σ 1 1.2 1.6 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0
DL fobj 0.13 0.13 0.13 0.13 0.14 inf 344 344
σ 1 0.8 0.7 0.5 0.4 0.33 0.25 0.2
DL fobj 0.13 0.13 0.13 0.13 0.13 0.13 0.14 0.15
Tabell 7.2. Genomgång av känsligheten gentemot polplaceringen för DL. Målfunktions-
värdet för skattningen anges med olika stora störningar, σ, i trimningen.
Från denna jämförelse kan vi nu se att skillnaden mellan polplaceringarna är myc- ket stor medan målfunktionsvärdena är relativt nära varandra. Detta gör det myc- ket svårt att dra någon slutsats från egenfrekvens och dämpning för de olika po- lerna och något försök till detta presenteras ej i denna studie.
7.3.3
Trimningskänslighet för DL
I detta avsnitt undersöks hur känslig skattningen är för fel i polplaceringen. Detta undersöks på samma sätt som för EKF:erna i § 7.2.3 med en skalfaktor σ. Skillna- den nu är dock att skalningen anpassas så att polerna fortfarande är komplexkon- jugerade, men med olika skalning för reell och imaginär del. Polernas imaginär- resp. realdel multipliceras elementvis med följande vektorer där σ är variabel.
σ σ σ−1 σ−1 σ−1 σ−1 σ σ
σ−1 σ−1 σ−1 σ−1 σ σ σ−1 σ−1
Målfunktionsvärdena från skattningarna för varje polplacering som omjusterats med elementvis multiplikation jämförs i tabell 7.2. Som vi ser här är polplacering- en relativt robust och målfunktionsvärdena förändras inte märkbart för mindre variationer. Dock är det viktigt att notera att observatören blir instabil då skal- faktorn σ = 3, vilket är allvarligt. Att riskera instabilitet är mycket allvarligt för en observatör och det är därför viktigt att undersöka huruvida observatörern riskerar att bli instabil för en given polplacering i ett arbetsområde. Förutom instabiliteten uppvisar DL-observatören god robusthet gentemot omjusterade poler.
7.4
Beräkningskomplexitet
Detta avsnitt ger en genomgång av beräkningstiderna för de olika observatörerna med aktuell implementering. Det är viktigt att notera att dessa beräkningstider är baserade på den aktuella implementeringen och datorns processor, men de bör vara ömsesidigt jämförbara eftersom implementationen är snarlik för de olika metoder- na. Som framgår i presentationen av EKF:erna i § 4.2 är komplexiteten mycket olika för de olika varianterna. Detta avspeglas tydligt i den beräkningstid som krävs för att utföra skattningen för en robotrörelse som ges i tabell 7.3. I tabel- len presenteras den genomsnittliga beräkningstiden som krävs för att skatta en
62 Experimentella resultat Observatör Beräkningstid EKF Full 4.9s EKF Förenklad 4.5s EKF Integrerad 2.6s EKF Motor 2.1s DL 0.17s
Tabell 7.3. Genomsnittlig beräkningstid för att skatta en robotrörelse om 1s för de olika
observatörerna.
robotbana på 1s för de fem olika observatörerna. Den deterministiska observatö- ren lyftes in i detta projekt för att utvärderas eftersom den är betydligt mycket enklare än EKF:erna både implementationsmässigt och beräkningsmässigt, vilket tydligt återspeglas i tabellen. Den betydande tidsvinst för DL gentemot EKF:erna framgår nu mycket tydligt. Denna fördel gör att DL skulle kunna vara aktuell för en realtidsimplementering, vilket EKF:erna med stor sannolikhet inte är aktuella för. För EKF:erna framgår det tydligt vilken skillnad som erhålls då förenklingar av mätfunktionen införs, eftersom det är framförallt den som skiljer sig mellan de olika EKF-varianterna. Den fullständiga modellen är långsammast medan den för- enklade EKF:en inte är mycket snabbare, vilket troligtvis beror på sättet som de implementerats på. Rent matematiskt är det stor skillnad mellan dessa varianter medan implementeringsmässigt skiljer det sig inte lika mycket eftersom koden har strukturerats på ett tidsbesparande sätt. När däremot mätfunktionen förenklas som först för EKF Integrerad sjunker beräkningstiden nästintill med 50%. En yt- terligare förenkling som görs i EKF Motor ger en förbättring på ytterligare 20%.
Kapitel 8
Diskussion och slutsatser
Detta kapitel ger en sammanfattande genomgång av de slutsatser som framkommit från denna studie. Kapitlet är uppdelat i två delar och inleds med ett avsnitt om generella slutsatser för de olika observatörsmetoderna följt av ett avsnitt som beskriver tillämpbarhet och möjliga användningsområden.
