Vilka räknesätt har
företräde?
En studie om hur elever i årskurs 5 strukturerar och bokför beräkningar av numeriska uttryck
KURS:Examensarbete för grundlärare 4–6, 15 hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6 FÖRFATTARE: Jesper Unger
EXAMINATOR: Peter Markkanen TERMIN:VT21
JÖNKÖPING UNIVERSITY
School of Education and Communication
SAMMANFATTNING
Jesper Unger
Vilka räknesätt har företräde?
En studie om hur elever i årskurs 5 strukturerar och bokför beräkningar av numeriska uttryck
___________________________________________________________________________
För att numeriska uttryck inte ska tolkas på olika sätt finns det så kallade prioriteringsregler som bestämmer räkneoperationers ordningsföljd. Matematikdidaktisk forskning har dock visat att elever har svårigheter att följa prioriteringsregler och strukturer i matematiska uttryck. Eleverna tenderar att följa okonventionella regler som helt enkelt är egenkonstruerade.
Denna studie är en re-analys av data från en tidigare studie och syftar till att undersöka hur elever i årskurs 5 strukturerar och bokför sina beräkningar av numeriska uttryck där prioriteringsregler behöver tillämpas. Data för studien är lösningar från 123 elever, vilket innehåller svar på fyra olika uppgifter presenterade på ett arbetsblad, alltså totalt 492 elevlösningar. Analysen utgår från vad tidigare forskning har visat för tendenser elever har när de beräknar numeriska uttryck. Dessa beteenden har sedan grupperats i olika aspekter för att finna likheter och skillnader i hur elever tar sig an matematiska operationer.
Deltagarna utgjordes av elever från fem olika skolor. Genom analysen kunde det identifieras att elever följde prioriteringsregler på kvalitativt skilda sätt och att många gjorde detta på ett inkonsekvent vis genom de fyra uppgifterna. Flertalet av deltagarna visade brister i att strukturera beräkningar på ett konventionellt vis. Orsaken kan diskuteras i att härstamma från att eleverna saknar något som i internationell matematikdidaktisk forskning kallas för ”structure sense”, vilket innebär en förståelse av matematiska strukturer.
_______________________________________________________________________
Sökord: Prioriteringsreglerna, struktur, numeriska uttryck, structure sense
_______________________________________________________________________ Examensarbete för grundlärare 4-6, 15 hp Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6 Vårterminen 2021
JÖNKÖPING UNIVERSITY
School of Education and Communication
ABSTRACT
Jesper Unger
Which operation has precedence?
A study of how pupils in year 5 structure and keep track of calculations of numerical expressions
__________________________________________________________________________
For numerical expressions not to be interpreted in different ways, there are so-called order of operations that determine the order of arithmetic operators. In mathematics didactic research, it has been displayed that pupils have difficulty following arithmetic rules and structures in mathematical expressions. Pupils tend to follow unconventional rules that are simply self-constructed.
This study is a re-analysis of data from a previous study and aims to investigate how pupils in year 5 structure and keep track of calculations of numerical expressions where rules for the order of operations needs to be applied. The data analysis is based on solutions from 123 pupils on four different tasks, thus 492 solutions in total. The participants were pupils in year 5 from five different Swedish schools. The analysis is based on what previous research has shown that tendencies pupils have when they calculate numerical expressions. These behaviors have then been grouped into different aspects to find similarities and differences in how pupils approach mathematical operators.
Through the analysis, it could be identified that pupils followed arithmetic rules in qualitatively different ways and that many did so in an inconsistent manner through the four tasks. Actually, most participants could not structure their calculations in a conventional way. The reason can be discussed that it descends from the fact that the pupils lack something which in international mathematics didactic research is called “structure sense”, which means an understanding of mathematical structures.
_______________________________________________________________________ Keywords: Order of operations, structure, numerical expressions, structure sense
_______________________________________________________________________ Degree Project for Teachers in Primary School Years 4-6, 15 hp
Teacher Education Programme for Primary Education – School Years 4-6
Spring Semester 2021
Innehållsförteckning
1. INLEDNING ... 1
2. RÄKNEREGLER – EN AV MATEMATIKENS CENTRALA KONVENTIONER ... 2
3. TIDIGARE FORSKNING ... 3
3.1KÄNDA SVÅRIGHETER... 3
3.2ELEVERS TILLÄMPNING AV OLIKA REGLER VID BERÄKNINGAR AV LIKNANDE NUMERISKA UTTRYCK ... 4
3.3DIDAKTISKA PERSPEKTIV PÅ MATEMATISK STRUKTUR ... 5
4. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 6
5. METOD ... 7
5.1STUDIENS DATA ... 7
5.2DET URSPRUNGLIGA ARBETSBLADETS SAMMANSÄTTNING ... 8
5.3ANALYSMETOD ... 8
5.4TILLVÄGAGÅNGSSÄTT VID ANALYS ... 9
5.5METODDISKUSSION ... 10
6. RESULTAT OCH DISKUSSION ... 12
6.1PARBILDNING ... 13
6.1.1 Skapa par från vänster till höger ... 13
6.1.2 Skapa par med uppställning ... 15
6.2RÄKNA FRÅN VÄNSTER TILL HÖGER ... 18
6.2.1 Räkna sekventiellt från vänster till höger ... 18
6.3RÄKNA PÅ EN RAD ... 20
6.4DETACHMENT ... 22
6.5ANVÄNDNING AV TAL I FLERA OPERATIONER ... 24
7. HUR KONSEKVENTA ÄR ELEVERS TILLVÄGAGÅNGSSÄTT NÄR DE ANVÄNDER SIG AV OLIKA REGLER? ... 28
8. AVSLUTANDE ORD ... 30
1
1. Inledning
Vart vi än vänder oss kan vi inte undgå att komma i kontakt med matematiska företeelser. Matematik kan vi möta i princip alla vardagliga situationer och sammanhang. Oftast möter vi matematiken i form av numeriska uttryck. Befinner vi oss exempelvis vid kassan i mataffären kan kostnaden för ett paket smör rimligtvis vara 25:- och ett paket mjölk 12:-. Kostnaden för ett paket smör och två paket mjölk kan tecknas på olika sätt, antingen 25 + 2 ∙ 12 eller 12 ∙ 2 + 25. Oavsett vilket måste du i kassan betala lika mycket, vilket måste innebära att 25 + 2 ∙ 12 = 12 ∙ 2 + 25. För att detta ska stämma överens måste det finnas någon form av regel eller konvention. Matematiken är full av konventioner vilka kan upplevas som slumpmässiga val för den som tillägnar sig dem, eftersom de inte nödvändigtvis bygger på logik utan endast är beslutat (Hewitt, 1999). Går vi tillbaka till uttrycket om smörpaketet och mjölkpaketen bör vi förhålla oss till de så kallade prioriteringsreglerna, vilka säger att vi ska beräkna multiplikation före addition. Flera tidigare studier har visat att elever generellt har svårigheter i att följa prioriteringsreglerna (Dupree, 2016; Headlam, 2013; Papadopoulos, 2015; Tabak, 2019; Zazkis, 2017). En vanlig uppfattning av elever är att beräkningar alltid ska utföras som de avläses, från vänster till höger. En anledning till detta kan vara att elever i sin tidiga skolgång möter övningar som inte behöver prioriteringsreglerna (Papadopoulos 2015).
I slutet av 2019 framförde Skolverket ett förslag till regeringen om kursplanen i matematik. Förslaget innehöll vissa konkretiseringar av mål, bland annat under det centrala innehållet för matematik i årskurserna 4 – 6. I denna del framkom det ett förtydligande att undervisningen ska innehålla ”de fyra räknesätten vid beräkningar med naturliga tal. Användning av prioriteringsregler” (Skolverket, 2019a). Centrala delar av matematiken bygger på konventioner, vilket ibland har överenskommits. I matematikundervisning är dessa konventioner ofta förbisedda då elever förväntas tillämpa dem utan motivering till varför det är på ett visst sätt. Detta kan leda till att elever hittar på egna ”regler”. Matematikdidaktiken har inte heller i tillräcklig stor omfattning ägnat sig åt dessa konventioner. För att kunna bygga en undervisning på vetenskaplig grund är det viktigt med solid forskning. Vetenskapliga analyser måste vara tillförlitliga, därför vill jag testa en tidigare studies resultat för att se om det är tillförlitliga slutsatser och en stabil vetenskaplig grund. Jag vill göra detta inom konventioner i matematikämnet, något som ofta är underutforskat. Med anledning av detta görs valet att re-analysera data från elevers spontana egenkonstruerade regler, där matematiken tänker att konventioner kring prioritering bör finnas.
2
2. Räkneregler – en av matematikens centrala
konventioner
För att numeriska uttryck inte ska tolkas på olika sätt finns olika räkneregler att förhålla sig till. En räkneregel berättar hur eller i vilken ordning beräkningar ska utföras (Kiselman & Mouwitz, 2008). Dessa räkneregler består av de så kallade prioriteringsreglerna.
