Model se zdrojem úhlové rychlosti

ϕ₅(t), ϕ₅₁−ϕ₀

2 , 0, ϕ₅₁+ϕ₀

0 , M_5A1



(160) Konstanty T_R a ϕ₀, které určují strmost funkce step, mají hodnoty R_R = 0, 2[s] a ϕ0 = 0, 017.

M5A[N⋅m]

0 5 10 15 20 25

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0

₅[– ]

Obr. 55: Závislost momentu M_5A na úhlu natočení výstupního hřídele.

Časový průběh synchronních otáček, který je nastaven na měniči frekvence, je pak dán rovnicí (161).

n_s(t) = − z_s

z_k− z_s · ω_5P(t) (161)

Dosazením vztahů (152) až (161) do soustavy (150) a (151) vyjde soustava dvou obyčejných diferenciálních rovnic, která popisuje pohyb soustavy se zadanými parame-try. Počáteční podmínky řešení jsou ϕ₅(0) = 0 a ω₅(0) = 0. Rovnice (150) je nelineární, je proto nutno ji řešit numericky. K řešení byl sestaven program v prostředí Maple, je-hož výpis je v příloze A.5. K řešení byla použita Rungova – Kuttova metoda 4. řádu.

Simulované průběhy úhlové polohy a rychlosti výstupního hřídele jsou na obr. 56. Ča-sový průběh reakčních sil v záběrech ozubených kol a ložiscích jsou na obr. 57.

6.2 Model se zdrojem úhlové rychlosti

Pokud přijmeme výchozí předpoklad, že použitý motor s regulací výstupních ki-nematických veličin je ideální zdroj úhlové rychlosti, početní řešení simulace provozu se významně zjednoduší. Časové průběhy úhlové rychlosti a úhlové polohy výstupního hřídele jsou pevně zvolenými parametry řešení, tzn. že funkce ϕ₅(t) a ω₅(t), které ob-sahují rovnice (150) až (153), jsou předem známy. Reakční síly F_A a F_B jsou přímo dány rovnicemi (152) a (153), moment na rotoru je dán rovnicí (162). Okamžitý výkon motoru udává rovnice (163).

M2 = (FA− FB) · e − J2· z_s

z_k− z_s · ˙ω5 (162)

P = − z_s

z_k− z_s · ω₅· M₂ (163)

t [s ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-10 -5 0 5 10 15 20 25

₅[s⁻¹]

₅[– ]

Obr. 56: Simulovaný průběh úhlové polohy a rychlosti výstupního hřídele, simulace 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 50 100 150 200 250 300 350

0 1 2 3 4 5 6 7 8

289,1 289,2 289,3 289,4 289,5 289,6 289,7 289,8

t [s ] t [s ]

F_A [N]

F_B [N]

Obr. 57: Simulovaný časový průběh reakčních sil v záběrech ozubených kol a ložiscích, simulace 1.

Pro tento způsob simulace byl opět sestaven výpočetní program v prostředí Maple.

Jeho výpis je v příloze A.6. Výsledky řešení příkladu z čl. 6.1.2 jsou graficky znázor-něny na obrázcích 58 až 60. Časový průběh kinematických veličin výstupního hřídele odpovídá obr. 54.

7 Pasivní odpory a účinnost integrované převodovky

Vzhledem k trvalému tlaku na snižování energetické náročnosti strojů a zařízení je celková účinnost integrované převodovky významným kritériem k posouzení vhod-nosti použití. Hodnota účinvhod-nosti závisí na pasivních odporech vazeb pohyblivých částí převodového mechanizmu. Tyto odpory je proto nutno pečlivě analyzovat. Výsledná účinnost bude stanovena při zkušebním provozu konstantními otáčkami. Analýza pa-sivních odporů každé vazby, kterou obsahuje převodový mechanizmus, bude provedena zvlášť, a celková účinnost bude stanovena z těchto dílčích účinností.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

100 200 300 400

0 1 2 3 4 5 6 7 8

289,1 289,3 289,5 289,7 289,9

t [s ] t [s ]

F_A [N]

F_B [N]

Obr. 58: Simulovaný časový průběh reakčních sil v záběrech ozubených kol a ložiscích, simulace 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4

t [s ]

M₂[N⋅m]

Obr. 59: Časový průbeh točivého momentu na rotoru.

