Impulsn´ı odezva obsahuj´ıc´ı vysok´e mnoˇzstv´ı po sobˇe jdouc´ıch nulov´ych koeficient˚u vyskytuj´ıc´ıch se na v´ıce m´ıstech cel´e impulsn´ı odezvy se naz´yv´a ˇr´ıdk´a. Takov´a impulsn´ı odezva se vyskytuje napˇr´ıklad v mobiln´ıch s´ıt´ıch, kde vlivem k´odov´an´ı, pˇretˇeˇzov´an´ı a zpoˇzdˇen´ım pˇrenosu vznikaj´ı prodlevy ˇc´ımˇz se v impulsn´ı odezvˇe obje-vuj´ı neaktivn´ı ´useky obsahuj´ıc´ı koeficienty rovn´e nule. To pak tvoˇr´ı impulsn´ı odezvu ˇr´ıdkou.
Obr´azek 3.2: ˇR´ıdk´a impulsn´ı odezva
Algoritmy pro v´ypoˇcet ˇr´ıdk´ych impulsn´ıch odezev, jsou ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚u
upra-goritm˚u pro v´ypoˇcet ˇr´ıdk´e impulsn´ı odezvy je Proportionate Normalized Least Mean Square (PNLMS), kde je kaˇzd´y koeficient aktualizov´an v z´avislosti na kroku
´
umˇern´emu magnitudˇe poˇc´ıtan´ych hodnot filtru. [6]
Hlavn´ı motivac´ı toho, proˇc se zab´yvat ˇr´ıdk´ymi impulsn´ımi odezvami, je zab´yvat se jimi v akustick´ych sign´alech. v akustick´ych sign´alech nen´ı impulsn´ı odezva ´uplnˇe ˇr´ıdk´a, ale jen pˇribliˇznˇe. To znamen´a, ˇze koeficienty jsou velmi bl´ızk´e nule, potom lze takov´y pˇr´ıpad aproximovat na pˇr´ıpad s ˇr´ıdkou impulsn´ı odezvou. N´aslednˇe mohou b´yt aplikov´any metody pro v´ypoˇcet ˇr´ıdk´ych impulsn´ıch odezev i na akustick´e sign´aly, kter´e nemaj´ı impulsn´ı odezvu zcela ˇr´ıdkou. Je sice ztracena urˇcit´a pˇresnost, neˇz kdybychom odhadli pˇr´ımo hustou impulsn´ı odezvou, ale ˇr´ıdkou impulsn´ı odezvu, jsme schopni odhadnout dobˇre. Takˇze ve v´ysledku m˚uˇze b´yt ˇr´ıdk´y odhad lepˇs´ı neˇz odhad klasick´e hust´e impulsn´ı odezvy.
4 Metody pro v´ ypoˇ cet impulsn´ı odezvy
Abychom dos´ahli poˇzadovan´eho filtru, kter´y n´am potlaˇc´ı nechtˇen´y sign´al, mus´ı b´yt pouˇzita jedna z metod pro v´ypoˇcet, respektive odhad filtru. Metody jsou blokov´e nebo adaptivn´ı.
Blokov´e metody se nejv´ıce hod´ı na offline zpracov´an´ı, ˇcili pokud m´ame nˇejak´y z´aznam, kde si m˚uˇzeme spoˇc´ıtat filtr pˇres cel´y sign´al nebo po bloc´ıch. Pokud bychom poˇc´ıtali filtr po bloc´ıch, dala by se tato metoda pouˇz´ıt i na online zpracov´an´ı tak, ˇze bychom vyuˇzili bufferu a vˇzdy vypoˇc´ıtali filtr jen pro ˇc´ast sign´alu. Do t´eto kategorie spad´a metoda Least Mean Square.
Pro zpracov´an´ı v re´aln´em ˇcase se ovˇsem mnohem v´ıce hod´ı adaptivn´ı metody pro v´ypoˇcet filtru. Dalˇs´ı d˚uvod pro vyuˇzit´ı adaptivn´ıch metod je, kdyˇz se impulsn´ı odezva mˇen´ı v pr˚ubˇehu sign´alu. V´yhoda je v postupn´em v´ypoˇctu filtru, to znamen´a, ˇze pro kaˇzd´y nov´y vzorek m˚uˇzeme vypoˇc´ıtat nov´y filtr. Nemus´ıme vˇsak poˇc´ıtat filtr od zaˇc´atku, staˇc´ı, kdyˇz aktualizujeme filtr st´avaj´ıc´ı. Adaptivn´ı metody mus´ı m´ıt definov´any inicializaˇcn´ı hodnoty nˇekter´ych parametr˚u. Tyto hodnoty budou pops´any u jednotliv´ych metod. Sem patˇr´ı metoda Adaptivn´ı LMS a Recursive Least Square.