Prioriteringsreglerna bestämmer i vilken ordning beräkningar ska utföras på. Regeln innebär att parenteser ska beräknas först som sedan följs av potenser. Därefter utförs multiplikationer och divisioner med lika hög prioritet. Till sist beräknas additioner och subtraktioner, även de har lika hög prioritet (Kiselman & Mouwitz, 2008). Det numeriska uttrycket 7 + 3 ∙ 2 ska därför tolkas som 7 + (3 ∙ 2). I matematiken undviks oftast utskrivning av parenteser och utgår i stället från dessa prioriteringsregler (Sollervall, 2015). Om vi i stället avser att räkna ut additionen först måste parenteser sättas ut enligt följande (7 + 3) ∙ 2. Om det förekommer numeriska uttryck med flera räknesätt där räknesätten har samma prioritet, exempelvis addition och subtraktion, ska dessa beräknas enligt vänster-till-högerprincipen. Prioriteringsreglerna följer inte någon logisk anordning, utan är en överenskommelse, precis som symbolen 2 symboliserar antalet två och att symbolen + betecknar operationen addition (Gavel, 2017).
McIntosh (2008) beskriver att användningen av en helt annan ordning skulle var lika rimlig, så länge alla använder samma konvention. Prioriteringsreglerna är därför ingenting att förstå utan är endast nödvändiga att lära sig. Hewitt (1999) beskriver att elever behöver tillägna sig aspekter i matematiken som är ”nödvändiga” och ”godtyckliga”. De nödvändiga aspekterna är något som inte behöver informeras om och som eleven kan utarbeta och upptäcka på egen hand. De är en nödvändighet utifrån att matematiken fungerar på ett visst sätt. Till exempel kan en uppgift om triangeln ge elever förutsättningar att upptäcka att summan av dess inre vinklar alltid utgör ett halvt varv. Det är bara en fråga om eleven har den medvetenhet som krävs för att kunna upptäcka det. De godtyckliga aspekterna är något eleverna behöver bli informerade om. En godtycklig aspekt av matematiken är en sådan som vi på något sätt kommit överens om, men som inte nödvändigtvis måste vara på det sättet. Precis som McIntosh (2008) beskriver skulle det lika gärna kunna användas andra regler än prioriteringsreglerna och de skulle vara lika rimliga. Prioriteringsreglerna är på så vis godtyckliga, och enligt Hewitt (1999) något elever måste undervisas om.
3
3. Tidigare forskning
I det här kapitlet beskrivs vad tidigare forskning säger om elevers svårigheter med prioriteringsrelgerna och strukturen i matematiska uttryck.
3.1 Kända svårigheter
Det har beskrivits några vanligt förekommande uppfattningar som elever visar när de beräknar numeriska uttryck där prioriteringsreglerna behövs. En uppfattning är att addition ska prioriteras före subtraktion. En annan uppfattning är att multiplikation ska prioriteras före division och slutligen beskrivs att det är vanligt förekommande att elever endast beräknar operationer från vänster till höger (Dupree 2016).
Tidigare forskning har även beskrivit att det finns ett samband mellan uppfattningen av algebra och numerisk räkning hos gymnasieelever (Persson 2005). Denna studie upptäckte att elevernas svårigheter i algebra berodde på brister i de aritmetiska färdigheterna. Dessa brister grundar sig i den strukturella behandlingen som rör räknesättens prioriteringsregler, parentesers betydelser och tendensen att bilda osynliga parenteser. En liknande studie visar att elevers förståelse av strukturella egenskaper i algebra delvis beror på att de har bristande förståelse av strukturella föreställningar i aritmetik. Studien konstaterar att elevers svårigheter i strukturen i algebra speglar de svårigheter de redan har i vårt talsystem (Linchevski & Livneh, 1999).
En annan studie gjord på elever från årskurserna 6–8 visade att elever generellt räknar operationer som de avläses, från vänster till höger, utan att ta hänsyn till prioriteringsreglerna (Tabak, 2019). Studien visade att nära 200 av de 240 deltagande eleverna gick till väga på detta vis, oberoende av vilka räknesätt som uppgifterna bestod av. Det kunde även uppmärksammas att andelen korrekta svar var avsevärt mycket högre på de uppgifter där operationerna uppträdde i den ordning som prioriteringsreglerna ska följas. Exempelvis kunde uttrycket 60 ÷ 4 + 2 beräknas från vänster till höger och ändå resultera i korrekt svar. Flera forskare uppmärksammar att elevers uppfattningar om hur aritmetiska uttryck ska beräknas grundar sig i en brist på kunskaper om processer inom matematiken (Glidden, 2008; Lee, 2000; Tabak, 2019). I detta fall menas den kompetens som eleverna besitter av att endast memorera det förlopp som råder för prioriteringsreglerna.
4 Linchevski och Livneh (1999) har upptäckt att somliga elever tenderar att avskilja en operation från ett uttryck vid beräkningar. Denna benägenhet är något de kallar för ”detachment”. Om du skulle få uppmaningen att förenkla uttrycket 40 − 10 + 10 + 10 och tolkar detta som 40 − 30 är detta en indikation på detachment. Tolkningen skulle innebära att uttrycket uppfattas som 40 − (10 + 10 + 10), vilket betyder att termerna med talen 10 avskiljs från talet 40.
3.2 Elevers tillämpning av olika regler vid beräkningar
av liknande numeriska uttryck
I tidigare forskning har det framkommit att elevers uppfattningar om hur numeriska uttryck ska beräknas är beroende på strukturen i uttrycket. I en studie av Linchevski och Livneh (1999) redovisas att elevers tolkningar av ett uttrycks struktur var väldigt konsekvent, där samma tendenser hittades i många elevers svar. Däremot var det vanligt förekommande att eleverna visade sig vara inkonsekventa i sina beräkningar. Samma elev kunde ge ett felaktigt svar i en uppgift och ett korrekt svar i en annan, trots att uttrycken följde samma struktur. I studien av Linchevski och Livneh (1999) undersöktes exempelvis elevers tillvägagångsätt vid beräkning av tre uttryck med samma struktur. Eleverna blev uppmanade att beräkna följande uttryck:
(1) 27 − 5 + 3
(2) 167 − 20 + 10 + 30
(3) 50 − 10 + 10 + 10
Genom analysen av elevernas beräkningar kunde det uppmärksammas att de tre uttrycken utlöste olika frekvenser av detachment. Exempelvis visade det sig att många elever beräknade additionerna först i uppgift 3 men att detta inte alls förekom i lika hög utsträckning i uppgift 1, där de flesta i stället valde att beräkna subtraktionen först. Linechevski och Livneh (1999) beskriver att en orsak till de olika uppfattningarna är sannolikt relaterat till antalet operationer i uttrycket. En elev som endast visade på detachment i uppgift 3 berättade att den inte använde någon regel, utan att detta berodde på hur uppgiften såg ut och vad som upplevdes vara enklast att utföra.
Liebenberg et al. (1999) belyser att elever har skilda uppfattningar om hur prioriteringsreglerna ska tillämpas beroende på om det förekommer en eller flera multiplikationer i uttrycket. I de uttryck där multiplikation endast förekommer en gång har elever betydligt enklare att följa prioriteringsreglerna. Studiens resultat visar att eleverna ofta gav upp att följa
5 prioriteringsreglerna vid beräkningar av uttryck där multiplikation förekom flera gånger, exempelvis i uttrycket 4 + 3 + 6 ∙ 2 + 3 ∙ 5. (Liebenberg et al. 1999). Från intervjuerna kunde det konstateras att eleverna förstod att multiplikation skulle beräknas före addition, men att regeln uppfattades som tillämpad när den första multiplikationen var beräknad. Trots att de olika uttrycken följde samma struktur kunde inte eleverna upptäcka en allmän regel för uttrycken. Liebenberg et al. (1999) beskriver att eleverna hade svårigheter i att se förhållandet mellan operationernas struktur och det resultat de kom fram till.
3.3 Didaktiska perspektiv på matematisk struktur
För att beskriva elevers förståelse av matematiska strukturer har det i matematikdidaktisk forskning använts av begreppet ”structure sense”. Structure sense är svårdefinierat eftersom det har gjorts flera olika försök till att beskriva begreppet (Hoch & Dreyfus, 2004; Linchevski & Livneh, 1999; Novotná & Hoch, 2008). Det har hittills ingen direkt svensk översättning men det kan tolkas som “strukturförståelse” eller “strukturuppfattning” och beskriver elevers förståelse av matematiska strukturer. Structure sense ses ibland som algebrans motsvarighet till aritmetikens talförståelse, ”number sense”. Novotná och Hoch (2008) beskriver i en studie att begreppet struktur kan ha olika betydelser för olika människor eftersom det används frekvent i många kontexter. En elev som uppvisar structure sense kan upptäcka och känna igen strukturer i dess enklaste form, exempelvis för en gymnasieelev att känna igen och förstå det algebraiska uttrycket 81 − x² (Hoch & Dreyfus, 2004). Exempelvis kan exemplet om detachment, där elever förenklar uttrycket 50 − 10 + 10 + 10 till 50 − 30, uppfattas som att eleverna saknar structure sense.
