Bestämning av statistiska fördelningar för snittkrafter orsakade av enstaka tunga

6.3

Bestämning av statistiska fördelningar för snittkrafter

orsakade av enstaka tunga fordon och koncentrerade laster

Att bestämma fördelningsfunktioner för snittkrafter genererade av fordon i broar är komplext eftersom dessa lasteffekter har mycket stor variabilitet. För att bestämma snittkrafternas naturliga variation kan tre olika metoder utskiljas:

1. Man använder de uppmätta fordonen och stegar dem över en influenslinje eller en influensyta för att bestämma snittkrafter. Exempel i litteraturen där denna metod utnyttjats är tex [Nowak, 1993], [Bez, 1989] och [Cremona, 2001].

2. Man bestämmer stokastiska variabler som beskriver ett fordon. Exempel på sådana variabler är axel-, boogie- och trippelaxeltryck samt deras inbördes avstånd. Från dessa fördelningar simuleras fiktiva fordon som kan användas för att bestämma snittkrafter i broar. Denna metod är utnyttjad av bland annat [Bailey, 1996].

3. Den sista metoden bygger på att man skapar teoretiska modeller av fordon och utifrån dessa modeller beräknas önskade snittkrafter. Metoden är beskriven i [Ghosen och Moses, 1985].

Med dessa tre metoder är det möjligt att bestämma olika snittkraters naturliga variation. Dock är det, åtminstone i brottgränstillståndet, så att man oftast är intresserad av hur snittkrafternas årsmaximum är fördelade. Det är från dessa fördelningar som karakteristiska värden för variabla laster bestäms och det är också dessa fördelningar som utnyttjas vid tillförlitlighets analyser av konstruktioner.

För att kunna beskriva årsmaximumfördelningarna för snittkrafter genererade av fordon exakt måste mätningar av fordon utföras kontinuerligt under flera efterföljande år. Detta är naturligtvis inte genomförbart av ekonomiska och tidsmässiga skäl. Ett sätt att bestämma dessa extremvärdesfördelningar är med hjälp av simulering, hur man kan gå till väga beskrivs i kapitel 6.4. En annan metod är att utnyttja så kallad ”klassisk extremvärdesteori” för att bestämma snittkrafternas extermvärdesfördelningar. Denna metod används i bland annat [Nowak, 1993] och [Brime, 1999]. Ytterligare metoder för att bestämma extremvärdesfördelningar är Peaks Over Thresholds (POT) metoden eller Rices formel. Den senare metoden användes bla då de karakteristiska lasterna i [Eurocode 2, 2002] bestämdes, se [Calgaro, 1998]. Den har också utnyttjats vid andra tillfällen för att bestämma trafiklaster, se [Getachew, 2003] och [Cremona, 2001]. POT-metoden är yngre än de övriga metoderna för sådana här applikationer, dock har den utnyttjats för att bestämma lasteffekter genererade av fordon i vägbroar av [Crespo- Minguillón och Casas, 1997] och [Carlsson, 2006]. Även [James, 2003] har använt metoden för att bestämma trafiklaster genererade av tåg i järnvägsbroar. Metoden är mycket användbar för sådana här applikationer och beskrivs utförligare nedan.

6.3.1

Lasteffekter orsakade av ensamma fordon

För broar med korta spännvidder genereras de maximala snittkrafterna av ett riktigt tungt ensamt fordon eller av ett möte mellan två tunga fordon. Vilken av de båda situationerna som ger upphov till den största snittkraften är beroende av brons geometriska utformning. För balkbroar där balkarna är placerade rakt under körfilerna är trafiksituationen med ett ensamt tungt fordon den farligaste, medan det för plattbroar troligtvis är ett möte mellan två fordon som är den

För att bestämma snittkrafternas naturliga variation genererade av ett ensamt fordon utnyttjas metod 1 enligt ovan. För att exemplifiera metoden utnyttjas influenslinjen för mittmomentet hos en fritt upplag balk och det antas att det trafikerade fordonet har två axlar. Proceduren för att bestämma maximalt mittmoment är enligt följande:

1. Fordonets första axel placeras i position 1, x₁=0, se Figur 6.1.

2. Fordonet stegas över influens linjen, från position 1 till position 3, med lämplig steglängd. 3. I varje steg, t ex position 2, se Figur 6.1 bestäms axlarnas läge, x1 och x2 med

utgångspunkt från det uppmätta fordonet och motsvarande influensvärden I1 och I2.

Produkten mellan influensvärdena och de uppmätta axellasterna P1 och P2,

[

]

4. Det maximala momentet för det aktuella fordonet sparas och proceduren upprepas för övriga uppmätta fordon.

Figur 6.1: Illustration som beskriver hur snittkrafter orsakade av ett ensamt fordon bestäms,

L är brons spännvidd.

