För samtliga beräkningar bestäms kolvens höjd, h, (se Fig. 10) på följande sätt.
Figur 10: En behållare med höjden h, innehållande en ideal enatomig gas, är försluten med en låda med massan m och längden L i y-led. Systemet påverkas av kraften F.
Kolvens position kan visas i Algodoo genom att välja ”Visa graf” när kolven är markerad och därefter bestämma att y-axeln ska visa kolvens position i y-led. Det som visas i grafen är därmed
positionen för objektets masscentrum medan det i beräkningarna är av intresse var kolvens bot-tenyta befinner sig, i och med att det motsvarar höjden på behållaren. Utifrån denna position kan höjden, h, beräknas enligt
h = ¯y −L
2 (17)
där ¯y är medelvärdet för massans lägsta respektive högsta punkt, det vill säga jämviktsläget för massan, och L är lådans längd i y-led (se Fig. 10). I samtliga simuleringar används samma längd i y-led på kolven, därav gäller att L=1,25m för samtliga beräkningar.
Jämviktsläget för kolven beräknas genom att låta kolven oscillera 10 gånger för att sedan beräkna medelvärdet av positionen genom att ta medelvärdet av 10 av kolvens högsta position och 10 av kolvens lägsta position.
Även beräkningar av det relativa felet mellan teoretiskt beräknade värdet och de värde som visas experimentellt i Algodoo har gjorts, vilket beräknades enligt
Relativtf el = |xteoret.− xexperim.|
xteoret. (18)
där x symboliserar det uppmätta värdet av exempelvis frekvensen eller kinetisk energi och xteoret. betecknar det teoretiskt beräknade värdet medan xexperim.betecknar det experimentellt uppmätta värdet i Algodoo.
4.3.1 Beräkningar av Helmholtz resonansfrekvens Massan 100 kg och kraften 5 N
m = 100kg och F = 5N
Figur 11: Lådan med massan 100 kg och kraften 5 N svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 7 i bilaga B.1) får vi
h = ¯y −L
2 = 7, 129 − 1, 25
2 = 6, 5039 m
Beräkningar med ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) ger fteoret.= 1 2π r γF mh = 1 2π r 2 · 5 100 · 6, 5039 ≈ 0, 0197 Hz (19)
Utifrån grafen över massans position (se Fig. 11) kan vi beräkna den reella frekvensen från tiden mellan 10 svängningar, vilket ger
t1= 826, 73 s och t2= 1314, 18 s ⇒ ∆t = 1314, 18 − 826, 73 = 487, 45 s fexperim.= ∆t1 10 = 10 ∆t = 10 487, 45 ≈ 0, 0205 Hz (20) Detta ger ett relativt fel på ungefär 4 % (se Ekv. 18) vilket visar att lådan verkar svänga med Helmholtz resonansfrekvens, se avsnitt 4.3.2 för vidare diskussion.
Massan 30 kg och kraften 5 N
m = 30kg och F = 5N
Figur 12: Lådan med massan 30 kg och kraften 5 N svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 8 i bilaga B.1) får vi
h = ¯y −L
2 = 8, 073 − 1, 25
2 = 7, 4475 m
Beräkningar med ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) ger fteoret.= 1 2π r γF mh = 1 2π r 2 · 5 30 · 7, 4475≈ 0, 03367 Hz (21) Utifrån grafen över massans position (se Fig. 12) kan vi beräkna den reella frekvensen från tiden mellan 10 svängningar, vilket ger
t1= 126, 74 s och t2= 416, 98 s ⇒ ∆t = 416, 98 − 126, 74 = 290, 24 s fexperim.= ∆t1 10 = 10 ∆t = 10 290, 24 ≈ 0, 03445 Hz (22) Detta ger ett relativt fel på ungefär 2 % (se Ekv. 18) vilket visar att lådan verkar svänga med Helmholtz resonansfrekvens, se avsnitt 4.3.2 för vidare diskussion.