Att utveckla kunskaper om matematiska strukturer kan exempelvis innebära att skapa en förståelse av de fyra räknesättens egenskaper och hur de förhåller sig till varandra i olika matematiska uttryck. Exempelvis kan prioriteringsreglerna associeras med att utveckla sin structure sense av den anledningen att de kräver att kunna utföra operationer i en viss ordning, för att på så vis kunna beräkna och lösa matematiska uttryck. Novotná och Hoch (2008) förmedlar även att structure sense är en omfattning av en individs taluppfattning och uppfattning för symboler. Det vill säga att äga en känsla för siffror och en instinkt i att kunna se uppenbarliga felaktiga svar samt kunna välja den aritmetiska operation som krävs för att kunna lösa en uppgift.
6
4. Syfte och frågeställningar
Den här studien är en re-analys av en datainsamling från en tidigare studie. Syftet med denna studie är genom att eventuellt stärka tidigare analys kunna vetenskapligt beskriva elevers spontana förståelse av aritmetiska räkneregler. Syftet ska uppfyllas genom att besvara följande frågor:
• Vilka kvalitativt skilda metoder använder sig elever av när de beräknar numeriska uttryck med flera operationer?
• Hur konsekventa är elevers tillvägagångssätt när de använder sig av olika regler? • På vilket sätt kan re-analysen stärka tidigare genomförd analys?
7
5. Metod
I det här kapitlet beskrivs studiens tillvägagångssätt och på vilket sätt material och data har analyserats. Eftersom det handlar om en re-analys av tidigare insamlade data tydliggörs också min egen insats i arbetet.
5.1 Studiens data
Denna studie utgår från elevlösningar från en tidigare studie (Wiberg 2017), vars utgångspunkt var att undersöka elevers kvalitativt skilda tillvägagångssätt när de beräknar aritmetiska uttryck. Den tidigare studien ingick i en större internationell studie där elevuppgifter konstruerades och prövades ut gemensamt med forskare från Sverige, Grekland och Storbritannien. Datainsamlingen för denna gemensamma studie genomfördes i skolor från Grekland och Sverige där alla deltagare var elever i åldern 11–12 år. Alla elever genomförde sex olika uppgifter, vilka var uppdelade i olika antal deluppgifter. Den svenska delen av den internationella studien omfattade totalt 123 elever i årskurs 5. För att undersöka hur elever i årskurs 5 strukturerar sina beräkningar av numeriska uttryck utgick den tidigare studien från den svenska datainsamlingen. Wiberg (2017) genomförde ett stickprov på skolor med olika bakgrunder för att resultatet skulle bli så representativt som möjligt. Eleverna var fördelade från sex olika klasser med en utspridning på fem skolor. Totalt bestod deltagarna av 63 flickor och 60 pojkar. Det var viktigt med en stor variationsbredd för att på så vis kunna beskriva så många olika kvalitativt skilda tillvägagångssätt som möjligt. För att få en bred spridning valdes skolorna ut efter aspekter gällande etnicitet, språkbakgrund och socioekonomi. Studien antog att alla elever hade fått undervisning i hur prioriteringsregler tillämpas då dessa vanligtvis introduceras i årskurserna 4 eller 5.
Huvudmålet i den tidigare studien var inte att skapa en generalisering av elevers tillvägagångssätt när de utför aritmetiska beräkningar eftersom ett sannolikhetsurval då hade krävts (Wiberg, 2017). I stället genomfördes ett bekvämlighetsurval där alla deltagande skolor var belägna i Västsverige. Det kan anses att studien har ett rikt material och då lyckats fånga en stor variationsbredd eftersom det finns en stor mängd olika lösningsmetoder i data som kan bidra till denna analys.
8
5.2 Det ursprungliga arbetsbladets sammansättning
Arbetsbladet eleverna skulle genomföra bestod av uppgifter som behandlade olika räknesätt och hade en nödvändighet i att följa prioriteringsreglerna. Uppgifterna bestod av uttryck med flera operationer innehållande olika räknesätt och parenteser. Det ursprungliga arbetsbladet var framför allt inriktat på elevers förståelse av parenteser. Denna studie utgår från att endast analysera beräkningar innehållande räknesätten multiplikation, addition och subtraktion. Dessa beräkningar bestod endast av en uppgift vilken var uppdelad i fyra deluppgifter. De fyra deluppgifterna var utformade för att utforska elevernas förståelse av prioriteringsreglerna genom uttryck av olika antal operationer (figur 1).
Anledningen till att valet föll på att endast analysera dessa deluppgifter var att de framstod som mest intressant ur perspektivet prioriteringsregler. Deluppgifterna innehållande multiplikation, addition och subtraktion, med olika antal operationer, bedömdes även ge ett rikt underlag att analysera hur elever strukturerar sina beräkningar av aritmetiska uttryck. Det kan även anses att omfattningen, fyra uppgifter för 123 elever, totalt 492 lösningsförslag är tillräckligt omfattande för denna studie. Dessutom kan det argumenteras för att dessa uppgifter stärker tillförlitligheten för studien då likartade uppgifter framgångsrikt använts i en tidigare studie av Liebenberg et al. (1999).
5.3 Analysmetod
Denna studie bygger i grunden på en kvalitativ forskningsmetod där tonvikten ligger på att skapa en djupare förståelse av människors handlingar. Tyngdpunkten ligger alltså inte i att inrikta sig på kvantitet utan på den enskilde människans uppfattning. I en kvalitativ forskning är det deltagarens perspektiv som är utgångspunkten (Bryman, 2018, kap. 5). För att förstå hur människor hanterar olika problem, situationer eller vår omvärld måste vi förstå hur de erfar problemen, situationerna eller omvärlden. Man kan bara agera i relation till världen så som man erfar den (Marton & Booth, 2000, s. 146). Med fenomenografi som ansats är syftet att
9 utforska de kvalitativt skilda sätt varpå människor erfar skilda fenomen. Denna studie har till stora delar en fenomenografisk ansats, där undersökningen fokuserar på elevers uppfattningar om hur numeriska uttryck ska beräknas. I denna studie har en tolkning av elevers olika uppfattningar om hur beräkningarna ska struktureras genomförts. Elevernas beräkningar analyserades för att därefter försöka upptäcka om elevers tillvägagångsätt och eventuella svårigheter var något som redan noterats i tidigare forskning.
Med orsak av att den insamlade data inte är av mig själv har jag inte fått möjlighet att få elevernas egna ord på hur de uppfattar att numeriska uttryck ska beräknas, utan detta baseras på mina egna tolkningar. Denna studie fokuserade i stället på att gruppera resultatet utifrån olika aspekter av hur elever strukturerar och ”bokför”1 sina beräkningar. Dessa aspekter är konstruerade efter elevers svårigheter och beteenden som uppmärksammats i tidigare forskning om elevers struktureringar vid beräkning av numeriska uttryck.
5.4 Tillvägagångssätt vid analys
I processen av analysen konstruerades olika aspekter utifrån vilka principer eleverna följde. Dessa principer kopplades till vad tidigare forskning har visat kring elevers tillvägagångssätt vid beräkningar av numeriska uttryck. Detta genomfördes för att lättare kunna identifiera skillnader och likheter i elevlösningarna. Denna process betecknas som en kvalitativ innehållsanalys vilket vanligtvis innebär att data analyseras och sedan indelas i olika kategorier. (Bryman, 2018, kap 5). Vid analysen av de 123 elevers lösningar påbörjades en granskning av elevernas skilda tillvägagångssätt i stort. Ett fokusområde var vilka skillnader och likheter i elevernas beräkningar och struktureringar som kunde upptäckas. Sedan inleddes en indelning av elevlösningarna i olika grupper genom så kallad ”öppen kodning”. Grupperingarna konstruerades endast genom numreringar vilket bestod av koderna 1, 2, 3 o.s.v. Denna process innebär att bryta ner, studera, jämföra och kategorisera data (Bryman, 2018, kap. 5). Utifrån processen konstruerades de olika aspekterna. Genom min analys kunde jag exempelvis identifiera att många elever var benägna att para ihop tal om två vilket kodades till samma gruppering, denna aspekt kallar jag ”parbildning”. Eleverna verkade se tal som om de hör ihop två och två. Genom att jämföra elevernas olika tillvägagångssätt och beräkningar kunde jag sedan upptäcka aspekter som skilde dem åt.