7.1 Účinnost převodových mechanizmů všeobecně

Libovolné převodové ústrojí mění úhlovou rychlost ω₁ a moment M₁ na hnacím hřídeli na úhlovou rychlost ω2 a moment M2 na výstupním hřídeli. Přivedený výkon je P₁, odvedený výkon je P₂ a ztracený výkon je P_z (obr. 61).

Jako v každém zařízení, ve kterém dochází k přenosu výkonu, i v převodovém me-chanizmu dochází k disipaci energie vlivem pasivních odporů. Ztrátový výkon P_z je disipovaná energie za jednotku času. Ke ztrátě výkonu dochází zejména vlivem tření v záběrech ozubených kol, valivým nebo čepovým třením ve valivých nebo kluzných ložis-kách, vířením mazací lázně a těsněním. V integrované převodovce, která je popisována v rámci této disertační práce, je významné smykové tření na Oldhamových spojkách.

Veškerá mechanická práce, zmařená pasivními odpory, se proměňuje v teplo, které se při provozu převodovky projeví zvyšováním její teploty. Při teplotě, kdy dosáhne pře-nos tepla s okolím hodnoty ztraceného výkonu, je provozní teplota konstantní. Podle zákona zachování energie musí platit rov. (164).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -100

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60

t [s ]

P [W ]

Obr. 60: Časový průběh okamžitého výkonu motoru.

M ω η M ω

P

1 1 1 2 2 2

P

z

, , P

Obr. 61: Tok výkonu obecným převodovým mechanizmem.

P₂ = P₁− P_z (164)

Účinnost převodového mechanizmu je definována dle (165).

η = P₂ P1

= M₂ω₂ M1ω1

(165) Protože převodový poměr i je dán zlomkem i = ω₁/ω₂, platí rovněž rovnice (166).

M₂

M₁ = i · η (166)

Dále je možno ztráty rozdělit na ztráty zatížením (úměrné přenášenému výkonu) a ztráty volnoběhem (úměrné provozním otáčkám). Ztráty v ložiskách, ozubení a Old-hamových spojkách mají obě složky, ztráty mazáním a těsněním jsou pouze ztráty volnoběhem.

7.1.1 Sériové a paralení řazení převodových mechanizmů

Obrázek 62 znázorňuje sériové a paralelní řazení převodových mechanizmů. Výsledná účinnost při sériovém řazení η_va je dána rovnicí (167).

P⁰ = P₁η₁, P₂ = P⁰η₂ = P₁η₁η₂ ⇒ η_va = P₂

P₁ = η₁η₂ (167)

a) b)

η η η

η

1

1 2 2

P' P

P

_{1 2}

P P'

P P

P'

1 1

P

2 3 2

0

Obr. 62: Řazení převodových mechanizmů a schemata toku výkonu: a) sériové, b) paralelní.

Pro paralelní řazení platí P₀ = P₁ + P₂ a P₃ = P₁⁰ + P₂⁰ = P₁η₁ + P₂η₂. Výsledná účinnost η_vb je pak dána vztahem (168).

η_vb = P₃ P0

= P₁η₁+ P₂η₂ P1+ P2

(168) Za předpokladu, že účinnosti mechanizmů v obou případech řazení budou shodné, tzn. η₁ = η₂ = η, budou mít vztahy pro výslednou účinnost tvar (169).

η_va = η², η_vb = η (169)

Výsledná účinnost při paralelním řazení převodů tedy nezávisí na tom, jakým způ-sobem je rozdělen tok výkonu do jednotlivých větví P₁ a P₂. Nutnou podmínkou ale je, aby smysly toků výkonu odpovídaly šipkám vyznačeným na obr. 62b.

