1
Examensarbete
15 högskolepoängVariabelbegreppet
The concept of variable
Carolin Koppenaal
Lärarutbildning:
90hp matematik/teknik gs/gy
Datum för slutseminarium 2013-01-15
Handledare: Peter Bengtsson Examinator: Leif Karlsson Lärande och samhälle
3
Sammanfattning
Syftet med detta arbete är att studera hur elevers uppfattning av variabelbegreppet utvecklas mellan årskurs 7 till 9. Internationella tester visar att svenska elever i årskurs 8 har svårt för det matematiska begreppet variabler samtidigt som skolverket har konstaterat att variabelbegreppet är viktigt för förståelsen av matematiken på gymnasienivå. Inom forskningsprojektet Concepts in Secondary Mathematics gjorde forskaren D. E. Küchemann på 1980-talet en klassificering av elevers uppfattning av variabelbegreppet. Denna klassificering i 6 stadier används av bland annat skolverket och har även använts i denna studie. Küchemann ansåg att de flesta elever i åldrarna 13-15 inte hade möjlighet att helt uppfatta variabelbegreppets korrekta innebörd, en slutsats som blivit kritiserad. Jag ville således undersöka om jag kunde klassificera och mäta en utveckling i elevers uppfattning av variabelbegreppet enligt Küchemanns stadier. Jag studerade elever i årskurs 7 till 9 och använde mig av en enkätundersökning.
Resultatet visade på en mycket tydlig utveckling av elevernas uppfattning av variabelbegreppet. I motsats till Küchemanns undersökning visade eleverna i årskurs 8 och 9 att de hade en uppfattning av variabelbegreppet som hör hemma i klassificeringens tre högre stadier. Däremot visade det sig att vara mycket svårt att klassificera uppfattningen hos de elever, övervägande från årskurs 7, som hade en uppfattning som representeras av de tre lägre stadierna. Jag anser att dessa tre lägre stadier är missuppfattningar och studiens resultat har fått mig att reflektera över hur konkretiseringar som används inom matematikundervisningen påverkar elevers förståelse.
5
Innehåll
Sammanfattning 3
1 Inledning 7
1.1 Syfte och frågeställningar 7
2 Litteraturgenomgång 9
2.1 Begreppsbildning 9
2.2 Variabelbegreppets betydelse 10
2.3 Klassificering av variabelbegreppet enligt Küchemann 11
2.3.1 Stadier av elevuppfattningar 11
2.3.2 Begränsningar enligt Küchemann 14
2.4 Forskning som mäter utveckling av elevers uppfattning av variabler 14
2.4.1 MacGregor & Stacey 14
2.4.2 Hunter 15
2.4.3 Variabelbegreppet genom mönster och programmering 16
2.5 Slutsatser från litteraturgenomgången 16
3 Metod och genomförande 17
3.1 Metod och tidplan 17
3.2 Reliabilitet och urval 19
3.2.1 Urval 19
3.2.2 Reliabilitet och validitet 19
3.3 Etiska aspekter 21
3.4 Analysmetod 21
3.4.1 Frågor från tidigare forskning 22
3.4.2 Analys och klassificering per fråga 23
3.4.3 Kontrolluppgifter 24
6
3.4.5 Förväntningar 28
4 Resultat 30
4.1 Analys av metod 30
4.1.1 Analys av bortfall och svarsfrekvens 30
4.1.2 Analys av kontrolluppgifter 31
4.2 Analys av forskningsfråga 32
4.2.1 Utmaningar i analysen 33
4.2.2 Analys av läromediet 35
5 Slutsats och diskussion 37
6 Referenser 40
Bilaga A Diagnos Variabelbegreppet 43
7
1 Inledning
I egenskap av blivande matematiklärare hade jag reflekterat mycket över vilka begrepp som innebär extra svårigheter inom matematiken. Jag hade under min utbildning noterat att just algebran uppfattas som svår av många elever därför beslutade jag mig för att läsa mer om detta. Mitt intresse för variabelbegreppet väcktes av licentiatuppsatsen Bokstavliga Svårigheter. I uppsatsens slutsatser sammanfattas en av de fem huvudfaktorer som påverkar gymnasieelevers algebralärande så här “God förståelse för variabelbegreppet, användningen av bokstäver samt god taluppfattning är viktiga förkunskaper, viktigare än att kunna omforma algebraiska uttryck.” (Persson, 2005). I analysrapporten av svenska elevers matematikkunskaper TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) riktas särskild uppmärksamhet mot elevers förståelse av variabelbegreppet eftersom detta ses som en viktig byggsten inom det algebraiska kunskapsområdet. I analysrapportens slutsatser konkluderas att: “Elevers olika
uppfattningar om variabelbegreppet borde vara ett centralt fortbildningsinnehåll för lärare i grundskolans senare årskurser. Rättas inte problemen med variabelbegreppet till i grundskolan kan problemen bli än större i gymnasieskolan, speciellt vad beträffar förståelsen av begreppen funktioner och grafer”.
Variabelbegreppet ska enligt läroplanen finnas med i det centrala innehållet mellan årskurs 7 och 9. ”Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler
och ekvationer.” (Skolverket, 2011) Det är med andra ord mycket relevant för en
matematiklärare på grundskolans senare år men även på gymnasiet eftersom vissa elever kan ha en uppfattning av variabelbegreppet som ger dem svårigheter med matematiken på gymnasienivån.
1.1
Syfte och frågeställningar
Syftet med denna uppsats är att studera hur elevers förståelse för variabelbegreppet utvecklas under årskurs 7-9. Målet för mig i min profession var att skapa mig en djupare kunskap av variabelbegreppet som jag sedan kan applicera i min undervisning och se elevers uppfattning av begreppet och skapa situationer som utmanar dessa uppfattningar och därmed kan lyfta dem till en högre nivå. Jag ser mitt val av problemställning som mitt första bidrag till debatten
8 om matematikundervisningen och hoppas kunna inspirera andra lärare att lägga extra vikt vid variabelbegreppet och vid hur elever uppfattar det.
Genom att jämföra elevers uppfattning av variabelbegreppet i årskurs 7, årskurs 8 och årskurs 9 kan huvudfrågan utvecklas elevers förståelse av variabelbegreppet inom Küchemanns stadier från åk 7 till åk 9 besvaras.
För att besvara denna huvudfråga måste jag besvara följande delfrågor: I vilken årskurs presenteras variabelbegreppet av läromediat?
Hur förhåller sig elevernas förståelse för variabelbegreppet till Küchemanns stadier? Finns det en utveckling av elevernas förståelse enligt Küchemanns stadier från årskurs
7 till 9?
Vilket stadium i Küchemanns klassificering motsvarar kunskapskraven i årskurs 9?
Eftersom jag utbildade mig för behörighet inom den svenska skolan vill jag lägga fokus på dessa elever. Det skulle vara intressant att dra paralleller med resultat internationellt men denna studie begränsades till elever i den svenska skolan.
Undersökningen genomfördes i början av läsåret därför kommer det inte att läggas någon vikt vid frågan om huruvida eleverna kan förväntas uppfylla kunskapskraven som ställs i slutet av årskurs 9. Resultaten kan istället för klassen och för varje enkild elev användas för att tydliggöra var de står vid detta undersökningstillfället samt att hjälpa till att belysa vad kunskapskraven är och därmed öka chansen för att eleverna når dit.
9
2 Litteraturgenomgång
2.1
Begreppsbildning
När vi kommunicerar med varandra inom matematiken såväl som inom vardaglig kommunikation använder vi oss av begrepp.
Enligt Säljö kan de begrepp vi använder ses som språkliga redskap. Vi lär oss hela tiden nya begrepp i vår vardag, som barn lärde vi oss tex begreppen boll, rund och bror. Dessa begrepp lärde vi oss troligvis som andra vardagliga begrepp genom att först använda begreppen för att senare förstå dess definition. Detta kallade Nelson för ”use before meaning” (Säljö, 2010). Vygotskij skiljde på spontana eller vardagliga begrepp och vetenskapliga begrepp. Till skillnad från de spontana begreppen ovan boll, rund och bror lär vi oss de vetenskapliga begreppen i omvänd ordning. ”Vetenskapliga begrepp möter man som språkliga termer och
genom att någon, och ofta läraren presenterar dem och ger en introduktion.” (Säljö, 2010).