1 Detta är inget ord som vanligtvis förekommer som ett matematiskt begrepp. I denna studie används ”bokföra”
10
5.5 Metoddiskussion
Som beskrivet tidigare har data inte samlats in på egen hand i denna studie och uppgifterna är heller inte formulerade av mig själv. Den analyserade data är hämtad från den tidigare studien av Wiberg (2017). Analysen av elevlösningarna har dock genomförts helt självständigt. Kodningen av data har utförts oberoende av den tidigare analysen och naturligtvis utgått från vad jag själv har sett och uppfattat. Det kan dock tilläggas att mina egna föreställningar om elevers tillvägagångssätt och förförståelse genom tidigare forskning kan ha påverkat de aspekter som hittats.
Eftersom denna studie inte inkluderade intervjuer av deltagarna besparades jag på ett dilemma som eventuellt kan vara framträdande vid typiska fenomenografiska studier. I en fenomenografisk studie genomförs vanligtvis intervjuer, vilka oftast är relativt ostrukturerade. Målsättningen är att deltagaren och forskaren tillsammans försöker nå kärnan av fenomenet (Leady & Ormrod, 2016, kap. 9). Det dilemma som kan uppstå när dataanalysen senare ska genomföras är att forskaren blir påverkad av det som sägs av deltagarna och skapar på så vis förutfattade föreställningar om hur de uppfattar fenomenet. I denna studie sattes därför endast elevernas utföranden av deluppgifterna i fokus eftersom elevernas redogörelser för hur de gått till väga inte togs del av. Detta är ett av de avseenden som skiljer denna studie från en typisk fenomenografisk studie. Det finns även skildringar i vad själva analysen bygger på. I en fenomenografisk studie analyseras de uppfattningar av deltagarna som uttalas explicit genom exempelvis intervjuer. Som beskrivet tidigare är huvudmålet för intervjuerna i en fenomenografisk analys att nå kärnan av fenomenet, vilket kan innebära att ta reda på hur det är för en enskild individ att uppleva ”sådant och sådant” (such-and-such) (Leady & Ormrod, 2016, kap. 9). Den här studien består å andra sidan av en analys av elevlösningar, vilka man kan anta bygger på uppfattningar. Det kan exempelvis antas att en elev uppfattar att operationer i ett uttryck ska beräknas från vänster till höger men att detta inte beskrivs explicit av eleven själv.
Genom att ha flera beröringspunkter med fenomenografin påträffades därför fördelar i denna studie att dela in elevernas skilda tillvägagångssätt i olika aspekter. Det fokuserades på att skildra elevernas uppfattningar åt genom att koda dem i olika grupper för att få så vis skapa en ordning i den tilldelade data. Genom kodningen kunde sedan likheter identifieras vilket sorterades slutligen i grupper och skapade strukturerade resultat. Eftersom detta är en kvalitativ
11 analys kan det inte säkerställas att en annan identisk studie skulle få samma resultat, eftersom denna studies resultat baseras på egna tolkningar. Dock finns flera likheter mellan studiens resultat och resultatet från Wibergs (2017) tidigare analys. I båda studierna upptäcktes bland annat att eleverna tenderade att skapa parbildning mellan tal i olika operationer. Detta ger en indikation på en verifiering av att studien är tillförlitlig. Resultatet kan även tyckas bedömas tillförlitligt med anledningen av att analysen genomfördes på en så stor mängd data.
12
6. Resultat och diskussion
I det här kapitlet presenteras de tolkade tillvägagångssätt elever i årskurs 5 visar när de löser fyra olika numeriska uttryck. Resultatet har grupperats efter olika aspekter av strukturering och bokföring av beräkningar. Av de elever som skapade par av talen i uttrycken kunde det exempelvis uppmärksammas att några skapade par från vänster till höger, oavsett vilket räknesätt som förekom. Denna aspekt benämns som ”skapa par från vänster till höger”. Trots att denna aspekt ingår i grupperingen ”parbildning” är det ändå av betydelse att uppmärksamma att de tendenser eleverna visade kunde likvärdigt representeras i grupperingen ”räkna från vänster till höger”. Med anledning av detta illustreras därför en sammankoppling mellan ”skapa par från vänster till höger” till både aspekten ”räkna från vänster till höger” och ”parbildning” (figur 2).
Somliga elever genomförde parbildning men bokförde sina beräkningar på ett annat vis. Dessa elever sammanställde i stället produkterna i en uppställning för att sedan addera ihop dem. Denna aspekt benämns som ”skapa par med uppställning”. En annan aspekt som uppmärksammades var benägenheten om detachment, vilket som tidigare nämnt innebär att frigöra ett tal från ett uttryck. Vidare särskildes även aspekten att ”räkna på en rad”, vilket innebar att eleverna ordnade och bokförde sina operationer och beräkningar genom flera likhetstecken. Alla operationer strukturerades således på en enda rad. Det visade sig att de flesta eleverna var inkonsekventa när de strukturerade sina beräkningar för varje deluppgift. Nedan kommer utdrag från några utvalda elevlösningar från varje identifierad aspekt. För att hålla en tät anknytning mellan resultat och diskussion kommer varje aspekt att diskuteras i anslutning när de presenteras.
Figur 2: [Färg]. Sammanställning av de aspekterna på hur elever strukturerar och bokför sina beräkningar.
13
6.1 Parbildning
Genom analysen av alla elevlösningar från de 123 olika deltagarna kunde det uppmärksammas att många elever parade ihop tal om två när de skulle tolka och beräkna uttrycken. Trots att denna struktur genomsyrade stora delar av elevlösningarna kunde det särskiljas olika metoder och tillvägagångssätt. Dessa tillvägagångssätt ordnas och presenteras som underrubriker nedan.
6.1.1 Skapa par från vänster till höger
I deluppgift a) var det vanligt förekommande att eleverna ordnade tal i par utan att ta hänsyn till vilket räknesätt som skulle utföras mellan talen. Elev 13 var en av många som använde denna metod när den skulle beräkna 9 − 2 ∙ 3 − 2. Eleven inledde med att para ihop talen om två, från vänster till höger, vilket resulterade i beräkningen (9 − 2) ∙ (3 − 2) (figur 3).
Precis som ovan exempel bokförde de flesta elever sina beräkningar genom att visa att första och andra talet associeras med varandra samt det tredje och fjärde med varandra. I deluppgift b) visade dock många elever att de däremot behärskar att följa prioriteringsreglerna. Elev 13 var en av deltagarna som bildade par från vänster till höger i deluppgift a) men som sedan bytte metod i deluppgift b) genom att gruppera talen efter räknesätt (figur 4).
Figur 3: Elev 13 parar ihop tal om två, från vänster till höger utan att ta hänsyn till räknesätt.
Figur 4: [Färg].I deluppgift b) grupperar elev 13 talen efter räknesätt. De blå siffrorna
symboliserar min tolkning av elevens ordningsföljd. De blåa siffrorna är betecknade av mig själv med syfte i att notera vilken ordning eleven utförde operationerna.
14 En annan elev som visade samma tendens var elev 87. Likt elev 13 konstruerade elev 87 en egen regel genom att bilda talen i par från vänster till höger i deluppgift a), för att sedan bilda grupperingar efter räknesätt i deluppgift b) (figur 5).
Grupperingarna följer prioriteringsreglerna eftersom elev 13 och 87 med flera valde att utgå från att först och främst gruppera multiplikationer. Deluppgift b) tolkades och ordnades därför som (5 ∙ 4 ∙ 3) + (6 ∙ 2) + 1 vilket visade sig framgångsrikt. Elev 24 var ytterligare en deltagare som strukturerade sina beräkningar genom parbildning från vänster till höger i deluppgift a), likt elev 13 och elev 87. Parbildningen i deluppgift a) innebar att skapa par mellan subtraktionerna och därför tolka uttrycket som (9 − 2) ∙ (3 − 2). Dock visade det sig att till skillnad från elev 13 och elev 87 använde elev 24 samma metod vid beräkningen av deluppgift b) genom att även där bilda par från vänster till höger (figur 6). På detta vis följer elev 24 konsekvent samma regler genom hela arbetsbladet.
Figur 5: I deluppgift a) delar elev 87 upp sina beräkningar i två subtraktioner för att sedan räkna
multiplikationen. I deluppgift b) bildar eleven grupperingar efter räknesätt och prioriterar multiplikation först.
Figur 6: [Färg].Elev 24 följer en egen regel genom att konsekvent skapa par om två med talen i uttrycken. I deluppgift b) finns jämnt antal tal i uttrycket vilket gör att eleven skapar par med talen vars ordning i uttrycket är 1 och 2, 3 och 4 samt 5 och 6. De blåa siffrorna är mina egna noteringar och indikerar elevens ordningsföljd.
15 Dock kan det uppmärksammas att eleven bildar par så snart det är möjligt genom att skapa par mellan svaren från operationerna. I uttrycket 5 ∙ 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 1 bildar elev 24 par om talen från vänster till höger likt (5 ∙ 4) ∙ (3 + 6). Sedan räknar eleven ut produkten 180 av dessa parbildningar, se 3 i figur 6. Därefter fortsätter eleven med samma metod genom att bilda par mellan talen 2 och 1, se 4 i figur 6. Vidare i deluppgift d) fortsätter elev 24 att använda okonventionella regler. Uttrycket 5 ∙ 3 + 2 ∙ 4 ∙ 5 + 3 ∙ 2 innehåller ett ojämnt antal tal (sju) vilket gör att elevens egenpåhittade regel om att ständigt skapa par om två inte kan följas, eftersom ett tal då blir ensamt.