Massan 100 kg och kraften 8 N
m = 100kg och F = 8N
Figur 13: Lådan med massan 100 kg och kraften 8 N svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 9 i bilaga B.1) får vi
h = ¯y −L
2 = 5, 123 − 1, 25
2 = 4, 4975 m
Beräkningar med ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) ger fteoret.= 1 2π r γF mh= 1 2π r 2 · 8 100 · 4, 4975 ≈ 0, 03002 Hz (23) Utifrån grafen över massans position (se Fig. 13) kan vi beräkna den reella frekvensen från tiden mellan 10 svängningar, vilket ger
t1= 159, 8 s och t2= 480, 14 s ⇒ ∆t = 480, 14 − 159, 8 = 320, 34 s fexperim.= ∆t1 10 = 10 ∆t = 10 320, 34 ≈ 0, 03122 Hz (24) Detta ger ett relativt fel på ungefär 4 % (se Ekv. 18) vilket visar att lådan verkar svänga med Helmholtz resonansfrekvens, se avsnitt 4.3.2 för vidare diskussion.
4.3.2 Diskussion av beräkningar av Helmholtz resonansfrekvens
Beräkningarna som gjorts visar på ett lågt relativt fel mellan värdet som uppmätts för svängningen i Algodoo och det teoretiska värdet för Helmholtz resonansfrekvens. Detta visar i sin tur att sväng-ningen som uppstår kan jämföras med Helmholtz resonator då svängningsfrekvensen kan beräknas med hjälp av formeln för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Felet som uppstår mellan vär-dena kan komma från bland annat avrundningar i Algodoo och vid beräkningen av höjden (h) eftersom en ungefärlig höjd måste beräknas utifrån svängningsrörelsen. Notera även variationen av kolvens högsta position i svängningsrörelsen vilket även bidrar som felkälla till beräkningen av
höjden. Gasen som simuleras i Algodoo är inte heller en helt ideal gas eftersom partiklarna både är relativt stora och få till antalet, vilket även det bidrar till en felkälla. Beräkningar visade även att när kolven befinner sig på en högre medelhöjd så var det relativa felet mellan svängningsrörelsen och det beräknade värdet av Helmholtz svängningsfrekvens mindre vilket förmodligen beror även det på partiklarnas storlek. I och med att partiklarna i simuleringen inte är punktpartiklar och deras egna volym inte är försumbar i jämförelse med behållarens volym så blir gasen mer lik en ideal gas vid större volym på behållaren, vilket bidrar till värden som närmar sig det teoretiskt beräknade värdet (se Avsnitt B.5).
Det bör även nämnas att oscilleringen bör hållas relativt liten, det vill säga med en höjdskillnad på ungefär 10% av den högsta höjden. Detta beror på att kolven endast är begränsad nedåt men inte uppåt, vilket leder till oscilleringar som inte är helt harmoniska vid stora svängningar. 4.3.3 Beräkningar av frekvensens beroende av bredden på behållaren
Enligt ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) bör svängningsfrekvensen vara obe-roende av bredden, vilket har undersökts om det stämmer överens med simuleringar i Algodoo.
Samtliga simuleringar utgick från basuppsättningen (se Avsnitt 3) i vilken bredden på behållaren ändrades medan massan och kraften på kolven hölls konstant. Simuleringarna visade att höjden på kolven blev lägre och att den kinetiska energin för partiklarna ökade. Detta beror på att trycket i behållaren minskar i och med att volymen på behållaren ökar. Detta leder i sin tur till att kolven åker nedåt och ett arbete utövas av omgivningen på systemet vilket höjer dess inre energi och därmed partiklarnas kinetiska energi (se Fig. 14 och 15).
Figur 14: Graf över kolvens position där bredden på behållaren ökas från 2,5 m till 8 m. Kolven fixeras innan bredden ändras, vilket syns i figuren som ett horisontellt streck.
Figur 15: Graf över partiklarnas kinetiska energi när bredden på behållaren ökas från 2,5 m till 8 m. Kolven fixeras innan bredden ändras, vilket syns i figuren som ett horisontellt streck.