C´ılem metod pro v´ypoˇcet filtr˚u je minimalizovat chybu, kter´e se dopouˇst´ıme, chceme-li z´ıskat sign´al r(n) ze vstupn´ıho sign´alu x(n). Sign´al r(n) by mˇel b´yt co nejv´ıce podobn´y v´ystupn´ımu, nebo-li zpracovan´emu sign´alu y(n). Tuto chybu bu-deme definovat jako
e(n) = r(n) − y(n). (4.1)
Filtr, kter´y budou jednotliv´e metody hledat bude typu FIR a d´elky L. Jeho impulsn´ı odezva bude oznaˇcov´ana ˆa(n). M˚uˇzeme tedy zapsat vztah mezi vstupn´ım sign´alem
x(n) a v´ystupn´ım sign´alem y(n) jako
Filtry, kter´e n´asleduj´ıc´ı metody odhaduj´ı, jsou navrˇzeny tak, aby nˇejak´ym zp˚usobem minimalizovaly kvadr´at chyby e(n). Mus´ı se tedy zav´est krit´erium, kter´e je funkc´ı a (funkc´ı L promˇenn´ych a(i)) a je rovno kvadr´atu chyby v ˇcasov´y okamˇzik n
Jn(a) = e(n)2. (4.5)
Gradient Jn(a), nebo-li vektor parci´aln´ıch derivac´ı podle a, m˚uˇze b´yt zaps´an vekto-rovˇe
∇Jn(a) = −2xnr(n) + 2xnxTna. (4.6) Zde m˚uˇze b´yt zavedeno znaˇcen´ı
Rn = xnxTn (4.7)
pn = xnr(n), (4.8)
pak m˚uˇzeme gradient zapsat jako
∇Jn(a) = −2pn+ 2xnRna. (4.9)
4.1 LMS
4.1.1 Neadaptivn´ı
LMS (Least Mean Square) je metoda pro v´ypoˇcet filtru z cel´eho sign´alu, nebo m˚uˇzeme filtr poˇc´ıtat v nˇekolika ˇcasov´ych ´usec´ıch, ˇcili po bloc´ıch. Filtrem tedy mi-nimalizujeme pr˚umˇernou hodnotu krit´eria Jn(a) na urˇcit´em ´useku n = n1, ..., n2
Derivace je line´arn´ı operace, takˇze gradient J (a) je roven pr˚umˇeru gradient˚u Jn(a) a plat´ı
Matici R je tedy vz´ajemn´a kovariance. Matici R m˚uˇzeme pojmenovat tak´e jako Toeplitzovskou. Lze ji zapsat jako souˇcin matic X a XT tedy:
R = 1
NXXT, (4.15)
kde matice X vypad´a n´asledovnˇe
Vektor p vznikl cross–kovarianc´ı matice X se sign´alem, kter´y je oznaˇcen r(n).
p = 1
NXr(n). (4.17)
Poloˇz´ıme-li nyn´ı gradient roven nule ∇J (a) = 0 dostaneme vzorec pro v´ypoˇcet LMS filtru
a = R−1p. (4.18)
Pokud bychom chtˇeli odhadovat filtr adaptivnˇe mohli bychom poˇc´ıtat LMS po jednotliv´ych bloc´ıch. Potom mohou vznikat dva probl´emy. Prvn´ım probl´emem je, ˇze nemus´ı existovat inverzn´ı matice R a druh´ym probl´emem, jsou n´ahl´e zmˇeny. ˇC´ım menˇs´ı je interval t´ım vˇetˇs´ı je pravdˇepodobnost, ˇze nebude existovat inverzn´ı matice a zmˇeny budou vˇetˇs´ı.
4.1.2 Adaptivn´ı
Adaptivn´ı LMS je navrˇzeno tak, aby byla minimalizov´ana aktu´aln´ı chyba v ˇcase n. To znamen´a, ˇze se podle toho mus´ı zmˇenit i an. v tomto pˇr´ıpadˇe nem˚uˇzeme minimalizov´an´ı vyˇreˇsit jednoduch´ym poloˇzen´ım gradientu rovn´y nule Jn(a), jelikoˇz Rn nem´a inverzi. Adaptivn´ı LMS proto pouˇz´ıv´a pro ´upravu a metodu nejvˇetˇs´ıho sp´adu
an = an−1− µ∇Jn(a), (4.19)
kde µ znaˇc´ı d´elku kroku. Dosazen´ım dostaneme krok
an= an−1− µxne(n). (4.20)
Metoda nejvˇetˇs´ıho sp´adu je iteraˇcn´ı metoda pro hled´an´ı minima funkce.
Prove-den´ım jedn´e iterace, tak zmenˇs´ıme chybu Jn(a). v dalˇs´ı iteraci je tedy hodnota chyby jin´a. Pokud provedeme dalˇs´ı iteraci, chybu opˇet zmenˇs´ıme atd. T´ımto se n´am filtr adaptuje po celou dobu adaptace. D˚uleˇzit´e je spr´avnˇe zvolit krok µ. To ovˇsem nen´ı tak jednoduch´e. Je-li zvolen krok moc mal´y, filtr se neadaptuje dostateˇcnˇe rychle a nekonverguje do poˇzadovan´e hodnoty. Je-li krok zase moc velk´y, dojde k divergenci a filtr nefunguje spr´avnˇe.