Detta innebär att när matematiklärare tex introducerar “Pythagoras sats” lär eleverna sig först den verbala och abstrakta betydelsen och måste därifrån ta sig till den konkreta.
Risken i skolan är att man stannar vid den verbala, abstrakta betydelsen som lätt glöms bort eller blir till missförstånd. När missförstånd skapats måste vi skapa ett ackomodativt lärande för skapa nya mentala scheman. Illeris (2007) tar upp att det inte bara behövs extra motivation för att släppa de scheman man har skapat utan att man även behöver en trygghet för att våga släppa taget om det välbekanta. Det är med andra ord mycket viktigt att matematiklärare uppmärksammar elevers uppfattning av olika begrepp och utmanar uppfattningar som inte är korrekta.
Eftersom matematiken är abstrakt är det vanligt att man konkretiserar när eleverna ska abstrahera något nytt, dvs förstå idén. Man försöker i undervisningen att utgå ifrån något som redan är bekant för eleverna. Det kan vara en bekant situation, en metafor eller något material som används för att göra idén konkret för eleverna. Exempel på konkretiseringar är att tänka sig termometern för att förstå negativa tal. Det vill säga att tänka sig 2-(-3) som att temperaturen faller från 2C till -3C. Många konkretiseringar har begränsningar. Att använda objekt som tex frukter för att konkretisera ekvationer fungerar bra vid addition tex 5 bananer + 4 äpplen + 2 bananer blir 7 bananer och 4 äpplen men när man ska förklara multiplikation fungerar konkretiseringen inte längre. Vad blir 2 bananer * 3 äpplen? Därför är det, enligt
10 Löwing, viktigt att så snart eleven tagit till sig idén och förstått strukturen ska han/hon så fort som möjligt lämna metaforen och arbeta formellt. Om eleven fortsätter att använda metaforen kan det begränsa elevens möjlighet till djupare inlärning. (Löwing, 2006).
Begreppsutvecking är även nödvändig för att ett aktivt deltagande i undervisningen ska vara möjlig. Diskussionerna i klassrummet och de övningar eleven gör på egen hand måste ske i den närmaste utvecklingszonen (Persson, 2005). Vygotskij definierade den närmaste utvecklingzonen som ”..avståndet mellan den verkliga utvecklingsnivån eleven befinner sig
på (som visar sig vid självständig problemlösning) och nivån på den möjliga utveckling som skulle kunna vara för handen genom en problemlösning under den vuxnes ledning eller i samarbete mellan andra elever som kommit längre (”more capable peers”)” (Dysthe, 1996).
Med andra ord representerar den närmaste utvecklingszonen avståndet mellan den nivån där elever befinner sig just nu och elevens nuvarande potential. Inom undervisningen ska eleven stöttas att utvecklas i sin utvecklingszon. Om uppgiften däremot är svårare än elevens potential eller om uppgiften är för enkel leder det enligt Dysthe lätt till frustration och irritation.
2.2
Variabelbegreppets betydelse
Vart fjärde år deltar Sverige i den internationella undersökningen i matematik och naturvetenskap Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS). Studien genomförs i årskurs 4 och 8 och möjliggör jämförelser mellan länder och ger också information om förändringar i kunskap över tid inom de områden undersökningen mäter (Skolverket 2008). Den senaste TIMSS undersökningen genomfördes 2011 men eftersom resultatet inte publiceras förrän december 2012, dvs efter denna studie, har jag använt reslutaten från TIMSS2007 istället.
I analysen av resultaten från TIMSS2007 (Skolverket 2008) konstaterar man att en korrekt uppfattning av variabeln, dvs att variabeln samtidigt betecknar många tal eller oändligt många tal, har visat sig underlätta elevers förståelse av funktioner och grafer. Inom algebran rapporterar Skolverket (2008) att just variabelbegreppet är det största problemet:
11
”Det utan tvekan största problemet är emellertid elevernas förståelse av variabelbegreppet. Många testuppgifter blev extra svåra att lösa beroende på, att de inblandade variablernas betydelse inte förstods korrekt. Eleverna exponerade vanliga sätt att missförstå variabelbegreppet, såsom icke-symbolisk representation, sifferrepresentation, additiv representation samt konkret objektsrepresentation. Dessutom hade eleverna svårigheter att identifiera de två sätten att förstå variabeln, som tillhör kategorierna speciellt okänt tal och generaliserat tal, med hjälp av kontexten. Vanligen uppfattade eleverna variabeln, som ett speciellt okänt tal och inte som ett generaliserat tal.”
2.3
Klassificering av variabelbegreppet
enligt Küchemann
2.3.1 Stadier av elevuppfattningar
Inom forskningsprojektet Concepts in Secondary Mathematics and Science [CSMS] (Hart, 1981) genomförde D. E. Küchemann en studie av elevers uppfattning av bokstäver inom matematiken och klassificerade dessa i olika stadier. Dessa stadier används både i Sverige och internationellt och även skolverket gör det i sin analys av TIMSS resultaten 2007. Samma stadier kommer att användas för att studera elevers uppfattning av variabelbegreppet i denna studie. Stadierna är:
1) Bokstaven tilldelas ett värde 2) Bokstaven används inte
3) Bokstaven används som objekt eller förkortning 4) Bokstaven används som ett specifikt, okänt tal 5) Bokstaven används som ett godtyckligt tal 6) Bokstaven används om en variabel
Bokstaven tilldelas ett värde
I denna uppfattningen representeras bokstaven av en siffra. Uppgifter där det räcker att ge bokstaven ett numeriskt värde utan att utföra några räkneoperationer med den obekanta stödjer denna syn på variabel.
12
Vad är a, då a + 5 = 9?
Denna uppfattninng stöds av metoder som ”övertäckning” och ”baklängesräkning” (Persson, 2005) Denna uppfattning kan skapa problem vid utelämnande av multiplikationstecken (Skolverket, 2008) till exempel 2b, om b = 8. När bokstaven tilldelas ett värde och multiplikationstecknet utelämnas kan 2b bli talet 28 istället för 2 gånger 8.
Trots missuppfattningarna det kan innebära kan man med denna uppfattning lösa mer utmanande uppgifter som Vad är r om r = s + t och r + s + t = 30.
Bokstaven används inte
I det här fallet ignoreras variablerna och bokstäverna ges ingen betydelse alls. Uppfattningen kallas även icke-symbolisk representation.
a + b + 2, då a + b = 43?
I denna uppgiften kan eleven eliminera a + b och på så sätt få svaret 45.
Icke-symbolisk representation kan skapa probelm om eleverna ignorerar variabeln så att bara koefficienterna framför har en betydelse. Då kan till exempel 5x+3x bli 8 istället för 8x.
Bokstaven används som objekt eller förkortning
Här uppfattas bokstaven som ett konkret objekt eller en förkortning. Det är en begreppsmodell som är vanlig för att konkretisera addition av variabler.
5 tändstickor + 3 tändstickor eller 5a + 3b + 2a där a är äpplen och b är bananer
I första fallet är det lätt att lägga ihop till 8 tändstickor. I andra blir det tydligt att man ska addera äpplena och bananerna för sig så att det blir . Problemet med den här uppfattningen blir tydligt om vi istället för addition använder oss av multiplikation som i . Hur ska eleven tänka nu? 5 äpplen multiplicerat med 3 bananer? Eftersom den här multiplikationen inte har någon begreppslig betydelse hjälper den inte eleven till förståelse. (Skolverket 2008).
En uppfattning som ser bokstäverna som en förkortning av ett ord förstärks när man i undervisningen använder förkortningar tex vinkeln vi kallar den V. Beskrivning av omkretsen av en femhörning med sidorna h, h, h, h och t kan då få omkretsen 4h,t dvs en uppsamling av objekt istället för det korrekta (Hart, 1982). Ändå kan man med hjälp av denna uppfattning, enligt Küchemann, lösa vissa ganska abstrakta problem som tex .
13
Bokstaven används som ett specifikt, okänt tal
Skillnaden mellan detta stadium och de tre tidigare är att när man uppfattar bokstaven som ett specifikt, okänt tal så kan man utföra matematiska operationer dvs räkna med talet även när det är okänt. Addera 4 till 3n blir mycket enkelt 4+3n. Detta kan uppfattas som mycket enkelt men Küchemann (Hart, 1982) konstaterade att vissa elever inte kunde se detta som ett svar utan fortsatt att felaktigt addera 4+3n blir 7 eller 7n.