För att beskriva POT-metoden utnyttjas de senaste Svenska WIM-mätningarna som utfördes under åren 2002-2003 och beskrevs i början av detta kapitel. För samtliga 32000 tunga fordon i datafilen bestämdes respektive fordons maximala mittmoment i en bro med spännvidden 30 m. I Figur 6.2 visas ett histogram för dessa mittmoment.

Influenslinje I(x) I2 x2 x1 I1 P1 P2 x I(x) L Position 2 Position 1 Position 3

6.3. Bestämning av statistiska fördelningar för snittkrafter orsakade av enstaka tunga fordon och koncentrerade laster 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Moment [kNm] An ta l

Figur 6.2: Histogram för mittmomentet i en frittupplagd balk med spännvidden 30 m.

Histogrammet i Figur 6.2 beskriver den naturliga variationen för mittmomentet, dock är vi som tidigare nämnt intresserade av fördelningsfunktionen för momentets årsmaximum. Figur 6.2 visar att det inte är möjligt att anpassa dessa värden till någon känd fördelning eftersom att dessa moment är uppbyggda av flera olika fördelningar. Det är också ganska meningslöst att försöka anpassa dessa data till en fördelning eftersom att man bara intresserade av värdena på den högra svansen. För sådana situationer är POT-metoden mycket användbar, och går ut på att man väljer en lämplig nivå, ”threshold”, u och försöker anpassa differensen mellan de observationer som överskrider u och nivån till en känd fördelning. I Figur 6.3 är dessa differenser anpassade till en exponential- fördelning med skalparametern, m=112 kNm

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 100 200 300 400 500 600 x-u [kNm] FX (x) Empirisk fördelning Anpassad exponential fördelning

Figur 6.3: Enpirisk och anpssad exponetial fördelning för mittmomentet i en fritt upplagd bro med spännvidden 30 m.

Det är allmänt vedertaget att antalet fordon som passerar ett visst vägavsnitt kan antas vara Poisson fördelat, se bla [Vejdirektoratet, 2004]. Det är också visat i [Carlsson, 2006] att antalet fordon som överstiger ett visst tröskelvärde är Poisson fördelat. Det kan visas att maximum av ett Poisson fördelat antal exponentialfördelade överträdelser är Gumbel fördelat, se [WAFO, 2000], med fördelningsfunktion enligt nedan.

)) / ) ( exp( exp( ) (x x b a FX = − − − (6.1)

Där a och b är Gumbelfördelningens parametrar och bestäms enligt nedan.

) ln( _u m u b m a λ + = = (6.2)

Där m är skalparametern för exponentialfördelningen. u och λu är den valda nivån respektive

intensiteten av observationer som överskrider den valda nivån under referensperioden. Detta innebär att parametrarna i extremvärdesfördelningen är beroende av t ex fordonens totalvikt, brons geometri och upplagsförhållanden. Men det är också så att lägespararemetern b är beroende av trafik intensiteten vid den aktuella bron, ökar trafikintensiteten så ökar lägesparametern.

6.3.2

Koncentrerade laster

Med koncentrerade laster avses laster genererade av en singel-, boogie- eller trippelaxel. Dessa typer av laster är framförallt intressanta då lasteffekter i broars tvärriktning eller broar med extremt liten spännvidd studeras. Vissa WIM-system kan klassificera olika fordonstyper vilket innebär att de kan tolka hur axlar är konfigurerade, de kan t ex ange att det trafikerande fordonet har ett x antal boogie axlar. För det systemet som utnyttjades vid de tidigaste svenska mätningarna var denna typ av fordons klassificering möjlig, dock var precisionen inte den bästa, se [Carlsson, 2006]. Enligt författaren verkade det som att systemet i vissa fall blandade ihop trippel- och boogieaxlar med singelaxlar vilket medförde att dessa singelaxlar fick alldeles för höga axeltryck. Problemet, som med alla andra typer av mätningar, är att sortera ut dessa felaktiga mätresultat från verkliga.

För att bestämma extremvärdesfördelningar för olika typer av axeltryck kan POT-metoden med fördel användas, se [Carlsson, 2006]. Principen är den samma som ovan, istället för att bestämma intensiteten av fordon som överskrider tröskelvärdet är det antalet singel-, boogie- eller trippelaxlar som överskrider den valda nivån. Det är lättare att bestämma extremvärdesfördelningar för olika typer av axeltryck än motsvarande fördelningar för enstaka fordon eftersom man kan gå direkt på axeltrycken och alltså inte behöver utnyttja influenslinjer. Extremvärdes fördelningarna i detta fall beskriver hur de maximala axeltrycken är fördelade under en given referensperiod och inte som i fallet ovan hur snittkrafterna är fördelade.