Som beskrivet tidigare var det många elever som skapade parbildningar när de strukturerade och beräknade uttrycken. Dock visade samma elever att de följde olika regler genom de fyra deluppgifterna. I deluppgift a) var en frekvent metod att bilda par mellan subtraktionerna i uttrycket 9 − 2 ∙ 3 − 2 för att på så vis tolka det som (9 − 2) ∙ (3 − 2) och därför beräkna multiplikationen sist. I nästkommande uppgift bildade samma elever par om tal genom att i stället prioritera multiplikationerna först i uttrycket 5 ∙ 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 1. Tendensen att bilda par om två, utan att ta hänsyn till räknesätt, är en metod som påträffats i tidigare forskning av Liebenberg et al. (1999). I studien kunde det uppmärksammas att somliga elever skapade par om två från vänster till höger i uttrycket 4 + 5 + 5 ∙ 2 ∙ 6 + 4 genom att uppfatta det som (4 + 5) + (5 ∙ 2) ∙ (6 + 4). Denna benägenhet är sammanfallande med tillvägagångssättet för elev 24, vilket redovisades i figur 6, där eleven bildar par med tal 1 och 2, 3 och 4 o.s.v. Dock kan det uppmärksammas en skillnad i att eleven bildar par så snart det är möjligt. Det vill säga att eleven parar ihop svaren från parbildningarna så snart det går.
6.1.2 Skapa par med uppställning
Några enstaka elever strukturerade sina beräkningar genom uppställning. Denna aspekt kan dock liknas mycket till att skapa par från vänster till höger eftersom eleverna inledningsvis skapade par på liknande sätt som eleverna vilka kategoriserats i aspekten ”skapa par från vänster till höger”. Eftersom min analys fokuserar på hur eleverna strukturerar och bokför sina beräkningar gjordes valet att skapa en egen aspekt av de lösningar som innehöll uppställning. Elev 40 var en av de elever som beräknade uttrycken med hjälp av uppställning. I deluppgift d) skapade eleven parbildning vid multiplikationer för att sedan addera samtliga produkter. Additionen av produkterna genomfördes sedan genom att ställa upp dem i en uppställning (figur 7).
16 Inledningsvis grupperade elev 40 alla tal vid multiplikationer och tolkade därför uppgiften som (5 ∙ 3) + (2 ∙ 4 ∙ 5) + (3 ∙ 2). En tolkning skulle kunna vara att eleven multiplicerar produkten av 2 ∙ 4 med 5 för att få svaret 40. Dock visar eleven inte grundläggande kunskaper i att hantera likhetstecknet då faktorerna inte balanseras och därför missbrukas som 2 ∙ 4 = 8 ∙ 5 = 40. I elevens uppställning kan det noteras att varje rad i uppställningen motsvarar exakt en term i uttrycket. Exempelvis att svaret 15 från operationen 5 ∙ 3 motsvarar en rad i uppställningen. Därefter följer termerna 40 och 6, se 4 i figur 7. Elev 40 använde uppställning som metod konsekvent genom uppgifterna b), c) och d). Dock kan de tillvägagångssätt som eleven uppvisade på uppgift c) anknytas till aspekten detachment. Likt elev 45 lösgör elev 40 talet 6 från operationen 2 ∙ 3 ∙ 5 − 4 ∙ 2 + 6 och ändrar därför räknesättet indirekt från addition till subtraktion (figur 8).
Uppställningen som är markerad med sekvens 4 är svår att tyda. Det skulle kunna tolkas som att eleven har placerat talet 30, vilket är produkten av 6 ∙ 5, höst upp i uppställningen. Därefter ska detta subtraheras med 14, vilket är summan av 8 + 6, vilket skrivs nedanför talet 30. En annan deltagare som strukturerade sina beräkningar med hjälp av uppställning var elev 51. Likt många andra elever gjorde elev 51 parbildningar mellan multiplikationer. Alla produkter av de Figur 7: [Färg].Elev 40 skapar parbildning vid multiplikationer för att sedan ordna alla produkter i en uppställning. De blåa siffrorna är mina egna noteringar och indikerar elevens ordningsföljd.
Figur 8: [Färg].Elev 45 visar tendens till detachment genom att talet 6 frigörs från ekvationen och på så vis byter räknesätt.
17 olika operationerna bokfördes sedan i en uppställning som summerades till det inkorrekta svaret 69 (figur 9).
Det kan uppfattas som att elevens misstag härrör från hur den tolkar sin egen bokföring av operationerna. I steg 2 och 3 beräknar eleven 2 ∙ 4 ∙ 5 genom att först associera talen 2 och 4 för att sedan multiplicera produkten 8 med 5, för att då få svaret 40. När eleven sedan ska addera ihop samtliga produkter i en uppställning beräknar den operationen 2 ∙ 4 två gånger, eftersom denna operation redan använts i 8 ∙ 5 = 40. Med andra ord kan det redovisas som att eleven uppfattar uttrycket 2 ∙ 4 ∙ 5 som (2 ∙ 4) + (2 ∙ 4 ∙ 5). Elev 51 ordnar även talen i storleksordning när den bokför termerna i uppställningen. Det skulle kunna spekuleras i att detta är anledningen till att eleven vilseleds när den ska addera ihop alla produkter. I jämförelse bokförde exempelvis elev 40 talen i uppställningen i den följd termerna framkom i uttrycket (figur 8).
I jämförelse med Wibergs (2017) tidigare studie påträffas många likheter där det belyses att eleverna bildar par med tal. Dock benämner Wiberg (2017) metoden om att bilda par som ”grupperingar” vilket sedan delas in i fyra olika kategorier. Den första av dessa kategorier är ”bilda par”, vilket skulle kunna uppskattas är motsvarande till ”skapa par från vänster till höger” i denna analys. Den andra kategorin är ”bilda par kring varje operation”, något som har likheter med aspekten ”användning av tal i flera operationer” i den här analysen. Den tredje kategorin benämns som ”bilda par men bortse från sista talet” och den fjärde benämns som ”bilda grupp kring term”. De två sistnämnda kategorierna är något som inte uppmärksammats i denna studie på samma sätt. Kategorin ”bilda par men bortse från sista talet” är något som Wiberg (2017) uppmärksammar att eleverna gör i deluppgift d). Detta med anledning till att uttrycket innehåller ett ojämnt antal tal vilket gjorde att parbildningen inte kunde skapas jämnt ut. Därför kunde somliga elever bilda ett par med det förgående talet när de kom till det
Figur 9: [Färg].Elev 51 tycks uppfatta sina egna beräkningar fel genom att lägga till produkten 8 i beräkningen två gånger. De blåa siffrorna är mina egna noteringar och indikerar elevens
18 avslutande talet, trots att de redan använt detta tal i en annan parbildning. I den här studien beskrivs denna benägenhet i stället som att återanvända tal och ingår därför i aspekten ”användning av tal i flera operationer”.
6.2 Räkna från vänster till höger
Genom analysen kunde det konstateras att många elever beräknade numeriska uttryck som de normalt avläses, från vänster till höger. Som beskrivet tidigare kunde aspekten ”skapa par från vänster till höger” likväl tillhöra denna gruppering. Det kan därför betecknas att aspekten tillhör två olika grupperingar, vilket illustrerades i figur 2.
6.2.1 Räkna sekventiellt från vänster till höger
En metod som visade sig vara vanligt förekommande var att räkna varje tal från vänster till höger genom att utföra alla operationer sekventiellt. Det vill säga att man exempelvis beräknar uttrycket 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑑 som (((𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐) + 𝑑). Elev 72 strukturerade varje operation för sig för att sedan utföra dem från vänster till höger. Likt elev 13 och elev 87, från figur 4 respektive figur 5, bokförde elev 72 varje operation för sig. Dock beräknade eleven varje tal för sig från vänster till höger (figur 10).
Inledningsvis beräknar elev 72 den första operationen, 5 ∙ 4, för att sedan ta produkten till beräkningen av nästa operation, 20 ∙ 3. Fortsättingsvis tar eleven produkten av 20 ∙ 3 och beräknar nästa operation sekventiellt från vänster till höger genom att addera detta med 6. Vid varje operation bokför eleven sina beräkningar genom att i detta fall skriva 60 + 6 = 66. På detta vis bokför elev 72 alla sina beräkningar genom hela deluppgiften. Denna elev är även en av de få som följer en regel konsekvent genom alla deluppgifter. I exempelvis deluppgift d) strukturerar elev 72 sina beräkningar precis på samma sätt genom att inleda med beräkningen
Figur 10: [Färg].Elev 72 ordnar och beräknar varje operation för sig men genomför detta
sekventiellt från vänster till höger. De blåa siffrorna är mina egna noteringar och indikerar elevens ordningsföljd.