Bokstaven används som ett godtyckligt tal
När bokstaven uppfattas som ett godtyckligt tal dvs det representerar samtidigt många tal eller oändligt många tal snarare än ett specifikt tal.
Vad kan du säga om c , då c + d = 10, och c är mindre än d?
Den här uppfattningen har visat sig underlätta elevers förståelse av funktioner och grafer (Skolverket, 2008).
Bokstaven används som en variabel
I det sista stadiet används bokstaven som en variabel. Uppfattningen ska inte “bara” innebära som i stadium 5 att bokstaven kan representera en mängd olika värden. I stadium 6 ska man dessutom uppfatta när det finns mer än en relation eller ett systematisk förhållande mellan värden, tex x är större än y när y är mindre än 5. Küchemann (Hart 1982) menar att det kan vara svårt att tolka stadie 6 eftersom man ofta kan använda sig av en uppfattning från lägre stadier för att lösa uppgifter av denna typ. Ett exempel på uppgift som tydligt visar stadie 6 är:
Vilket är störst 2n eller n + 2? Förklara.
Tanken bakom denna uppgift är att se om eleverna uppfattar att den relativa storleken på de båda uttrycken är beroende av värdet på n.
Küchemann definierade de tre första stadierna som lägre i begreppsuppfattning. Han konstaterade att största delen av de 13-15-åringarna som deltog i hans studie inte klarade av att konsistent använda uppfattning 4 och 5 (MacGregor & Stacey, 1997).
14
2.3.2 Begränsningar enligt Küchemann
I CSMS projektet konstaterades att de flesta 13-15 åringar hade en uppfattning av variabelbegreppet som motsvarar de tre lägre stadierna. Man drog paralleller med Piagets kognitiva utvecklingsstadier och drog slutsatsen att barn under den första delen av de formella operationernas stadium, dvs i 12-15 årsåldern inte kunde klara av att uppfatta en variabel som ett godyckligt tal eller till och med som ett specifikt okänt tal (Küchemann, 1978). Denna slutsats har fått mycket kritik och vi ska nu se resultaten av forskningsprojekt som påvisar motsatsen.
2.4
Forskning som mäter utveckling av
elevers uppfattning av variabler
2.4.1 MacGregor & Stacey
Forskare Mollie MacGregor & Kaye Stacey testade Küchemanns klassificering på 200 elever i åldrarna 11-15 från 24 olika Australiensiska skolor. De visade att de yngsta eleverna som hade fått lite eller ingen undervisning i algebra tolkade variabeln som ett okänt tal, som en förkortning av ett ord eller som en representant för de nummer bokstaven har i alfabetet dvs a=1, b=2, osv. Dessa uppfattningar motsvarar Küchemanns klassificering Bokstaven tilldelas
ett värde respektive Bokstaven används som objekt eller förkortning.
De elever som såg bokstäver som förkortningar kunde tolka frågeställningar där bokstaven kunde ses som en förkortning tex L för längd.
Daniel är 10 cm längre än Per. Pers längd är L cm. Vad kan du säga om Daniels längd?
Däremot kunde samma elever få problem med bokstaven x i nästa exempel. (MacGregor & Stacey, 1997)
Lisa är x cm kortare än Anna. Anna är 150 cm lång. Vad kan du säga om Lisas längd?
I denna undersökning konstaterade man att man med rätt undervisning kunde få eleverna till att uppfatta variabeln som ett specifikt okänt tal, dvs Küchemanns fjärde nivå, på bara 8
15 veckor. Forskarna reflekterar dock att de inte kunde dra några slutsatser om till vilket djup eleverna förstod variablers använding i algebra.
2.4.2 Hunter
På Nya Zealand genomförde forskaren Jodie Hunter (Hunter, 2010) ett undervisningsexperiment på yngre elever. Under 3 månader fick elever som endast var 9-11 år gamla genomföra gruppdiskussioner för att utveckla en förståelse för algebra och variabler.
Eleverna gjorde ett test före och ett test efter undervisningsperioden. Under testet som gjordes före undervisningen visade eleverna liknande resultat som vid MacGregor & Staceys forskning. De flesta eleverna gissade eller hittade på ett värde till den obekanta, dvs i Küchemanns klassificering, bokstaven tilldelades ett värde. De visade även på missuppfattningar som att en enkel bokstav bara kan representera ett ental, vilket leder till att 2b felaktigt blir 26 när b=6.
Undervisningen dominerades av gruppdiskussioner om hur olika problemställningar kan beskrivas med algebra. Eleverna fick diskutera likheter och skillnader när ekvationen ändrades för att skapa en förståelse för hur uttrycken kunde variera och därmed en förståelse för algebrasika uttryck och variabler. I undervisningen tog man även tid för konfrontation av missförstånd som tex att en enkel bokstav bara kan representera ett ental och att två olika bokstäver i en ekvation inte kan representera samma tal.
Testen bestod av frågor som till exempel Teckna ett uttryck för:
Jag har några pennor sen får jag 3 till och sen ytterligare 2.
Dessa frågor besvarades korrekt av cirka 20% av eleverna på förtestet och sen av ungefär 90% av dem efter undervisningen. Testgruppen här var liten men resultaten visar dock att även unga elever (9-11 år) relativt snabbt, på tre månader, kan få en mer korrekt uppfattning av variabelbegreppet.
16
2.4.3 Variabelbegreppet genom mönster och programmering
Andra metoder som testas för att underlätta elevers uppfattning av variabelbegreppet även i yngre åldrar är att använda sig av mönster eller enkel programmering.
I Australien gjorde man på 1990-talet en satsning för att flytta tyngdpunkten i algebraundervisningen från färdighetsträning och manipulation av algebraiska uttryck och ekvationer till förståelse av logiken bakom manipulationerna, hur man uttrycker idéer och matematiska modeller algebraiskt (Häggström 1995). För att åstadkomma detta har man satsat på att utveckla elevernas uppfattningar av betydelsen av bokstavssymbolerna mot en god förståelse av variabelbegreppet. Man konstaterade även att det krävdes tidigare studier av mönster och ordning. För att träna variabler med hjälp av mönster krävs dock, enligt MacGregor & Stacy, en uppfattning att variabeln är ett godtyckligt tal. Resultaten från TIMSS 2007 visar att svenska elever är ovana vid mönstertänkande. (Skolverket, 2008)
En metod som testats för att öka elevers förståelse för variabler är genom programmerings språket Logo. Dess styrka pekas ut att vara att programmeringen stärker förståelsen att en ekvation beskriver ett samband mellan variablerna (Noss, 1986 ). Att ge yngre elever utmaningar som kräver stadie 5 skulle kunna ses som motsägelsefullt men det är, för mig, en intressant tanke att detta kanske rent av kan vara nycklarna för att kunna introducera begreppet tidigare.
2.5
Slutsatser från litteraturgenomgången
Även om det idag är mer än 30 år sen CSMS projektet och Küchemanns klassificering genomfördes används den än idag relativt okritiserad både i Sverige och utomlands när man diskuterar variabelbegreppet i undervisningen. Däremot har Küchemanns slutsats att barn under en viss ålder inte kan uppfatta eller förstå variabler enligt de högre stadierna kritiserats. De två forskningsprojekt som tas upp i litteraturen motvisar just detta. I dessa två projekt uppvisar eleverna precis som i CSMS projektet en förståelse som stämmer överens med de lägre stadierna men både MacGregor & Stacey och Hunter lyckas på bara några månader utveckla elevernas uppfattning. Detta antyder att elevernas förmåga att förstå variabelbegreppet snarare är beroende av undervisningen än av deras kognitiva utveckling som Küchemann menar.
Diskussionsgrupper, mönster och enkel programmering tas upp som metoder för att utveckla variabelbegreppet i tidigare åldrar.
17
3 Metod och genomförande
Min pedagogiska grundsyn är givetvis en viktig förutsättning i denna studie. Ytterligare prägel sätter givetvis min erfarenhet från privata näringlivet samt min syn på hur jag vill att mina egna barns lärare ska möta, stödja och stimulera dem. Min kunskapssyn utvecklades mycket under mina studier till lärare och stämmer väl överrens med socialkonstruktivismen och tankar om att individen skapar sin egen begreppsvärld i samspel med andra människor.
3.1
Metod och tidplan
Eftersom denna studie är definierad av kursplanen och endast har getts 15 hp vilket motsvarar 10 veckors heltidsstudier har tiden satt mycket starka begränsningar på studien.
