Časové řady

Časová řada (dále jen ČŘ) je chronologickým způsobem uspořádaná posloupnost pozorování, které jsou věcně a prostorově porovnatelné, o kvantitativní libovolné náhodné proměnné. Náhodná proměnná znamená, že ČŘ nelze jednoznačně předpovědět, lze pouze s určitou pravděpodobností vytvořit prognózu.

2.1.1 Druhy časových řad

Existují různé druhy ČŘ, se kterými se následně různě pracuje. Podle časového hlediska rozhodného pro zjišťování údajů rozlišujeme ČŘ intervalové a okamžikové. Intervalové řady zobrazují hodnoty za určité období. Většinou se jedná o rok, měsíc, týden. Okamžikové ČŘ se vztahují k určitému okamžiku. Tímto způsobem se zobrazuje stav, počet, velikost.

Dalším možným způsobem, jak rozdělit ČŘ, je na základě vlastností údajů. Jedná se o extenzitní nebo intenzitní ukazatel. Hodnoty extenzitních ČŘ jsou absolutní a dají se sčítat.

Intenzitní ukazatelé jsou ukazatelé odvozené z extenzitních. Vyjadřují úroveň nebo stav ve tvaru poměrových čísel (indexů).

Pro časové řady existuje několik základních číselných charakteristik. Jedna z nejčastěji používaných charakteristik je aritmetický průměr. Ten se dá použít pouze pro charakterizování úrovně intervalových extenzitních veličin. Pro okamžikové časové řady nemá smysl součet hodnot. Průměrná hodnota se dá zjistit pomocí chronologického průměru, který může být ve tvaru jednoduchém nebo váženém. Prostý chronologický průměr se používá v případech, kdy jsou intervaly mezi měřenými okamžiky stejně dlouhé, matematicky lze vyjádřit takto:

(4)

Mezi základní charakteristiky ČŘ patří i absolutní diference, která vyjadřuje rozdíl hodnoty časové řady v okamžiku t oproti bezprostředně předcházejícímu časovému okamžiku.

Označuje se dt a vypočítá se podle následujícího vztahu:

d

=y

−y

24

Průměrný absolutní přírůstek zobrazuje průměrnou úroveň přírůstků ČŘ. Je počítán jako aritmetický průměr absolutních přírůstků:

(6)

Koeficient růstu informuje o tom, kolikrát se hodnota časové řady zvětšila oproti předchozí hodnotě. Vypočítá se jako:

(7)

Pomocí průměrného koeficientu růstu se zjišťuje, kolikrát vzrostla průměrně hodnota ČŘ ve sledovaném období. Matematicky lze vyjádřit:¹¹

(8) 2.1.2 Modelování časových řad

Na modelování časových řad existují dva základní pohledy. Jedná se o klasický a adaptivní pohled.

V klasickém modelu se předpokládá, že změna Y je způsobena vlivem čtyř složek:

• trendová složka T – představuje vývoj proměnné, který je způsoben dlouhodobě působícími vlivy, tato složka může růst, klesat nebo fluktuovat kolem určité úrovně,

• sezónní složka S – je možné ji sledovat jen v krátkodobých časových řadách, ukončených v rámci jednoho roku, představuje krátkodobé intervaly, popř. události, např. týden, měsíc, svátky, ...

• cyklická složka C – lze definovat jako dlouhodobý výkyv od časové řady, trvání cyklu může trvat i desítky let, tyto cykly jsou způsobeny změnami v politice či demografii, ekonomii, atd.,

• náhodná složka E – představuje výkyvy od ČŘ, které nelze nijak předvídat, nemají pravidelný vývoj, jsou na sobě nezávislé a v průběhu ČŘ se kompenzují, existují tři předpoklady o náhodné složce:

o Její střední hodnota = 0.

11PACÁKOVÁ, Viera. Štatistické metódy pre ekonómov. Bratislava: Iura Edition, 2009. ISBN 8072610031.

̄∆=( y₂− y₁)+( y3−y2)+...+( y_t−y_{t −1})

t−1 =y_t− y₁

t −1

k_t= y_t y_{(t – 1)}

25

o Homoskedasticita je předpoklad, že náhodné chyby, které mají nulovou střední hodnotu, jsou lineárně nezávislé a mají konstantní rozptyl.

o Autoregrese náhodných poruch – předpokládá se, že v čase se náhodná chyba dělí na dvě složky, první složka je závislá na předchozí náhodné chybě a druhá složka je náhodná.

