ligger i del C men återkommer även i andra delar av kaptilet i del B. Detta är en tydlig avvikelse från 2007 upplagan. Att forumera uttryck med variabler fanns även i del B i röd bok vilket mång fler elever förväntas göra än i upplaga 2007. Dessutom återkommer mönster i flera delkapitel.Det finns även ett delkapitel om fomler som inte någon direkt motsvarighet i upplaga 2007 där förklaras att ”Variabler finns bland annat i formler av olika slag. ” I detta kapitel får eleven bekanta sig med formler och då tex räkna ut arean på trianglar med olika baser och höjder. Vidare i del kaptiel 5.6 hittar vi uppgifter av typen Teckna ett uttryck för omkretsen och och förenkla sedan uttrycket:

Matematikboken Z röd

2008 Lennart Undvall, Svante Forsberg, Karl-Gerhard Olofsson, Kristina Johnson. Liber Stockholm

Boken består av 6 huvud kapitel och sedan repetitionskapitel och utmanning. I kaptiel 5 där variabelbegreppet presenteras används både mönster och tydliga exempel där variablen kan Y Y

Y Y

49 vara mer än en siffra dvs den varierar. Här finns även funktioner. Det kan tyckas att om läraren följer bokens upplägg som det är tänkt så är det ganska sent att på allvar introducera ett så pass viktigt begrepp.