19 av den första operationen, 5 ∙ 3, för att sedan fortsätta att genomföra operationer från vänster till höger (figur 11).
Det kan uppmärksammas en likhet i figur 6 och figur 11 att eleverna bildar par så snart det är möjligt. På detta vis bokför elev 24 och elev 72 på liknande sätt genom att inledningsvis beräkna operationer för att sedan para ihop svaren från parbildningarna så snart det går. Att elever beräknar uttryck som de vanligtvis utläses, från vänster till höger, har förekommit tidigare i matematikdidaktisk forskning. I en studie gjord på 203 elever i åldrarna 12–14 år från Storbritannien, USA, Japan och Nederländerna kunde det konstateras att den mest förekommande uppfattningen var att beräkna numeriska uttryck från vänster till höger (Headlam, 2013). I studien kunde det exempelvis uppmärksammas att många elever från Storbritannien beräknade uttrycket 2 + 3 ∙ 4 + 5 från vänster till höger. I uttryck innehållande addition och potensräkning beräknade somliga elever additionen först. Enligt Headlam (2013) tolkades därför exempelvis uttrycket 2 + 32 som (2 + 3)2, vilket gav svaret 25.
För att utveckla matematiska färdigheter vad gäller strukturering behöver eleverna själva upptäcka och förstå likheter i uttryck (Bay-Williams & Martinie, 2015). Exempelvis kan läraren illustrera ett uttryck med hjälp av högar av mynt för att belysa varför multiplikation ska beräknas före addition. Bay-Williams och Martinie (2015) beskriver ett exempel där en lärare illustrerar uttrycket 8 + 3 ∙ 5 + 7 genom en berättelse. I berättelsen beskrivs antalet mynt familjen Haktaks framställer från en magisk kittel med hjälp av uttrycket. Om eleverna får syn på att uttrycket symboliserar att familjen Haktaks har en hög med åtta mynt, tre högar med fem mynt och en hög med sju mynt kan det upptäcka att multiplikationen bör beräknas först för att detta ska stämma. Genom denna metod kan eleverna utveckla en stark förståelse av i vilken ordning de kan tillämpa operationer (Bay-Williams och Martinie 2015).
Figur 11: Elev 72 följer konsekvent sin egenskapade regel genom att fortsätta beräkna
20
6.3 Räkna på en rad
Under analysprocessen visade det sig att somliga elever strukturerade sina beräkningar genom att räkna och skriva alla operationer på en rad. Många av de elevlösningar som ingår i denna aspekt har stora likheter med den tidigare kategorin, eftersom många av dessa elever utförde beräkningar från vänster till höger. Dock visade det sig att eleverna bokförde sina beräkningar på olika sätt och därför gjordes en bedömning att skilja dem åt.
Det förekom att elever ordnade sina beräkningar genom att ordna dem i samma uttryck på en rad. På detta vis missbrukades användningen av likhetstecknet då termerna i operationerna inte balanserades. Elev 79 visar exempelvis en metod att räkna operationerna stegvis men att detta görs endast i ordningen vänster till höger. I deluppgift c) arrangerar eleven alla operationer i samma beräkning (figur 12).
Elevens tillvägagångssätt i figur 12 visar dock att eleven inledningsvis parar ihop tal i uttrycket 2 ∙ 3 ∙ 5 − 4 ∙ 2 + 6 genom att associera 2 ∙ 3 och sedan multiplicera produkten med 5. Därefter följer en struktur som följer okonventionella regler eftersom eleven endast följer vänster-till-höger-principen. Elev 79 verkar skapa par så snart möjligt genom att lägga till nästkommande tal. Denna benägenhet beskrevs tidigare från elev 24 och elev 72 i figur 6 respektive figur 11. Elev 79 beräknar exempelvis ut produkten 6 av 2 ∙ 3 för att sedan lägga till multiplikationen 5. Denna ordning följer eleven konsekvent genom alla fyra deluppgifter.
Att räkna och strukturera alla operationer i samma rad som ovan kan tyckas vara rörigt och eventuellt försvåra beräkningsprocessen. Dock visade studien att somliga elever genomförde deluppgifterna framgångsrikt trots att de strukturerade sina beräkningar på liknande vis. Elev 57 ordnade alla operationerna på en rad men visade kunskaper i att följa prioriteringsreglerna (figur 13).
21 Elev 57 beräknade uttrycket 5 ∙ 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 1 genom att para ihop faktorerna i multiplikationerna. En tolkning skulle kunna vara att eleven löste operationerna genom huvudräkning och började därför att beräkna 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60. Därefter fortsatte elev 57 att följa prioriteringsreglerna och beräknade 6 × 2 = 12. Till sist adderade eleven ihop termerna 60, 12 och 1 för att få det korrekta svaret 73.
En annan elev som också visade ett framgångsrikt resultat genom att räkna på en rad var elev 67. Eleven visade kunskaper om prioriteringsreglerna genom att markera de olika räknesättens företräde med parenteser (figur 14). Likt elev 57 i figur 13 väljer elev 67 att para multiplikationer och utföra dessa med endast huvudräkning.
Att döma av de utplacerade parenteserna förenar eleven faktorerna 2 och 4 för att sedan multiplicera produkten med 5, vilket ger svaret 40. Eleven adderar sedan ihop alla termer och får det korrekta svaret 61. Av de elever som visade att följa okonventionella regler när de räknade på en rad tycks problemen inte nödvändigtvis ha med själva bokföringen att göra. Detta med anledning att somliga elever genomförde det framgångsrikt.
Figur 13: Elev 57 ordnar alla operationer på en enda rad men visar kunskaper i att följa
prioriteringsreglerna.
Figur 14: Elev 67 strukturerar sina beräkningar genom att bilda parenteser, vilka visar räknesättens
22
6.4 Detachment
Resultatet visar att många elever valde att använda egna regler genom att para ihop olika operationer. Bland annat var det ofta förekommande att eleverna tolkade uppgiften 2 ∙ 3 ∙ 5 − 4 ∙ 2 + 6 som (2 ∙ 3 ∙ 5) − (4 ∙ 2 + 6).
I denna studies fall var somliga elever benägna att para ihop operationerna (2 ∙ 3 ∙ 5), från deluppgift c), för att sedan lösgöra additionen av talet 6 i slutet av uttrycket. Rent tekniskt växlas den sista operationen i uttrycket från addition till subtraktion. I stället för att få den korrekta beräkningen 30 − 8 + 6 parade många elever ihop 6:an i subtraktionen och fick då den felaktiga beräkningen 30 − 8 − 6 = 30 − 14. Elev 45 visade tendenser att kunna följa prioriteringsreglerna eftersom den prioriterar beräkningen av multiplikationerna först (figur 15). Men precis som beskrivet tidigare om detachment lösgör elev 45 talet 6 och uppfattar därför uttrycket som (2 ∙ 3 ∙ 5) − (4 ∙ 2 + 6).
Två elever visade ett tillvägagångssätt på deluppgift a) som har stora likheter med detachment. Elev 101 visade tendenser att följa prioriteringsregler genom att beräkna multiplikationen först i uttrycket 9 − 2 ∙ 3 − 2 (figur 16). Efter multiplikationen beräknar eleven från vänster till höger genom att subtrahera 2 från 2 ∙ 3. Det skulle kunna tolkas som att elev 101 uppfattar uttrycket 9 − 2 ∙ 3 − 2 som 9 − (2 ∙ 3 − 2) eftersom subtraktionen av 2 lösgörs från uttrycket. I figur 17 presenteras min tolkning av den ordning elev 101 har beräknat uttrycket.
Figur 15: [Färg].Inledningsvis visar elev 45 kunskaper om att multiplikation har högst prioritet i uttrycket genom at beräkna dessa först. Dock lösgör eleven talet 6 från uttrycket vilket resulterar i att räknesättet byts från addition till subtraktion. De blåa siffrorna är mina egna noteringar och indikerar elevens ordningsföljd.
23 Elev 114 beräknar på liknande vis genom att inleda med att räkna ut multiplikationen och sedan utföra operationen till höger. Dock bokför inte elev 114 sina beräkningar på samma sätt utan räknar först ut summan 4 av (2 ∙ 3 − 2), likt elev 101, men tar sedan summan subtraherat med 9 (figur 18).
Det kan tolkas som att elev 114 uppfattar att uttrycket 4 − 9 är detsamma som 9 − 4. Detta eftersom eleven redovisar svaret 5 och inte -5. Det kan även spekuleras i att eleven läser operationen från vänster till höger genom att tolka 4 − 9 som 9 − 4. Detta genomförs i så fall inte konsekvent eftersom eleven precis innan beräknade 6 − 2 = 4.