8.1
Generella slutsatser
Under arbetets gång har det varit tydligt att det finns en enorm förbättrings- och utvecklingspotential på detta område. Projektet har omfattat ett flertal vec- kor av trimning och utveckling av metoderna och under detta arbete har stora förbättringar uppnåtts. Det finns fortfarande många fler saker att undersöka och förbättra, se vidare angående detta i § 9. Av den anledningen kan inte resultaten i denna studie betraktas som avgörande för vilken kapacitet och precision som denna observatörsmetodik egentligen har. Däremot kan sägas att det finns stor potential i området. Olika målfunktioner i trimningen och justering av modellparametrar hade relativt stor inverkan på resultatet. Olika varianter av observatörerna ut- värderades men det finns ett flertal ytterligare metoder och varianter att granska varför det är svårt att dra definitiva slutsatser. Det viktigaste som ändock bör framhållas som framkommit från denna studie är följande egenskaper för de olika observatörerna.
Skattningar för låga frekvenser (0-3 Hz) Skattningen för låga frekvenser var
för alla testade modeller mycket oprecis och ett starkt modellberoende var tydligt. De observatörer som använde en förenklad beskrivning av roboten, eller integrerade accelerometern, gav mycket dåliga skattningar i detta fall, medan EKF:en med den fullständiga modellen och den som bara använde motormätningar, gav bättre skattningar. Trimningen för dessa skattningar var också känslig för vilken bana som utvärderades. Detta resultat var vän- tat eftersom accelerometrar inte presterar bra vid låga frekvenser, och det är även viktigt att notera att trimningen utfördes för att fokusera på de mellanhöga frekvenserna som är av störst intresse.
64 Diskussion och slutsatser Skattningar för medelhöga frekvenser (3-30 Hz) För detta frekvensintervall
blev skattningarna mycket goda och det var framförallt för kraftiga sväng- ningar som observatörerna utmärkte sig. Det är också framförallt detta fre- kvensområde för rörelserna som är av intresse att skatta eftersom dagens metodik fungerar relativt bra för de låga frekvenserna, men mycket dåligt för de högre frekvenserna. Även observatörerna som nyttjade den förenkla- de modellen gav här goda skattningar vilket beror på att fel i styvhets- eller friktionsmodellen huvudsakligen ger upphov till lågfrekventa fel. De olika va- rianterna skilde sig inte lika mycket som för lågfrekventa svängningar, men vid större modellfel blev skillnaden mer uppenbar. En trimning var relativt generell och gav goda resultat för olika körningar.
Trimningsmetodik Den trimningsmetodik som utvecklades visade sig vara myc-
ket kraftfull och skattningarna kunde justeras med olika målfunktioner. Här kan trimningen anpassas för att ge goda skattningar för delar av en bana eller för olika frekvenser och detta ger stor flexibilitet vid användningen av observatörerna. Dock bör påpekas att en trimning, beroende på målfunktion, kan vara mer eller mindre specifik för den bana som den tagits fram för. Ex- empelvis en trimning för medelhöga frekvenser visade sig ge goda skattningar även för andra banor. Det är också viktigt att påpeka att trimningen ej kan garanteras vara optimal för den givna målfunktionen eftersom en heurestik används.
Trimningskänslighet I § 7.2.3 och § 7.3.3 där tester av trimningskänsligheten
gjordes var det tydligt att observatörerna är relativt robusta gentemot avvi- kelser från trimmade kovarianser och polplaceringar. Det framgick dock att DL är känsligare för om polerna omjusteras och den kunde till och med bli instabil för vissa rörelser trots bra skattningar för andra, vilket är oerhört allvarligt.
Beräkningsbörda för observatörerna I presentationen av de olika observatö-
rerna framgick det att modellkomplexiteten skiljer sig avsevärt och detta avspeglas tydligt i beräkningstiden som krävs, som presenterades i § 7.4. Detta är givetvis implementationsspecifikt och avgörs av datorkapacitet, kod och algoritmer men den inbördes jämförelsen bör stämma. EKF Integrerad var den snabbaste EKF:en med accelerometer och hade en beräkningstid på 2.6s, medan DL gör motsvarande skattning på mindre än en tiondel av tiden, nämligen 0.17s. Denna fördel skall inte underskattas, särskilt inte om obser- vatörerna skall byggas ut till fler än två frihetsgrader. En kort beräkningstid är också till stor fördel vid trimningen eftersom betydligt många fler itera- tioner då kan göras på en given tid, vilket förbättrar förutsättningen för att identifiera en god trimning. Detta visar också tydligt att en realtidsimple- mentering av EKF:erna kommer att vara svår, särskilt för fler frihetsgrader, medan DL visar god potential för sådana tillämpningar. Det finns troligtvis effektivare sätt att implementera de olika modellerna men det lämnas för vidare studier eftersom det inte varit fokus för detta projekt.