Med värden från simuleringar i Algodoo (se Tabell 10-14 i bilaga B.2) gjordes beräkningar av höjden (se Ekv. 17). Frekvensen beräknades därefter från tiden för 10 svängningar. Resultatet visas i Tabell 1 där det är tydligt att frekvensen näst intill hålls konstant. Vid en bredd som är mer än tredubbla ursprungsbredden har frekvensen endast ändrats med knappt 5 %. Däremot, från ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) bör en lägre höjd medföra en större frekvens, men simuleringarna visar å andra sidan det omvända (se Tabell 1). Ju större bredden på behållaren är desto lägre blir höjden för kolven och desto lägre blir dessutom frekvensen. Detta skulle kunna bero på felkällor i Algodoo som exempelvis att kolven blir mer instabil ju bredare behållaren blir eftersom i samtliga simuleringar användes endast en motor som placerades i mitten av kolven. Det gjordes även försök där bredden ökades ytterligare men då blev kolven så instabil och började ”vibrera” så att partiklarna kunde fly ur behållaren. Ytterligare en felkälla skulle kunna vara att gasen blir mer lik en ideal gas i och med att volymen ökas, vilket bidrar till att värdena närmar sig det teoretiskt beräknade värdet, som är lägre än de värden som uppmätts i Algodoo.
Bredd [m] Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel
2,5 1,5697 0,0469 0,0402 0,17
3,75 1,5063 0,0464 0,0410 0,13
5 1,4775 0,0454 0,0414 0,10
6,25 1,4550 0,0450 0,0417 0,08
8 1,4198 0,0446 0,0422 0,06
Tabell 1: Tabell över hur höjden av kolven och svängningsfrekvensen förhåller sig till bredden av behållaren. I samtliga simuleringar hade kolven massan 100 kg, kraften var 5 N och antalet partiklar var 200 stycken. Med ”höjden” menas positionen för kolvens bottenyta.
Ytterligare ett försök gjordes för att undersöka hur frekvensen förändras med bredden när höjden eftersträvas hållas konstant. Detta gjordes genom att höja restitutionen på behållarens bottenyta
efter att bredden vidgats, för att på så vis få kolven att höja sig till det tidigare läget från den högre temperatur som skapas i behållaren. Det visade sig vara svårt att tillföra lagom mängd energi till systemet för att nå samma höjd som innan bredden vidgades. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 15 och Tabell 16 i bilaga B.2) beräknades höjden och frekvensen. Resultatet kan ses i Tabell 2 där det kan utläsas att frekvensen minskade trots att höjden var näst intill densamma. Värdet närmar sig dock det teoretiskt beräknade värdet för den givna höjden och det relativa felet blev därmed mindre vid en större bredd.
Bredd [m] Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel
2,5 1,571 0,0470 0,0399 0,17
5 1,588 0,0432 0,0401 0,08
Tabell 2: Tabell över hur höjden av kolven och svängningsfrekvensen förhåller sig till bredden av behållaren när höjden är näst intill konstant. I samtliga simuleringar hade kolven massan 100 kg, kraften var 5 N och antalet partiklar var 200 stycken. ”Frekvens (beräknad)” är beräknad utifrån Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Det relativa felet mellan det uppmätta värdet i Algodoo och det teoretiskt beräknade värdet visas också i tabellen. Med ”höjden” menas positionen för kolvens bottenyta.
Att värdena närmar sig de teoretiskt beräknade värdena tyder på att de oväntade värdena på frekvensen kan komma från att gasen blir mer lik en ideal gas vid en större volym.
4.3.4 Frekvensens beroende av antalet partiklar i behållaren
I ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) går det inte att utläsa hur antalet partiklar i behållaren påverkar svängningsfrekvensen av kolven, vilket därmed har undersökts. Från ideala gaslagen i två dimensioner (se Ekv. 12) kan vi förvänta oss att höjden bör minska proportionellt med reducerandet av antalet partiklar, om temperaturen och kraften på behållaren hålls konstant. Samtliga simuleringar utgick från basuppsättningen (se Avsnitt 3) i vilken antalet partiklar i behållaren ändrades medan bredden på behållaren och massan och kraften på kolven hölls kon-stant. Simuleringarna visade att när antalet partiklar i behållaren reduceras så minskar höjden på kolven, i och med att trycket i behållaren minskar. Detta medförde i sin tur en högre sväng-ningsfrekvens vilket även går att utläsa ur ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 17 - 20 i bilaga B.3) gjordes beräkningar av höjden genom Ekvation 17. Frekvensen beräknades därefter från tiden för 10 svängningar. Frekvensen jämfördes därefter med det teoretiskt beräknade värdet utifrån ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens.