V časové řadě se nemusí vyskytovat všechny tyto složky. Ty lze seskupovat buď pomocí součtu nebo součinu a vytváří tak dva druhy modelů, aditivní a multiplikativní. Aditivní model je tvořen složkami, které jsou vzájemně nezávislé a sezónní a cyklická složka se nemění s trendem lze ho vyjádřit takto:

(9)

V multiplikativním modelu jsou složky vzájemně závislé a výkyvy od ČŘ se pohybují v závislosti na trendu, matematiky lze vyjádřit takto:¹²

(10) Adaptivní model předpokládá, že parametry časové řady se v průběhu času mění. Často používanou adaptivní metodou jsou klouzavé průměry. Jedná se o aritmetický průměr tvořený z m hodnot. V dalším kroku se vytvoří další aritmetický průměr, ale z hodnot posunutých o jednu, tímto způsobem se pokračuje do konce časové řady. Podstatou klouzavých průměrů je nahrazení posloupných hodnot ČŘ průměry, které jsou z této řady vypočítány. Existují dva druhy klouzavých průměrů. Prostý klouzavý průměr je vhodné použít tam, kde je na jednotlivých klouzavých částech definován lineární trend:¹³

12Viz ¹²

13HINDLS, Richard et al. Statistika pro ekonomy. 8. vyd. Praha: Professional Publishing, 2007. ISBN 978-80-86946-43-6.

26

(11) kde:

m je klouzavá část období interpolace,

p je počet hodnot, které zůstanou na začátku a na konci ČŘ nevyrovnané.

Vážené klouzavé průměry je vhodné použít tehdy, pokud na jednotlivých klouzavých částech je definován parabolický trend. ¹⁴Matematicky jsou vyjádřeny takto:

(12)

kde:

(13)

Speciálním případem je centrovaný klouzavý průměr, který se používá pro případ, kdy rozsah klouzavé části období interpolace je sudé číslo a nazývá se centrovaný klouzavý průměr:

(14) 2.1.3 Sezónní očišťování

Aby bylo možné porovnávat údaje ČŘ ovlivněné sezónností i v průběhu roku, je potřeba ČŘ o tuto sezónní složku očistit. Při očišťování jsou využívány klouzavé průměry. Tento proces má tři kroky.

Prvním z nich je vypočítání vhodných klouzavých průměrů. Jsou při tom použity vzorce uvedené výše.

Druhým krokem je určení hodnot sezónních faktorů. K tomu je potřeba znát sezónní indexy (pro multiplikativní model), resp. průměry (aditivní model). Ty se vypočítají podílem, resp.

rozdílem hodnot ČŘ a konkrétním klouzavým průměrem. K zjištění sezónních faktorů je dále potřeba znát průměrné sezónní indexy, resp. rozdíly. Předpokladem je, že se sezónní

14Viz ¹⁴

27

výkyvy v průběhu roku vyrovnají. Pokud tato podmínka není splněna, je možné dosáhnout jejího splnění pomocí tzv. standardizace průměrných sezónních indexů (rozdílů). Základem standardizace je získání hodnoty, pomocí které se sezónní indexy (rozdíly) budou dále upravovat. Výsledkem tohoto výpočtu je sezónní faktor.

Posledním krokem je skutečné očistění ČŘ. V případě multiplikativního modelu jsou hodnoty původní ČŘ vyděleny příslušným sezónním faktorem. Při použití aditivního modelu se od původní hodnoty ČŘ sezónní faktor odečítá.¹⁵

2.1.4 Extrapolace časových řad

Pod pojmem extrapolace časových řad se rozumí odhad hodnot ČŘ, které jsou mimo sledované období, zpravidla do budoucnosti. Extrapolace je možná za předpokladu, že se časová řada bude vyvíjet podle dosavadního trendu. Dále není vhodné odhadovat vývoj na libovolný počet období. Zpravidla platí, že počet období extrapolace ČŘ je menší než 5.

Pokud ČŘ obsahuje sezónní složku, je vhodné použít počet sezón, př. pro týdenní sezónnost 7.

Výpočet extrapolace v případě multiplikativního modelu probíhá tak, že se hodnota trendu vynásobí příslušným sezónním indexem. U aditivního modelu je k hodnotě trendu přičten sezónní průměr.¹⁶