Eftersom variabelbegreppet visat sig vara viktigt under studierna på gymnasisenivå men ska grundläggas under grundskolans senare år föll det sig naturligt att studera hur elevernas uppfattning av variabelbegreppet utvecklas eller förändras från årskurs 7 till 9.
Frågeställningen grundar sig i en hermeneutisk fråga eftersom jag utgick från att jag har en förmåga att förstå elevernas förståelse. För att uppskatta elevernas förståelse används Küchemanns stadier som definieras i kaptiel 2.3.1. Vidare har jag med ett positivistiskt och faktamässigt perspektiv studerat hur elevernas förståelse utvecklas från årskurs 7 till 9. Eftersom tyngdpunkten i den här studien ligger i analysen skulle ett gestaltande arbete ta för mycket av den tillgängliga tiden.
De metoder som jag framförallt övervägde var litteraturstudie med metaanalys eller en empirisk undesökning. I en metaanalys skulle jag har studerat vetenskapliga publikationer och litteratur inom matematikdidaktik och därifrån dra slutsatser om utvecklingen av variabelbegreppet från årskurs 7 till 9. Risken med denna metod är att det inte är möjligt att jämföra de resultat som presenteras och att det inte går att dra paralleller med det svenska skolsystemet. I en empirisk undersökning blir urvalet mer begränsat men eftersom jag med en empirisk undersökning har möjlighet att utgå från en svensk skola i Sverige anser jag att det är en metod som passar bäst till denna studie.
18 Studien består av fyra delar. En litteraturgenomgång, en datainsamling, en analys och klassificering av insamlade data och sedan en kvantitativ analys av den klassificerade informationen.
Del 1 Litteraturgenomgång
En kritisk genomgång av litteraturen krävs för en avhandling. Vid ett kortare projekt som detta behöver man inte vara lika ambitiös (Bell, 2005). Fokus här kommer att ligga på att definiera de nödvändiga begreppen samt att beskriva Küchemanns stadier.
Del 2 Datainsamling
För datainsamlingen togs tre olika metoder i övervägande: intervju, enkät med öppna frågor samt enkät med svarsalternativ.
Fördelen med intervjuer är att de ger tillträde till en människas värld på ett sätt som enkäter inte kan. Intervjun styrs av intervjuaren men fokus är att klargöra hur den intervjuade upplever frågan, i det här fallet variabelbegreppet. Nackdelen med intervjuer är att de är mycket tidskrävande. Inom tidsramen för denna studie kan man räkna med att man skulle hinna göra runt tio intervjuer. Respondenterna, dvs de som intervjuas, ska då tas från tre olika årskurser vilket innebär att uppfattningen av variabelbegreppet ska representeras av 2-4 respondenter per årskurs. Att använda intervju som metod här skulle därmed göra att validiteten blir mycket låg.
En enkät med öppna frågor ger möjlighet att använda ett betydligt större urval. Genom att ställa frågor inom variabelbegreppet och låta eleverna beskriva med egna ord eller visa genom matematiska samband lämnar jag helt öppet för elevernas förståelse. Det blir här ett stort arbete att tolka och klassificera elevernas svar. Efter att klassificeringen är avklarad finns data tillgänglig för den kvantitativa analysen.
Ytterligare ett alternativ är enkät med slutna frågor. I det här fallet skulle slutna enkätfrågor utgöras av frågor med flervalssvar. Eleverna väljer då ett av svaren, tex a, b,c eller d. Detta är den typ av frågor som ofta används i stora jämförelser som tex TIMSS. Genom flervalsfrågor kan man behandla många svar från ett stort antal respondenter och det finns ingen tvekan hur svaren ska tolkas. En allmän risk med flervalsalternativ är att att det blir för enformigt och att respondenterna till slut kanske svarar av slentrian (Trost, 2012). Det är även svårt att bedöma om respondentent har gissat. Det ger inte heller någon möjlighet att bedöma elevernas förmåga att tänka och resonera. (Boaler, 2011)
19 Datainsamlingen gjordes med öppna enkätfrågor under lektionstid vid ett tillfälle per klass. Utgångspunkten var med andra ord att urvalet skulle vara tillräckligt stort vid detta tillfälle.
Del 3 Analys och klassificering av insamlade data och del 4 Kvantitativ analys av den klassificerade informationen presenteras i kapitel Resultat.
3.2
Reliabilitet och urval
3.2.1 Urval
Urvalet består av olika klasser i en skola. Detta betyder att urvalet inte är slumpmässigt. Detta är givetvis en nackdel för studiens validitet. Fördelen med att studera elever från samma skola är att det är färre variabler som påverkar resultaten. Eleverna har till exempel haft samma läromedel och samma undervisande lärare vilken gör att analysen inte behöver ta hänsyn till dessa aspekter. Det är även mer tidseffektivt att arbeta på en skola och med hela klasser.
Läsåret 2011/2012 trädde den nya läroplanen i kraft. Förutsättningarna är samma för alla respondenter i studien dvs att de under ett läsår har undervisats enligt den nya läroplanen.
3.2.2 Reliabilitet och validitet
När man gör en undersökning av detta slag är det givetvis intressant att veta om resultaten går att generalisera. Därför är det viktigt att diskutera undersökningens reliabilitet och validitet. Reliabilitet kan definieras som “the extent to which research produces the same results when
replicated” (Bloor & Wood 2006).
Reliabiliteten är med andra ord huruvida en annan person som replikerade denna studie skulle komma till samma slutsats. För att säkerställa reliabiliteten är det viktigt att noggrant dokumentera både fältarbete och analys. Den delen som innebär störst risk för reliabiliteten är klassificeringen av elevernas svar. Här kommer det alltid att finnas ett utrymme för personlig tolkning som inte helt går att ta bort och detta är därför en risk som minskar reliabiliteten i denna studie. Ett alternativ för att ökar reliabiliteten hade varit att ge eleverna frågor med
20 färdiga svarsalternativ vilket görs i stora undersökningar som tex TIMSS. Eftersom jag anser att nackdelarna med färdiga svarsalternativ överväger väljer jag istället att vara mycket noggrann i dokumentationen av min klassificering av elevsvaren.
Validitet kan definieras som “the extent to which the research produces an accurate version
of the world” (Bloor & Wood). Om en frågeställning inte är reliabel, saknar den också
validitet men tvärtom följer begreppen inte varandra, bara för att reliabiliteten är hög behöver inte validiteten vara det. (Bell 2005).
Därför är det viktigt att även diskutera validiteten. Även om vissa internationella jämförelser görs i denna studie är fokus här på elever i det svenska skolsystemet, dvs inte på om resultatet representerar elever i världen utan om det representerar elever i Sverige. Alla elever i urvalet har samma undervisande lärare och följer samma läromedia.
Skolan är relativt liten med en meritpoäng som ligger över genomsnittet. En sökning i skolverkets databas SiRis visar att 2011 hade eleverna i årskurs nio ett genomsnittligt meritvärde som låg flera 10-tals poäng över det svenska genomsnittet både 2011 och 2010. (Siris)
Om vi går djupare och studerar resultaten på de nationella proven i matematik kan vi konstatera att matematik är ett ämne där skolans elever presterar över genomsnittet. Fler elever visade kunskaper från VG och MVG nivån än genomsnittet 2011 och det svenska genomsnittet hade betydligt fler elever som inte nådde målen i matematik.
Med denna information kan vi konstatera att vi inte kan utgå från att resultaten från denna studie är representativ för Sverige. Samtidigt har vi inte analyserat hur väl de nationella proven testar variabelbegreppet eller huruvida förståelse för variabler är kopplat till meritvärdet. Dessa frågeställningar ligger utanför denna studie men det hade varit önskvärt att göra undersökningen på ett antal skolor för att öka validiteten. För att få en uppfattning av hur väl just elevernas uppfattning av variabelbegreppet överensstämmer med elever i den svenska skolan kommer två uppgifter från TIMSS att användas. Detta kommer troligtvis att vara det bästa måttet på hur väl urvalet representerar svenska elever i årskurs 8 år 2007 dvs vilken validitet undersökningen har.
