Genom denna studie kan det konstateras att elever har stor kreativitet när de beräknar numeriska uttryck. Somliga elever var principfasta med sina egenskapade regler och följde dessa konsekvent genom alla de fyra uppgifterna. Andra elever visade sig byta metod sporadiskt och bokförde sina beräkningar på olika vis vid varje uppgift. Varför så många elever tolkar numeriska uttryck och bokför sina beräkningar på så många skilda sätt är en intressant fråga. Kan det bero på att matematikdidaktisk forskning inte tidigare har uppmärksammat problemet och därför lett till undermålig undervisning? Att eleverna dels exempelvis inte får möjlighet att befästa kunskaper om att följa prioriteringsreglerna, dels exempelvis inte blir instruerade på hur beräkningar kan eller ska bokföras. Trots att det råder många skilda uppfattningar om hur numeriska uttryck ska beräknas för elever i årskurs 5 vill jag framför allt lyfta fram deras kreativitet. När de inte känner till reglerna hittar de spontant på egna sätt att räkna som följer en annan logik än vad vi är vana vid. Det kan problematiseras att de förmågor som beskrivs i kursplanen för matematikämnet (Skolverket, 2019b) i årskurserna 4–6, vilka handlar om matematiska strukturer, är synnerligen generella. Som beskrivet tidigare är det inte explicit beskrivet att eleverna i årskurserna 4–6 ska få möta de fyra räknesättens egenskaper och samband. Kanske skulle undervisningen riktas in mer på att utveckla elevers kunskaper om processer och strukturer i matematiken?
Hoch och Deyfus (2006) hänvisar förmågan att kunna applicera kunskaper om process och struktur som beskrivningen ”manipulation skills”. Manipulation skills innebär alltså den teknik att beräkna matematiska uttryck och förmågan att lösa ekvationer. I deras studie undersöktes structure sense och manipulation skills hos elever i motsvarande årskurs 9 genom att de fick lösa ett antal algebraiska uttryck. Att en elev kan använda sig av structure sense när den löser uttrycken menar Hoch och Deyfus (2006) är en förmåga att kunna behandla uttryck som enstaka beståndsdelar (entities). Lüken (2012) beskriver begreppet ”early structure sense” som en förmåga hos elever i yngre årskurser att upptäcka matematiska strukturer. I hennes studie på elever från förskoleklass till årskurs 2 undersöktes elevers förmåga att upptäcka mönster i figurer. I en uppgift om en ”tiokedja” som bestod av ett snöre med fem röda och fem blåa kulor undersöktes exempelvis elevers förmåga att upptäcka regelbundenhet. De högpresterande eleverna visade en god förståelse av hur mönstret upprepades och i vissa fall kunde somliga elever till och med förklara regeln. Dessa elever kunde även upptäcka bekanta mönster i en figur om sju prickar genom att hänvisa figuren till symbolen 6 på en tärning (Lüken 2012).
31 Dock visade de lågpresterande eleverna ingen förståelse alls för regelbundenhet. I den kvalitativa analysen för studien visade det sig att förmågorna hos de högpresterande- respektive lågpresterande eleverna skilde sig stort. Detta faktum indikerar Lüken (2012) ha konsekvenser för elevernas framtida matematiklärande, särskilt för de lågpresterande eleverna. Detta då det visat sig att de 25% av eleverna i skolans två första år som är svagast i att upptäcka mönster även tillhör de 25% av eleverna som har svagast kunskaper i matematik.
Det är svårt att definiera structure sense och det finns skilda beskrivningar om begreppet i matematikdidaktisk forskning. Är det något som en individ kan använda? Kan det utvecklas hos elever? Hoch och Deyfus (2006) beskriver att structure sense utgörs av flera olika förmågor att se strukturer i numeriska och algebraiska uttryck. De diskuterar att en brist på structure sense kan ligga i att elever har en svag koppling mellan deras memorerade kunskaper (rote-
learnt ideas) och deras meningsfulla kunskaper. Detta vill säga att elever finner svårigheter att
applicera sina kunskaper och tekniker i obekanta sammanhang.
Lärare måste bli bättre på att förmedla de godtyckliga reglerna, det vill säga de regler som inte kan upptäckas utan i stället måste informeras. Trots att de just är godtyckliga och uppskattningsvis slumpartade regler är de en viktig del i det matematiska kunnandet. Att lära sig behärska matematikens godtyckliga regler kan möjligtvis hjälpa elever att utveckla sin metakognitiva förmåga, det vill säga den förmåga att tolka, värdera och reflektera kring matematiska uttryck och tillvägagångssätt. Eleverna kan således utveckla förmågan att följa procedurer, det vill säga att behärska välja och tillämpa lämpliga metoder för matematiska beräkningar. Dessa förmågor är något som kan innebära att ha structure sense.