7.1.2 Cirkulující výkon

Uvažujme soukolí dle obr. 13a. Tento převod je ekvivalentní se schematem na obr.

62b. Toto uspořádání ozubených kol je staticky neurčité, proto mohou být hřídele namáhány torzním předpětím vzniklým při montáži. Toto předpětí odpovídá předpětí torzní tyče M_{T k}, které bylo parametrem soustavy rovnic rovnováhy při řešení silových poměrů v soukolí v čl. 5.1.

Pokud bude předpětí M_{T k} nulové, bude přenos výkonu teoreticky rozdělen rovno-měrně, tzn. P1 = P2. Jestliže však toto předpětí nulové nebude, může dojít k jevu zvanému cirkulace výkonu. Na obr. 63 je schema toku výkonu základním bezvůlovým převodem při takové cirkulaci. Protože jsou obě použitá soukolí shodná, platí pro dílčí účinnosti jednotlivých soukolí η1 = η2 = η.

Směr toku výkonu, který je na obr. 63b vyznačen šipkami, závisí na směrech tečných sil v záběrech ozubených kol. V čl. 5.1 byl uveden jako podmínka vymezení vůle v pře-vodovém mechanizmu požadavek kladných směrů těchto sil. To je zároveň podmínka cirkulace výkonu. Obecně lze pro všechny typy předepjatých bezvůlových převodů vy-slovit větu: Mají-li být ve větveném předepjatém převodovém mechanizmu vymezeny všechny vůle, musí v každém okamžiku provozu docházet k cirkulaci výkonu.

M

_Tk

P

0

P η P'

ω

1

P'

₂ 1

P

2

η

1

P

3

ω

₂ ⁰

2

3 2

1 1

P

P' P

P P P'

η η

a) b)

Obr. 63: Cirkulující výkon v soukolí se staticky neurčitou montáží.

K cirkulaci výkonu dojde jistě v případě, kdy krouticí moment předpětí M_{T k} je nenulový, avšak odebíraný výkon je nulový, tzn. P3 = 0. Potom platí rovnice (170) až (172).

P₁ = P₀ + P₂ (170)

P₁⁰ = P₁· η (171)

P₂ = P₁⁰ · η = P₁· η² (172)

Příkon P₀, přivedený z vnějšího zdroje, je dán rovnicí (173) a je v tomto případě ro-ven ztracenému výkonu P_z. Z tohoto vztahu je vidět, že při ideální účinnosti ozubených soukolí η = 1 je P₀ = 0.

P₀ = P₁− P₂ = P₁^1 − η^2 (173) I když je užitečný výkon P₃ nulový, cirkulující výkon P₁ může nabývat vysokých hodnot, v závislosti na velikosti předpětí M_{T k} a úhlové rychlosti ω₁. Pro jeho velikost platí rov. (174). Takové uspořádání je vhodné pro zátěžové zkoušky ozubených kol, protože při minimální dodané energii přenáší soukolí libovolně velký výkon.

P₁ = M_{T k}· ω₁ (174)

Pokud bude obecně přenášený výkon převodovým mechanizmem P₃ nenulový, bu-dou platit rovnice (175) až (178).

P₀+ P₂ = P₁ (175)

P3+ P₂⁰ = P₁⁰ (176)

P₁⁰ = P1· η (177)

P2 = P₂⁰· η (178)

Výsledná účinnost celého mechanizmu pak je dána rovnicí (179).

η_v = P3

P₀ = P₁⁰ − P₂⁰

P₁ − P₂ = P1 · η²− P2

(P₁ − P₂)η (179)

Ztrátový výkon je dán vztahem (180).

P_z = P₀− P₃ = P₁(1 − η) − P₂ 1 − 1 η

!

(180)

In document TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI FAKULTA STROJNÍ Katedra částí a mechanizmů strojů (Page 82-88)