21
3.3
Etiska aspekter
Eftersom syftet med enkäten är dubbel ur elevernas synpunkt, dels är den en del i en undersökning och dels är den en del i deras undervisning, är det mycket viktigt att detta tydliggörs. Eleverna fick personlig återkoppling från mig och sin lärare men de måste själva avgöra om deras svar får användas i undersökningen enligt samtyckeskravet. ”I
undersökningar med aktiv insats av deltagarna skall samtycke alltid inhämtas.”
(Vetenskapsrådet)
Dessutom ska det vara tydligt för eleverna att de enkätsvar som är med i undersökningen kommer att behandlas konfidentiellt. Eftersom både jag och elevernas matematiklärare tog del av svaren är inte enkäterna anonyma då anonymitet betyder att inte ens forskaren själv ska veta vilka svar som angivits av vilken respondent. (Bell, 2005). Däremot fick eleverna ett löfte att arbetet inte skulle presenteras på ett sådant sätt att deras individulla resultat kan identifieras. Eftersom syftet var att leta efter samband i elevernas uppfattningar var fokus under analysen att finna på den typen av svar som flera elever gett. Om metoden hade varit av intervjuform med djupare analyser av enskilda respondenters svar hade det funnits orsak till att fundera på om det var möjligt att ge ett löfte angående konfidentialitet. Risken hade då varit att eleverna hade känt igen sig och varandra i rapporten.
3.4
Analysmetod
Processen som används för att klassificera och analysera data visas här nedan. Vid konstruktionen av enkäten användes frågor från den forskning som återfinns i litteraturstudien. Efter datainsamlingen analyseras först resultaten per fråga och kodas i ett kalkylblad. Sist i processen analyserade jag på individnivå för att kunna jämföra med tidigare forskning.
Frågor från
tidigare
forskning
Analys och
klassificering
per fråga
Analys och
klassificering
på individ-nivå
22
3.4.1 Frågor från tidigare forskning
Enkäten består av 11 frågor som kommer från de undersökningar och forskningsprojekt som refereras till i detta arbete. Två är kontrollfrågor som är tagna ur TIMSS2007, två kommer från MacGregor & Staceys forskning, en är Löwings förslag för att testa mönster och resten är alla direkt från Küchemanns klassificering. Vid analysen gick jag först igenom alla svar per fråga dvs först fråga 1 på alla enkäter sen från 2 etc.
Frågorna och dess klassificering sammanfattas i Tabell 3 Enkätuppgifter med analys/klassificeringsmall. Enkäten finns även i sin helhet i Bilaga A.
Eftersom jag ville klassificera respondenterna i Küchemanns stadier valdes enkätfrågorna med tanke på detta. Här följer mer detaljerad information om urvalet av frågor.
Stadie 1. Bokstaven tilldelas ett värde testas i uppgift 1 och 2 . Uppgift 1 kan eleverna klara om de uppfattar bokstaven som i stadie 1 men denna uppfattning kan ge problem med uppgift 2.
Stadie 2. Bokstaven används inte kan upptäckas i uppgift 3 som även är en kontrolluppgift.
Stadie 3. Bokstaven används som objekt eller förkortning kontrolleras i tre uppgifter. Uppgift 4 och 6 samt i uppgift 5. Uppgift 4 och 6 är relaterade till varandra. En elev som klarar uppgift 4 men inte uppgift 6 ser troligtvis bokstaven som en förkortning. Om eleven ser bokstäverna som objekt blir de svårt att lösa uppgift 5.
Stadie 4. Bokstaven används som ett specifikt, okänt tal För att lösa uppgift 7 krävs att eleven klarar av att se bokstaven enligt stadie 4. I uppgift 9 kan två av svarsalternativen tyda på en negativ effekt av stadie 4.
Stadie 5. Bokstaven används som ett godtyckligt tal Denna uppfattning krävs för att skapa godtagbara lösningar på uppgift 8, 9 samt 10. Uppgifterna testar dock bokstaven i olika samband, som mönster, funktion och ekvation.
23 Stadie 6. Bokstaven används om en variabel. Denna uppfattning krävs för att klara uppgift 11.
3.4.2 Analys och klassificering per fråga
När data var insamlat gjordes en analys per fråga. Genom att inte notera vilken respondent som svarar utan bara fokusera på frågan minskar risken att den som går igenom svaren lägger in värderingar från tidigare frågor i sin bedömning. Enkäterna kopierades och numrerades utan namn för att få en så neutral bedömning som möjligt.
Svar på varje uppgift kodades som: Lösning godtagbar
Lösning icke godtagbar Inget försök till lösning
Dessutom kommer svaren att kodas som: Negativ effekt stadie 1 Negativ effekt stadie 2 Negativ effekt stadie 3 objekt Negativ effekt stadie 3 förkortning Minimum stadie 4
Minimum stadie 5 mönster Negativ effekt stadie 4 Minimum stadie 5 funktion Minimum stadie 5 ekvation Minimim stadie 6
Med negativ effekt av ett stadium menar jag att eleverns uppfattning leder till en missuppfattning. Till exempel 5x+3x bli 8 istället för 8x för att bokstaven inte används som i stadie 2.
24
3.4.3 Kontrolluppgifter
Två uppgifter från TIMSS2007 kommer att användas för att jämföra resultaten. I denna enkät är det uppgifterna 3 och 9. Dessa är de enda frågor som har flervalsalternativ.
Uppgift 3
TIMSS2007 visar att ungfär två tredjedelar av eleverna i årskurs 8 lämnade ett korrekt svar på uppgift 3. I rapporten konstateras att båda svarsalternativ a. och c. kan ha sin grund i uppfattningen, icke-symbolisk representation, vilken leder till, att bara koefficienter adderas, 4+7-2=9 samt 4x-x=4 Svarsalternativ Resultat TIMSS2007 Kommenatar a. 9 4,5% Tyder på stadie 2 b. 9xy
c. 4+5y 18,5% Tyder på stadie 2
d. 3x+5y 61,0% Korrekt svar
Tabell 1 TIMSS-resultat på kontrolluppgift 3
Uppgift 9
I TIMSS2007 konstaterades att ett typiskt misstag var, att eleverna inte tycks ha kontrollerat att alla talpar satisfierade sambandet utan endast ett. (svarsalternativ b och d). “Detta tyder
på, att de flesta elever inte tycks vara medvetna om, att samtliga talpar i tabellen behöver kontrolleras. Denna brist på medvetenhet kan ha sin grund i en förståelse av variabelbegreppet som är typisk för kategorin specifikt okänt tal. Om variabeln ses som ett specifikt okänt tal, så är det omöjligt för eleverna att förstå, att variablen skulle kunna anta fler än ett värde.”
25 Svarsalternativ Resultat
TIMSS2007
Kommenatar
a y = x + 4 12,1%
b. y=x+1 26,9% Tyder på stadie 4
c. y=2x-1 32,1% Korrekt svar
d. y=3x-2 8,9% Tyder på stadie 4
Inget svar 20,0%
Tabell 2 TIMSS-resultat på kontrolluppgift 9
3.4.4 Enkätfrågor och dess klassicering
Nedan är frågorna i enkäten organiserade i en tabell. Enkäten visar nummer på frågan, frågeställningen och slutligen syftet med frågan samt hur svaren ska tolkas.
Fråga Frågeställning
Analys/Klassificering
1. x, då x + 5 = 9 Stadie 1.
Godtagbart lösning är x=4 eller ett resonemang som ger samma slutsats.
2. 2b, om b = 8 Möjlighet att upptäcka negativ effekt av stadie 1 tex om 2b blir 28.
Godtagbart svar visar att uttrycket står för 2 stycken b dvs eller 3. Vilket alternativ motsvarar 4x – x + 7y
– 2y?
a. 9 b. 9xy c. 4+5y d. 3x+5y
Kontrolluppgift med möjlighet att upptäcka negativ effekt av stadie 2. Godtagbart svar är d. Fler än ett svarsalternativ är inte godtagbart occh har för jämförelsen med TIMSS klassats som inget försök till lösning.
26
Fråga Frågeställning
Analys/Klassificering
4. Daniel är 10 cm längre än Per. Pers längd är L cm. Vad kan du säga om Daniels längd?
Jämför uppgift 6. Möjlighet att upptäcka stadie 3. Godtagbart svar har ett uttyck med L och 10 dvs . Att upprepa frågeställningen ”Daniel är 10 cm längre än Per” är inte godtagbart.