32
Referenser
Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. (3., [rev.] uppl.). Liber
Dupree, K. M. (2016). Questioning the Order of Operations. Mathematics Teaching in the
Middle School, 22(3), 152–159. https://doi.org/10.5951/mathteacmiddscho.22.3.0152
Gavel, H. (2017). Grundlig matematik: Inledande matematik för ingenjörer, naturvetare och
andra problemlösare. Studentlitteratur.
Glidden, P. L. (2008). Prospective Elementary Teachers’ Understanding of Order of Operations. School Science and Mathematics, 108(4), 130–136.
https://doi.org/10.1111/j.1949-8594.2008.tb17819.x
Gunnarsson, R., & Papadopoulos, I. (2019, February). Pairing numbers: An unconventional way of evaluating arithmetic expressions. In Eleventh Congress of the
European Society for Research in Mathematics Education (No. 13).
Freudenthal Group; Freudenthal Institute; ERME.
Headlam, C. (2013). An investigation into children’s understanding of the order of
operations. Doktorsavhandling, Plymouth University, School of Computing and
Mathematics. https://doi.org/10026.1/1497
Hewitt, D. (2012). Young students learning formal algebraic notation and solving linear equations: are commonly experienced difficulties avoidable? Educational Studies in
Mathematics, 81(2), 139–159. https://doi.org/10.1007/s10649-012-9394-x
Hoch, M., & Dreyfus, T. (2004). Structure Sense in High School Algebra: The Effect of Brackets. I M. J. Høines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th
Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 49-56.
Hoch, M., & Dreyfus, T. (2006). Structure Sense versus Manipulation Skills: An Unexpected Result. I J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, & N. Stehlíková (Eds.),
33
Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 305-312.
Kiselman, C., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Nationellt centrum för matematikutbildning, NC. http://www2.math.uu.se/~kiselman/termer12.pdf
Lee, M. A., & Messner, S. J. (2000). Analysis of Concatenations and Order of Operations in Written Mathematics. School Science and Mathematics, 100(4), 173–180.
https://doi.org/10.1111/j.1949-8594.2000.tb17254.x
Leedy, P. & Ormrod, J. E. (2019). Practical Research Planning and Design. (11th ed). Edinburgh: Pearson Educational Inc
Liebenberg, R. E., Linchevski, L., Sasman, M. C., & Olivier, A. (1999). Focusing on the structural aspects of numerical expressions. In Proceedings of the 7th annual
conference of the South African Association for Research in Mathematics and Science Education, Harare, Zimbabwe.
https://www.jstor.org/stable/3483083?seq=1#metadata_info_tab_contents
Linchevski, L., & Livneh, D. (1999). Structure sense: The relationship between algebraic and numerical contexts. Educational studies in mathematics, 40(2), 173–196
Lüken, M. M. (2012). Young Children's Structure Sense. Journal for Didactics of
Mathematics, 33, 263- 285.
Marton, F., & Booth, S. (2000). Om Lärande. Studentlitteratur.
McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal: en handbok. (1. uppl.). Nationellt centrum för matematikundervisning (NMC), Göteborgs universitet.
Novotná, J., & Hoch, M. (2008). How structure sense for algebraic expressions or equations is related to structure sense for abstract algebra. Mathematics Education Research
Journal, 20(2), 93–104. https://doi.org/10.1007/bf03217479
Papadopoulos, I. (2015). The rules for the order of operations: The case of an inservice
34 Mathematics Education (pp. 324-330).
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01281855/document
Paul D. Leedy, Ormrod, J. E., & Johnson, L. R. (2014). Practical research: Planning and
design (p. 360). Pearson Education.
Persson, P-E. (2005). Bokstavliga svårigheter: faktorer som påverkar gymnasieelevers algebralärande (licentiatuppsats, Luleå tekniska universitet).
https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:991219/FULLTEXT01.pdf
Skolverket (2019a). Slutgiltigt förslag kursplan matematik. Skolverket.
Skolverket. (2019b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Reviderad 2019. Skolverket.
Sollervall, H. (2015) Aritmetik för lärare. Studentlitteratur.
Tabak, S. (2019). 6th, 7th and 8th Grade Students’ Misconceptions about the Order of Operations. International Journal of Educational Methodology, 5(3).
https://doi.org/10.12973/ijem.5.3.363
Wiberg, J. (2017). Att prioritera rätt: Hur elever i årskurs 5 går tillväga, gällande
strukturering och prioritering, när de beräknar numeriska uttryck. Jönköping
University.
http://hj.diva-portal.org/smash/get/diva2:1114769/FULLTEXT01.pdf
Zazkis, R. (2017). Order of operations: On conventions, mnemonics and knowledge-in-use. For the Learning of Mathematics, 37(3), 19–2