Antalet partiklar Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel
200 1,570 0,0469 0,040 0,17
150 1,388 0,0490 0,043 0,15
100 1,075 0,0547 0,049 0,13
50 0,741 0,0642 0,058 0,10
Tabell 3: Tabell över hur höjden av kolven och svängningsfrekvensen förhåller sig till antalet par-tiklar i behållaren. ”Frekvens (beräknad)” är beräknad utifrån Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Det relativa felet mellan det uppmätta värdet i Algodoo och det teoretiskt beräknade värdet visas också i tabellen. Med ”höjden” menas positionen för kolvens bottenyta.
Från Tabell 3 ses att frekvensen förhåller sig relativt bra till det beräknade värdet och det visar sig att det relativa felet mellan det uppmätta värdet i Algodoo och det teoretiskt beräknade värdet blir mindre ju färre partiklar som finns i behållaren. Det beror på att den relativa volymen av behållaren blir större i och med att antalet partiklar blir en fjärdedel så många medan höjden, och därmed ˜V , endast blir hälften så stor och simuleringen blir därmed mer lik en ideal gas. Det visar sig alltså att reducerandet av antalet partiklar inte förhåller sig proportionellt mot minskningen av höjden här. Det beror på att i och med att höjden på kolven minskar så utövas ett arbete på systemet som i sin tur ökar dess inre energi och partiklarnas kinetiska energi. Temperaturen i systemet hålls därmed inte konstant i dessa simuleringar.
Ytterligare en simulering gjordes där temperaturen hölls konstant, för att undersöka om simu-leringen i Algodoo visar det som förväntas utifrån ideala gaslagen, nämligen att höjden på kolven minskar proportionellt med antalet partiklar. Partiklars kinetiska energi är proportionell mot tem-peraturen i systemet (se Avsnitt 2.2.3) och avgörs därmed inte av antalet partiklar i systemet. För att hålla temperaturen konstant ska därmed partiklarnas hastigheter hållas konstant.
En ny simulering med 400 partiklar skapades, för att på så vis kunna sätta en hastighet på partiklarna som programmet och datorn klara av att beräkna utan att simuleringen ska bli oregel-bunden och samtidigt kunna hålla kolven på en relativt hög höjd så den har möjlighet att minska i och med reducerandet av partiklar. Samtliga partiklar gavs hastigheten 5,5 m/s medan kolven placerades på positionen 6,4 m (positionen för kolvens masscentrum). När sedan antalet partiklar reducerades till hälften hölls kolven fixerad och hastigheten på de kvarvarande partiklarnas sattes återigen till 5,5 m/s. När sedan kolven minskade i höjd fixerades kolven ett antal gånger för att på nytt sätta hastigheterna på partiklarna till 5,5 m/s, för att på så vis hålla partiklarnas kinetiska energi konstant (se Fig. 18 och 19 i Appendix B.3).
Antalet partiklar Höjd [m] hEki 400 5,775 0,0640 200 2,875 0,0627
Tabell 4: Tabell över hur antalet partiklar i systemet förhåller sig till höjden när trycket och temperaturen hålls konstant. Med ”höjden” menas positionen för kolvens bottenyta och hEki är partiklarnas genomsnittliga kinetiska energi.
Simuleringen visar därmed att en halvering av antalet partiklar ger ungefär en halvering av höjden på kolven (se Tabell 4). Partiklarnas kinetiska energi lyckades inte hållas helt konstant, vilket bidrar som en felkälla i simuleringen.
4.3.5 Beräkningar med ideala gaslagen
Beräkningar gjordes för att undersöka hur väl värden i Algodoo stämmer överens med teoretiskt beräknade värden från den ideala gaslagen i två dimensioner. Simuleringar i Algodoo genomfördes utifrån basuppsättningen (se Avsnitt 3) i vilken sedan massan på kolven och kraften som utövas på systemet ändrades. Därefter gjordes försök när kolven hölls på en högre höjd, vilket gjordes genom att öka den kinetiska energin hos partiklarna genom att höja restitutionen på behållarens bottenyta under en kort tid.
Värdet av partiklarnas kinetiska energi beräknades med hjälp av ekvationen för ideala gaslagen i två dimensioner (se Avsnitt 4.1)
˜
p ˜V = N hEki (25)
där ˜p = F
x och ˜V = x · h, för en rektangulär behållare med bredden x, höjden h och en kraft F som utövas på systemet. N är antalet partiklar vilket är 200 stycken i samtliga simuleringar.