5. Vad kan du säga om 5ab om a=2 och b=3?
Möjlighet att upptäcka stadie 3
Godtagbar lösning visar att det är en produkt av tre tal 5, 2, 3
Icke godtagbar lösning
523 tyder på negativ effekt av stadie 1 5*2+5*3 tyder på negativ effekt av stadie 3
6. Lisa är x cm kortare än Anna. Anna är 150 cm lång. Vad kan du säga om Lisas längd?
Jämför uppgift 4. Möjlighet att upptäcka stadie 3
Godtagbart svar har ett uttyck med 150 och x dvs . Att upprepa frågeställningen ” Lisa är x cm kortare än Anna” är inte godtagbart, inte heller att vända på termerna .
7. Skriv ett uttryck för eller förklara med ord: addera 5 till n, multiplicera sen med 4
Möjlighet att upptäcka stadie 4 Godtagbara svar visar förståelse för att det är möjligt att räkna med en variabel. Korrekt användning av parentes krävs ej. Godtagbara svar:
Icke godtagbart:
27
Fråga Frågeställning
Analys/Klassificering
8. Tänk dig att du formar en stege med tändstickor. I bilden ser vi att du behöver 11 tändstickor till en stege med 3 stegpinnar.
Hur många tändstickor behöver du till en stege med:
a. 5 stegpinnar b. 10 stegpinnar c. n stegpinnar Förklara hur du tänker.
Eleven klarar att göra en verbal beskrivning av mönstret och kan se bokstaven som ett godtyckligt tal. Stadie 5
Deluppgift a och b kan ses som övningar för att hjälpa till att förstå mönstret. Godtagbara svar är 17 tändstickor på a och 32 på b. För att klara uppgiften måste även ett godtagbart svar lämnas på deluppgift c. Detta svar ska vara eller en verbal beskrivning med samma innebörd.
9. 2. Tabellen nedan visar ett samband mellan x och y.
Vilken av följande ekvationer uttrycker detta samband? a. y = x + 4 b. y = x + 1 c. y = 2x - 1 d. y = 3x - 2 x 1 2 3 4 5 y 1 3 5 7 9
Kontrolluppgift med möjlighet att upptäcka negativ effekt av stadie 4. Godtagbart svar är c. Fler än ett svarsalternativ är inte godtagbart occh har för jämförelsen med TIMSS klassats som inget försök till lösning.
28
Fråga Frågeställning
Analys/Klassificering
10. Vad kan du säga om c, om c + d = 10, och c är mindre än d?
Krävs stadie 5.
Godtagbara svar visar att bokstaven kan anta fler än ett värde tex:
c<5
en systematisk lista (1, 2, 3, 4) c=10-d
Ej godtagbara svar visar tex bara ett värde c=4
11. Vilket är störst 2n eller n + 2? Förklara.
Krävs stadie 6.
Godtagbar svar visar både vilket uttryck som är störst och att det finns en restriktion, dvs 2n är större under restriktionen n>2. Ett skriftligt resonemang som visar båda kriterierna är också godtagbart tex Det beror på vad n är. Om n är 3 så är 2n störst...osv Tabell 3 Enkätuppgifter med analys/klassificeringsmall
3.4.5 Förväntningar
Många påstår att den svenska matematik undervisningen framförallt av består av enskild räkning. Därför antog jag att en del av eleverna skulle ha svårighet att förklara hur de tänker.
I slutet av årskurs 6 ska eleverna ha fått undervisning om ”Obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol.” (Skolverket, 2011). Därför förväntade jag mig att de flesta eleverna skulle klara uppgift 1. Jag antog att många av eleverna i årskurs 7 skulle använda sig av så kallad ”övertäckning”. De övriga uppgifterna förväntade jag mig att eleverna i årskurs 7 skulle ha svårigheter med eftersom detta främst tillhör läroplanens centrala innehåll för årskurs 7-9.
29 Eftersom skolans elever ligger över medel i resultat på nationella prov i matematik förväntade jag mig att eleverna i åk 9 skulle att ha minst lika hög procent korrekta svar på kontrolluppgifterna som medelvärdet i Sverige.
30
4 Resultat
4.1
Analys av metod
4.1.1 Analys av bortfall och svarsfrekvens
Det totala antalet elever som fyllde i enkäten var 52 och detta antal var ganska jämnt fördelat över klasserna. I enkäten fanns det möjlighet att kryssa i att man inte vill delta i denna forskning. De elever som valde att inte delta utgör bortfallet och deras resultat är helt exkluderat ur analysen.
Med hjälp av bortfallet kan vi räkna ut svarsfrekvensen som är antalet erhållna svar i förhållande till antalet möjliga svar, dvs antal respondenter delat med antal närvarande elever vid datainsamlingstillfället i procent.
Antal närvarande elever vid datainsamlingstillfället.
Bortfall Svarsfrekvens Antal
respondenter
Åk 7 18 7 61% 11
Åk 8 17 3 82% 14
Åk 9 17 2 88% 15
Sammanlagt 52 12 77% 40
Tabell 4 Resultat, bortfall och svarsfekvens
Det faktum att det finns ett bortfall gör att vi har säkerställt att det var tydligt för eleverna att det var frivilligt att delta i undersökningen trots att alla elever gjorde själva testet. Detta är viktigt ur etisk synvikel och diskuteras i kapitel 3.3. Bortfallet är betydligt större i årskurs 7 jämfört med de övriga årskurserna och skulle kunna indikera att bortfallet beror på osäkerhet hos elever, dvs en känsla av att uppgifterna är för svåra. Möjligtvis skulle detta samband kunna hittas om vi tagit hänsyn till individernas betyg men eleverna i årskurs 7 har ännu inte fått några betyg eftersom den nya skollagen SFS 2010:2022 tillämpas först i utbildningen höstterminen 2012 (Svensk författningssamling, 2010). Den totala svarsfrekvensen var 77%.
31
4.1.2 Analys av kontrolluppgifter
Respondenternas resultat på kontrolluppgifterna jämfört resultatet på samma uppgifter i TIMSS 2007 presenteras två tabeller nedan.
Svarsalternativ Resultat TIMSS2007
Resultat åk 7 Resultat åk 8 Resultat åk 9
a. 9 4,5% 45% 0% 0%
b. 9xy 9% 0% 0%
c. 4+5y 18,5% 9% 0% 7%
d. 3x+5y 61,0% 0% 64% 93%
Tabell 5 Resultat på kontrolluppgift 3
Svarsalternativ Resultat TIMSS2007
Resultat åk 7 Resultat åk 8 Resultat åk 9
a y = x + 4 12,1% 18% 0% 0%
b. y=x+1 26,9% 36% 14% 33%
c. y=2x-1 32,1% 0% 14% 53%
d. y=3x-2 8,9% 18% 0% 0%
Inget svar 20,0% 27% 71% 13%
Tabell 6 Resultat på kontrolluppgift 9
Först och främst kan vi konstatera att eleverna i årskurs 9 presterar över TIMSS resultaten och enligt förväntningarna skulle de prestera minst lika bra.
Ur Tabell 5 kan vi avläsa att urvalet i årskurs 8 överensstämde mycket bra med TIMSS2007 på fråga 3. På fråga 9 visar Tabell 6 däremot inte alls samma överrensstämmelse. TIMSS genomfördes under vårterminen och denna undersökning gjordes under höstterminen. Man kan därför resonera runt vilka elever som är mest relevant att jämföra med. Därför gjordes ett medelvärde av alla elever i årskurs 8 och 9 i urvalet. Resultatet visas här i Tabell 7.
Fråga 3 Fråga 9 Svarsalternativ Resultat TIMSS2007 Resultat åk 8 och åk 9 Svarsalternativ Resultat TIMSS2007 Resultat åk 8 och åk 9 a 9 4,5% 0% a y = x + 4 12,1% 0 % b. 9xy 0.0% b. y=x+1 26,9% 24.1 %
32 Tabell 7 Resultat kontrolluppgifter med urval åk 8 och åk 9 kombinerat
Man ser att med ett medelvärde att eleverna i årskurs 8 occh 9 stämmer resultaten ganska väl överrens på de två mest frekventa svarsalternativen på fråga 9. Däremot är det fler i urvalet som valt korrekt svarsalternativ på fråga 3. Urvalet är då inte markant starkare än kontrollgruppen TIMSS2007 speciellt inte på den kontrolluppgift som kräver att den okända ses som ett godtyckligt tal dvs stadie 5. Detta innebär i sin tur att validiteten på undersökningen är godtagbar, vilket diskuteras i kaptiel 3.2
4.2
Analys av forskningsfråga
En stor del av data ser ut som förväntat. Alla i urvalet har en godtagbar lösning på fråga 1 och lösningsfrekvensen på de övriga frågorna ökar mellan årskurserna. Det går även att utläsa att uppgifterna blir mer komplexa i andra halvan även om resultaten varierar något och till exempel fråga 10 har betydligt högre lösningsfrekvens än de andra frågorna som testar de senare stadierna av variabeluppfattning.