Det skulle kunna spekuleras i att elevernas benägenhet om att exempelvis tolka uttrycket 9 − 2 ∙ 3 − 2 som 9 − (2 ∙ 3 − 2) innebär att de infogar så kallade ”mentala parenteser” (mental brackets). I studien av Linchevski och Livneh (1999) uppmärksammades att somliga elever infogade mentala parenteser vid beräkningen av uttrycket 217 + 175 − 217 + 175 + 67. Eleverna placerade de mentala parenteserna runt den första och andra termen samt den tredje och fjärde termen, vilket resulterade i att uttrycket tolkades som (217 + 175) − (217 + 175) + 67. Dessa elever redovisade att svaret var 67 eftersom termerna innanför parenteserna avlägsnade varandra. Som beskrivet tidigare redogör Linchevski och Livneh (1999) att elevers
Figur 18: Likt elev 101 lösgör elev 114 den sista 2:an i uttrycket i deluppgift a). Figur 16: Elev 101 tycks lösgöra den sista
2:an i uttrycket, vilket gör att räknesättet byts från subtraktion till addition
Figur 17: [Färg].Min uppfattning av hur elev 101 beräknar uttrycket.
24 förståelse av strukturella egenskaper i algebra delvis beror på att de har bristande förståelse av strukturella föreställningar i aritmetik. Att se numeriska uttryck från en strukturell synvinkel tar fördelar från den algebraiska modellen. Dock kan detta leda till att undervisningen överbelastar de formella aspekterna av matematikens prioriteringsregler. Linchevski och Livneh (1999) påstår därför att lärare måste vara försiktiga med att inte presentera aktiviteter för eleverna vilka inte är förenade med det numeriska sammanhanget och elevers logik. Annars kommer eleverna endast syssla med ”meningslös algebra” som inte hjälper dem att utveckla sina kognitiva förmågor. Det ska i stället presenteras så att eleverna får möjlighet att utveckla sin structure sense genom att kunna använda likvärdiga strukturer av ett uttryck både flexibelt och kreativt (Linchevski & Livneh 1999). Detta främjar en förmåga att sönderdela och återskapa ett uttryck där de mentala parenteserna utgör en logik för att ”manipulera” de återskapande uttrycken. Enligt Gunnarsson och Papadopoulos (2019) kan dessa aktiviteter i klassrummet hjälpa att förena de formella aspekterna av prioriteringsreglerna, exempelvis att beräkna parenteser först, med det numeriska sammanhanget och elevernas uppfattningar. Genom sådana aktiviteter har läraren chansen att hjälpa eleverna att upptäcka strukturer och kunna använda parenteser för att se delar av ett uttryck som beståndsdelar.
6.5 Användning av tal i flera operationer
I några fall återanvände elever vissa tal i fler än en operation. Detta kan också ses som en egenkonstruerad regel och innebär en parbildning av alla tal som står bredvid varandra. Därefter kan det tolkas som att räknesätten som står mellan talen beräknas och sedan adderas alla svar från operationerna ihop. Exempelvis uppfattas därför strukturen av uttrycket 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 som (𝑎 ∙ 𝑏) + (𝑏 + 𝑐) där alltså 𝑏 återanvänds i beräkningen. Elev 64 skapade parbildningar vid varje räknesätt på deluppgift d), vilket resulterade i väldigt många operationer (figur 19).
Figur 19: Elev 64 återanvänder tal i flera operationer genom att bilda par med alla tal som står
25 Likt beskrivningen ovan har elev 64 skapat par om två med alla tal som står bredvid varandra. Detta resulterade i att den första 5:an och den sista 2:an i uttrycket endast användes en gång, eftersom de talen endast hade ett annat tal bredvid sig. Dock kan det tolkas som att eleven inte bokför sina beräkningar i den ordning operationerna förekommer i uttrycket, utan att multiplikationerna beräknas först som sedan följs av additionerna (figur 20).
Exempelvis kan det tyckas att elev 64 bokför den första additionen, 3 + 2, efter alla multiplikationer då denna skrivs nedanför. När alla operationer är genomförda adderas produkterna från operation 1, 2 och 3 ihop (figur 20), det vill säga 15 + 8 + 20 = 49, vilket enligt elev 64 ger summan 49. I beräkningen 15 + 8 + 20 = 49 kan det tolkas som att eleven även adderar produkten 6 från operation 4,men att detta inte bokförs, eftersom beräkningen då ger den korrekta summan 49. Slutligen i beräkning 9 adderas summorna av beräkningarna 5 och 8 ihop, 13 + 49 = 62, för att få svaret 62. En annan elev som också använde samma tal i flera operationer var elev 25. Denna elev gjorde dock på ett annat vis. På deluppgift b) bokförde eleven operationerna i uttrycket genom att gruppera talen om två eller tre. Inledningsvis genomfördes en parbildning på talet 5 och 4 som beräknades med multiplikation (figur 21).
Figur 21: Elev 25 inleder med att beräkna multiplikationer men återanvänder talet 4 och 6 i
uttrycket.
26 Likt elev 64 användes därefter samma tal igen genom talet 4 i uttrycket 4 ∙ 3 + 6 = 16. Fortsättningsvis används talet 6 igen för att bilda uttrycket 6 ∙ 2 + 1 = 13. Eleven använde talen 4 och 6 två gånger men alla andra tal endast en gång. Det kan uppfattas som att elev 25 därför tolkar uttrycket 5 ∙ 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 1 som (5 ∙ 4) + (4 ∙ 3 + 6) + (6 ∙ 2 + 1). Genom alla de fyra deluppgifterna kan det konstateras att elev 25 inte använde en regel konsekvent. I uppgift d) 5 ∙ 3 + 2 ∙ 4 ∙ 5 + 3 ∙ 2 inledde eleven, likt tidigare, att skapa parbildning mellan de två första talen 5 och 3 genom att multiplicera dem och bilda produkten 15 (figur 22).
Fortsättningsvis skapade elev 25 ytterligare en parbildning mellan de två nästkommande tal 2 och 4. En addition genomfördes sedan mellan produkterna, 15 + 2 ∙ 4, för att resultera i summan 23. Denna metod använde eleven igen genom att skapa parbildningar vid multiplikationerna 4 ∙ 5 och 3 ∙ 2, för att sedan addera ihop produkterna. Här användes talet 4 ytterligare en gång och är det enda talet i uttrycket som förekom fler än en gång. Från att tyda av elevens beräkningar kan det tolkas som att elev 25 uppfattar uttrycket 5 ∙ 3 + 2 ∙ 4 ∙ 5 + 3 ∙ 2 som (5 ∙ 3 + 2 ∙ 4) + (4 ∙ 5 + 3 ∙ 2).
Av de aspekterna som beskrivits kan det diskuteras att elev 25:s tillvägagångsätt kan ingå i aspekten parbildning, eftersom det är det handlingssättet eleven mestadels använder. Dock särskildes en intressant aspekt hos elev 25 där den tenderade att återanvända tal när de förekom i multiplikationer om tre tal. I deluppgift b) förekom multiplikationerna 5 ∙ 4 ∙ 3 i uttrycket och i deluppgift d) förekom multiplikationerna 2 ∙ 4 ∙ 5. I båda fallen återanvände elev 25 det talet som står i mitten av dessa multiplikationer, det vill säga talet 4. Det kan tolkas som att elevens uppfattning är att ett tal i ett uttryck ska återanvändas om det förekommer multiplikation på vardera sida om talet. Dock återanvändes talet 6 i uttrycket 5 ∙ 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 1, trots att addition förekom till vänster om talet. Denna tendens kan inte upptäckas i deluppgift d). Dock kan det uppmärksammas att elev 25 skriver uttryck med snarlika konstruktioner i deluppgifterna. I deluppgift b) skriver eleven 4 ∙ 3 + 6 och 6 ∙ 2 + 1 (figur 21). Det skulle
Figur 22: I deluppgift d) använder elev 25 talet 4 två gånger. Alla andra tal används endast en
27 kunna spekuleras i att dessa är ”kända” uttryck för eleven i tidigare uppgifter. En snarlik metod kan även uppmärksammas i deluppgift d) där eleven återigen bryter ner det mer komplexa uttrycket med sex operationer till mindre enheter med max två operationer, exempelvis genom att skriva 15 + 2 ∙ 4 (figur 22). Det skulle kunna vara så att metoden parbildning är elevernas sätt att bryta ner ett komplext uttryck till mindre och mer lätthanterliga enheter.
28
7. Hur konsekventa är elevers
tillvägagångssätt när de använder sig av olika
regler?
Genom analysen av datamaterialet kunde det konstateras att eleverna genomförde de fyra deluppgifterna på olika sätt. Många elever bytte regel genom deluppgifterna och visade därför på olika aspekter i sina beräkningar. På detta vis kunde det identifieras att många elever var inkonsekventa när de strukturerade sina beräkningar.