Omskrivning ger därmed F
x · x · h = N hEki ⇔ F · h = N hEki
⇔
hEki =F h
N (26)
Värdet på den kinetiska energin som hämtats från Algodoo togs fram genom att markera samtliga partiklar och välja "Visa graf", där sedan ”Kinetisk energi (summa)” valdes för y-axeln. Det som nu visas i grafen i Algodoo är den sammanlagda kinetiska energin för samtliga partiklar varför detta värde sedan dividerades med 200, vilket är antalet partiklar i simuleringen.
Beräkningarna i Tabell 5 visar att värdet på partiklarnas kinetiska energi i Algodoo stämmer relativt bra överens med det beräknade värdet utifrån Ekv. 26. På samma sätt som i beräkningar för Helmholtz resonansfrekvens (se Avsnitt 4.3.2) så blir det relativa felet mindre för högre höjder på kolven vilket beror på att simuleringen i Algodoo blir mer lik en ideal gas vid större volym (se Avsnitt B.5).
m [kg] F [N] h [m] Ek [J] Ek (beräknad) [J] Relativt fel 100 5 1,570 0,028 0,039 0,28 100 5 8,255 0,196 0,206 0,05 100 10 1,230 0,040 0,062 0,35 100 10 6,241 0,291 0,312 0,07 30 5 7,716 0,182 0,193 0,06
Tabell 5: Tabell över den kinetiska energin från Algodoo (Ek) jämfört med den beräknade kinetiska energin genom den ideala gaslagen i två dimensioner (Ek (beräknad)), vid olika massa på kolven (m), kraft som utövas på systemet (F ) och höjden på kolven (h).
4.3.6 Partiklarnas storleks inverkan på beräkningarna
Samtliga simuleringar visade att ju högre höjden på kolven är, desto mindre blir det relativa felet mellan beräknade värden och uppmätta värden i Algodoo. I en ideal gas är partiklarnas volym försumbar jämfört med behållarens volym, vilket kan vara anledningen till varför värdena i Algodoo blir bättre vid högre höjd och därmed större ”volym” (”volym” i två dimensioner, det vill säga ˜V ) på behållaren (notera att volym används i resterande del av uppsatsen, med vilket menas ”volym” i Algodoo som i två dimensioner snarare är en area, det vill säga ˜V ). Ju större behållarens volym blir, desto mer lik blir simuleringen en ideal gas, eftersom partiklarnas volym blir mindre i förhållande till behållarens totala volym. För att undersöka om det kan vara fallet gjordes simuleringar där radien på partiklarna ändrades medan volymen på behållaren hölls näst intill konstant. Basuppsättning användes men med endast 100 partiklar för att rymma partiklar med större radie i behållaren. Partiklarnas radie sattes till 0,03 m, 0,06 m, 0,09 m samt 0,18 m medan massan på partiklarna, massan på kolven och kraften som utövas på systemet hölls konstant. Höjden på kolven beräknades utifrån värden från Tabell 26 - 29 i Appendix B.5 och Ekvation 17 medan den uppmätta frekvensen bestämdes utifrån tiden mellan ett antal svängningar och den teoretisk beräknade frekvensen bestämdes utifrån ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Resultatet (se Tabell 6) visar en tydlig ökning av det relativa felet utifrån partiklarnas radie och hur stor del av behållarens volym som tas upp av partiklarna. Skillnaden i hur stor del av behållarens volym som tas upp av partiklarna mellan radien 0,03 m och radien 0,18 m visas i Figur 16.
Att gasen blir mer lik en ideal gas ju mindre del av volymen som tas upp av partiklarna verkar därmed vara en rimlig förklaring till varför värdena blir bättre vid högre höjd på kolven.
Figur 16: Figur över två olika simuleringar där partiklarnas radie är 0,03 m respektive 0,18 m medan storleken på behållaren är konstant.
Radie [m] Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel 0,03 9,719 0,0167 0,0161 0,0337 0,06 9,554 0,0170 0,0163 0,0466 0,09 9,975 0,0172 0,0159 0,0775 0,18 9,668 0,0271 0,0162 0,6768
Tabell 6: Tabell över hur partiklarnas storlek påverkar det relativa felet mellan den beräknade fre-kvensen utifrån Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) och den uppmätta frefre-kvensen i Algodoo. Med ”höjden” menas positionen för kolvens bottenyta.