Vid en första analys av data konstaterades några avvikanden:
1. På fråga 9 visade procentuellt fler elever i årskurs 7 än i årskurs 8 en godtagbar lösning.
2. Mycket få elever (totalt 20%) hade en godtagbar lösning på uppgift 5.
3. Vi kan även konstatera att inte en enda respondent visar negativ effekt stadie 3 förkortning som i MacGregor & Staceys forskning.
c. 4+5y 18,5% 3.4% c. y=2x-1 32,1% 34.5 %
d. 3x+5y 61,0% 79.3% d. y=3x-2 8,9% 0.0 %
33
Lösningsfrekvens i procent Åk 7 Åk 8 Åk 9 Alla
Elever med godtagbar lösning på uppg 1 100 100 100 100 Elever med godtagbar lösning på uppg 2 18 64 93 59
Elever med godtagbar lösning på uppg 3 0 64 93 53
Elever med godtagbar lösning på uppg 4 0 57 93 50
Elever med godtagbar lösning på uppg 5 0 21 40 20
Elever med godtagbar lösning på uppg 6 0 57 100 52
Elever med godtagbar lösning på uppg 7 0 43 73 39
Elever med godtagbar lösning på uppg 8 0 21 33 18
Elever med godtagbar lösning på uppg 9 18 14 53 29 Elever med godtagbar lösning på uppg 10 27 50 87 55 Elever med godtagbar lösning på uppg 11 0 14 33 16
Tabell 8 Procent godtagbara lösningar per årskurs
4.2.1 Utmaningar i analysen
Den svåraste delen av detta arbete var att tolka och klassificiera elevernas uppfattning av variabler.
Det visade sig vara svårt att skilja på stadie 1, 2 och 3 därför att många respondenter visade negativ effekt av mer än ett av dessa stadier. Detta gällde framförallt respondenter ur årskurs 7. För att ändå kunna klassificera svaren letade jag då efter negativa effekter i andra uppgifter där eleverna lämnat någon lösning. Svaren klassificerades sedan enligt det stadie där flest negativa effekter kunde hittas dvs den uppfattning som respondenten visade mest konsekvent.
I årskurs 8 och 9 uppkom en annan tolkningsfråga, nämligen negativ effekt visad i fråga 5. Förvånansvärt många respondenter svarade fel på uppgift 5 ”Vad kan du säga om 5ab om a=2
och b=3?” trotas att de klarde uppgift 10. Missförstånd av uppgift 5 kan tolkas som en
negativ effekt av stadie 3. Om man ser obekanta som ett objekt, som stadie 3, har inte en multiplikation av de obekanta inte någon begreppslig betydelse. För att klara uppgift 10 krävs däremot stadie 5, dvs att man uppfattar den obekanta som ett godtyckligt tal. Detta fick mig att ifrågasätta om det är möjligt att, i motsats till Küchemanns resultat, klara uppgift 8, 9, 10 och 11 men samtidigt se den obekanta som ett objekt. Som nämns i kaptiel 2.3 är det möjligt att lösa ganska abstrakta problem med uppfattningen att den obekanta är ett objekt. De uppgifter som är skapade för att testa de tre högre stadierna kan dock, enligt min mening, inte lösas med en uppfattning enligt stadie 3. Vissa av missuppfattningarna som demonstreras i uppgift 5 kom därför att ses som undantag eller att de beror på något annat. Küchemann återkommer gång på gång till att eleverna konsekvent påvisar en viss uppfattning. Eftersom
34 denna undersökning har en relativt liten omfattning finns det i vissa fall inte möjlighet att avgöra om en elev konsekvent kommer att visa samma uppfattning. Däremot var det ett antal respondenter som visade negativ effekt av stadie 1 som gjorde samma lösning på uppgift 5 dvs felaktigt får 5ab till 523 då a=2 och b=3. I dessa fall förstärks istället klassificeringen stadie 1.
En annan intressant iakttagelse kopplad till stadie 3 är att ingen respondent visade negativ effekt på grund av förkortning som beskrivs i kapitel 2.3.
Küchmann menar att parentesen är ett mycket grundläggande begrepp och menade därför att eleverna ska använda sig av en korrekt parentes på uppgifter liknande uppgift 7. Jag tycker dock att kunskapen om hur man använder parenteser inom matematiken inte är direkt kopplad till att kunna se den obekanta som ett specifikt okänt tal. Jag valde därför att notera stadie 4 på de elever som svarat 5+n*4 trots att det matematiskt korrekta är (5+n)*4. Jag menar att det intressanta är att se om elever uppfattar att 5+n*4 har en mening och därför kan vara ett svar eller en lösning. Detta val har en tydlig effekt på resultatet på uppgift 7 men ingen effekt på det övergirpande resultatet eftersom det uteslutande handlar om elever från årskurs 8 och 9 som visar en uppfattning som ligger bland de högre stadierna.
Kontrollfrågan uppgift 9 sticker ut i sifforna eftersom högre andel elever i årskurs 7 gav korrekt svar än i årskurs 8. Det var däremot ganska lätt att tolka i analysen eftersom uppgift 9 är en flervalsfråga och jag kan se att de elever som svarade rätt på den inte alls visar en uppfattning i stadie 4, 5 och 6 i de öppna frågorna så de fallen måste vara en gissning. Det var dessutom betydligt färre elever från årskurs 7 som deltog i undersökningen och därför är den procentuella andelen som visade uppfattning godtyckligt tal högre medan den faktiska andelen är lägre.
Även om klassificeringen var svår i vissa fall blev resultatet en mycket tydlig förskjutning av elevernas uppfattning för varje årskurs. En respondent i årskurs 8 gav för få svar för att kunna klassificera och dess resultat finns därför inte med i figuren nedan.
35 Figur 1 Elevers uppfattning av variabelbegreppet i olika årskurser enligt Küchemanns stadier.
Jag vill inte rangorda stadie 1, 2 och 3 men det har heller ingen effekt i den här undersökningen eftersom det är mycket tydligt att eleverna i årskurs 7 framförallt har en uppfattning som stämmer överrens med de tre lägre stadierna medan i årskurs 8 gör eleverna ett tydligt språng och de flesta ser den obekanta som ett specifikt okänt tal som man kan göra matematiska operationer med (stadie 4) eller att den obekanta dessutom kan anta olika värden. I årskurs 9 uppfattar dessutom övervägande del av eleverna att den obekanta är ett godtyckligt tal och en tredjedel av de 15 respondenterna i årskurs 9 visar dessutom en uppfattning enligt Küchemanns högsta stadium, stadie 6.
Genom de tre olika frågorna som testade stadie 5 kan man konstatera att eleverna är betydligt mer vana att använda sig av en obekant i en ekvation än i mönster samt att funktioner är ännu svårare. Med tanke på läromedlet är detta inte alls förvånande.
4.2.2 Analys av läromediet
Alla eleverna undervisas i Matematikboken, som har en version X för årskurs 7, Y för årskurs 8 och Z för årskurs 9. Efter den nya läroplanen 2011 har nya upplagor av läromediat införskaffats men eftersom undersökningen genomfördes i början av läsåret har eleverna i
36 mycket liten utsträckning använt sig av dessa. Här är en sammanfattning av analysen som presenteras mer i detalj i Bilaga B.
Åk 7
Ny upplaga i år. Det som avhandlats i år är tal och räkning. Dvs eleverna har om undervisningen följer läroboken ingen kontakt med variabler under detta läsår.
Åk 8
Har nya Y boken och har i den arbetat med bråk och procentform. Förra årskursen hade de X-boken i 2006 års upplaga. Majoriteten av eleverna borde därför ha en uppfattning i stadie 1 eller 3. De elever som har varit “snabbare” och hunnit med att räkna på bokens problemlösning borde kunna ligga på stadie 5 och 6.