Många elever visade i deluppgift a) aspekten att ”skapa par från vänster till höger” och beräknade därför uttrycket utan att ta hänsyn till vilket räknesätt som skulle utföras mellan talen. I detta fall tolkades uttrycket 9 − 2 ∙ 3 − 2 som (9 − 2) ∙ (3 − 2). Majoriteten av eleverna som beräknade på detta sätt visade däremot att de behärskade följa prioriteringsreglerna i nästkommande uttryck 5 ∙ 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 1. I denna deluppgift visade många elever att i stället gruppera talen efter räknesätt. Metoden visade fortfarande på aspekten ”parbildning” men eleverna skiftade att följa olika regler. Eleverna prioriterade multiplikation framför addition och beräknade därför uttrycket som (5 ∙ 4 ∙ 3) + (6 ∙ 2) + 1. Skulle eleverna följa sina valda metoder och tillvägagångssätt konsekevent kan det tyckas att deluppgift b) då ska tolkas som (5 ∙ 4) ∙ (3 + 6) ∙ (2 + 1) eftersom de visat dessa tendenser om parbildning i deluppgift a). Detta resultat skiljer sig från studien av Liebenberg et al. (1999), vilken visade på att eleverna ofta gav upp att följa prioriteringsreglerna när de beräknade uttryck där multiplikation förekom flera gånger. De flesta eleverna beräknade subtraktionerna först i deluppgift a), där det endast förekom en multiplikation. Trots att det förekom flera multiplikationer i deluppgift b) beräknade de flesta eleverna uttrycket framgångsrikt, genom att följa prioriteringsreglerna. Eleverna visade därför inte samma uppfattning som i studien av Liebenberg et al. (1999), där regeln uppfattades som tillämpad när den första multiplikationen var beräknad.
I enstaka fall följde eleverna konsekvent sina egenskapade regler genom de fyra deluppgifterna. Exempelvis kunde det upptäckas att några enstaka elever använde regeln ”räkna sekventiellt från vänster till höger” på alla uttryck. Andra elever använde ”skapa par med uppställning” konsekvent genom alla deluppgifterna.
Bland de elever som visade aspekten ”användning av tal i flera operationer” kunde det identifieras elever som följde regler inkonsekvent och de elever som följde regler konsekvent. I de fyra lösningarna kunde det konstateras att en elevs metod var att skapa parbildning mellan
29 alla tal som står bredvid varandra och sedan använda det räknesätt som förekom mellan talen. På detta vis återanvändes alla tal i uttrycken utom det första och sista talet. Denna regel följdes konsekvent genom alla de fyra deluppgifterna. I deluppgifterna b), c) och d) visade en annan elev en benägenhet att återanvända det tal där det förekom multiplikation på vardera sida om talet. I uttrycket 5 ∙ 4 ∙ 3 återanvändes exempelvis därför talet 4 och i uttrycket 2 ∙ 3 ∙ 5 talet 3. I deluppgift b) 5 ∙ 4 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 1 återanvändes dock även talet 6, trots att addition förekom till vänster om talet. Denna benägenhet visades inte alls i deluppgift d) trots att uppgiften bestod av både räknesätten addition och multiplikation, likt deluppgift b).
Tendensen att tolka uttryck olika trots att de har samma struktur kan kopplas till det som uppmärksammats av Linchevski och Livneh (1999). I deras studie kunde samma elev ge ett felaktigt svar i en uppgift och ett korrekt svar i en annan, trots att uttrycken följde samma struktur. Som beskrivet tidigare kunde det i studien av Linchevski och Livneh (1999) uppmärksammas att tre olika uttryck utlöste olika frekvenser av detachment. Denna studies resultat visade att av de elever som vara benägna att lösgöra tal från numeriska uttryck genomförde detta till övervägande del på uppgift c. Anledningen till detta kan tolkas vara att uppgift b) och d) endast innehåller addition och multiplikation, vilket innebär en upprepning av att lägga till. Uppgift a) var det kortaste uttrycket, innehållande endast fyra tal, vilket kan tyckas vara en orsak till att uppgiften inte medförde fler uppfattningar där eleverna lösgjorde tal från uttrycket.
Resultatet visar att de flesta eleverna beräknar numeriska uttryck inkonsekvent. Kan det bero på att de inte har en färdig regel att tillämpa? Eller kan det möjligtvis bero på att de anpassar sina regler efter sammanhang? Oavsett finner jag det intressant att eleverna i vissa sammanhang följer prioriteringsreglerna för somliga uttryck men i andra sammanhang inte gör det.
30
8. Avslutande ord
Genom denna studie kan det konstateras att elever har stor kreativitet när de beräknar numeriska uttryck. Somliga elever var principfasta med sina egenskapade regler och följde dessa konsekvent genom alla de fyra uppgifterna. Andra elever visade sig byta metod sporadiskt och bokförde sina beräkningar på olika vis vid varje uppgift. Varför så många elever tolkar numeriska uttryck och bokför sina beräkningar på så många skilda sätt är en intressant fråga. Kan det bero på att matematikdidaktisk forskning inte tidigare har uppmärksammat problemet och därför lett till undermålig undervisning? Att eleverna dels exempelvis inte får möjlighet att befästa kunskaper om att följa prioriteringsreglerna, dels exempelvis inte blir instruerade på hur beräkningar kan eller ska bokföras. Trots att det råder många skilda uppfattningar om hur numeriska uttryck ska beräknas för elever i årskurs 5 vill jag framför allt lyfta fram deras kreativitet. När de inte känner till reglerna hittar de spontant på egna sätt att räkna som följer en annan logik än vad vi är vana vid. Det kan problematiseras att de förmågor som beskrivs i kursplanen för matematikämnet (Skolverket, 2019b) i årskurserna 4–6, vilka handlar om matematiska strukturer, är synnerligen generella. Som beskrivet tidigare är det inte explicit beskrivet att eleverna i årskurserna 4–6 ska få möta de fyra räknesättens egenskaper och samband. Kanske skulle undervisningen riktas in mer på att utveckla elevers kunskaper om processer och strukturer i matematiken?
Hoch och Deyfus (2006) hänvisar förmågan att kunna applicera kunskaper om process och struktur som beskrivningen ”manipulation skills”. Manipulation skills innebär alltså den teknik att beräkna matematiska uttryck och förmågan att lösa ekvationer. I deras studie undersöktes structure sense och manipulation skills hos elever i motsvarande årskurs 9 genom att de fick lösa ett antal algebraiska uttryck. Att en elev kan använda sig av structure sense när den löser uttrycken menar Hoch och Deyfus (2006) är en förmåga att kunna behandla uttryck som enstaka beståndsdelar (entities). Lüken (2012) beskriver begreppet ”early structure sense” som en förmåga hos elever i yngre årskurser att upptäcka matematiska strukturer. I hennes studie på elever från förskoleklass till årskurs 2 undersöktes elevers förmåga att upptäcka mönster i figurer. I en uppgift om en ”tiokedja” som bestod av ett snöre med fem röda och fem blåa kulor undersöktes exempelvis elevers förmåga att upptäcka regelbundenhet. De högpresterande eleverna visade en god förståelse av hur mönstret upprepades och i vissa fall kunde somliga elever till och med förklara regeln. Dessa elever kunde även upptäcka bekanta mönster i en figur om sju prickar genom att hänvisa figuren till symbolen 6 på en tärning (Lüken 2012).
31 Dock visade de lågpresterande eleverna ingen förståelse alls för regelbundenhet. I den kvalitativa analysen för studien visade det sig att förmågorna hos de högpresterande- respektive lågpresterande eleverna skilde sig stort. Detta faktum indikerar Lüken (2012) ha konsekvenser för elevernas framtida matematiklärande, särskilt för de lågpresterande eleverna. Detta då det visat sig att de 25% av eleverna i skolans två första år som är svagast i att upptäcka mönster även tillhör de 25% av eleverna som har svagast kunskaper i matematik.
Det är svårt att definiera structure sense och det finns skilda beskrivningar om begreppet i matematikdidaktisk forskning. Är det något som en individ kan använda? Kan det utvecklas hos elever? Hoch och Deyfus (2006) beskriver att structure sense utgörs av flera olika förmågor att se strukturer i numeriska och algebraiska uttryck. De diskuterar att en brist på structure sense kan ligga i att elever har en svag koppling mellan deras memorerade kunskaper
(rote-learnt ideas) och deras meningsfulla kunskaper. Detta vill säga att elever finner svårigheter att
applicera sina kunskaper och tekniker i obekanta sammanhang.
Lärare måste bli bättre på att förmedla de godtyckliga reglerna, det vill säga de regler som inte kan upptäckas utan i stället måste informeras. Trots att de just är godtyckliga och uppskattningsvis slumpartade regler är de en viktig del i det matematiska kunnandet. Att lära sig behärska matematikens godtyckliga regler kan möjligtvis hjälpa elever att utveckla sin metakognitiva förmåga, det vill säga den förmåga att tolka, värdera och reflektera kring matematiska uttryck och tillvägagångssätt. Eleverna kan således utveckla förmågan att följa procedurer, det vill säga att behärska välja och tillämpa lämpliga metoder för matematiska beräkningar. Dessa förmågor är något som kan innebära att ha structure sense.