Åk 9
Matematikboken Z har inte släppts i ny upplaga ännu och därför har gruppen Z upplaga 2008 som läromedel. Denna termin har man inte behandlat variabler ännu så deras kunskaper är byggda på läroboken Y 2007 dvs att de borde ha en uppfattning enligt stadie 4. De elever som hunnit räkna den svåraste delen har även tränat på att se tex mönster som kräver en uppfattning enligt stadie 5.
Variabelbegreppet presenteras som ett helt kapitel först en bit in i årskurs 9 i den upplagan eleverna har haft. Endast de elever som hunnit med att räkna de svåraste delarna har mött uppgifter som utmanar de lägre stadierna i variabeluppfattning. Däremot introducerar den nya uppdaterade versionen av läromediat variabler redan i årskurs 8.
37
5 Slutsats och diskussion
Denna studie visar en mycket tydlig utveckling av hur eleverna uppfattar variabelbegreppet från årskurs 7 till årskurs 9 när jag använder de stadier som Küchemann definierat (kaptiel 2.3.1).
Åk7: Majoriteten av eleverna i årskurs 7 tolkar den obekanta som den definieras i de tre lägre stadierna, man ersätter den obekanta med en siffra, ett objekt eller ignorerar den.
Åk 8: Först i årskurs 8 har de flesta av eleverna kommit över till de tre övre stadierna och därmed fått en uppfattning att den obekanta är ett specifikt, okänt tal som man utför matematiska operationer med, dvs att uttryck som 4*n+3 blir meningsfulla. I årskurs 8 har alltså de de flesta av eleverna kommit till stadie 4 men färre är i stadie 6.
Åk 9: I årskurs 9 har majoriteten av eleverna en uppfattning där den obekanta kan vara ett godtyckligt tal eller ett godtyckligt tal med begränsningar dvs en variabel, dvs stadie 5 och 6 enligt Küchemanns klassificering.
Detta tyder på att det är möjligt för eleverna i åldrarna 13-15 att ha en uppfattning av variabebegreppet enligt Küchemanns stadie 4-6. Detta är ett motsatt resultat mot CSMS projektet och Küchemanns slutsatser som var att de flesta barn i åldrarna 12-15 inte kan klara av att uppfatta en variabel enligt stadie 4 och 5 (kapitel 2.3.2).
Både i MacGregor & Staceys och i Hunters forskning (kapitel 2.4) konstaterades att elevernas uppfattning av variabler berodde på undervisningen istället för åldern. Vid jämförelse med läromediat konstaterades att variabelbegreppet presenteras först i årskurs 9 och eleverna hade vid undersökningstillfället inte kommit dit än. Denna studie visar alltså på att elevernas förståelse inom Küchermans stadier utvecklas trots att läromediat lägger mycket lite vikt vid variabelbegreppet.
Hur kan detta komma sig?
En mycket viktig faktor är den undervisning eleverna får som inte står i läromedlet. Dessutom har eleverna på skolan generellt ett resultat på nationella prov i matematik som ligger över medel vilket får mig att att anta att relativt många av eleverna i grupperna arbetar med de mer avancerade delkapitlen som har variabelträning.
38 Det mest utmanande i denna studie har varit att klassificera vissa elevers uppfattning enligt Küchemann stadier. Speciellt de tre lägre stadierna var svåra att skilja åt. Jag ser två möjliga orsaker till detta:
1. Det var för få frågor för att kunna analysera hur eleverna uppfattar en variabel konsekvent:
I CSMS projektet studerade Küchemann om barnen konsekvent tolkade variabeln enligt en viss uppfattning, något jag inte kan bedömma med endast 11 frågor. Även MacGregor & Stacey reflekterar över att de inte vet till vilket djup eleverna förstått variabelbegreppet och detta kan inte jag heller avgöra i denna studie. Fråga 5, där 60% av eleverna i åk 9 visar på missförstånd enligt stadie 1, är ett tydligt bevis på att det behövs en större analys för att veta till vilket djup eleverna förstår variabelbegreppet. 2. Att elevernas uppfattning inte konsekvent stämmer överrens med de olika stadier som
Küchemann definierat:
I definitionen av de olika stadierna som presenteras i kaptiel 2.3 kan jag känna igen de olika exemplena från läromedel och undervisning. Samtidigt innebär stadie 1, 2 och 3 en syn på att bokstaven kan innebära felaktigheter och dessa stadier är, enligt min mening, missuppfattningar. Jag anser att konkretisering är ett viktigt hjälpmedel i undervisningen för att eleverna ska kunna ta till sig de vetenskapliga begreppen (kapitel 2.1), men jag är skeptisk till att använda konkretiseringar som kan leda till missuppfattningar. Löwing anser att man ska presentera en konkretisering för att sedan direkt släppa den och arbeta formellt. Jag anser, efter denna studie, att vissa av de konkretiseringar som används för att förklara algebra kan vara en anledning till att det är svårt att klassificera speciellt stadier 1-3 och att eleverna hoppar emellan stadierna. Eleverna har sett olika exempel och lärt sig dem men ingen av dem fungerar vid alla tillfällen eftersom de är förenklingar som hjälper till att lösa vissa uppgifter, inte att öka förståelsen för variabler.
De tre senare stadierna var mycket lättare att hitta korrelationen med Küchemanns stadier. Dessa tre har en tydligare progression och är enligt min mening inte missuppfattningar, vilket också gör de mycket mer relevanta.
39 Tre av uppgifterna är skapade för att klassificera stadie 5. En med fokus på mönster, en på funktioner och på ekvationer. Resultatet visar att eleverna har mycket större erfarenhet av ekvationer än funktioner och mönster. Enligt läroplanens centrala innehåll ska eleverna få undervisning om”Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska
uttryck, formler och ekvationer” (Skolverket, 2011). Jag tolkar detta som Küchemanns stadie
5 men i undersökningen framkom att eleverna har betydligt svårare för mönster och funktioner än för ekvationer. Det är med andra ord viktigt att vi som lärare ser till att även dessa sätta att arbeta med variabler får uppmärksamhet.
Jag anser att det är viktigt att uppmärksamma vilka uppfattningar eleverna har för att kunna utmana dem och stödja dem att ta ett steg frammåt. Men även att undvika konkretiseringar som kan leda till missuppfattningar. Därför är jag väldigt nyfiken på de metoder som nämns i kapitel 2.4.3 där man inte tar omvägen via över de tre lägre stadierna och äpplen och päron, dvs objekt i för att förstå variabler.
Ett exempel på fortsatt forskning är att ställa frågan: Påverkas elevernas uppfattning av
variabler enligt Küchemanns stadier positivt, negativ eller inte alls av att man börjar med att presentera obekanta som godtyckliga tal i årskurs 7? Jag tänker mig årskurs 7 eftersom
eleverna då har en ganska liten erfarenhet av obekanta. Givetvis kan inte presentationen av variablerna vara för abstrakta för då riskerar man att hamna utanför den närmaste utvecklingszonen och skapa frustration. Med mönster, grafer, geometri och enkel programering tror jag att man kan studera hur obekanta varierar öka förståelsen för variabler.
40
6 Referenser
Bloor, M & Wood, F (2006). Keywords in Qualitative Methods. A Volcabulary of Research
Concepts. London: SAGE Publications Ltd
Boaler, Jo (2011). En elefant i klassrummet. Stockholm: Liber
Dysthe, Olga (1996). Det flerstämmiga klassrummet. Lund: Studentlitteratur.
Illeris, Knud (2007). Lärande. Lund: Studentlitteratur
Küchemann, Dietmar (1978). Mathematics in School , Vol 7 No 4. The Mathematical Association.
Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare kan hantera
lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur
Löwing, Madeleine (2008). Grundläggande aritmetik : matematikdidaktik för lärare. Lund: Studentlitteratur.
Graham, A. & Thomas, M. (2000). Building a versatile understanding of algebraic variables with a graphing calculator. Educational Studies in Mathematics, 41, 265
Hart, K.M. (1982). Childrens’s Understanding of Mathematics: 11-16. London: John Murray Ltd
Noss Richard, (1986). Constructing a conceptual framework for elementary algebra through
Logo programming. Educational Studies in Mathematics. D. Reidel Publishing Company.
Hunter, Jodie. (2010). You Might Say You're 9 Years Old but You're Actually 'B' Years Old Because You're Always Getting Older": Facilitating Young Students' Understanding of Variables, Mathematics Education Research Group of Australasia, New Zealand
